平方完成で頂点を読み、二次関数のグラフを移す
一般二次式を頂点の分かる形へ直し、軸・頂点・表・平行移動と実際の座標グラフを対応させます。準備14問と、自分の変形とグラフを残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(3)ア(ア)・イ(ア)、冊子41〜42/PDF53〜54の一般二次関数、平方完成、平行移動、表・式・グラフの対応を踏まえた独自課題です。方程式の解や頂点が原点のy=ax²から進みます。点の条件から未知係数を決定する学習や、最大・最小を求める学習とは分け、与えられた関数全体の同値変形と移動を主とします。出版社の問題・図や数値は写していません。
解説を読む
y=ax²から左右や上下へ動かしたグラフも、二次関数です。一般形ax²+bx+cをa(x−p)²+qへ同じ値のまま変えると、軸x=pと頂点(p,q)が分かります。式を変形するだけで終わらず、頂点の左右の点を表で調べ、グラフを描いて式との対応を確かめます。
必要な予備知識
y=ax²の表とグラフ、二次式の展開、分数と正負の計算、平方の形を作る変形。ここではa≠0です。紙の方眼や既存の授業用ボードに、自分の途中式・座標表・軸と頂点を含むグラフを書き、講師が手動確認します。
- 二次関数y=ax²+bx+cはa≠0です。aを括った中でx²の係数を1にしてから平方の形を作り、足した分を引いて同じ値を保ちます。括弧の外のaも、調整した定数に掛かります。
- x²+2rx=(x+r)²−r²です。例えば3(x²−4x)=3((x−2)²−4)=3(x−2)²−12。平方を作った後の調整を括弧の中だけで終わらせません。
- y=a(x−p)²+qの軸はx=p、頂点は(p,q)です。x+pの形なら軸はx=−pになります。a>0なら下に凸、a<0なら上に凸で、移動してもaは同じです。
- y=ax²をx方向にp、y方向にqだけ平行移動するとy=a(x−p)²+qです。元の点(t,at²)は(t+p,at²+q)へ移り、p<0なら左、q<0なら下へ動きます。
- a(x−p)²+qを展開するとax²−2apx+ap²+q。一般形と各係数を比較して同じ関数か確かめます。軸や頂点が同じでもaが違えば同じ関数とは限りません。
- 軸から同じ距離dだけ離れたp−dとp+dでは、yの値は両方ad²+qです。この式で左右対称の理由を説明でき、数個の表の値だけを全実数での証明としません。
- グラフでは座標軸、各軸で一様な目盛、軸x=p、頂点とその左右の点を示します。離れた点を直線で結んだ折れ線を放物線そのものとせず、表と式に合う滑らかな曲線を描きます。
- 分数の頂点も正確な座標のまま扱います。表示された有限の範囲の図だけで関数の全実数での性質を決めず、一般の二次関数は特に指定しなければ全実数を定義域とします。
解き方の例
y=x²+4x+7=(x+2)²+3。軸x=−2、頂点(−2,3)で、y=x²を左へ2、上へ3だけ移したグラフです。展開するとx²+4x+4+3で元の式へ戻ります。
y=−2x²+8x−3=−2((x−2)²−4)−3=−2(x−2)²+5。括弧内の−4には−2が掛かり、+8となります。軸はx=2、頂点(2,5)、形は上に凸です。
よくある間違い
- 括弧内で引いた定数に、外のaを掛けない。
- (x+p)²を見て軸をx=pと読む。
- x方向への移動で、元の式のxへ移動量をそのまま足す。
- 二つの左右の値が一致しただけで、一般の対称性の理由を省く。
- 目盛を途中で変える、頂点の片側だけ描く、点を直線で結ぶ。
- 一つのxで値が合ったことだけを、二つの二次式が恒等的に同じという証明にする。
考え方を説明する
準備14問は係数・軸・移動の短い確認です。主課題は生徒の平方完成の各等号と定数の調整、展開による恒等的な確認、実際の座標表、軸・頂点・左右の滑らかなグラフを手動確認します。T1は正の単係数、T2は負の単係数、T3は外の係数、T4は分数の頂点、T5は元の点と移動先、T6は頂点の形から展開と具体値の確認、T7は同じaの二グラフ、T8は誤変形の修正、T9は等距離の表と一般の対称性・三表現、T10は生徒の三数を使います。同じ内容の別の正しい変形や描画範囲を認め、式や一般的な手順だけでは完了にしません。
数値と選択肢だけを自動採点します。生徒の自由な式、平方完成の途中式、点の表や座標グラフは紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい自由式・手描きグラフの自動採点、生徒の試用や学習効果は主張しません。
練習する
準備は座標や短い移動の確認です。主課題の自分の平方完成・展開・座標表と実際のグラフは、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。数値だけをグラフ作成の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
y=x²−8x+13をy=(x−p)²+qと表します。pを答えてください。
答えと解説
4
x²−8x+13=(x−4)²−3なのでp=4です。
y=x²−8x+13をy=(x−4)²+qと表します。qを答えてください。
答えと解説
−3
(x−4)²=x²−8x+16なので、q=13−16=−3です。
y=−x²−6x+2の軸をx=pとします。pを答えてください。
答えと解説
−3
−(x²+6x)+2=−(x+3)²+11なので軸x=−3です。
y=3x²−12x+5の頂点のy座標を答えてください。
答えと解説
−7
3((x−2)²−4)+5=3(x−2)²−7。頂点のy座標は−7です。
y=2x²+6x−1の頂点のx座標を答えてください。
答えと解説
−
2((x+3/2)²−9/4)−1=2(x+3/2)²−11/2。軸はx=−3/2です。
y=−2x²+4x+9をy=−2(x−1)²+qと表します。qを答えてください。
答えと解説
11
−2((x−1)²−1)+9=−2(x−1)²+11です。
y=3x²を右へ2、下へ5だけ平行移動した関数をy=3x²−12x+cと表します。cを答えてください。
答えと解説
7
3(x−2)²−5=3x²−12x+12−5なのでc=7です。
y=−3(x+4)²+2の軸はどれですか。
- x=−4
- x=4
- y=2
- y=−4
答えと解説
x=−4
x+4=x−(−4)なので軸はx=−4です。
y=(1/2)(x−3)²−2の頂点はどれですか。
- (−3,−2)
- (3,2)
- (3,−2)
- (−2,3)
答えと解説
(3,−2)
(x−p)²+qのp=3,q=−2なので頂点は(3,−2)です。
y=(x+2)²+1はy=x²をどう平行移動したグラフですか。
- 右へ2、上へ1
- 左へ2、上へ1
- 左へ2、下へ1
- 右へ2、下へ1
答えと解説
左へ2、上へ1
元の点(t,t²)が(t−2,t²+1)へ移るので左へ2、上へ1です。
2x²−12x+7と同じ値になる式はどれですか。
- 2(x−3)²+7
- 2(x−6)²−11
- 2(x−3)²−2
- 2(x−3)²−11
答えと解説
2(x−3)²−11
2((x−3)²−9)+7=2(x−3)²−18+7です。
図はy=−(x−2)²+4の一部です。縦の対称軸はどれですか。
図を準備しています。
- x=−2
- y=2
- x=2
- y=4
答えと解説
x=2
頂点V=(2,4)を通る縦の直線x=2が対称軸です。横線y=4とは区別します。
二次関数y=2x²−4x−1では、xが−1,1,3のときyが5,−3,5です。平方完成とこの表の両方に合う軸はどれですか。
- x=−1
- x=1
- x=3
- y=−3
答えと解説
x=1
2x²−4x−1=2(x−1)²−3。−1と3は1から同じ距離で、表の値も等しくなります。
3x²+12x+1の平方完成として正しい式はどれですか。
- 3(x+2)²−11
- 3(x+2)²+1
- 3(x−2)²−11
- 3(x+2)²−3
答えと解説
3(x+2)²−11
3((x+2)²−4)+1=3(x+2)²−12+1です。
考え方を説明する
y=x²−6x+4を平方完成してください。同じ値を保つ各等号を書き、軸と頂点、y=x²からの移動を示します。x=1,2,3,4,5の値を表で計算し、座標軸と各軸で一様な目盛を付け、頂点の左右の滑らかなグラフを描きます。最後に展開して元の一般形へ戻します。
答えと解説
x²−6x+4=(x−3)²−9+4=(x−3)²−5。軸x=3、頂点(3,−5)、右へ3・下へ5。表はx=1,2,3,4,5に対してy=−1,−4,−5,−4,−1。これらを通る下に凸の放物線を、両側と頂点が入る範囲に描く。展開はx²−6x+9−5=x²−6x+4。
生徒の定数の調整、展開、5点の実数値と軸・頂点・左右の描画の対応を見ます。
y=−x²−4x+1を平方完成し、軸と頂点、y=−x²からの移動を説明してください。外の負号を保つ途中式と、x=−4,−3,−2,−1,0の表を作り、軸・頂点と左右のグラフを描いて展開で確かめます。
答えと解説
−(x²+4x)+1=−((x+2)²−4)+1=−(x+2)²+5。軸x=−2、頂点(−2,5)、左へ2・上へ5。表は1,4,5,4,1。上に凸の曲線。展開は−x²−4x−4+5=−x²−4x+1。
生徒の負号が定数にも掛かる式、上に凸の形と表・移動の対応を見ます。
y=3x²−18x+20を平方完成してください。3を括った中で加減した定数と、括弧の外へ出る値の違いを示します。軸と頂点、x=1,2,3,4,5の表、両側のグラフを描き、展開で全ての係数を照合してください。
答えと解説
3(x²−6x)+20=3((x−3)²−9)+20=3(x−3)²−27+20=3(x−3)²−7。軸x=3、頂点(3,−7)。表は5,−4,−7,−4,5。下に凸で、y=3x²から右へ3・下へ7。展開は3x²−18x+27−7=3x²−18x+20。
生徒の括弧内−9と外の−27を区別した式、全係数と実際の表・グラフを見ます。
y=2x²−5x+1を、分数を丸めず平方完成してください。軸と頂点を正確な分数で書き、x=1/4,3/4,5/4,7/4,9/4の表を作ります。各軸で一様な目盛を選び、表と頂点に合う左右のグラフを描き、展開で確かめます。
答えと解説
2(x²−(5/2)x)+1=2((x−5/4)²−25/16)+1=2(x−5/4)²−17/8。軸x=5/4、頂点(5/4,−17/8)。指定xのyは−1/8,−13/8,−17/8,−13/8,−1/8。展開は2x²−5x+25/8−17/8=2x²−5x+1。
生徒の半分の係数5/4と平方25/16、外の2、分数座標の表と一様な目盛を見ます。
y=−2x²を左へ3、上へ4だけ平行移動します。元の点(t,−2t²)と移動後の点の対応を書き、t=−2,−1,0,1,2の両方の表を作ります。移動先の関数を頂点の形と一般形で表し、二つのグラフと対応点を同じ目盛で描き、移動量を確認してください。
答えと解説
(t,−2t²)→(t−3,−2t²+4)。移動先はy=−2(x+3)²+4=−2x²−12x−14。元の表はx=−2,−1,0,1,2にy=−8,−2,0,−2,−8、移動後はx=−5,−4,−3,−2,−1にy=−4,2,4,2,−4。頂点(0,0)→(−3,4)、軸x=0→x=−3。各対応点の差は(−3,4)。
生徒の座標対応、括弧の符号、両表の実数値と二つの曲線の対応を見ます。
y=−(1/2)(x−4)²+3について、軸・頂点・形を読み、一般形へ展開してください。x=2,4,6の表を作ってグラフを描き、x=0の値を二つの式で別々に計算して照合します。一つの値が一致するだけでなく、展開の恒等式も示してください。
答えと解説
軸x=4、頂点(4,3)、上に凸。−(1/2)(x²−8x+16)+3=−(1/2)x²+4x−5。表はx=2,4,6でy=1,3,1。頂点と両側の曲線を描く。x=0は頂点の形で−8+3=−5、一般形でも−5。全てのxで同じ理由は展開の恒等式。
生徒の読み取り・展開の全係数・具体的な二式の検算・実際の左右の曲線を見ます。
f(x)=2(x−1)²−4とg(x)=2(x+2)²+3を同じ座標平面に描きます。両方の軸・頂点と、fのx=−1,0,1,2,3、gのx=−4,−3,−2,−1,0の表を作ります。fのグラフからgへどう動くか、実際の一点の対応とg(x)=f(xをどう置き換えた式)+定数を使って示してください。
答えと解説
fの軸x=1、頂点(1,−4)、表のy=4,−2,−4,−2,4。gの軸x=−2、頂点(−2,3)、表のy=11,5,3,5,11。同じa=2の形で、fを左へ3、上へ7動かす。g(x)=f(x+3)+7。例えばf上の(0,−2)は(−3,5)へ移り、g(−3)=5。両方の頂点と左右の点が見える範囲で滑らかな二曲線を描く。
生徒の両表・二曲線と、左移動でfの中がx+3になる式、実際の対応点を見ます。
「2x²−12x+10=2(x−3)²+1だから頂点は(3,1)」という説明を直してください。誤りのある定数の調整を示し、正しい軸・頂点と、x=1,2,3,4,5の表・グラフを作ります。x=0で誤った式と元の式を比較し、正しい式は展開でも確かめます。
答えと解説
2((x−3)²−9)+10=2(x−3)²−18+10=2(x−3)²−8。頂点は(3,−8)、軸は元の誤説明と同じx=3。表は0,−6,−8,−6,0。x=0で誤式は19、元の式と平方完成した式ではどちらも10である。正しい展開は2x²−12x+18−8=2x²−12x+10。定数の誤りは縦の位置を変えるが、ここでは軸は変わらない。
生徒の誤箇所の修正・元の式との具体的不一致・展開・正しい軸と縦位置のグラフを見ます。
y=2x²+4x−3を平方完成し、頂点のx座標をpとします。d=1/2,1,2それぞれで、x=p−dとp+dの二点と等しいyを実際の表に書き、頂点も加えてグラフを描きます。一般形、頂点の形、yとxを移した形y−q=a(x−p)²を対応させ、一般のdでも左右の値が一致する理由を式で説明してください。
答えと解説
2x²+4x−3=2(x+1)²−5なのでp=−1,q=−5。第三の形はy+5=2(x+1)²。d=1/2ではx=−3/2,−1/2でy=−9/2、d=1ではx=−2,0でy=−3、d=2ではx=−3,1でy=3。頂点(−1,−5)。一般のdでもf(−1−d)=2d²−5=f(−1+d)となり、軸x=−1の左右で同じ値。表の三対だけでなくこの式を根拠にして、頂点と両側の曲線を描く。
生徒の三つの等距離ペアの具体表、三表現の等価性と一般のdの式による対称性、実際のグラフを見ます。
aを−2,1,3から一つ、pを−3,2から一つ、qを−4,1,5から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の三数で作ります。一般形へ展開し、その一般形から平方完成して戻します。軸・頂点・y=ax²からの移動を示し、x=p−2,p−1,p,p+1,p+2の実際の表と、頂点の両側のグラフを描いて照合してください。
答えと解説
作例a=−2,p=2,q=1。y=−2(x−2)²+1=−2x²+8x−7=−2((x−2)²−4)−7=−2(x−2)²+1。軸x=2、頂点(2,1)、元のy=−2x²を右へ2・上へ1。x=0,1,2,3,4でy=−7,−1,1,−1,−7、上に凸。生徒の条件内の別の三数も認め、一般の展開はax²−2apx+ap²+q、表の値は4a+q,a+q,q,a+q,4a+q。実際に選んだ数と五つの座標・曲線を必要とする。
生徒の具体的な三数、両方向の変形、全係数、五つの数値、軸・頂点・左右のグラフと移動の対応を見る。一般式だけでは完了にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(3)ア(ア)・イ(ア)、冊子41〜42/PDF53〜54の一般二次関数、平方完成、平行移動、表・式・グラフの対応を踏まえた独自課題です。方程式の解や頂点が原点のy=ax²から進みます。点の条件から未知係数を決定する学習や、最大・最小を求める学習とは分け、与えられた関数全体の同値変形と移動を主とします。出版社の問題・図や数値は写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 平方完成で頂点を読み、二次関数のグラフを移す
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/connect-completing-the-square-to-quadratic-graph-translations/
準備14問は係数・軸・移動の短い確認です。主課題は生徒の平方完成の各等号と定数の調整、展開による恒等的な確認、実際の座標表、軸・頂点・左右の滑らかなグラフを手動確認します。T1は正の単係数、T2は負の単係数、T3は外の係数、T4は分数の頂点、T5は元の点と移動先、T6は頂点の形から展開と具体値の確認、T7は同じaの二グラフ、T8は誤変形の修正、T9は等距離の表と一般の対称性・三表現、T10は生徒の三数を使います。同じ内容の別の正しい変形や描画範囲を認め、式や一般的な手順だけでは完了にしません。
y=x²−8x+13をy=(x−p)²+qと表します。pを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=x²−8x+13をy=(x−4)²+qと表します。qを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−x²−6x+2の軸をx=pとします。pを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=3x²−12x+5の頂点のy座標を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=2x²+6x−1の頂点のx座標を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−2x²+4x+9をy=−2(x−1)²+qと表します。qを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=3x²を右へ2、下へ5だけ平行移動した関数をy=3x²−12x+cと表します。cを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−3(x+4)²+2の軸はどれですか。
- x=−4
- x=4
- y=2
- y=−4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(1/2)(x−3)²−2の頂点はどれですか。
- (−3,−2)
- (3,2)
- (3,−2)
- (−2,3)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(x+2)²+1はy=x²をどう平行移動したグラフですか。
- 右へ2、上へ1
- 左へ2、上へ1
- 左へ2、下へ1
- 右へ2、下へ1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x²−12x+7と同じ値になる式はどれですか。
- 2(x−3)²+7
- 2(x−6)²−11
- 2(x−3)²−2
- 2(x−3)²−11
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はy=−(x−2)²+4の一部です。縦の対称軸はどれですか。
図を準備しています。
- x=−2
- y=2
- x=2
- y=4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二次関数y=2x²−4x−1では、xが−1,1,3のときyが5,−3,5です。平方完成とこの表の両方に合う軸はどれですか。
- x=−1
- x=1
- x=3
- y=−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3x²+12x+1の平方完成として正しい式はどれですか。
- 3(x+2)²−11
- 3(x+2)²+1
- 3(x−2)²−11
- 3(x+2)²−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
y=x²−6x+4を平方完成してください。同じ値を保つ各等号を書き、軸と頂点、y=x²からの移動を示します。x=1,2,3,4,5の値を表で計算し、座標軸と各軸で一様な目盛を付け、頂点の左右の滑らかなグラフを描きます。最後に展開して元の一般形へ戻します。
y=−x²−4x+1を平方完成し、軸と頂点、y=−x²からの移動を説明してください。外の負号を保つ途中式と、x=−4,−3,−2,−1,0の表を作り、軸・頂点と左右のグラフを描いて展開で確かめます。
y=3x²−18x+20を平方完成してください。3を括った中で加減した定数と、括弧の外へ出る値の違いを示します。軸と頂点、x=1,2,3,4,5の表、両側のグラフを描き、展開で全ての係数を照合してください。
y=2x²−5x+1を、分数を丸めず平方完成してください。軸と頂点を正確な分数で書き、x=1/4,3/4,5/4,7/4,9/4の表を作ります。各軸で一様な目盛を選び、表と頂点に合う左右のグラフを描き、展開で確かめます。
y=−2x²を左へ3、上へ4だけ平行移動します。元の点(t,−2t²)と移動後の点の対応を書き、t=−2,−1,0,1,2の両方の表を作ります。移動先の関数を頂点の形と一般形で表し、二つのグラフと対応点を同じ目盛で描き、移動量を確認してください。
y=−(1/2)(x−4)²+3について、軸・頂点・形を読み、一般形へ展開してください。x=2,4,6の表を作ってグラフを描き、x=0の値を二つの式で別々に計算して照合します。一つの値が一致するだけでなく、展開の恒等式も示してください。
f(x)=2(x−1)²−4とg(x)=2(x+2)²+3を同じ座標平面に描きます。両方の軸・頂点と、fのx=−1,0,1,2,3、gのx=−4,−3,−2,−1,0の表を作ります。fのグラフからgへどう動くか、実際の一点の対応とg(x)=f(xをどう置き換えた式)+定数を使って示してください。
「2x²−12x+10=2(x−3)²+1だから頂点は(3,1)」という説明を直してください。誤りのある定数の調整を示し、正しい軸・頂点と、x=1,2,3,4,5の表・グラフを作ります。x=0で誤った式と元の式を比較し、正しい式は展開でも確かめます。
y=2x²+4x−3を平方完成し、頂点のx座標をpとします。d=1/2,1,2それぞれで、x=p−dとp+dの二点と等しいyを実際の表に書き、頂点も加えてグラフを描きます。一般形、頂点の形、yとxを移した形y−q=a(x−p)²を対応させ、一般のdでも左右の値が一致する理由を式で説明してください。
aを−2,1,3から一つ、pを−3,2から一つ、qを−4,1,5から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の三数で作ります。一般形へ展開し、その一般形から平方完成して戻します。軸・頂点・y=ax²からの移動を示し、x=p−2,p−1,p,p+1,p+2の実際の表と、頂点の両側のグラフを描いて照合してください。
解答: 平方完成で頂点を読み、二次関数のグラフを移す
4
x²−8x+13=(x−4)²−3なのでp=4です。
−3
(x−4)²=x²−8x+16なので、q=13−16=−3です。
−3
−(x²+6x)+2=−(x+3)²+11なので軸x=−3です。
−7
3((x−2)²−4)+5=3(x−2)²−7。頂点のy座標は−7です。
−
2((x+3/2)²−9/4)−1=2(x+3/2)²−11/2。軸はx=−3/2です。
11
−2((x−1)²−1)+9=−2(x−1)²+11です。
7
3(x−2)²−5=3x²−12x+12−5なのでc=7です。
x=−4
x+4=x−(−4)なので軸はx=−4です。
(3,−2)
(x−p)²+qのp=3,q=−2なので頂点は(3,−2)です。
左へ2、上へ1
元の点(t,t²)が(t−2,t²+1)へ移るので左へ2、上へ1です。
2(x−3)²−11
2((x−3)²−9)+7=2(x−3)²−18+7です。
x=2
頂点V=(2,4)を通る縦の直線x=2が対称軸です。横線y=4とは区別します。
x=1
2x²−4x−1=2(x−1)²−3。−1と3は1から同じ距離で、表の値も等しくなります。
3(x+2)²−11
3((x+2)²−4)+1=3(x+2)²−12+1です。
記述問題の解答・確認の観点
y=x²−6x+4を平方完成してください。同じ値を保つ各等号を書き、軸と頂点、y=x²からの移動を示します。x=1,2,3,4,5の値を表で計算し、座標軸と各軸で一様な目盛を付け、頂点の左右の滑らかなグラフを描きます。最後に展開して元の一般形へ戻します。
x²−6x+4=(x−3)²−9+4=(x−3)²−5。軸x=3、頂点(3,−5)、右へ3・下へ5。表はx=1,2,3,4,5に対してy=−1,−4,−5,−4,−1。これらを通る下に凸の放物線を、両側と頂点が入る範囲に描く。展開はx²−6x+9−5=x²−6x+4。
生徒の定数の調整、展開、5点の実数値と軸・頂点・左右の描画の対応を見ます。
y=−x²−4x+1を平方完成し、軸と頂点、y=−x²からの移動を説明してください。外の負号を保つ途中式と、x=−4,−3,−2,−1,0の表を作り、軸・頂点と左右のグラフを描いて展開で確かめます。
−(x²+4x)+1=−((x+2)²−4)+1=−(x+2)²+5。軸x=−2、頂点(−2,5)、左へ2・上へ5。表は1,4,5,4,1。上に凸の曲線。展開は−x²−4x−4+5=−x²−4x+1。
生徒の負号が定数にも掛かる式、上に凸の形と表・移動の対応を見ます。
y=3x²−18x+20を平方完成してください。3を括った中で加減した定数と、括弧の外へ出る値の違いを示します。軸と頂点、x=1,2,3,4,5の表、両側のグラフを描き、展開で全ての係数を照合してください。
3(x²−6x)+20=3((x−3)²−9)+20=3(x−3)²−27+20=3(x−3)²−7。軸x=3、頂点(3,−7)。表は5,−4,−7,−4,5。下に凸で、y=3x²から右へ3・下へ7。展開は3x²−18x+27−7=3x²−18x+20。
生徒の括弧内−9と外の−27を区別した式、全係数と実際の表・グラフを見ます。
y=2x²−5x+1を、分数を丸めず平方完成してください。軸と頂点を正確な分数で書き、x=1/4,3/4,5/4,7/4,9/4の表を作ります。各軸で一様な目盛を選び、表と頂点に合う左右のグラフを描き、展開で確かめます。
2(x²−(5/2)x)+1=2((x−5/4)²−25/16)+1=2(x−5/4)²−17/8。軸x=5/4、頂点(5/4,−17/8)。指定xのyは−1/8,−13/8,−17/8,−13/8,−1/8。展開は2x²−5x+25/8−17/8=2x²−5x+1。
生徒の半分の係数5/4と平方25/16、外の2、分数座標の表と一様な目盛を見ます。
y=−2x²を左へ3、上へ4だけ平行移動します。元の点(t,−2t²)と移動後の点の対応を書き、t=−2,−1,0,1,2の両方の表を作ります。移動先の関数を頂点の形と一般形で表し、二つのグラフと対応点を同じ目盛で描き、移動量を確認してください。
(t,−2t²)→(t−3,−2t²+4)。移動先はy=−2(x+3)²+4=−2x²−12x−14。元の表はx=−2,−1,0,1,2にy=−8,−2,0,−2,−8、移動後はx=−5,−4,−3,−2,−1にy=−4,2,4,2,−4。頂点(0,0)→(−3,4)、軸x=0→x=−3。各対応点の差は(−3,4)。
生徒の座標対応、括弧の符号、両表の実数値と二つの曲線の対応を見ます。
y=−(1/2)(x−4)²+3について、軸・頂点・形を読み、一般形へ展開してください。x=2,4,6の表を作ってグラフを描き、x=0の値を二つの式で別々に計算して照合します。一つの値が一致するだけでなく、展開の恒等式も示してください。
軸x=4、頂点(4,3)、上に凸。−(1/2)(x²−8x+16)+3=−(1/2)x²+4x−5。表はx=2,4,6でy=1,3,1。頂点と両側の曲線を描く。x=0は頂点の形で−8+3=−5、一般形でも−5。全てのxで同じ理由は展開の恒等式。
生徒の読み取り・展開の全係数・具体的な二式の検算・実際の左右の曲線を見ます。
f(x)=2(x−1)²−4とg(x)=2(x+2)²+3を同じ座標平面に描きます。両方の軸・頂点と、fのx=−1,0,1,2,3、gのx=−4,−3,−2,−1,0の表を作ります。fのグラフからgへどう動くか、実際の一点の対応とg(x)=f(xをどう置き換えた式)+定数を使って示してください。
fの軸x=1、頂点(1,−4)、表のy=4,−2,−4,−2,4。gの軸x=−2、頂点(−2,3)、表のy=11,5,3,5,11。同じa=2の形で、fを左へ3、上へ7動かす。g(x)=f(x+3)+7。例えばf上の(0,−2)は(−3,5)へ移り、g(−3)=5。両方の頂点と左右の点が見える範囲で滑らかな二曲線を描く。
生徒の両表・二曲線と、左移動でfの中がx+3になる式、実際の対応点を見ます。
「2x²−12x+10=2(x−3)²+1だから頂点は(3,1)」という説明を直してください。誤りのある定数の調整を示し、正しい軸・頂点と、x=1,2,3,4,5の表・グラフを作ります。x=0で誤った式と元の式を比較し、正しい式は展開でも確かめます。
2((x−3)²−9)+10=2(x−3)²−18+10=2(x−3)²−8。頂点は(3,−8)、軸は元の誤説明と同じx=3。表は0,−6,−8,−6,0。x=0で誤式は19、元の式と平方完成した式ではどちらも10である。正しい展開は2x²−12x+18−8=2x²−12x+10。定数の誤りは縦の位置を変えるが、ここでは軸は変わらない。
生徒の誤箇所の修正・元の式との具体的不一致・展開・正しい軸と縦位置のグラフを見ます。
y=2x²+4x−3を平方完成し、頂点のx座標をpとします。d=1/2,1,2それぞれで、x=p−dとp+dの二点と等しいyを実際の表に書き、頂点も加えてグラフを描きます。一般形、頂点の形、yとxを移した形y−q=a(x−p)²を対応させ、一般のdでも左右の値が一致する理由を式で説明してください。
2x²+4x−3=2(x+1)²−5なのでp=−1,q=−5。第三の形はy+5=2(x+1)²。d=1/2ではx=−3/2,−1/2でy=−9/2、d=1ではx=−2,0でy=−3、d=2ではx=−3,1でy=3。頂点(−1,−5)。一般のdでもf(−1−d)=2d²−5=f(−1+d)となり、軸x=−1の左右で同じ値。表の三対だけでなくこの式を根拠にして、頂点と両側の曲線を描く。
生徒の三つの等距離ペアの具体表、三表現の等価性と一般のdの式による対称性、実際のグラフを見ます。
aを−2,1,3から一つ、pを−3,2から一つ、qを−4,1,5から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の三数で作ります。一般形へ展開し、その一般形から平方完成して戻します。軸・頂点・y=ax²からの移動を示し、x=p−2,p−1,p,p+1,p+2の実際の表と、頂点の両側のグラフを描いて照合してください。
作例a=−2,p=2,q=1。y=−2(x−2)²+1=−2x²+8x−7=−2((x−2)²−4)−7=−2(x−2)²+1。軸x=2、頂点(2,1)、元のy=−2x²を右へ2・上へ1。x=0,1,2,3,4でy=−7,−1,1,−1,−7、上に凸。生徒の条件内の別の三数も認め、一般の展開はax²−2apx+ap²+q、表の値は4a+q,a+q,q,a+q,4a+q。実際に選んだ数と五つの座標・曲線を必要とする。
生徒の具体的な三数、両方向の変形、全係数、五つの数値、軸・頂点・左右のグラフと移動の対応を見る。一般式だけでは完了にしない。