散布図と偏差積から相関係数を求め、解釈の限界を説明する
同じ対象のxとyの組を保ち、散布図と偏差の積から相関を調べます。準備14問と、生徒がすべての点・表・計算と解釈の限界を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(4)ア(ア)(イ)・イ(ア)(イ)、冊子43〜47/PDF55〜59の少数データ・散布図・相関係数と、現行出版社の年間指導計画を踏まえた独自課題です。統計局DataStaRtの直線的関係と因果の限界も確認しています。変換の比較や具体的な曲線・点の例は本教材の活動で、独立した必修細目・固定学年・試験全範囲への対応を主張せず、元の問題や図版を写していません。
解説を読む
二つの数量を別々に並べ替えず、同じ対象の値を対にします。生徒がすべての点を描き、二つの平均からの偏差とその積を計算して、直線的な傾向を表す相関係数を調べます。係数だけで図の形を決めたり、原因や結果を断定したりしません。
必要な予備知識
平均・各データの偏差・分散と非負の標準偏差、座標の順序対、分数と平方根。両変量の分散が正のとき、対応する偏差の積の合計を、二つの偏差の2乗の和の積の正の平方根で割ります。少数の全項を明記し、Σや推測統計を新たな前提にしません。生徒の散布図・表・根号式と理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
- 一つの対象についての(x,y)を一つの点にします。xとyを別々に小さい順へ並べ替えると、元の対応を失います。横軸・縦軸の量、単位、目盛りを示してすべての点を描きます。
- xの平均をm、yの平均をkとし、各点でx−m、y−k、それぞれの2乗と積(x−m)(y−k)を表にします。同じ対象の行を保ちます。
- 両変量の偏差の2乗の和が正のとき、相関係数rは「偏差の積の和÷√(xの偏差の2乗の和×yの偏差の2乗の和)」です。分母は正の平方根で、rは単位を持ちません。
- rは−1以上1以下です。正は右上がり、負は右下がりの直線的な傾向を表し、|r|が1に近いほど直線的な傾向が強いと読みます。符号だけで強さを比べません。
- 両変量の分散が正なら、すべての点が正の傾きの直線上にあるとr=1、負の傾きならr=−1です。係数rは直線の傾きそのものではありません。
- 一方の値が全て同じなら、その偏差の2乗の和は0で分母も0です。このときrを0とせず、この式では定義できないと説明します。
- r=0は直線的な相関がないことを表し、関係全般がない、独立である、とは断定しません。例えば曲線に沿う点の並びは散布図で別に確かめます。
- それぞれの量への平行移動と正の定数倍ではrは変わりません。片方だけを負の定数倍すると符号が反転し、両方を負にすれば元と同じです。0倍は分散0にするので別に扱います。
- 相関が大きくても原因が証明されたとは限りません。別要因・逆方向・対象の選び方など、与えられた事実と未確認の説明を分けます。目立つ点も背景を確認せず自動的に除外しません。
- 全て説明用の架空データです。すべての点を含む計算と、比較のため一部を除いた計算は区別して記録し、実際の調査結果や学習効果として報告しません。
解き方の例
説明用の対(−3,−1),(−1,−3),(1,3),(3,1)では両平均0です。xとyの偏差の2乗の和はいずれも20、偏差の積は3,3,3,3で合計12。r=12/√(20×20)=3/5です。すべての点を散布図へ描いて照合します。
別の説明用の対(0,9),(1,6),(2,3),(3,0)はy=−3x+9上にあります。平均は3/2と9/2、偏差の2乗の和は5と45、偏差の積の合計は−15。r=−15/√225=−1で、直線の傾き−3とは区別します。
よくある間違い
- 二つの量を別々に並べ替え、元の対象の対応を変える。
- 偏差ではなく元の値の積だけで相関係数を求める。
- −0.9より0.6の方が大きいので直線的な傾向も強いとする。
- 分散0で式が定義できない場合をr=0とする。
- r=0から曲線関係もない、独立である、と断定する。
- 高い相関を原因の証明とし、目立つ点を理由なく除く。
考え方を説明する
準備14問は対応・短い計算と解釈の確認です。主課題は生徒の軸・目盛りを示したすべての点の散布図、すべてのxとyの組のデータ・両平均・各偏差・2乗と積の表、分母の条件と具体計算、図へ戻した解釈を手動確認します。T1正、T2負、T3直線と傾き、T4変換、T5曲線と0、T6定数と未定義、T7観測と因果、T8すべての点と除外の比較、T9誤った文章の全文修正、T10生徒の条件と検算を見ます。正しい別解・同値な分数や根号を認め、係数名や最終値だけを主課題の達成にしません。
有理数と選択肢だけを自動採点します。生徒のすべての点の散布図、偏差の積の表、根号式・変換の導出や因果の説明は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。散布図の自動生成・自由グラフや説明の自動採点、回帰・検定・実測・生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値と選択を自動採点します。生徒の散布図・偏差の積の表・根号式と解釈は手動確認です。準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
表のうちx=4に対応するyの値を答えてください。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x 0 2 4 6 y 1 5 3 7 答えと解説
3
番号3の対は(4,3)です。別々に並べ替えません。
表の4組について、xの平均を答えてください。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x 1 3 5 7 y 2 6 4 8 答えと解説
4
(1+3+5+7)/4=4です。
4組の対応する偏差が、xは−3,−1,1,3、yは−3,1,−1,3でした。偏差の積の合計を答えてください。
答えと解説
16
9−1−1+9=16です。同じ番号の偏差を掛けます。
両変量の偏差の2乗の和はそれぞれ20、20、偏差の積の合計は16です。相関係数を答えてください。
答えと解説
分母√(20×20)=20なのでr=16/20=4/5です。
相関係数が−3/5でした。その2乗r²を答えてください。
答えと解説
(−3/5)²=9/25です。rの負の符号と2乗を区別します。
両変量の分散が正でr=3/4のxとyの組のデータを、u=−2x+5、v=3y−7で変換します。uとvの相関係数を答えてください。
答えと解説
−
片方だけが負の倍率なので、偏差の積の符号が反転し分母は正です。rは−3/4になります。
表の4組の相関係数を答えてください。両平均は0と5、両変量の分散は正です。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x -3 -1 1 3 y 9 1 1 9 答えと解説
0
偏差の積は−12,4,−4,12で合計0。正の分母で割ってr=0です。曲線の並びが消えるという意味ではありません。
同じ対象のxとyを散布図にする方法として、元の情報を保つものはどれですか。
- xとyをそれぞれ小さい順に並べて組にする
- yを大きい順へ並べ替え、xの順序は変えない
- 各対象の(x,y)を対応したまま一つの点にする
- 平均値一組だけを描けばすべての点を表したことになる
答えと解説
各対象の(x,y)を対応したまま一つの点にする
元の対応する二つの値を一つの点として全て描きます。
両変量の分散が正のデータAはr=−0.9、Bはr=0.6です。直線的な傾向の強さについて正しいものはどれですか。
- Bの方がrの値が大きいので強い
- Aの方が|r|が1に近いので強い
- Aは負なので直線的な傾向がない
- どちらも相関があるので原因が証明された
答えと解説
Aの方が|r|が1に近いので強い
強さは符号ではなく|r|で比べ、0.9>0.6です。
4組のデータでxが全て8、yは1,3,5,7でした。この式の相関係数をどう扱いますか。
- 必ずr=0とする
- 必ずr=1とする
- 必ずr=−1とする
- xの分散が0なので、この式では定義できない
答えと解説
xの分散が0なので、この式では定義できない
xの各データの偏差が0で分母が0です。定義できない場合を0としません。
異なるxを含むすべての点がy=2x+1上にあります。相関係数と傾きの正しい区別はどれですか。
- 相関係数1、直線の傾き2
- 相関係数2、直線の傾き1
- 相関係数0、直線の傾き2
- 相関係数−1、直線の傾き2
答えと解説
相関係数1、直線の傾き2
正の傾きの直線上なのでr=1です。係数rは傾き2そのものではありません。
分散が正の両変量の相関係数が0でした。いつも正しい読み方はどれですか。
- 二つの量にどんな関係もない
- 二つの量が独立だと証明された
- 直線的な相関が0で、曲線などの形は散布図も見て確かめる
- すべての点が一つの点に重なっている
答えと解説
直線的な相関が0で、曲線などの形は散布図も見て確かめる
r=0は直線的な相関についての値です。関係全般の不存在や独立を断定しません。
架空の観測データで広告時間と売上に高い正の相関がありました。与えられた情報だけからの説明として適切なものはどれですか。
- 広告時間が増えたことだけが売上の原因だと証明された
- 相関は確認できるが、別要因や逆方向も未確認で、因果は断定できない
- 高相関なら別要因はあり得ない
- 相関が正なら全ての対象で同じ売上になる
答えと解説
相関は確認できるが、別要因や逆方向も未確認で、因果は断定できない
来客数や時期、売上予想で広告を増やす可能性などを区別し、観測相関だけでは因果を確定しません。
他の点から目立つ一点がありました。調査や記録の背景がまだ分からない段階で適切なのはどれですか。
- 相関を大きくするため必ず除く
- 必ず誤記として値を書き換える
- 残すと係数が変わるので計算をやめる
- すべての点の結果を残し、背景と除外理由を確認して比較を区別する
答えと解説
すべての点の結果を残し、背景と除外理由を確認して比較を区別する
正しい記録で大切な点か、記録の誤りかは背景確認が必要です。すべての点と比較用の結果を混同しません。
考え方を説明する
説明用の対(−2,−1),(−1,−2),(1,2),(2,1)です。軸・目盛りを示してすべての点の散布図を描き、両平均・各データの偏差・2乗・偏差の積の表から相関係数を求めてください。正の符号と直線的な傾向を、具体的な点と式へ戻して説明します。
答えと解説
両平均0。偏差の2乗の和はいずれも10、偏差の積2,2,2,2の合計8。r=8/√100=4/5。生徒の全4点とすべての行、右上がりの傾向と完全な一直線ではないことを見る。
生徒の散布図と、同じ対象の行を保つ偏差の積の計算を対応させる。
説明用の対(−4,2),(−2,4),(2,−4),(4,−2)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。負の符号と強さを区別し、点の並びとの対応を説明します。
答えと解説
両平均0、両変量の偏差の2乗の和40。偏差の積−8,−8,−8,−8で合計−32、r=−32/40=−4/5。生徒のすべての点・表と、右下がり、|r|=4/5の直線的な傾向を見る。
負の係数を相関がないという意味にせず、符号と絶対値を具体図に戻す。
説明用の対(1,5),(2,8),(4,14),(5,17)です。すべての点の散布図・両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。すべての点を通る直線の式と傾きも確かめ、相関係数と同じものか説明します。
答えと解説
平均x=3,y=11。偏差xは−2,−1,1,2、yは−6,−3,3,6、偏差の2乗の和10,90、偏差の積の和30。r=30/√900=1。すべての点はy=3x+2で傾き3、r=1とは別の量。生徒の各点の代入・表全体を見る。
直線上にあることをすべての点で確かめ、係数の大きさ1と傾き3を区別する。
元の説明用の対(−3,−3),(−1,1),(1,−1),(3,3)を使います。元の表と散布図を作り、次にu=2x+7,v=3y−4、別にw=−2x+7,v=3y−4の二通りをすべての点と偏差表で調べてください。三つの相関係数を計算し、加算・正や負の倍率の影響を実際の積と分母で説明します。
答えと解説
元は両平均0、偏差の2乗の和20,20、偏差の積の和16でr=4/5。uは1,5,9,13で平均7、vは−13,−1,−7,5で平均−4。偏差の2乗の和80,180、偏差の積の和96、分母120、r=4/5。wは13,9,5,1で平均7、偏差の2乗の和80、vとの偏差の積の和−96、r=−4/5。生徒の三図・全対応行と正の分母を見る。
一般公式だけでなく、加算が偏差に残らず、一方の負の倍率で積の符号が反転するすべての行を見ます。
説明用の対(−4,16),(−2,4),(2,4),(4,16)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めます。各点でy=x²を確かめ、r=0から関係全般がないと言えるのか、具体図・式とともに説明してください。
答えと解説
平均x=0,y=10、偏差xは−4,−2,2,4、yは6,−6,−6,6。偏差の2乗の和40,144、積は−24,12,−12,24で合計0、r=0。すべての点はy=x²上のU字形の並びで、直線的相関0から関係なしや独立とは断定できない。生徒のすべての点と照合を見る。
係数0と、すべての点に共通する具体的な曲線関係を同時に示す。
説明用の対(3,−2),(3,0),(3,4),(3,6)です。すべての点の散布図、両平均・各データの偏差・2乗と積の表を作り、相関係数の式の分子と分母を調べてください。「係数は0」とする説明が適切か、0で割る式へ戻して説明します。
答えと解説
平均x=3,y=2、偏差xは全て0、yは−4,−2,2,4、偏差の2乗の和0,40、偏差の積の和0、分母0。この式の相関係数は定義できず、0/0を0としない。すべての点はx=3上で、生徒の表と説明を見る。
偏差の積の和0だけで判断せず、両変量の正の分散という定義条件を見ます。
架空の4店舗の観測で、広告時間xと売れた個数yの対が(1,14),(2,18),(3,22),(4,26)でした。すべての点・偏差表と相関係数を示し、「広告だけが売上を増やした」と断定できるか説明してください。観測できた事実と未確認の因果、考えられる別要因や逆方向を区別し、追加で確かめたい情報を挙げます。実際の販売結果とは扱いません。
答えと解説
平均x=5/2,y=20、偏差の2乗の和5,80、偏差の積の和20、r=1、すべての点はy=4x+10。架空の観測相関は事実設定だが、広告だけの因果は未確認。来客数や時期などの別要因、売上予想で広告を増やす逆方向などを可能性として区別する。生徒のすべての点・表、追加の対象条件や時系列などを見て、追加観測だけで必ず因果証明できるとはしない。
与えられた観測の説明と、まだ確かめていない理由を分ける。
説明用の対(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,0)です。全5点の図と偏差表から相関係数を厳密値で求め、比較として(4,0)を除いた4点も図と表・係数で調べてください。すべての点の結果と比較用の結果を区別し、係数が変わったことだけで除いてよいか、まだ必要な背景確認を説明します。
答えと解説
全5点は平均x=2,y=6/5、偏差の2乗の和10,34/5、偏差の積の和2。r=2/√68=1/√17=√17/17。除いた4点は両平均3/2、偏差の2乗の和5,5、偏差の積の和5、r=1。目立つ(4,0)が誤記か意味ある記録かは未確認。生徒の両図・すべての行と除外理由の未確認を残し、都合のよい係数のための自動除外としない。
同値な根号を認め、すべての点と条件を変えた比較を明記する。
架空のxとyの組のデータAは(−5,25),(−1,1),(1,1),(5,25)、Bは(1,4),(2,6),(3,8),(4,10)です。友達は「Aは相関0だから二つの量に関係はなく独立、Bは相関1だからxがyの原因と証明できた」と言いました。A、Bそれぞれについて、すべての点・偏差表・係数を確かめ、二つの文章を、図と計算から言えること・未確認を含む全文へ直してください。
答えと解説
Aは平均0,13、偏差の2乗の和52,576、偏差の積の和0でr=0だがすべての点y=x²。直線的相関0から関係なしや独立は断定しない。Bは平均5/2,7、偏差の2乗の和5,20、偏差の積の和10でr=1、y=2x+2上にあるが因果は観測値だけでは未確認。生徒の両図・すべての行と二つの全文修正を見る。
友達の意図的な誤りを、教材が正しいと主張した文章と混同しない。
説明用のxとyの組のデータD1={(−2,−2),(−1,1),(1,−1),(2,2)}、D2={(0,5),(2,3),(4,7),(6,9)}、D3={(−4,−2),(−2,4),(2,−4),(4,2)}から一組を選びます。aを−2,1,3、bを−1,4、cを−3,2から選び、u=ax+b,v=cy+5という自分の条件を作ってください。前後のすべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の二表、相関係数を求め、符号と絶対値の扱い・図だけや係数だけでは断定できないことを説明します。
答えと解説
作例D2、a=−2,b=4,c=2なら元は平均3,6、偏差x=−3,−1,1,3、y=−1,−3,1,3、偏差の2乗の和20,20、偏差の積の和16、r=4/5。後は(4,15),(0,11),(−4,19),(−8,23)、平均−2,17、偏差u=6,2,−2,−6、v=−2,−6,2,6、偏差の2乗の和80,80、偏差の積の和−64、r=−4/5。D1は元r=3/5、D3は元r=0。許された36通りの別条件も認め、生徒のすべての点・二表と、曲線の形や因果を係数だけで断定しない説明を見る。
生徒の実際の条件と対応行を示し、公式や講師の作例だけで生徒の計算としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(4)ア(ア)(イ)・イ(ア)(イ)、冊子43〜47/PDF55〜59の少数データ・散布図・相関係数と、現行出版社の年間指導計画を踏まえた独自課題です。統計局DataStaRtの直線的関係と因果の限界も確認しています。変換の比較や具体的な曲線・点の例は本教材の活動で、独立した必修細目・固定学年・試験全範囲への対応を主張せず、元の問題や図版を写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 散布図と偏差積から相関係数を求め、解釈の限界を説明する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/calculate-correlation-and-explain-scatterplot-limits/
準備14問は対応・短い計算と解釈の確認です。主課題は生徒の軸・目盛りを示したすべての点の散布図、すべてのxとyの組のデータ・両平均・各偏差・2乗と積の表、分母の条件と具体計算、図へ戻した解釈を手動確認します。T1正、T2負、T3直線と傾き、T4変換、T5曲線と0、T6定数と未定義、T7観測と因果、T8すべての点と除外の比較、T9誤った文章の全文修正、T10生徒の条件と検算を見ます。正しい別解・同値な分数や根号を認め、係数名や最終値だけを主課題の達成にしません。
表のうちx=4に対応するyの値を答えてください。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x 0 2 4 6 y 1 5 3 7 途中の計算・単位・理由・確認答え:
表の4組について、xの平均を答えてください。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x 1 3 5 7 y 2 6 4 8 途中の計算・単位・理由・確認答え:
4組の対応する偏差が、xは−3,−1,1,3、yは−3,1,−1,3でした。偏差の積の合計を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
両変量の偏差の2乗の和はそれぞれ20、20、偏差の積の合計は16です。相関係数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相関係数が−3/5でした。その2乗r²を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
両変量の分散が正でr=3/4のxとyの組のデータを、u=−2x+5、v=3y−7で変換します。uとvの相関係数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
表の4組の相関係数を答えてください。両平均は0と5、両変量の分散は正です。
同じ番号が同じ対象を表す説明用のxとyの組のデータ 番号 1 2 3 4 x -3 -1 1 3 y 9 1 1 9 途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ対象のxとyを散布図にする方法として、元の情報を保つものはどれですか。
- xとyをそれぞれ小さい順に並べて組にする
- yを大きい順へ並べ替え、xの順序は変えない
- 各対象の(x,y)を対応したまま一つの点にする
- 平均値一組だけを描けばすべての点を表したことになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
両変量の分散が正のデータAはr=−0.9、Bはr=0.6です。直線的な傾向の強さについて正しいものはどれですか。
- Bの方がrの値が大きいので強い
- Aの方が|r|が1に近いので強い
- Aは負なので直線的な傾向がない
- どちらも相関があるので原因が証明された
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4組のデータでxが全て8、yは1,3,5,7でした。この式の相関係数をどう扱いますか。
- 必ずr=0とする
- 必ずr=1とする
- 必ずr=−1とする
- xの分散が0なので、この式では定義できない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なるxを含むすべての点がy=2x+1上にあります。相関係数と傾きの正しい区別はどれですか。
- 相関係数1、直線の傾き2
- 相関係数2、直線の傾き1
- 相関係数0、直線の傾き2
- 相関係数−1、直線の傾き2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
分散が正の両変量の相関係数が0でした。いつも正しい読み方はどれですか。
- 二つの量にどんな関係もない
- 二つの量が独立だと証明された
- 直線的な相関が0で、曲線などの形は散布図も見て確かめる
- すべての点が一つの点に重なっている
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の観測データで広告時間と売上に高い正の相関がありました。与えられた情報だけからの説明として適切なものはどれですか。
- 広告時間が増えたことだけが売上の原因だと証明された
- 相関は確認できるが、別要因や逆方向も未確認で、因果は断定できない
- 高相関なら別要因はあり得ない
- 相関が正なら全ての対象で同じ売上になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
他の点から目立つ一点がありました。調査や記録の背景がまだ分からない段階で適切なのはどれですか。
- 相関を大きくするため必ず除く
- 必ず誤記として値を書き換える
- 残すと係数が変わるので計算をやめる
- すべての点の結果を残し、背景と除外理由を確認して比較を区別する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
説明用の対(−2,−1),(−1,−2),(1,2),(2,1)です。軸・目盛りを示してすべての点の散布図を描き、両平均・各データの偏差・2乗・偏差の積の表から相関係数を求めてください。正の符号と直線的な傾向を、具体的な点と式へ戻して説明します。
説明用の対(−4,2),(−2,4),(2,−4),(4,−2)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。負の符号と強さを区別し、点の並びとの対応を説明します。
説明用の対(1,5),(2,8),(4,14),(5,17)です。すべての点の散布図・両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。すべての点を通る直線の式と傾きも確かめ、相関係数と同じものか説明します。
元の説明用の対(−3,−3),(−1,1),(1,−1),(3,3)を使います。元の表と散布図を作り、次にu=2x+7,v=3y−4、別にw=−2x+7,v=3y−4の二通りをすべての点と偏差表で調べてください。三つの相関係数を計算し、加算・正や負の倍率の影響を実際の積と分母で説明します。
説明用の対(−4,16),(−2,4),(2,4),(4,16)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めます。各点でy=x²を確かめ、r=0から関係全般がないと言えるのか、具体図・式とともに説明してください。
説明用の対(3,−2),(3,0),(3,4),(3,6)です。すべての点の散布図、両平均・各データの偏差・2乗と積の表を作り、相関係数の式の分子と分母を調べてください。「係数は0」とする説明が適切か、0で割る式へ戻して説明します。
架空の4店舗の観測で、広告時間xと売れた個数yの対が(1,14),(2,18),(3,22),(4,26)でした。すべての点・偏差表と相関係数を示し、「広告だけが売上を増やした」と断定できるか説明してください。観測できた事実と未確認の因果、考えられる別要因や逆方向を区別し、追加で確かめたい情報を挙げます。実際の販売結果とは扱いません。
説明用の対(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,0)です。全5点の図と偏差表から相関係数を厳密値で求め、比較として(4,0)を除いた4点も図と表・係数で調べてください。すべての点の結果と比較用の結果を区別し、係数が変わったことだけで除いてよいか、まだ必要な背景確認を説明します。
架空のxとyの組のデータAは(−5,25),(−1,1),(1,1),(5,25)、Bは(1,4),(2,6),(3,8),(4,10)です。友達は「Aは相関0だから二つの量に関係はなく独立、Bは相関1だからxがyの原因と証明できた」と言いました。A、Bそれぞれについて、すべての点・偏差表・係数を確かめ、二つの文章を、図と計算から言えること・未確認を含む全文へ直してください。
説明用のxとyの組のデータD1={(−2,−2),(−1,1),(1,−1),(2,2)}、D2={(0,5),(2,3),(4,7),(6,9)}、D3={(−4,−2),(−2,4),(2,−4),(4,2)}から一組を選びます。aを−2,1,3、bを−1,4、cを−3,2から選び、u=ax+b,v=cy+5という自分の条件を作ってください。前後のすべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の二表、相関係数を求め、符号と絶対値の扱い・図だけや係数だけでは断定できないことを説明します。
解答: 散布図と偏差積から相関係数を求め、解釈の限界を説明する
3
番号3の対は(4,3)です。別々に並べ替えません。
4
(1+3+5+7)/4=4です。
16
9−1−1+9=16です。同じ番号の偏差を掛けます。
分母√(20×20)=20なのでr=16/20=4/5です。
(−3/5)²=9/25です。rの負の符号と2乗を区別します。
−
片方だけが負の倍率なので、偏差の積の符号が反転し分母は正です。rは−3/4になります。
0
偏差の積は−12,4,−4,12で合計0。正の分母で割ってr=0です。曲線の並びが消えるという意味ではありません。
各対象の(x,y)を対応したまま一つの点にする
元の対応する二つの値を一つの点として全て描きます。
Aの方が|r|が1に近いので強い
強さは符号ではなく|r|で比べ、0.9>0.6です。
xの分散が0なので、この式では定義できない
xの各データの偏差が0で分母が0です。定義できない場合を0としません。
相関係数1、直線の傾き2
正の傾きの直線上なのでr=1です。係数rは傾き2そのものではありません。
直線的な相関が0で、曲線などの形は散布図も見て確かめる
r=0は直線的な相関についての値です。関係全般の不存在や独立を断定しません。
相関は確認できるが、別要因や逆方向も未確認で、因果は断定できない
来客数や時期、売上予想で広告を増やす可能性などを区別し、観測相関だけでは因果を確定しません。
すべての点の結果を残し、背景と除外理由を確認して比較を区別する
正しい記録で大切な点か、記録の誤りかは背景確認が必要です。すべての点と比較用の結果を混同しません。
記述問題の解答・確認の観点
説明用の対(−2,−1),(−1,−2),(1,2),(2,1)です。軸・目盛りを示してすべての点の散布図を描き、両平均・各データの偏差・2乗・偏差の積の表から相関係数を求めてください。正の符号と直線的な傾向を、具体的な点と式へ戻して説明します。
両平均0。偏差の2乗の和はいずれも10、偏差の積2,2,2,2の合計8。r=8/√100=4/5。生徒の全4点とすべての行、右上がりの傾向と完全な一直線ではないことを見る。
生徒の散布図と、同じ対象の行を保つ偏差の積の計算を対応させる。
説明用の対(−4,2),(−2,4),(2,−4),(4,−2)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。負の符号と強さを区別し、点の並びとの対応を説明します。
両平均0、両変量の偏差の2乗の和40。偏差の積−8,−8,−8,−8で合計−32、r=−32/40=−4/5。生徒のすべての点・表と、右下がり、|r|=4/5の直線的な傾向を見る。
負の係数を相関がないという意味にせず、符号と絶対値を具体図に戻す。
説明用の対(1,5),(2,8),(4,14),(5,17)です。すべての点の散布図・両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めてください。すべての点を通る直線の式と傾きも確かめ、相関係数と同じものか説明します。
平均x=3,y=11。偏差xは−2,−1,1,2、yは−6,−3,3,6、偏差の2乗の和10,90、偏差の積の和30。r=30/√900=1。すべての点はy=3x+2で傾き3、r=1とは別の量。生徒の各点の代入・表全体を見る。
直線上にあることをすべての点で確かめ、係数の大きさ1と傾き3を区別する。
元の説明用の対(−3,−3),(−1,1),(1,−1),(3,3)を使います。元の表と散布図を作り、次にu=2x+7,v=3y−4、別にw=−2x+7,v=3y−4の二通りをすべての点と偏差表で調べてください。三つの相関係数を計算し、加算・正や負の倍率の影響を実際の積と分母で説明します。
元は両平均0、偏差の2乗の和20,20、偏差の積の和16でr=4/5。uは1,5,9,13で平均7、vは−13,−1,−7,5で平均−4。偏差の2乗の和80,180、偏差の積の和96、分母120、r=4/5。wは13,9,5,1で平均7、偏差の2乗の和80、vとの偏差の積の和−96、r=−4/5。生徒の三図・全対応行と正の分母を見る。
一般公式だけでなく、加算が偏差に残らず、一方の負の倍率で積の符号が反転するすべての行を見ます。
説明用の対(−4,16),(−2,4),(2,4),(4,16)です。すべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の表から相関係数を求めます。各点でy=x²を確かめ、r=0から関係全般がないと言えるのか、具体図・式とともに説明してください。
平均x=0,y=10、偏差xは−4,−2,2,4、yは6,−6,−6,6。偏差の2乗の和40,144、積は−24,12,−12,24で合計0、r=0。すべての点はy=x²上のU字形の並びで、直線的相関0から関係なしや独立とは断定できない。生徒のすべての点と照合を見る。
係数0と、すべての点に共通する具体的な曲線関係を同時に示す。
説明用の対(3,−2),(3,0),(3,4),(3,6)です。すべての点の散布図、両平均・各データの偏差・2乗と積の表を作り、相関係数の式の分子と分母を調べてください。「係数は0」とする説明が適切か、0で割る式へ戻して説明します。
平均x=3,y=2、偏差xは全て0、yは−4,−2,2,4、偏差の2乗の和0,40、偏差の積の和0、分母0。この式の相関係数は定義できず、0/0を0としない。すべての点はx=3上で、生徒の表と説明を見る。
偏差の積の和0だけで判断せず、両変量の正の分散という定義条件を見ます。
架空の4店舗の観測で、広告時間xと売れた個数yの対が(1,14),(2,18),(3,22),(4,26)でした。すべての点・偏差表と相関係数を示し、「広告だけが売上を増やした」と断定できるか説明してください。観測できた事実と未確認の因果、考えられる別要因や逆方向を区別し、追加で確かめたい情報を挙げます。実際の販売結果とは扱いません。
平均x=5/2,y=20、偏差の2乗の和5,80、偏差の積の和20、r=1、すべての点はy=4x+10。架空の観測相関は事実設定だが、広告だけの因果は未確認。来客数や時期などの別要因、売上予想で広告を増やす逆方向などを可能性として区別する。生徒のすべての点・表、追加の対象条件や時系列などを見て、追加観測だけで必ず因果証明できるとはしない。
与えられた観測の説明と、まだ確かめていない理由を分ける。
説明用の対(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,0)です。全5点の図と偏差表から相関係数を厳密値で求め、比較として(4,0)を除いた4点も図と表・係数で調べてください。すべての点の結果と比較用の結果を区別し、係数が変わったことだけで除いてよいか、まだ必要な背景確認を説明します。
全5点は平均x=2,y=6/5、偏差の2乗の和10,34/5、偏差の積の和2。r=2/√68=1/√17=√17/17。除いた4点は両平均3/2、偏差の2乗の和5,5、偏差の積の和5、r=1。目立つ(4,0)が誤記か意味ある記録かは未確認。生徒の両図・すべての行と除外理由の未確認を残し、都合のよい係数のための自動除外としない。
同値な根号を認め、すべての点と条件を変えた比較を明記する。
架空のxとyの組のデータAは(−5,25),(−1,1),(1,1),(5,25)、Bは(1,4),(2,6),(3,8),(4,10)です。友達は「Aは相関0だから二つの量に関係はなく独立、Bは相関1だからxがyの原因と証明できた」と言いました。A、Bそれぞれについて、すべての点・偏差表・係数を確かめ、二つの文章を、図と計算から言えること・未確認を含む全文へ直してください。
Aは平均0,13、偏差の2乗の和52,576、偏差の積の和0でr=0だがすべての点y=x²。直線的相関0から関係なしや独立は断定しない。Bは平均5/2,7、偏差の2乗の和5,20、偏差の積の和10でr=1、y=2x+2上にあるが因果は観測値だけでは未確認。生徒の両図・すべての行と二つの全文修正を見る。
友達の意図的な誤りを、教材が正しいと主張した文章と混同しない。
説明用のxとyの組のデータD1={(−2,−2),(−1,1),(1,−1),(2,2)}、D2={(0,5),(2,3),(4,7),(6,9)}、D3={(−4,−2),(−2,4),(2,−4),(4,2)}から一組を選びます。aを−2,1,3、bを−1,4、cを−3,2から選び、u=ax+b,v=cy+5という自分の条件を作ってください。前後のすべての点を描き、両平均・各データの偏差・2乗と積の二表、相関係数を求め、符号と絶対値の扱い・図だけや係数だけでは断定できないことを説明します。
作例D2、a=−2,b=4,c=2なら元は平均3,6、偏差x=−3,−1,1,3、y=−1,−3,1,3、偏差の2乗の和20,20、偏差の積の和16、r=4/5。後は(4,15),(0,11),(−4,19),(−8,23)、平均−2,17、偏差u=6,2,−2,−6、v=−2,−6,2,6、偏差の2乗の和80,80、偏差の積の和−64、r=−4/5。D1は元r=3/5、D3は元r=0。許された36通りの別条件も認め、生徒のすべての点・二表と、曲線の形や因果を係数だけで断定しない説明を見る。
生徒の実際の条件と対応行を示し、公式や講師の作例だけで生徒の計算としない。