等比数列を、掛ける回数・公比と有限の和へ戻す
等比数列の一般項と和の公式の導き方、公比が負や1の場合、条件から求まる複数の候補を確かめます。準備14問と主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(1)数列ア(ア)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。等比数列の一般項と有限の和、公比を掛けて共通の項をそろえる導出、自然数を定義域とする対応を扱います。数学B全体・固定学年・無限級数や漸化式の網羅、実測や学習効果は主張しません。
解説を読む
第n項までに公比を掛ける回数はn−1回です。項番号と値を対応させ、和へ公比を掛けてずらす工夫を図や二段の式に表します。有限の和、項番号の整数条件、条件を満たす全ての公比を分けて確かめます。
必要な予備知識
正負の数・分数、整数指数、因数分解と二次方程式、表と座標。等比数列の一般項と有限の和は本文で導入します。実数指数の負の底への拡張、無限級数・極限、一般の漸化式の解法は前提にしません。
- この教材では初項aも公比rも0でない実数とし、nは1,2,3,…という正の整数です。前の項へ同じ数rを次々に掛けてできる数列が等比数列で、rを公比といいます。0を含む数列の定義の扱いはここでは範囲外とし、0で割って公比を求めません。
- 第n項までに公比を掛ける回数はn−1回なので、a_n=a r^(n−1)です。r≠0ならr⁰=1で、n=1のとき初項aへ戻ります。rは負や1、正の分数でもかまいません。負のrでも指数は整数なので、かっこを付けて符号を確かめます。
- 二つの項a_p,a_q（p<q）からはa_q/a_p=r^(q−p)です。項番号の差を飛ばして公比そのものとはしません。偶数乗の条件では正負二つの公比が残ることがあります。実数の範囲の全候補を求め、一方の項から初項を戻し、元の全ての条件へ代入します。
- S_n=a+ar+…+ar^(n−1)は初めのn項の有限の和です。rS_n=ar+ar²+…+ar^nを項の指数が同じ列にそろえて引くと、(1−r)S_n=a−ar^nです。共通の中間項が消え、両端が残る理由を二段の式で確かめます。
- r≠1ならS_n=a(1−r^n)/(1−r)=a(r^n−1)/(r−1)です。分子と分母の符号を同時に変えた二式は同値です。r=1なら全ての項がaなのでS_n=na。分母が0となる式へr=1を代入して済ませません。
- 第p項から第q項まで（1≦p≦q）はq−p+1項で、初項a_p・公比rの等比数列です。r≠1なら和はa_p(1−r^(q−p+1))/(1−r)。S_q−S_(p−1)でも確かめられ、p=1で使うS_0は空の和0と明記します。
- ある値が第何項かを求めるとき、候補が正の整数の項番号かを確かめます。指数方程式を実数全体で扱う場合と、数列の項番号を求める場合は定義域が異なります。負の公比の数列を、実数全体の指数関数へ無条件に延長しません。
- rが負なら項の符号は交互に変わります。r=−1では同じ大きさの正負が交互に続き、初めの項からの和は項数の偶奇で変わります。有限の各S_nを求めることと、無限個を足すことは別です。この教材では無限級数や極限を結論しません。
- 最初の数項の比がそろっていても、その後も全て同じ比とは限りません。「等比数列である」という全項に及ぶ条件や規則が必要です。モデルの一部の項だけを変えた場合は、どの項を変え、後続の計画値も変えるのかを明記して計算します。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な一般項・有限和の計算過程、複数候補・全ての条件の確認、二段の導出・表・点・反例と理由は紙や既存ボードで手動確認します。正しい同値式や別解を認め、新しい式パーサーは追加しません。
解き方の例
初項−5、公比−2ならa_n=−5(−2)^(n−1)で、最初の4項は−5,10,−20,40。S_4=25です。和の式でも−5{1−(−2)^4}/{1−(−2)}=25。掛ける回数と項数を分けます。
a_2=12、a_4=48ならr²=4でr=2又は−2です。r=2ならa=6、r=−2ならa=−6。一般項は6·2^(n−1)又は−6(−2)^(n−1)。どちらも元の二項に戻ります。公比が正という追加条件なしに片方を落としません。
よくある間違い
- 第n項まで公比をn回掛ける。
- 負の公比のかっこを落として符号を誤る。
- 離れた二項の比を、そのまま公比とする。
- 偶数乗の条件で負の公比を落とす。
- 和へ公比を掛けた式で、最後の項ar^nを落とす。
- 和の式の分子だけ符号を変える。
- 公比1を分母0の式へ代入する。
- 途中からの和で、両端を含む項数の1を落とす。
- 有限な項の確認を全ての項の規則の証明とする。
- 負の底へ実数指数をそのまま広げる。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒の正の整数の項番号・公比を掛ける回数・一般項と有限和の計算過程・元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は奇数乗からの公比、T2は正負二候補、T3は公比を掛けてずらす導出と公比1、T4は途中の有限和、T5は公比−1と偶奇、T6は負の分数の公比と離散的な点、T7は有限な情報の限界、T8は和の条件の二次方程式、T9は一箇所だけの計画変更、T10は生徒の選択と直接和を扱います。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な一般項・有限和の計算過程、全候補・条件の照合、生徒の二段の導出・表・点・反例と理由は手動確認します。初項と公比は0でない実数と明記します。無限等比級数・極限、負の底の実数指数への拡張、一般の漸化式・数学的帰納法の網羅、新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な一般項・有限和の計算過程、自分の導出・表・点と理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
初項3、公比−2の等比数列の第6項を求めてください。
答えと解説
−96
a_6=3(−2)^5=−96。公比を掛ける回数は5回です。
等比数列81,27,9,…の公比を求めてください。
答えと解説
27/81=9/27=1/3です。値の差とは区別します。
実数の公比をもつ等比数列でa_2=−10、a_5=80です。初項aを求めてください。
答えと解説
5
r³=80/(−10)=−8よりr=−2。a=(−10)/(−2)=5で、a_5=5×16=80です。
初項−3、公比2の等比数列の初めの5項の和を求めてください。
答えと解説
−93
−3(1−2⁵)/(1−2)=−93。全5項−3,−6,−12,−24,−48を足しても一致します。
初項48、公比1/2の等比数列の初めの5項の和を求めてください。
答えと解説
93
48+24+12+6+3=93。和の式48{1−(1/2)^5}/(1−1/2)でも一致します。
初項2、公比−3の等比数列の初めの4項の和を求めてください。
答えと解説
−40
2−6+18−54=−40。式では2{1−(−3)^4}/{1−(−3)}=−40です。
公比2の等比数列で第3項が12です。初めの6項の和を求めてください。
答えと解説
189
初項は12/2²=3。S_6=3(2⁶−1)/(2−1)=189です。
初項5、公比−2の等比数列の一般項はどれですか。
- a_n=5(−2)^n
- a_n=5−2(n−1)
- a_n=5(−2)^(n−1)
- a_n=−10^(n−1)
答えと解説
a_n=5(−2)^(n−1)
n−1回掛けるので5(−2)^(n−1)。n=1で5、n=2で−10となります。
公比rの等比数列の有限和S_nについて、rS_nをずらして引いた正しい等式はどれですか。
- (1−r)S_n=a(1−r^n)
- (1−r)S_n=a(1−r^(n−1))
- (1+r)S_n=a(1+r^n)
- S_n=a(1−r^n)
答えと解説
(1−r)S_n=a(1−r^n)
初項aとrS_nの末項ar^nだけが残り、S_n−rS_n=a−ar^nです。
初項−4、公比1の等比数列の一般項と初めのn項の和はどれですか。
- a_n=−4n、S_n=−4
- a_n=−4、S_n=−4(n−1)
- a_n=1、S_n=n
- a_n=−4、S_n=−4n
答えと解説
a_n=−4、S_n=−4n
全ての項が−4です。−4をn個足すのでS_n=−4n。公比1は別に数えます。
初項6、公比2の等比数列で、100の位置について正しい判断はどれですか。
- 第5項である
- 第6項である
- この数列の項ではない
- 公比を100/6へ変えれば同じ数列の項になる
答えと解説
この数列の項ではない
第5項96と第6項192の間に100はありますが、項番号は正の整数です。正の項は2倍ずつ増えるため、その間の項はありません。
実数の公比をもつ等比数列でa_3=20、a_5=80です。許される公比の全てはどれですか。
- 2だけ
- −2だけ
- 2と−2
- 4だけ
答えと解説
2と−2
r²=80/20=4なのでr=2,−2。どちらも初項5となり、元の二項を満たします。
初項と公比が0でない任意の等比数列で、常にa_2 a_6に等しいものはどれですか。
- a_4
- a_4²
- a_3²
- 2a_4
答えと解説
a_4²
a_2 a_6=(ar)(ar⁵)=a²r⁶=(ar³)²=a_4²です。
最初の三項だけが4,12,36と分かり、以後の規則は与えられていません。正しい判断はどれですか。
- 次の項は必ず108である
- 全ての項で公比3と決まる
- 一般項4·3^(n−1)だけが許される
- 三項だけでは以後を一つに決められない
答えと解説
三項だけでは以後を一つに決められない
等比数列で続くという条件はありません。同じ三項で異なる続け方を作れるため、一つには決まりません。
考え方を説明する
実数の公比をもつ等比数列でa_2=−6、a_5=48です。初項・公比・一般項とS_6を求め、元の二項と初めの6項の和へ戻して確かめてください。二項の間で何回掛けたかも残します。
答えと解説
r³=48/(−6)=−8からr=−2、a=3。a_n=3(−2)^(n−1)、a_2=−6、a_5=48。最初の6項は3,−6,12,−24,48,−96で、S_6=−63。和の式3{1−(−2)^6}/3=−63でも一致。二項間の掛ける回数は5−2=3回。
生徒の項番号差3、実数の公比と初項、一般項全体・元の二項・6項の和の一致を見ます。
等比数列でa_3=28、a_5=112です。公比が正という条件はありません。実数の公比と初項の全ての組を求め、各一般項・第4項・S_5を示し、元の二条件で確認してください。
答えと解説
r²=4よりr=2,−2。どちらもa=28/4=7。一般項は7·2^(n−1)又は7(−2)^(n−1)。第4項は56又は−56。S_5は217又は77。両方ともa_3=28、a_5=112を満たす。r²=4の実数解は二つだけなので他の組はない。
生徒の正負両候補・共通の初項7、二つの一般項・第4項・有限和と元の二条件、候補の尽くし方を見ます。
初項−2、公比3の初めの4項の和をS_4とし、S_4と3S_4を同じべきの列へそろえた二段の式を作ってください。消える項と残る両端から和を求め、一般の初項a・公比rについて有限和の公式を導きます。r=1は別に説明します。
答えと解説
S_4=−2−6−18−54、3S_4=−6−18−54−162。引くと(1−3)S_4=−2−(−162)=160なのでS_4=−80。一般にS_n−rS_n=a−ar^n。r≠1ならS_n=a(1−r^n)/(1−r)。r=1なら各項aで、S_n=na。共通の中間項と新しい末項ar^nをそろえて示す。
生徒の二段の全4項・ずれた末項、消去と符号、一般のn項の導出とr=1の別の理由を見ます。
a_n=3·2^(n−1)の数列について、第3項から第8項までの和を求めてください。両端を含む項数を示し、この部分だけの等比数列の和と、二つの初めからの和の差で確認します。
答えと解説
項数は8−3+1=6、初項a_3=12、公比2。部分和は12(2⁶−1)=756。S_8=3(2⁸−1)=765、S_2=3(2²−1)=9なのでS_8−S_2=756。引くのはS_3ではなく、第3項の前までのS_2。
生徒の6項・この部分の初項、有限和とS_8−S_2の二つの式の一致を見ます。
初項5、公比−1の等比数列について、最初の6項とその時点までの和を表にしてください。全ての正の整数nでのS_nを偶奇に分け、S_23とS_24、S_n=5となる全ての項番号を説明します。無限個の和は求めません。
答えと解説
項は5,−5,5,−5,5,−5、和は5,0,5,0,5,0。隣り合う5と−5の組が消えるので、奇数nならS_n=5、偶数nならS_n=0。S_23=5、S_24=0。S_n=5となるのは全ての正の奇数nで、最大の項番号はない。有限の各nの説明であり、無限級数の和とはしていない。
生徒の項と累積和を分けた表、全nの偶奇の理由、二つの有限和と全ての奇数の記述を見ます。
初項8、公比−1/2の等比数列について、最初の6項の表と点(n,a_n)をかき、一般項と対応させてください。項番号が正の整数であることを示し、同じ負の底の式を実数全体の指数関数とみなせない理由を説明します。
答えと解説
a_n=8(−1/2)^(n−1)。n=1,…,6に対して8,−4,2,−1,1/2,−1/4。これら6点の横座標は正の整数で、符号は交互に変わる。例えばn=3/2を代入すると(−1/2)^(1/2)を必要とし、実数値にはならない。もとの数列ではn=3/2という項番号を定義しない。
生徒の全6組と点、整数指数・かっこ・符号、正の整数の定義域と実数全体へ広げない説明を見ます。
最初の三項が2,6,18とだけ分かる数列で、友達は「全ての項の一般項は必ず2·3^(n−1)だ」としました。最初の三項を共通にもつ異なる二つの続け方を明示し、説明を直してください。等比数列という条件を追加した場合の一般項も示します。
答えと解説
例えば2,6,18,54,162,…と、2,6,18,19,19,…は最初の三項が同じで第4項から異なる。前者は以後3倍、後者は第4項以降19という規則を明記する。三項だけでは全ての項は決まらない。全ての隣接項の比が3という等比条件を加えればa_n=2·3^(n−1)。生徒の別の明示した続け方も認める。
生徒の二つの全規則・共通の三項・異なる続き、有限な情報の限界と追加条件による一般項を見ます。
初項3の等比数列でS_3=21です。公比は0でない実数とし、正とは限りません。公比の全候補と各一般項・S_4を求め、元のS_3の条件で確認してください。公比1も条件に合うかを確かめます。
答えと解説
3(1+r+r²)=21からr²+r−6=(r−2)(r+3)=0。r=2又は−3。一般項は3·2^(n−1)又は3(−3)^(n−1)、S_4は45又は−60。元のS_3は3+6+12=21、又は3−9+27=21。r=1ならS_3=9で条件に合わない。二次方程式の全実数根を調べたので他にない。
生徒の有限な3項からの方程式・二つの公比、一般項・S_4・両方の元条件、公比1の確認を見ます。
架空の制作計画で、第1回は5個、第2回以後は前回の計画個数の3倍を作り、全部で6回です。各回と計画個数の式・表、総数を求めてください。その後、第4回だけを当初より2個減らし、第5・6回は当初の計画個数のままにした総数を求め、変更後の規則と実測を区別します。
答えと解説
当初のa_n=5·3^(n−1)（n=1,…,6）、個数5,15,45,135,405,1215、総数5(3⁶−1)/(3−1)=1820個。第4回だけ133個にし、後の405,1215は変えないので総数1818個。変更後は全ての隣接回が3倍ではないため、当初の和から変更分を引く。与えられた架空計画の計算で、実測ではない。
生徒の回と個数の対応・整数の範囲、当初1820個と一箇所の変更1818個、後続は据置という条件・架空モデルの区別を見ます。
初項aを−3,4から、公比rを−2,1/2,1から、項数Nを4,5から一つずつ選んで等比数列を作ります。選択と一般項・第2項・第N項・S_Nの式と計算過程を示し、直接足した和でも確認してください。r=1なら分母0の式を使わずに説明します。全12条件は必須にしません。
答えと解説
作例a=4,r=−2,N=5ならa_n=4(−2)^(n−1)、a_2=−8、a_5=64。S_5=4(1−(−2)^5)/(1−(−2))=44で、4−8+16−32+64=44。一般にはa_n=a r^(n−1)、r≠1ならS_N=a(1−r^N)/(1−r)、r=1ならS_N=Na。生徒の別の許された選択と具体式・直接和も認め、全12条件は要求しない。
生徒の三数・式と計算過程、第2項と第N項、有限和の公式と直接和の一致、公比1の場合の別の理由を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(1)数列ア(ア)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。等比数列の一般項と有限の和、公比を掛けて共通の項をそろえる導出、自然数を定義域とする対応を扱います。数学B全体・固定学年・無限級数や漸化式の網羅、実測や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒の正の整数の項番号・公比を掛ける回数・一般項と有限和の計算過程・元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は奇数乗からの公比、T2は正負二候補、T3は公比を掛けてずらす導出と公比1、T4は途中の有限和、T5は公比−1と偶奇、T6は負の分数の公比と離散的な点、T7は有限な情報の限界、T8は和の条件の二次方程式、T9は一箇所だけの計画変更、T10は生徒の選択と直接和を扱います。正しい同値式・別解を認めます。
初項3、公比−2の等比数列の第6項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等比数列81,27,9,…の公比を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の公比をもつ等比数列でa_2=−10、a_5=80です。初項aを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項−3、公比2の等比数列の初めの5項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項48、公比1/2の等比数列の初めの5項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項2、公比−3の等比数列の初めの4項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公比2の等比数列で第3項が12です。初めの6項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項5、公比−2の等比数列の一般項はどれですか。
- a_n=5(−2)^n
- a_n=5−2(n−1)
- a_n=5(−2)^(n−1)
- a_n=−10^(n−1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公比rの等比数列の有限和S_nについて、rS_nをずらして引いた正しい等式はどれですか。
- (1−r)S_n=a(1−r^n)
- (1−r)S_n=a(1−r^(n−1))
- (1+r)S_n=a(1+r^n)
- S_n=a(1−r^n)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項−4、公比1の等比数列の一般項と初めのn項の和はどれですか。
- a_n=−4n、S_n=−4
- a_n=−4、S_n=−4(n−1)
- a_n=1、S_n=n
- a_n=−4、S_n=−4n
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項6、公比2の等比数列で、100の位置について正しい判断はどれですか。
- 第5項である
- 第6項である
- この数列の項ではない
- 公比を100/6へ変えれば同じ数列の項になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の公比をもつ等比数列でa_3=20、a_5=80です。許される公比の全てはどれですか。
- 2だけ
- −2だけ
- 2と−2
- 4だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項と公比が0でない任意の等比数列で、常にa_2 a_6に等しいものはどれですか。
- a_4
- a_4²
- a_3²
- 2a_4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
最初の三項だけが4,12,36と分かり、以後の規則は与えられていません。正しい判断はどれですか。
- 次の項は必ず108である
- 全ての項で公比3と決まる
- 一般項4·3^(n−1)だけが許される
- 三項だけでは以後を一つに決められない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
実数の公比をもつ等比数列でa_2=−6、a_5=48です。初項・公比・一般項とS_6を求め、元の二項と初めの6項の和へ戻して確かめてください。二項の間で何回掛けたかも残します。
等比数列でa_3=28、a_5=112です。公比が正という条件はありません。実数の公比と初項の全ての組を求め、各一般項・第4項・S_5を示し、元の二条件で確認してください。
初項−2、公比3の初めの4項の和をS_4とし、S_4と3S_4を同じべきの列へそろえた二段の式を作ってください。消える項と残る両端から和を求め、一般の初項a・公比rについて有限和の公式を導きます。r=1は別に説明します。
a_n=3·2^(n−1)の数列について、第3項から第8項までの和を求めてください。両端を含む項数を示し、この部分だけの等比数列の和と、二つの初めからの和の差で確認します。
初項5、公比−1の等比数列について、最初の6項とその時点までの和を表にしてください。全ての正の整数nでのS_nを偶奇に分け、S_23とS_24、S_n=5となる全ての項番号を説明します。無限個の和は求めません。
初項8、公比−1/2の等比数列について、最初の6項の表と点(n,a_n)をかき、一般項と対応させてください。項番号が正の整数であることを示し、同じ負の底の式を実数全体の指数関数とみなせない理由を説明します。
最初の三項が2,6,18とだけ分かる数列で、友達は「全ての項の一般項は必ず2·3^(n−1)だ」としました。最初の三項を共通にもつ異なる二つの続け方を明示し、説明を直してください。等比数列という条件を追加した場合の一般項も示します。
初項3の等比数列でS_3=21です。公比は0でない実数とし、正とは限りません。公比の全候補と各一般項・S_4を求め、元のS_3の条件で確認してください。公比1も条件に合うかを確かめます。
架空の制作計画で、第1回は5個、第2回以後は前回の計画個数の3倍を作り、全部で6回です。各回と計画個数の式・表、総数を求めてください。その後、第4回だけを当初より2個減らし、第5・6回は当初の計画個数のままにした総数を求め、変更後の規則と実測を区別します。
初項aを−3,4から、公比rを−2,1/2,1から、項数Nを4,5から一つずつ選んで等比数列を作ります。選択と一般項・第2項・第N項・S_Nの式と計算過程を示し、直接足した和でも確認してください。r=1なら分母0の式を使わずに説明します。全12条件は必須にしません。
解答: 等比数列を、掛ける回数・公比と有限の和へ戻す
−96
a_6=3(−2)^5=−96。公比を掛ける回数は5回です。
27/81=9/27=1/3です。値の差とは区別します。
5
r³=80/(−10)=−8よりr=−2。a=(−10)/(−2)=5で、a_5=5×16=80です。
−93
−3(1−2⁵)/(1−2)=−93。全5項−3,−6,−12,−24,−48を足しても一致します。
93
48+24+12+6+3=93。和の式48{1−(1/2)^5}/(1−1/2)でも一致します。
−40
2−6+18−54=−40。式では2{1−(−3)^4}/{1−(−3)}=−40です。
189
初項は12/2²=3。S_6=3(2⁶−1)/(2−1)=189です。
a_n=5(−2)^(n−1)
n−1回掛けるので5(−2)^(n−1)。n=1で5、n=2で−10となります。
(1−r)S_n=a(1−r^n)
初項aとrS_nの末項ar^nだけが残り、S_n−rS_n=a−ar^nです。
a_n=−4、S_n=−4n
全ての項が−4です。−4をn個足すのでS_n=−4n。公比1は別に数えます。
この数列の項ではない
第5項96と第6項192の間に100はありますが、項番号は正の整数です。正の項は2倍ずつ増えるため、その間の項はありません。
2と−2
r²=80/20=4なのでr=2,−2。どちらも初項5となり、元の二項を満たします。
a_4²
a_2 a_6=(ar)(ar⁵)=a²r⁶=(ar³)²=a_4²です。
三項だけでは以後を一つに決められない
等比数列で続くという条件はありません。同じ三項で異なる続け方を作れるため、一つには決まりません。
記述問題の解答・確認の観点
実数の公比をもつ等比数列でa_2=−6、a_5=48です。初項・公比・一般項とS_6を求め、元の二項と初めの6項の和へ戻して確かめてください。二項の間で何回掛けたかも残します。
r³=48/(−6)=−8からr=−2、a=3。a_n=3(−2)^(n−1)、a_2=−6、a_5=48。最初の6項は3,−6,12,−24,48,−96で、S_6=−63。和の式3{1−(−2)^6}/3=−63でも一致。二項間の掛ける回数は5−2=3回。
生徒の項番号差3、実数の公比と初項、一般項全体・元の二項・6項の和の一致を見ます。
等比数列でa_3=28、a_5=112です。公比が正という条件はありません。実数の公比と初項の全ての組を求め、各一般項・第4項・S_5を示し、元の二条件で確認してください。
r²=4よりr=2,−2。どちらもa=28/4=7。一般項は7·2^(n−1)又は7(−2)^(n−1)。第4項は56又は−56。S_5は217又は77。両方ともa_3=28、a_5=112を満たす。r²=4の実数解は二つだけなので他の組はない。
生徒の正負両候補・共通の初項7、二つの一般項・第4項・有限和と元の二条件、候補の尽くし方を見ます。
初項−2、公比3の初めの4項の和をS_4とし、S_4と3S_4を同じべきの列へそろえた二段の式を作ってください。消える項と残る両端から和を求め、一般の初項a・公比rについて有限和の公式を導きます。r=1は別に説明します。
S_4=−2−6−18−54、3S_4=−6−18−54−162。引くと(1−3)S_4=−2−(−162)=160なのでS_4=−80。一般にS_n−rS_n=a−ar^n。r≠1ならS_n=a(1−r^n)/(1−r)。r=1なら各項aで、S_n=na。共通の中間項と新しい末項ar^nをそろえて示す。
生徒の二段の全4項・ずれた末項、消去と符号、一般のn項の導出とr=1の別の理由を見ます。
a_n=3·2^(n−1)の数列について、第3項から第8項までの和を求めてください。両端を含む項数を示し、この部分だけの等比数列の和と、二つの初めからの和の差で確認します。
項数は8−3+1=6、初項a_3=12、公比2。部分和は12(2⁶−1)=756。S_8=3(2⁸−1)=765、S_2=3(2²−1)=9なのでS_8−S_2=756。引くのはS_3ではなく、第3項の前までのS_2。
生徒の6項・この部分の初項、有限和とS_8−S_2の二つの式の一致を見ます。
初項5、公比−1の等比数列について、最初の6項とその時点までの和を表にしてください。全ての正の整数nでのS_nを偶奇に分け、S_23とS_24、S_n=5となる全ての項番号を説明します。無限個の和は求めません。
項は5,−5,5,−5,5,−5、和は5,0,5,0,5,0。隣り合う5と−5の組が消えるので、奇数nならS_n=5、偶数nならS_n=0。S_23=5、S_24=0。S_n=5となるのは全ての正の奇数nで、最大の項番号はない。有限の各nの説明であり、無限級数の和とはしていない。
生徒の項と累積和を分けた表、全nの偶奇の理由、二つの有限和と全ての奇数の記述を見ます。
初項8、公比−1/2の等比数列について、最初の6項の表と点(n,a_n)をかき、一般項と対応させてください。項番号が正の整数であることを示し、同じ負の底の式を実数全体の指数関数とみなせない理由を説明します。
a_n=8(−1/2)^(n−1)。n=1,…,6に対して8,−4,2,−1,1/2,−1/4。これら6点の横座標は正の整数で、符号は交互に変わる。例えばn=3/2を代入すると(−1/2)^(1/2)を必要とし、実数値にはならない。もとの数列ではn=3/2という項番号を定義しない。
生徒の全6組と点、整数指数・かっこ・符号、正の整数の定義域と実数全体へ広げない説明を見ます。
最初の三項が2,6,18とだけ分かる数列で、友達は「全ての項の一般項は必ず2·3^(n−1)だ」としました。最初の三項を共通にもつ異なる二つの続け方を明示し、説明を直してください。等比数列という条件を追加した場合の一般項も示します。
例えば2,6,18,54,162,…と、2,6,18,19,19,…は最初の三項が同じで第4項から異なる。前者は以後3倍、後者は第4項以降19という規則を明記する。三項だけでは全ての項は決まらない。全ての隣接項の比が3という等比条件を加えればa_n=2·3^(n−1)。生徒の別の明示した続け方も認める。
生徒の二つの全規則・共通の三項・異なる続き、有限な情報の限界と追加条件による一般項を見ます。
初項3の等比数列でS_3=21です。公比は0でない実数とし、正とは限りません。公比の全候補と各一般項・S_4を求め、元のS_3の条件で確認してください。公比1も条件に合うかを確かめます。
3(1+r+r²)=21からr²+r−6=(r−2)(r+3)=0。r=2又は−3。一般項は3·2^(n−1)又は3(−3)^(n−1)、S_4は45又は−60。元のS_3は3+6+12=21、又は3−9+27=21。r=1ならS_3=9で条件に合わない。二次方程式の全実数根を調べたので他にない。
生徒の有限な3項からの方程式・二つの公比、一般項・S_4・両方の元条件、公比1の確認を見ます。
架空の制作計画で、第1回は5個、第2回以後は前回の計画個数の3倍を作り、全部で6回です。各回と計画個数の式・表、総数を求めてください。その後、第4回だけを当初より2個減らし、第5・6回は当初の計画個数のままにした総数を求め、変更後の規則と実測を区別します。
当初のa_n=5·3^(n−1)（n=1,…,6）、個数5,15,45,135,405,1215、総数5(3⁶−1)/(3−1)=1820個。第4回だけ133個にし、後の405,1215は変えないので総数1818個。変更後は全ての隣接回が3倍ではないため、当初の和から変更分を引く。与えられた架空計画の計算で、実測ではない。
生徒の回と個数の対応・整数の範囲、当初1820個と一箇所の変更1818個、後続は据置という条件・架空モデルの区別を見ます。
初項aを−3,4から、公比rを−2,1/2,1から、項数Nを4,5から一つずつ選んで等比数列を作ります。選択と一般項・第2項・第N項・S_Nの式と計算過程を示し、直接足した和でも確認してください。r=1なら分母0の式を使わずに説明します。全12条件は必須にしません。
作例a=4,r=−2,N=5ならa_n=4(−2)^(n−1)、a_2=−8、a_5=64。S_5=4(1−(−2)^5)/(1−(−2))=44で、4−8+16−32+64=44。一般にはa_n=a r^(n−1)、r≠1ならS_N=a(1−r^N)/(1−r)、r=1ならS_N=Na。生徒の別の許された選択と具体式・直接和も認め、全12条件は要求しない。
生徒の三数・式と計算過程、第2項と第N項、有限和の公式と直接和の一致、公比1の場合の別の理由を見ます。