実数を分類し、二項分母の有理化と符号で値を説明する
共役な式と分母が0でない条件を使い、二項式の分母を有理化します。準備14問と、自分の具体式・符号・値や数の分類の理由を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(1)ア(ア)・イ(イ)、内容の取扱い(2)、冊子34〜36/PDF46〜48の実数、有限・循環小数の仕組み、分母が二項程度の有理化を踏まえた独自課題です。一つの根号を含む分母から進み、二項分母の共役・0でない条件と数の分類を中心にします。二重根号、対称式の公式、複素数は必須にしません。元の問題や図、数値は写していません。
解説を読む
実数には有理数と無理数があります。根号が見えるかだけで分類せず、同じ値への変形と条件を確かめます。分母が二項式なら、和と差の積の公式を使う共役な式が役立ちます。ただし元の分母と、分母・分子へ掛ける式の両方が0でないかを先に調べます。
必要な予備知識
根号の意味・簡単な計算・符号比較、乗法公式、分数の四則と約分、絶対値。平方数でない正の整数の平方根が無理数であることは既知として使えます。共役な式はa+bに対するa−b、または√a+√bに対する√a−√bのように、一方の符号を変えて和と差の積を作る式として導入します。紙や既存の授業用ボードへ自分の途中式を書き、講師が手動確認します。
- 有理数は整数の比m/n（m,nは整数、n≠0）で表せる実数です。実数のうち有理数でないものが無理数です。根号を含んでいても、整理すると有理数になる場合があります。
- 有理数の和・差・積と、0でない有理数による商は有理数です。二つの無理数の和・差・積・商がいつも無理数になるとは限りません。具体式と条件で確かめます。
- (a+b)(a−b)=a²−b²です。根号を含む分母で共役な式を使うと、積の中間項が打ち消されることがあります。分母と分子の両方へ同じ式を掛け、全ての積を書きます。
- 有理化で値を保つには、元の分母も掛ける共役な式も0でないことが必要です。共役が0ならその比は1にならず、0/0は定義されません。元の根号を先に計算すればよい場合もあります。
- 分母の積が負になることもあります。最終の分母を正に直すときは、分子と分母の両方の符号を変え、元の式の符号と合うか確かめます。
- 実数uについて√(u²)=|u|です。u≥0ならu、u<0なら−u。根号内の平方から、元の式を符号を確かめずそのまま外へ出しません。
- 既約分数の分母の素因数が2と5だけなら有限小数になります。他の素因数を含む場合は有限小数にならず循環小数になります。実際の割り算では余り0で終わるか、同じ余りが繰り返されるかを見ます。
- 有理数に0でない有理数倍の無理数を足した値は無理数です。もし有理数なら、その式を変形して元の無理数も整数の比に表せることになり矛盾します。具体的な式と0でない係数で説明します。
解き方の例
2/(√13+3)=2(√13−3)/(13−9)=(√13−3)/2です。√13>3なので元の分母と共役はともに正で、共役を掛ける比は1です。
1/(√3+2)=(√3−2)/(3−4)=2−√3。積の分母−1の符号を直すと分子の符号も変わります。2>√3なので最終値も正です。
よくある間違い
- 分母だけに共役な式を掛け、同じ値とする。
- 和と差の積の中間項を残したり、最後の負号を落としたりする。
- 元の分母が0でも計算を続ける、または共役0の比を1とする。
- √(u²)=uを負のuにも無条件に使う。
- 無理数どうしを足すと必ず無理数とする。
- 有限小数を判定するとき、約分する前の分母だけで決める。
考え方を説明する
準備14問は係数や短い分類の足場です。主課題は生徒の共役、元の分母と掛ける式が0でない条件、分母と分子の全ての積・約分・符号、数の分類の理由を手動確認します。T1は正の分母の積、T2は二つの根号、T3は負の積の符号修正、T4は二式の和と差、T5は具体的な逆数、T6は平方根と絶対値、T7は生徒の正の無理数の反例、T8は約分と実際の割り算、T9は二つの誤操作の修正、T10は生徒の三数での有理化を見ます。同値な別表記を認め、最終値だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
数の係数と選択肢だけを自動採点します。自由な根号の式、全ての途中式・条件と理由は紙や既存の授業用ボードへ生徒が書き、講師が手動確認します。新しい根号式の自動採点、生徒の試用や学習効果は主張しません。
練習する
準備は数の係数や短い分類の確認です。主課題で用いる共役な式・全ての積・0でない条件・符号と値の理由は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。数値だけを説明の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
10/(√11+√6)=A(√11−√6)となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
2
共役を掛けると分母11−6=5なので10/5=2です。
9/(√7+1)=A(√7−1)となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
分母7−1=6より9/6=3/2です。
7/(√10−2)=A(√10+2)となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
分母10−4=6なので係数は7/6です。
3/(4+√5)=A(4−√5)となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
(4+√5)(4−√5)=16−5=11より3/11です。
1/(√6−√2)=A(√6+√2)となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
分母6−2=4より係数1/4です。
x=2+√3のとき、x+1/xの値を答えてください。
答えと解説
4
(2+√3)(2−√3)=1なので1/x=2−√3。和は4です。
√((√5−3)²)=3+A√5と表します。係数Aを答えてください。
答えと解説
−1
√5<3で中の式は負。絶対値は3−√5なのでA=−1です。
有理数はどれですか。
- 3/8
- √2
- √3+1
- √5
答えと解説
3/8
3/8は整数の比です。他の三つは無理数です。
二つの無理数の和について正しい説明はどれですか。
- 必ず無理数
- 必ず有理数
- 有理数になる場合もある
- 実数にはならない
答えと解説
有理数になる場合もある
例えば√7+(2−√7)=2で、二つの無理数の和が有理数になります。
1/(√4−2)について正しい説明はどれですか。
- 値は0
- 分母が0なので定義されない
- 値は1/4
- 値は1/2
答えと解説
分母が0なので定義されない
√4−2=2−2=0なので、割り算は定義されません。
√8−3という分母に対して、和と差の積を作る共役な式はどれですか。
- √8−3
- 8−3
- √5
- √8+3
答えと解説
√8+3
(√8−3)(√8+3)=8−9で、中間項が打ち消されます。
有限小数になる既約分数はどれですか。
- 1/6
- 7/40
- 3/7
- 5/12
答えと解説
7/40
40=2³×5で、7/40=0.175です。他の分母には3や7が残ります。
u<0のとき√(u²)はどれですか。
- u
- u²
- 0
- −u
答えと解説
−u
平方根は0以上なので、負のuなら|u|=−uです。
2/(√9+3)について適切な説明はどれですか。
- 共役0を掛けて0/0=0とする
- 元の分母が0なので定義されない
- √9=3を先に計算すると値は1/3
- 共役0を掛けても、その比は1である
答えと解説
√9=3を先に計算すると値は1/3
元の分母は6。2/6=1/3です。共役√9−3=0の比0/0は定義されません。
考え方を説明する
5/(√14+3)を有理化してください。共役な式を選び、元の分母と掛ける式が0でない理由、分母と分子の全ての積、約分した値を書きます。最終値が有理数か無理数かも、その式で説明してください。
答えと解説
14>9から√14>3で、分母√14+3>0、共役√14−3>0。5(√14−3)/((√14+3)(√14−3))=5(√14−3)/(14−9)=√14−3。もしこの値が有理数なら3を足して√14も有理数となるが、√14は無理数なので矛盾。
生徒の二つの式が0でない条件・中間項が消える積・約分・分類の理由を見ます。
4/(√13−√5)を有理化してください。二つの根号の大小から分母が0でないことを確かめ、共役を掛ける比が1である理由と、分母の四つの積を実際に書きます。約分した値まで示します。
答えと解説
13>5で√13>√5、元の分母は正。共役√13+√5も正で0でない。分母は13+√65−√65−5=8。4(√13+√5)/8=(√13+√5)/2。分母と分子へ同じ0でない共役を掛け、比1を掛けたので値を保つ。
生徒の根号の大小・0でない・四つの積と打ち消し・分数係数の約分を見ます。
7/(√6+5)を有理化してください。√6−5を使った分母の積と符号を調べ、分母を正に直すときの分子の変化を実際に書きます。元の式と最終の式の符号が合う理由も説明します。
答えと解説
√6+5>0。6<25より√6<5なので共役√6−5<0で0でない。7(√6−5)/(6−25)=7(√6−5)/(−19)=7(5−√6)/19。分母と分子の両方の符号を変えた。5−√6>0なので最終値も正で、元の正の式と合う。
生徒の負の積−19、分子の符号も変える式と全体の正の確認を見ます。
A=1/(√7−2)、B=1/(√7+2)とします。両方を有理化し、A+BとA−Bを実際に計算してください。どちらが有理数か無理数かを、残る項と係数を使って説明します。各分母と掛ける式が0でないことも確かめます。
答えと解説
√7>2なので√7−2、√7+2はともに正。A=(√7+2)/3、B=(√7−2)/3。A+B=2√7/3で、もし有理数なら0でない有理数3/2を掛けて√7も有理数になるため矛盾。A−B=4/3は整数の比なので有理数。
生徒の二つの有理化と和差、根号が消える場合と0でない係数で残る場合を区別する理由を見ます。
x=3+√8のとき、1/x、x+1/x、x−1/xを計算してください。共役の積と0でない条件を具体的に書き、三つの値を求めます。一般的な対称式の公式へ進む代わりに、得た二式の和差を実際に計算してください。
答えと解説
9>8から3>√8で3−√8>0、x=3+√8>0。(3+√8)(3−√8)=9−8=1だから1/x=3−√8。x+1/x=6、x−1/x=2√8=4√2。直接の和差で、√8=2√2も使った。
生徒の共役の積1と条件・具体的な逆数・二つの和差と根号の整理を見ます。
u=√11−4、v=√11+4とします。√(u²)と√(v²)を求めてください。小数の丸め値を使わずu,vの符号を決め、平方根と絶対値の関係から、具体的な式の値と理由を書きます。
答えと解説
11<16から√11<4なのでu<0。v>0。従って√(u²)=|u|=−u=4−√11、√(v²)=|v|=v=√11+4。どちらも0以上で、元のuを無条件に外へ出さない。
生徒の整数の平方比較と両符号、|u|と|v|を通した二つの値を見ます。
dを2,3,5,7から一つ、整数kを3以上5以下から一つ選び、A=√d、B=k−√dを自分の数で作ります。両方が正の無理数である理由とA+Bの実際の値を示し、「正の無理数どうしの和は必ず無理数」という主張を検討してください。
答えと解説
作例d=7,k=4。A=√7>0、16>7からB=4−√7>0。√7は無理数。もし4−√7が有理数なら、4から引いて√7も有理数になってしまい、√7が無理数であることに矛盾する。よってBも無理数。A+B=√7+4−√7=4で有理数。正の無理数どうしでも和が有理数になる反例。別の条件内の生徒の二数と理由も認める。
生徒の具体的なd,kと両式・正の根拠・両方の無理数の理由・有理数になる和を見ます。
14/80と7/18を、約分してから有限小数か循環小数か判定してください。分母の素因数を示し、実際の割り算の数字と余りを書きます。一方は終わること、他方はどの余りと数字が繰り返されるかを、分数が表す正確な値と対応させます。
答えと解説
14/80=7/40、40=2³×5。7÷40は70÷40で1余り30、300÷40で7余り20、200÷40で5余り0となり0.175で終わる。7/18は既約で18=2×3²。70÷18で3余り16、160÷18で8余り16となり、以後同じ余り16と数字8が繰り返される。0.3888…で8が循環する。どちらも整数の比であり有理数。
生徒の約分・分母の因数・実際の各割り算と余り0または反復、有限/循環と有理数の対応を見ます。
二つの説明を自分の式で直してください。①3/(√9+3)で共役√9−3=0を掛け「0/0=0」とする。②2/(√7−2)で分母だけに√7+2を掛け「2/3」とする。各誤りで何が1を掛ける操作になっていないかを示し、元の式の正しい値と条件を実際に書きます。
答えと解説
①元の分母√9+3=6で値は3/6=1/2。共役は0なので0/0は定義されず比1ではない。元の根号を計算すればよい。②√7>2で分母も共役も0でないが、分母だけへの掛け算は値を保たない。分子にも掛け、2(√7+2)/((√7−2)(√7+2))=2(√7+2)/3が正しい。
生徒の二つの違う誤操作の理由、0でない条件と修正後の具体式を見ます。
整数pを2以上4以下、dを2,3,5,6,7から一つ、整数rを2以上6以下から一つ選び、r/(√d+p)を自分の数で作ります。共役√d−pの0でないと符号を確かめ、有理化の全ての積・約分を実際に書きます。元の値の符号と、最終値が有理数か無理数かの理由も示してください。
答えと解説
作例p=3,d=5,r=4。元の分母√5+3>0、5<9から共役√5−3<0で0でない。4(√5−3)/(5−9)=4(√5−3)/(−4)=3−√5。9>5から正。もし3−√5が有理数なら3から引いて√5も有理数になるので矛盾し、最終値は無理数。生徒の条件内の別の三数ではp²とdが異なり共役は0でない。実際の数・式・符号と分類の理由が正しければ認める。
生徒のp,d,r・具体式・p²とdの比較・共役が0でないこと・全ての積と符号・有理数かどうかの理由を見る。一般式だけでは完了にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(1)ア(ア)・イ(イ)、内容の取扱い(2)、冊子34〜36/PDF46〜48の実数、有限・循環小数の仕組み、分母が二項程度の有理化を踏まえた独自課題です。一つの根号を含む分母から進み、二項分母の共役・0でない条件と数の分類を中心にします。二重根号、対称式の公式、複素数は必須にしません。元の問題や図、数値は写していません。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-real-values-with-conjugates-and-nonzero-conditions/
準備14問は係数や短い分類の足場です。主課題は生徒の共役、元の分母と掛ける式が0でない条件、分母と分子の全ての積・約分・符号、数の分類の理由を手動確認します。T1は正の分母の積、T2は二つの根号、T3は負の積の符号修正、T4は二式の和と差、T5は具体的な逆数、T6は平方根と絶対値、T7は生徒の正の無理数の反例、T8は約分と実際の割り算、T9は二つの誤操作の修正、T10は生徒の三数での有理化を見ます。同値な別表記を認め、最終値だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
10/(√11+√6)=A(√11−√6)となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
9/(√7+1)=A(√7−1)となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
7/(√10−2)=A(√10+2)となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3/(4+√5)=A(4−√5)となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1/(√6−√2)=A(√6+√2)となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x=2+√3のとき、x+1/xの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√((√5−3)²)=3+A√5と表します。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
有理数はどれですか。
- 3/8
- √2
- √3+1
- √5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの無理数の和について正しい説明はどれですか。
- 必ず無理数
- 必ず有理数
- 有理数になる場合もある
- 実数にはならない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1/(√4−2)について正しい説明はどれですか。
- 値は0
- 分母が0なので定義されない
- 値は1/4
- 値は1/2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√8−3という分母に対して、和と差の積を作る共役な式はどれですか。
- √8−3
- 8−3
- √5
- √8+3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
有限小数になる既約分数はどれですか。
- 1/6
- 7/40
- 3/7
- 5/12
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u<0のとき√(u²)はどれですか。
- u
- u²
- 0
- −u
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2/(√9+3)について適切な説明はどれですか。
- 共役0を掛けて0/0=0とする
- 元の分母が0なので定義されない
- √9=3を先に計算すると値は1/3
- 共役0を掛けても、その比は1である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
5/(√14+3)を有理化してください。共役な式を選び、元の分母と掛ける式が0でない理由、分母と分子の全ての積、約分した値を書きます。最終値が有理数か無理数かも、その式で説明してください。
4/(√13−√5)を有理化してください。二つの根号の大小から分母が0でないことを確かめ、共役を掛ける比が1である理由と、分母の四つの積を実際に書きます。約分した値まで示します。
7/(√6+5)を有理化してください。√6−5を使った分母の積と符号を調べ、分母を正に直すときの分子の変化を実際に書きます。元の式と最終の式の符号が合う理由も説明します。
A=1/(√7−2)、B=1/(√7+2)とします。両方を有理化し、A+BとA−Bを実際に計算してください。どちらが有理数か無理数かを、残る項と係数を使って説明します。各分母と掛ける式が0でないことも確かめます。
x=3+√8のとき、1/x、x+1/x、x−1/xを計算してください。共役の積と0でない条件を具体的に書き、三つの値を求めます。一般的な対称式の公式へ進む代わりに、得た二式の和差を実際に計算してください。
u=√11−4、v=√11+4とします。√(u²)と√(v²)を求めてください。小数の丸め値を使わずu,vの符号を決め、平方根と絶対値の関係から、具体的な式の値と理由を書きます。
dを2,3,5,7から一つ、整数kを3以上5以下から一つ選び、A=√d、B=k−√dを自分の数で作ります。両方が正の無理数である理由とA+Bの実際の値を示し、「正の無理数どうしの和は必ず無理数」という主張を検討してください。
14/80と7/18を、約分してから有限小数か循環小数か判定してください。分母の素因数を示し、実際の割り算の数字と余りを書きます。一方は終わること、他方はどの余りと数字が繰り返されるかを、分数が表す正確な値と対応させます。
二つの説明を自分の式で直してください。①3/(√9+3)で共役√9−3=0を掛け「0/0=0」とする。②2/(√7−2)で分母だけに√7+2を掛け「2/3」とする。各誤りで何が1を掛ける操作になっていないかを示し、元の式の正しい値と条件を実際に書きます。
整数pを2以上4以下、dを2,3,5,6,7から一つ、整数rを2以上6以下から一つ選び、r/(√d+p)を自分の数で作ります。共役√d−pの0でないと符号を確かめ、有理化の全ての積・約分を実際に書きます。元の値の符号と、最終値が有理数か無理数かの理由も示してください。
解答: 実数を分類し、二項分母の有理化と符号で値を説明する
2
共役を掛けると分母11−6=5なので10/5=2です。
分母7−1=6より9/6=3/2です。
分母10−4=6なので係数は7/6です。
(4+√5)(4−√5)=16−5=11より3/11です。
分母6−2=4より係数1/4です。
4
(2+√3)(2−√3)=1なので1/x=2−√3。和は4です。
−1
√5<3で中の式は負。絶対値は3−√5なのでA=−1です。
3/8
3/8は整数の比です。他の三つは無理数です。
有理数になる場合もある
例えば√7+(2−√7)=2で、二つの無理数の和が有理数になります。
分母が0なので定義されない
√4−2=2−2=0なので、割り算は定義されません。
√8+3
(√8−3)(√8+3)=8−9で、中間項が打ち消されます。
7/40
40=2³×5で、7/40=0.175です。他の分母には3や7が残ります。
−u
平方根は0以上なので、負のuなら|u|=−uです。
√9=3を先に計算すると値は1/3
元の分母は6。2/6=1/3です。共役√9−3=0の比0/0は定義されません。
記述問題の解答・確認の観点
5/(√14+3)を有理化してください。共役な式を選び、元の分母と掛ける式が0でない理由、分母と分子の全ての積、約分した値を書きます。最終値が有理数か無理数かも、その式で説明してください。
14>9から√14>3で、分母√14+3>0、共役√14−3>0。5(√14−3)/((√14+3)(√14−3))=5(√14−3)/(14−9)=√14−3。もしこの値が有理数なら3を足して√14も有理数となるが、√14は無理数なので矛盾。
生徒の二つの式が0でない条件・中間項が消える積・約分・分類の理由を見ます。
4/(√13−√5)を有理化してください。二つの根号の大小から分母が0でないことを確かめ、共役を掛ける比が1である理由と、分母の四つの積を実際に書きます。約分した値まで示します。
13>5で√13>√5、元の分母は正。共役√13+√5も正で0でない。分母は13+√65−√65−5=8。4(√13+√5)/8=(√13+√5)/2。分母と分子へ同じ0でない共役を掛け、比1を掛けたので値を保つ。
生徒の根号の大小・0でない・四つの積と打ち消し・分数係数の約分を見ます。
7/(√6+5)を有理化してください。√6−5を使った分母の積と符号を調べ、分母を正に直すときの分子の変化を実際に書きます。元の式と最終の式の符号が合う理由も説明します。
√6+5>0。6<25より√6<5なので共役√6−5<0で0でない。7(√6−5)/(6−25)=7(√6−5)/(−19)=7(5−√6)/19。分母と分子の両方の符号を変えた。5−√6>0なので最終値も正で、元の正の式と合う。
生徒の負の積−19、分子の符号も変える式と全体の正の確認を見ます。
A=1/(√7−2)、B=1/(√7+2)とします。両方を有理化し、A+BとA−Bを実際に計算してください。どちらが有理数か無理数かを、残る項と係数を使って説明します。各分母と掛ける式が0でないことも確かめます。
√7>2なので√7−2、√7+2はともに正。A=(√7+2)/3、B=(√7−2)/3。A+B=2√7/3で、もし有理数なら0でない有理数3/2を掛けて√7も有理数になるため矛盾。A−B=4/3は整数の比なので有理数。
生徒の二つの有理化と和差、根号が消える場合と0でない係数で残る場合を区別する理由を見ます。
x=3+√8のとき、1/x、x+1/x、x−1/xを計算してください。共役の積と0でない条件を具体的に書き、三つの値を求めます。一般的な対称式の公式へ進む代わりに、得た二式の和差を実際に計算してください。
9>8から3>√8で3−√8>0、x=3+√8>0。(3+√8)(3−√8)=9−8=1だから1/x=3−√8。x+1/x=6、x−1/x=2√8=4√2。直接の和差で、√8=2√2も使った。
生徒の共役の積1と条件・具体的な逆数・二つの和差と根号の整理を見ます。
u=√11−4、v=√11+4とします。√(u²)と√(v²)を求めてください。小数の丸め値を使わずu,vの符号を決め、平方根と絶対値の関係から、具体的な式の値と理由を書きます。
11<16から√11<4なのでu<0。v>0。従って√(u²)=|u|=−u=4−√11、√(v²)=|v|=v=√11+4。どちらも0以上で、元のuを無条件に外へ出さない。
生徒の整数の平方比較と両符号、|u|と|v|を通した二つの値を見ます。
dを2,3,5,7から一つ、整数kを3以上5以下から一つ選び、A=√d、B=k−√dを自分の数で作ります。両方が正の無理数である理由とA+Bの実際の値を示し、「正の無理数どうしの和は必ず無理数」という主張を検討してください。
作例d=7,k=4。A=√7>0、16>7からB=4−√7>0。√7は無理数。もし4−√7が有理数なら、4から引いて√7も有理数になってしまい、√7が無理数であることに矛盾する。よってBも無理数。A+B=√7+4−√7=4で有理数。正の無理数どうしでも和が有理数になる反例。別の条件内の生徒の二数と理由も認める。
生徒の具体的なd,kと両式・正の根拠・両方の無理数の理由・有理数になる和を見ます。
14/80と7/18を、約分してから有限小数か循環小数か判定してください。分母の素因数を示し、実際の割り算の数字と余りを書きます。一方は終わること、他方はどの余りと数字が繰り返されるかを、分数が表す正確な値と対応させます。
14/80=7/40、40=2³×5。7÷40は70÷40で1余り30、300÷40で7余り20、200÷40で5余り0となり0.175で終わる。7/18は既約で18=2×3²。70÷18で3余り16、160÷18で8余り16となり、以後同じ余り16と数字8が繰り返される。0.3888…で8が循環する。どちらも整数の比であり有理数。
生徒の約分・分母の因数・実際の各割り算と余り0または反復、有限/循環と有理数の対応を見ます。
二つの説明を自分の式で直してください。①3/(√9+3)で共役√9−3=0を掛け「0/0=0」とする。②2/(√7−2)で分母だけに√7+2を掛け「2/3」とする。各誤りで何が1を掛ける操作になっていないかを示し、元の式の正しい値と条件を実際に書きます。
①元の分母√9+3=6で値は3/6=1/2。共役は0なので0/0は定義されず比1ではない。元の根号を計算すればよい。②√7>2で分母も共役も0でないが、分母だけへの掛け算は値を保たない。分子にも掛け、2(√7+2)/((√7−2)(√7+2))=2(√7+2)/3が正しい。
生徒の二つの違う誤操作の理由、0でない条件と修正後の具体式を見ます。
整数pを2以上4以下、dを2,3,5,6,7から一つ、整数rを2以上6以下から一つ選び、r/(√d+p)を自分の数で作ります。共役√d−pの0でないと符号を確かめ、有理化の全ての積・約分を実際に書きます。元の値の符号と、最終値が有理数か無理数かの理由も示してください。
作例p=3,d=5,r=4。元の分母√5+3>0、5<9から共役√5−3<0で0でない。4(√5−3)/(5−9)=4(√5−3)/(−4)=3−√5。9>5から正。もし3−√5が有理数なら3から引いて√5も有理数になるので矛盾し、最終値は無理数。生徒の条件内の別の三数ではp²とdが異なり共役は0でない。実際の数・式・符号と分類の理由が正しければ認める。
生徒のp,d,r・具体式・p²とdの比較・共役が0でないこと・全ての積と符号・有理数かどうかの理由を見る。一般式だけでは完了にしない。