絶対値の中の式の符号で場合を分け、方程式・不等式の解を尽くす
一次式の絶対値を、境界と各範囲の条件に戻して考えます。準備14問と、自分の各場合の式・全ての解・数直線・検算を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(1)ア(ア)(エ)・イ(イ)(ウ)、冊子34〜37/PDF46〜49の実数・式の変形・一次不等式の考えを踏まえた独自課題です。絶対値を含む方程式・不等式と数直線の扱いは、現行啓林館の編修趣意書PDF2にも明記されています。文部科学省の細目がこの全ての絶対値の問題を指定したという意味ではありません。既存の具体数の絶対値から、変数の符号で場合を分け解集合を尽くす行為へ進みます。出版社の問題・図や数値は写していません。
解説を読む
絶対値は0以上です。中の式が0以上か負かで、絶対値を外した式が変わります。場合ごとに方程式や不等式を解いた後、その答えが最初に分けた範囲にも入るかを確かめます。各場合の共通部分を集め、境界を落とさず全ての解を示します。
必要な予備知識
具体的な数の絶対値、正負の四則、一次方程式、分数と不等号。一次不等式では両辺に同じ数を加減でき、正の数を掛けたり割ったりすると向きは同じ、負の数では向きが逆になります。不等式の解は一つの値とは限らず、その条件を満たす実数全体です。紙や既存の授業用ボードへ自分の式と数直線を書き、講師が手動確認します。
- 実数uについて、u≥0なら|u|=u、u<0なら|u|=−uです。0はどちらの式でも値0ですが、場合の範囲を重ならず漏れなく決めます。
- |ax+b|を外す前にax+b=0の境界を求め、中の式の符号を確かめます。文字aを勝手に正とはせず、この教材では指定した具体的な係数を使います。
- 場合ごとに解いて得た値や範囲を、その場合の条件と共通部分にします。変形後の式だけを満たす値が、元の絶対値の式も満たすとは限りません。
- 最後は各場合で残った解を全て合わせます。不等式の内側の区間と外側の二つの範囲を区別し、<と≤、>と≥の端点の違いを示します。
- c>0なら|u|<cは−c<u<c、|u|≥cはu≤−cまたはu≥cです。数直線で内側か外側かと、端点を含むかを確かめます。
- 右辺が負になるときは、絶対値が0以上であることを先に使えます。|u|が負の値に等しくなることはありません。右辺にxがある場合、その符号の条件も必要です。
- 右辺が0の場合、|u|≤0はu=0だけ、|u|>0はu≠0、|u|<0は解なし、|u|≥0は全ての実数です。負の右辺kなら|u|=k、|u|<k、|u|≤kは解なし、|u|>k、|u|≥kは全ての実数です。
- 二つの絶対値があれば、中の式が0になる全ての境界で実数全体を分けます。一つの境界だけで二つとも同じ符号と決めません。
- 方程式は得た全ての値を元の式へ代入します。不等式では各場合の同値な変形が全範囲の根拠で、数個の代入だけを全ての証明にしません。数直線と境界の代入は確認として使います。
解き方の例
|x−6|=4ではx≥6ならx−6=4でx=10、x<6なら−x+6=4でx=2。各場合の条件を満たし、|10−6|=4、|2−6|=4です。
|3x+2|≤7では−7≤3x+2≤7から−9≤3x≤5、−3≤x≤5/3。両端で絶対値7となるので、数直線では両端を含む区間です。
よくある間違い
- 中の式が負の場合にも、絶対値をそのまま外す。
- 各場合で解いた値を、その場合の条件へ戻さず全て残す。
- 二つの絶対値で、一方が0になる境界だけを使う。
- 外側の二つの範囲を一つの内側の区間として書く。
- <と≤を混ぜ、端点を余分に含めたり落としたりする。
- 少数の成功する代入だけで、不等式の全ての解を示したとする。
考え方を説明する
準備14問は境界・数値・選択の確認です。主課題は生徒の境界と全範囲、各場合で絶対値を外した具体式、条件との共通部分、全ての解と数直線を手動確認します。T1は二解、T2は境界の一解、T3は右辺と場合の条件、T4は二つの境界、T5は内側の開区間、T6は外側の閉じた二範囲、T7は負の右辺と0の右辺、T8は三範囲の和、T9は誤りの全文修正、T10は生徒の係数による方程式と不等式を見ます。同値な別解や数直線の描き方も認め、一般的な手順だけで生徒の解答にしません。
数値と選択肢だけを自動採点します。解集合の式、場合分け、生徒の数直線、理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。自由な式や数直線を自動採点する機能、実際の生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備は境界や短い解の確認です。主課題の各場合の解き方・全ての解・数直線と理由は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。準備の点数だけを場合分けの達成にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
2x−7=0となる境界のxを答えてください。
答えと解説
2x=7よりx=7/2です。
x=−2のとき、|3x−8|の値を答えてください。
答えと解説
14
中の式は−6−8=−14なので絶対値は14です。
|x−5|=9の二つの解のうち、大きい方の値を答えてください。
答えと解説
14
x−5=9または−9よりx=14または−4。大きい方は14です。
|2x+1|=7の二つの解のうち、小さい方の値を答えてください。
答えと解説
−4
2x+1=7または−7よりx=3または−4。小さい方は−4です。
|3x−2|<10の解をa<x<bと表します。左の端の数aを答えてください。
答えと解説
−
−10<3x−2<10から−8<3x<12、−8/3<x<4です。
|4−x|≤6の解をa≤x≤bと表します。右の端の数bを答えてください。
答えと解説
10
−6≤4−x≤6から−2≤x≤10です。
|x+2|=x+8の解の値を答えてください。
答えと解説
−5
x≥−2ではx+2=x+8で解なし。x<−2では−x−2=x+8からx=−5で、元の式も3=3です。
|x−3|=−2について正しい説明はどれですか。
- 解はx=1
- 絶対値は0以上なので解はない
- 全ての実数が解
- 解はx=5
答えと解説
絶対値は0以上なので解はない
0以上の絶対値が−2に等しくなることはありません。
x<−4の範囲で|x+4|を外した式はどれですか。
- x+4
- x−4
- −x−4
- −x+4
答えと解説
−x−4
x+4<0なので−(x+4)=−x−4です。
|2x−3|≥5の解はどれですか。
- −1≤x≤4
- −1<x<4
- x<−1またはx>4
- x≤−1またはx≥4
答えと解説
x≤−1またはx≥4
2x−3≤−5または2x−3≥5なので、x≤−1またはx≥4です。
|x−1|+|x−6|=5の解はどれですか。
- 1≤x≤6
- x=1だけ
- x=6だけ
- 全ての実数
答えと解説
1≤x≤6
1から6の間は(x−1)+(6−x)=5。左や右の外側では5より大きいので両端を含むこの区間です。
|x−2|<x+4の解はどれですか。
- x<−1
- x≥−1
- x>−1
- −1<x<2
答えと解説
x>−1
x<2では2−x<x+4からx>−1。x≥2では常に成立。合わせてx>−1です。
|x+1|≥0の解はどれですか。
- x≥−1だけ
- 全ての実数
- 解なし
- x=−1だけ
答えと解説
全ての実数
絶対値はどの実数xについても0以上です。
|x−1|=2x−5を場合分けした候補x=2,4の扱いで正しいものはどれですか。
- x=4だけを残す
- x=2だけを残す
- 両方とも残す
- 両方とも除く
答えと解説
x=4だけを残す
x<1の式から得る候補2はその条件を満たさず除く。x≥1から得る4は条件と元の式3=3を満たします。
考え方を説明する
|3x−5|=13を解いてください。境界を求め、実数全体を重ならず漏れなく二つに分けます。各場合の具体式と条件との共通部分、全ての解を実際に書き、元の式への各代入と数直線の点で確かめます。
答えと解説
境界x=5/3。x≥5/3では3x−5=13よりx=6で範囲内。x<5/3では−3x+5=13よりx=−8/3で範囲内。全ての解は−8/3と6。代入は|−8−5|=13、|18−5|=13。数直線で二つの値だけに点を示す。
生徒の両範囲・二つの式・各条件・二つの検算と二点を見ます。
|2x+7|=0を場合分けして解いてください。0になる境界を含む範囲を明記し、各場合から出る候補がその範囲に入るかを確かめます。解の値が一つである理由、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
答えと解説
境界x=−7/2。x≥−7/2では2x+7=0から−7/2が範囲内。x<−7/2では−2x−7=0から同じ候補−7/2となるが、この範囲に入らない。解は−7/2一つ。|2×(−7/2)+7|=0。数直線はその一点だけ。
生徒が境界を落とさず、別の場合からの同じ候補を二つの異なる解としないことを見ます。
|x−4|=2x+1を解いてください。右辺の符号も考え、x−4の符号による各場合の式と条件を実際に書きます。候補を残すか除くかの理由、全ての解と代入、数直線を示します。
答えと解説
右辺は0以上である必要がありx≥−1/2。x≥4ではx−4=2x+1からx=−5となるが範囲外。x<4では−x+4=2x+1からx=1で、x<4かつx≥−1/2を満たす。元で|1−4|=3=2×1+1。解は1だけで、数直線の一点。
生徒の右辺の必要条件・二場合・無効候補の除外・有効な1の検算を見ます。
|x+3|=|2x−3|を解いてください。二つの中の式が0になる境界を求め、三つの範囲を作ります。各範囲の実際の一次方程式と候補の確認、全ての解と各代入、数直線を残します。
答えと解説
境界は−3,3/2。x<−3では−x−3=−2x+3よりx=6だが範囲外。−3≤x<3/2ではx+3=−2x+3よりx=0で範囲内。x≥3/2ではx+3=2x−3よりx=6で範囲内。解は0,6。元で|3|=|−3|、|9|=|9|。数直線に0と6の二点。
生徒の両境界・三つの符号式・各共通部分と二つの元の検算を見ます。
|5x−4|<11を解いてください。中の式の符号で二つに分け、各場合の不等式と条件の共通部分、合わせた全ての解を実際に書きます。端点を含むか、内側・外側の自分の確認値も使って調べ、数直線を描きます。
答えと解説
境界4/5。x≥4/5では5x−4<11よりx<3、共通部分は4/5≤x<3。x<4/5では−5x+4<11よりx>−7/5、共通部分は−7/5<x<4/5。合わせて−7/5<x<3。両端で絶対値11なので含めない。確認例x=0は4<11、x=4は16<11でない。数直線は両端を除く内側の区間。
生徒の二場合と併合・両端の扱いを根拠にし、少数の確認値だけを全範囲の証明としない。
|2x+3|≥9を解いてください。各場合の符号式と条件の共通部分、二つの範囲を合わせた解を実際に書きます。境界となる解を代入し、端点と内側・外側の区別を数直線で説明します。
答えと解説
中の式の境界は−3/2。x≥−3/2では2x+3≥9よりx≥3。x<−3/2では−2x−3≥9よりx≤−6。合わせてx≤−6またはx≥3。x=−6,3で絶対値は9なので両端を含める。x=0では3で不成立、x=−7では11で成立。数直線は−6以下と3以上の二つの外側。
生徒の負数で割る向き・各範囲・二本の外側と閉じた端点を見ます。
実数xについて、|x−2|=−4、|x−2|>−4、|x−2|≤−4、|x−2|≤0、|x−2|>0の五つを調べてください。絶対値の値の範囲と0になる条件を根拠に、それぞれ全ての解を述べ、数直線では何を示すか説明します。不必要に同じ数値計算を繰り返す代わりに、選ぶ理由を示します。
答えと解説
常に|x−2|≥0であり0>−4。=−4と≤−4の解はない。>−4は全ての実数が解。|x−2|≤0はx−2=0のx=2だけ。|x−2|>0はx≠2の全ての実数。数直線は順に解なし、直線全体、解なし、2の一点、2だけを除いた直線全体です。最後は2に開いた点を示し、両側を解とします。
生徒の五つの結論、0以上と0になる条件、解なし・全実数・一点・一点以外の違いと数直線を見ます。
|x−1|+|x−7|<10を解いてください。二つの境界で三つの範囲を分け、各範囲の全ての項を外した式を書きます。条件との共通部分、併合した解、二つの境界1,7と解の端点の扱いを、数直線と元の式で確かめます。
答えと解説
x<1では1−x+7−x=8−2x<10からx>−1、共通部分−1<x<1。1≤x<7ではx−1+7−x=6<10でこの範囲全て。x≥7ではx−1+x−7=2x−8<10からx<9、共通部分7≤x<9。合わせて−1<x<9。1,7で和6なので含み、−1,9では和10なので含めない。数直線は−1と9を除く内側。
生徒の三つの式・符号・負数で割る向き・境界を含む併合と端点の検算を見ます。
ある人は|x−3|=x+5を「x−3=x+5、よって解なし」としました。どの範囲を落としたかを説明し、両方の場合を使って解答全体を直してください。各条件に戻した全ての解、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
答えと解説
x≥3ではx−3=x+5となり−3=5で解なしだが、x<3を調べていない。x<3では−x+3=x+5より−2x=2、x=−1で範囲内。元で|−1−3|=4=−1+5。全ての解は−1一つ。数直線は−1の一点。
生徒の欠落した範囲・完全な二場合への修正・条件内の−1と元の代入を見ます。
整数aを2以上5以下、整数bを1以上4以下、整数cを5以上9以下から一つずつ選び、|ax−b|=cと|ax−b|≤cを自分の数で具体的に作ります。両方を中の式の符号で解き、境界・各場合・全ての解・数直線・端点の元の検算を残してください。一般式だけでなく、自分で選んだ数を使った具体例を示してください。
答えと解説
作例a=4,b=3,c=8。境界3/4。x≥3/4では方程式4x−3=8より11/4、不等式4x−3≤8より3/4≤x≤11/4。x<3/4では方程式−4x+3=8より−5/4、不等式−4x+3≤8より−5/4≤x<3/4。方程式の解は−5/4,11/4、不等式の解は−5/4≤x≤11/4。両端で|4x−3|=8なので含む。数直線は方程式が二点、不等式が両端を含む区間。生徒の条件内の別の三数でも、実際の全ての式と図が正しければ認める。
生徒のa,b,c・二つの具体式・境界・各条件・方程式と不等式の違い・両端の検算と数直線を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(1)ア(ア)(エ)・イ(イ)(ウ)、冊子34〜37/PDF46〜49の実数・式の変形・一次不等式の考えを踏まえた独自課題です。絶対値を含む方程式・不等式と数直線の扱いは、現行啓林館の編修趣意書PDF2にも明記されています。文部科学省の細目がこの全ての絶対値の問題を指定したという意味ではありません。既存の具体数の絶対値から、変数の符号で場合を分け解集合を尽くす行為へ進みます。出版社の問題・図や数値は写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/solve-absolute-value-equations-and-inequalities-by-cases/
準備14問は境界・数値・選択の確認です。主課題は生徒の境界と全範囲、各場合で絶対値を外した具体式、条件との共通部分、全ての解と数直線を手動確認します。T1は二解、T2は境界の一解、T3は右辺と場合の条件、T4は二つの境界、T5は内側の開区間、T6は外側の閉じた二範囲、T7は負の右辺と0の右辺、T8は三範囲の和、T9は誤りの全文修正、T10は生徒の係数による方程式と不等式を見ます。同値な別解や数直線の描き方も認め、一般的な手順だけで生徒の解答にしません。
2x−7=0となる境界のxを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x=−2のとき、|3x−8|の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x−5|=9の二つの解のうち、大きい方の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|2x+1|=7の二つの解のうち、小さい方の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|3x−2|<10の解をa<x<bと表します。左の端の数aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|4−x|≤6の解をa≤x≤bと表します。右の端の数bを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x+2|=x+8の解の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x−3|=−2について正しい説明はどれですか。
- 解はx=1
- 絶対値は0以上なので解はない
- 全ての実数が解
- 解はx=5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x<−4の範囲で|x+4|を外した式はどれですか。
- x+4
- x−4
- −x−4
- −x+4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|2x−3|≥5の解はどれですか。
- −1≤x≤4
- −1<x<4
- x<−1またはx>4
- x≤−1またはx≥4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x−1|+|x−6|=5の解はどれですか。
- 1≤x≤6
- x=1だけ
- x=6だけ
- 全ての実数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x−2|<x+4の解はどれですか。
- x<−1
- x≥−1
- x>−1
- −1<x<2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x+1|≥0の解はどれですか。
- x≥−1だけ
- 全ての実数
- 解なし
- x=−1だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
|x−1|=2x−5を場合分けした候補x=2,4の扱いで正しいものはどれですか。
- x=4だけを残す
- x=2だけを残す
- 両方とも残す
- 両方とも除く
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
|3x−5|=13を解いてください。境界を求め、実数全体を重ならず漏れなく二つに分けます。各場合の具体式と条件との共通部分、全ての解を実際に書き、元の式への各代入と数直線の点で確かめます。
|2x+7|=0を場合分けして解いてください。0になる境界を含む範囲を明記し、各場合から出る候補がその範囲に入るかを確かめます。解の値が一つである理由、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
|x−4|=2x+1を解いてください。右辺の符号も考え、x−4の符号による各場合の式と条件を実際に書きます。候補を残すか除くかの理由、全ての解と代入、数直線を示します。
|x+3|=|2x−3|を解いてください。二つの中の式が0になる境界を求め、三つの範囲を作ります。各範囲の実際の一次方程式と候補の確認、全ての解と各代入、数直線を残します。
|5x−4|<11を解いてください。中の式の符号で二つに分け、各場合の不等式と条件の共通部分、合わせた全ての解を実際に書きます。端点を含むか、内側・外側の自分の確認値も使って調べ、数直線を描きます。
|2x+3|≥9を解いてください。各場合の符号式と条件の共通部分、二つの範囲を合わせた解を実際に書きます。境界となる解を代入し、端点と内側・外側の区別を数直線で説明します。
実数xについて、|x−2|=−4、|x−2|>−4、|x−2|≤−4、|x−2|≤0、|x−2|>0の五つを調べてください。絶対値の値の範囲と0になる条件を根拠に、それぞれ全ての解を述べ、数直線では何を示すか説明します。不必要に同じ数値計算を繰り返す代わりに、選ぶ理由を示します。
|x−1|+|x−7|<10を解いてください。二つの境界で三つの範囲を分け、各範囲の全ての項を外した式を書きます。条件との共通部分、併合した解、二つの境界1,7と解の端点の扱いを、数直線と元の式で確かめます。
ある人は|x−3|=x+5を「x−3=x+5、よって解なし」としました。どの範囲を落としたかを説明し、両方の場合を使って解答全体を直してください。各条件に戻した全ての解、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
整数aを2以上5以下、整数bを1以上4以下、整数cを5以上9以下から一つずつ選び、|ax−b|=cと|ax−b|≤cを自分の数で具体的に作ります。両方を中の式の符号で解き、境界・各場合・全ての解・数直線・端点の元の検算を残してください。一般式だけでなく、自分で選んだ数を使った具体例を示してください。
解答: 絶対値の中の式の符号で場合を分け、方程式・不等式の解を尽くす
2x=7よりx=7/2です。
14
中の式は−6−8=−14なので絶対値は14です。
14
x−5=9または−9よりx=14または−4。大きい方は14です。
−4
2x+1=7または−7よりx=3または−4。小さい方は−4です。
−
−10<3x−2<10から−8<3x<12、−8/3<x<4です。
10
−6≤4−x≤6から−2≤x≤10です。
−5
x≥−2ではx+2=x+8で解なし。x<−2では−x−2=x+8からx=−5で、元の式も3=3です。
絶対値は0以上なので解はない
0以上の絶対値が−2に等しくなることはありません。
−x−4
x+4<0なので−(x+4)=−x−4です。
x≤−1またはx≥4
2x−3≤−5または2x−3≥5なので、x≤−1またはx≥4です。
1≤x≤6
1から6の間は(x−1)+(6−x)=5。左や右の外側では5より大きいので両端を含むこの区間です。
x>−1
x<2では2−x<x+4からx>−1。x≥2では常に成立。合わせてx>−1です。
全ての実数
絶対値はどの実数xについても0以上です。
x=4だけを残す
x<1の式から得る候補2はその条件を満たさず除く。x≥1から得る4は条件と元の式3=3を満たします。
記述問題の解答・確認の観点
|3x−5|=13を解いてください。境界を求め、実数全体を重ならず漏れなく二つに分けます。各場合の具体式と条件との共通部分、全ての解を実際に書き、元の式への各代入と数直線の点で確かめます。
境界x=5/3。x≥5/3では3x−5=13よりx=6で範囲内。x<5/3では−3x+5=13よりx=−8/3で範囲内。全ての解は−8/3と6。代入は|−8−5|=13、|18−5|=13。数直線で二つの値だけに点を示す。
生徒の両範囲・二つの式・各条件・二つの検算と二点を見ます。
|2x+7|=0を場合分けして解いてください。0になる境界を含む範囲を明記し、各場合から出る候補がその範囲に入るかを確かめます。解の値が一つである理由、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
境界x=−7/2。x≥−7/2では2x+7=0から−7/2が範囲内。x<−7/2では−2x−7=0から同じ候補−7/2となるが、この範囲に入らない。解は−7/2一つ。|2×(−7/2)+7|=0。数直線はその一点だけ。
生徒が境界を落とさず、別の場合からの同じ候補を二つの異なる解としないことを見ます。
|x−4|=2x+1を解いてください。右辺の符号も考え、x−4の符号による各場合の式と条件を実際に書きます。候補を残すか除くかの理由、全ての解と代入、数直線を示します。
右辺は0以上である必要がありx≥−1/2。x≥4ではx−4=2x+1からx=−5となるが範囲外。x<4では−x+4=2x+1からx=1で、x<4かつx≥−1/2を満たす。元で|1−4|=3=2×1+1。解は1だけで、数直線の一点。
生徒の右辺の必要条件・二場合・無効候補の除外・有効な1の検算を見ます。
|x+3|=|2x−3|を解いてください。二つの中の式が0になる境界を求め、三つの範囲を作ります。各範囲の実際の一次方程式と候補の確認、全ての解と各代入、数直線を残します。
境界は−3,3/2。x<−3では−x−3=−2x+3よりx=6だが範囲外。−3≤x<3/2ではx+3=−2x+3よりx=0で範囲内。x≥3/2ではx+3=2x−3よりx=6で範囲内。解は0,6。元で|3|=|−3|、|9|=|9|。数直線に0と6の二点。
生徒の両境界・三つの符号式・各共通部分と二つの元の検算を見ます。
|5x−4|<11を解いてください。中の式の符号で二つに分け、各場合の不等式と条件の共通部分、合わせた全ての解を実際に書きます。端点を含むか、内側・外側の自分の確認値も使って調べ、数直線を描きます。
境界4/5。x≥4/5では5x−4<11よりx<3、共通部分は4/5≤x<3。x<4/5では−5x+4<11よりx>−7/5、共通部分は−7/5<x<4/5。合わせて−7/5<x<3。両端で絶対値11なので含めない。確認例x=0は4<11、x=4は16<11でない。数直線は両端を除く内側の区間。
生徒の二場合と併合・両端の扱いを根拠にし、少数の確認値だけを全範囲の証明としない。
|2x+3|≥9を解いてください。各場合の符号式と条件の共通部分、二つの範囲を合わせた解を実際に書きます。境界となる解を代入し、端点と内側・外側の区別を数直線で説明します。
中の式の境界は−3/2。x≥−3/2では2x+3≥9よりx≥3。x<−3/2では−2x−3≥9よりx≤−6。合わせてx≤−6またはx≥3。x=−6,3で絶対値は9なので両端を含める。x=0では3で不成立、x=−7では11で成立。数直線は−6以下と3以上の二つの外側。
生徒の負数で割る向き・各範囲・二本の外側と閉じた端点を見ます。
実数xについて、|x−2|=−4、|x−2|>−4、|x−2|≤−4、|x−2|≤0、|x−2|>0の五つを調べてください。絶対値の値の範囲と0になる条件を根拠に、それぞれ全ての解を述べ、数直線では何を示すか説明します。不必要に同じ数値計算を繰り返す代わりに、選ぶ理由を示します。
常に|x−2|≥0であり0>−4。=−4と≤−4の解はない。>−4は全ての実数が解。|x−2|≤0はx−2=0のx=2だけ。|x−2|>0はx≠2の全ての実数。数直線は順に解なし、直線全体、解なし、2の一点、2だけを除いた直線全体です。最後は2に開いた点を示し、両側を解とします。
生徒の五つの結論、0以上と0になる条件、解なし・全実数・一点・一点以外の違いと数直線を見ます。
|x−1|+|x−7|<10を解いてください。二つの境界で三つの範囲を分け、各範囲の全ての項を外した式を書きます。条件との共通部分、併合した解、二つの境界1,7と解の端点の扱いを、数直線と元の式で確かめます。
x<1では1−x+7−x=8−2x<10からx>−1、共通部分−1<x<1。1≤x<7ではx−1+7−x=6<10でこの範囲全て。x≥7ではx−1+x−7=2x−8<10からx<9、共通部分7≤x<9。合わせて−1<x<9。1,7で和6なので含み、−1,9では和10なので含めない。数直線は−1と9を除く内側。
生徒の三つの式・符号・負数で割る向き・境界を含む併合と端点の検算を見ます。
ある人は|x−3|=x+5を「x−3=x+5、よって解なし」としました。どの範囲を落としたかを説明し、両方の場合を使って解答全体を直してください。各条件に戻した全ての解、元の式への代入、数直線を実際に書きます。
x≥3ではx−3=x+5となり−3=5で解なしだが、x<3を調べていない。x<3では−x+3=x+5より−2x=2、x=−1で範囲内。元で|−1−3|=4=−1+5。全ての解は−1一つ。数直線は−1の一点。
生徒の欠落した範囲・完全な二場合への修正・条件内の−1と元の代入を見ます。
整数aを2以上5以下、整数bを1以上4以下、整数cを5以上9以下から一つずつ選び、|ax−b|=cと|ax−b|≤cを自分の数で具体的に作ります。両方を中の式の符号で解き、境界・各場合・全ての解・数直線・端点の元の検算を残してください。一般式だけでなく、自分で選んだ数を使った具体例を示してください。
作例a=4,b=3,c=8。境界3/4。x≥3/4では方程式4x−3=8より11/4、不等式4x−3≤8より3/4≤x≤11/4。x<3/4では方程式−4x+3=8より−5/4、不等式−4x+3≤8より−5/4≤x<3/4。方程式の解は−5/4,11/4、不等式の解は−5/4≤x≤11/4。両端で|4x−3|=8なので含む。数直線は方程式が二点、不等式が両端を含む区間。生徒の条件内の別の三数でも、実際の全ての式と図が正しければ認める。
生徒のa,b,c・二つの具体式・境界・各条件・方程式と不等式の違い・両端の検算と数直線を見ます。