円運動・単振動を力と運動の条件からモデル化する
台の上の円運動と水平ばねの単振動を表す七つの架空の記録で、速度、加速度、復元力を考える14問と六つの記述課題です。
学年・内容の目安 高校「物理」の円運動と単振動の補助教材。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
高等学校「物理」(1)ア(ウ)㋐・㋑「円運動と単振動」のうち、等速円運動と水平ばね振り子の理想モデルを考える補助教材です。
解説を読む
速さが一定でも、速度の向きが変われば加速度があります。円運動の中心と、ばね振り子のつり合いの位置を分けて、速度と力の向きを対応させましょう。
必要な予備知識
運動方程式、力の合成、符号付きの変位、速さと速度の区別を使います。
- 等速円運動で、半径をr、速さをvとすると、角速度の大きさはv/r、向心加速度の大きさはv²/rである。
- 等速円運動の速度は接線方向、加速度と物体に働く合力は中心向きである。
- 水平ばねの理想モデルでは、つり合いの位置からの変位をx、ばね定数をkとすると、ばねの力はF＝−kxである。摩擦を無視すれば、質量mの物体の加速度はa＝−kx/mとなる。
- 摩擦を無視した水平ばねの周期はT＝2π√(m/k)である。端で速さは0、つり合いの位置を通るときに速さは最大になる。
解き方の例
半径2 mの円を速さ6 m/sで動くとき、向心加速度の大きさは6²÷2＝18 m/s²です。
よくある間違い
- 速さが一定なら加速度も0と考える。
- 速度と向心力を同じ向きに描く。
- 変位と復元力に同じ符号を付ける。
観察と考え方を講師と確かめる
基準となる点と正方向を決め、速度、加速度、合力を区別します。計算では使ったモデルの条件を示します。
地面に対して静止した観測者から、理想化した水平面上の円運動と水平ばねを扱います。遠心力や大振幅の単振り子は扱いません。
読む文章・資料
円の右端を通る物体
図の円の中心をOとします。物体は地面から見て水平面上で反時計回りに等速円運動をしています。円の右端Pでは速度は紙面の上向き、中心Oは左側です。
半径と速さが分かる円運動
質量0.5 kgの物体が、水平面で半径2 mの円を速さ4 m/sで動きます。速さは一定です。
同じ速さで曲がり方が違う
同じ質量の台車を使い、速さを両方とも6 m/sに保ちました。走路Aの半径は3 m、走路Bの半径は6 mです。
ばねの左側での力
摩擦を無視できる水平ばねにつないだ質量0.5 kgの物体を調べます。ばね定数は20 N/m、つり合いの位置をx＝0、右を正にします。いま物体はx＝−0.10 mにあります。
変位のグラフを読む
図は摩擦を無視した水平ばねの変位xと時間tです。t＝0秒では右端の+4 cmにあり、1秒でつり合いの位置を左向きに通過し、2秒で左端の−4 cm、3秒でつり合いの位置を右向きに通り、4秒で右端に戻ります。
同じばねで質量を替える
同じばねを使い、質量1 kgの物体と質量4 kgの物体で単振動を比べます。1 kgのときの周期は1.2秒です。摩擦は無視します。
円の向心力とばねの復元力
装置甲は糸につないだ物体を水平面上で等速円運動させます。装置乙は水平ばねにつないだ物体を一直線上で単振動させます。どちらも摩擦を無視します。
練習する
選択問題では答えを一つ選び、数値問題では指定された単位で数だけを入力します。観察の根拠や途中の計算は、記述課題で講師と確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
確認問題・資料・講師と使う課題
資料：円の右端を通る物体
点Pで、物体に働く合力はどちら向きですか。
- 紙面の左向き
- 紙面の上向き
- 紙面の右向き
答えと解説
紙面の左向き
円の中心Oは点Pの左にあります。等速円運動の合力は中心向きです。
資料：円の右端を通る物体
点Pで速さが一定でも加速度があるのはなぜですか。
- 運動する高さが変わるから。
- 速度の向きが変わり続けるから。
- 物体の質量が増えるから。
答えと解説
速度の向きが変わり続けるから。
速度には向きがあります。円を進む間は接線の向きが変わり続けます。
資料：半径と速さが分かる円運動
向心加速度の大きさは何m/s²ですか。
答えと解説
8
4²÷2＝8 m/s²です。
資料：半径と速さが分かる円運動
物体に働く合力の大きさは何Nですか。
答えと解説
4
質量0.5 kgに向心加速度8 m/s²を掛けると4 Nです。
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路Aでの角速度の大きさは何rad/sですか。
答えと解説
2
速さ6 m/sを半径3 mで割ると2 rad/sです。
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路Aの向心加速度は、走路Bの何倍ですか。
答えと解説
2
速さが同じなので、半径が半分のAでは向心加速度がBの二倍です。
資料：ばねの左側での力
右を正として、ばねが物体に加える力は何Nですか。
答えと解説
2
−kx＝−20×(−0.10)＝+2 Nです。正の値なので右向きです。
資料：ばねの左側での力
右を正として、物体の加速度は何m/s²ですか。
答えと解説
4
力+2 Nを質量0.5 kgで割ると+4 m/s²です。
資料：変位のグラフを読む
2秒のときの速さと加速度を表すのはどれですか。
- 速さは最大で、加速度は右向き。
- 速さは0で、加速度は左向き。
- 速さは0で、加速度は右向き。
答えと解説
速さは0で、加速度は右向き。
2秒では左端で折り返すので速さは0です。ばねの力と加速度は、つり合いの位置へ向かう右向きです。
資料：変位のグラフを読む
この単振動の周期は何秒ですか。
答えと解説
4
右端から出発して同じ状態に戻るまでに4秒かかります。
資料：同じばねで質量を替える
4 kgの物体の周期は何秒ですか。
答えと解説
2.4
同じばねなら周期は質量の平方根に比例します。質量が四倍なので周期は二倍の2.4秒です。
資料：同じばねで質量を替える
二つの物体をつり合いの位置から同じ0.10 mだけ右にずらすと、ばねの力の大きさはどうなりますか。
- 二つの物体で等しい。
- 4 kgの物体で四倍になる。
- 1 kgの物体で四倍になる。
答えと解説
二つの物体で等しい。
ばね定数と変位が同じなので、ばねの力の大きさは質量によらず等しいです。
資料：円の向心力とばねの復元力
二つの装置で加速度の向きを正しく表したものはどれですか。
- 甲は接線方向。乙では端の側へ向かう。
- 甲は円の中心向き。乙では変位と逆向き。
- 甲は円の外向き。乙では物体が動く方を向く。
答えと解説
甲は円の中心向き。乙では変位と逆向き。
甲の加速度は円の中心向きです。乙では変位が0でないとき、復元力と加速度はつり合いの位置に向きます。
資料：円の向心力とばねの復元力
同じ装置で運動を続ける間の速さを比べたものはどれですか。
- 甲の速さは変化し、乙の速さは一定。
- 甲の速さも乙の速さも一定。
- 甲の速さは一定で、乙の速さは変化する。
答えと解説
甲の速さは一定で、乙の速さは変化する。
甲は等速円運動です。乙は端では速さ0、つり合いの位置では最大です。
観察と考え方を講師と確かめる
資料：円の右端を通る物体
点Pで速度と加速度の矢印を付けるとしたら、それぞれをどちらへ向けるか説明しましょう。
答えと解説
速度は円の接線に沿って紙面の上向きです。加速度は円の中心Oを向くので紙面の左向きです。
速さ一定でも、速度の向きは変わります。
- 速度は点Pで円の接線に沿い、紙面の上を向くと示す。
- 加速度は中心Oへ向かい、紙面の左を向くと示す。
資料：半径と速さが分かる円運動
向心加速度と合力を計算し、合力の向きも示しましょう。
答えと解説
向心加速度は4²÷2＝8 m/s²です。合力は0.5×8＝4 Nで、円の中心に向かいます。
加速度に質量を掛けると合力になります。
- 速さの二乗を半径で割り、向心加速度を8 m/s²と求める。
- 質量0.5 kgを掛けて合力を4 Nと求め、中心向きと示す。
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路AとBの向心加速度を比べ、合力の大きさの比も説明しましょう。
答えと解説
Aは6²÷3＝12 m/s²、Bは6²÷6＝6 m/s²です。Aの向心加速度はBの二倍で、同じ質量なので合力の大きさも二倍です。
比を取るときに速さと質量が同じことを使います。
- 速さと半径から向心加速度をAは12 m/s²、Bは6 m/s²と求める。
- 質量が同じなので、Aの合力の大きさはBの二倍と示す。
資料：ばねの左側での力
変位とばねの力の符号が逆になる理由を、物体の位置を使って説明しましょう。
答えと解説
物体はつり合いの位置より左にあるため変位は負です。ばねは物体をつり合いの位置に戻す右向きの力を加えるので、力は正です。
変位は位置を、力の符号は力の向きを表します。
- 物体がつり合いの位置より左にあり、変位は負だと示す。
- ばねの力はつり合いの位置へ向かう右向きなので、力は正と示す。
資料：変位のグラフを読む
1秒と2秒の速さと加速度を、グラフ上の位置から比べましょう。
答えと解説
1秒ではつり合いの位置を通るので速さは最大、加速度は0です。2秒では左端なので速さは0、加速度はつり合いの位置への右向きです。
ばねの力が0になる位置と、速さが0になる位置は異なります。
- 1秒ではつり合いの位置を通り、速さは最大、加速度は0と示す。
- 2秒では左端で速さは0、加速度はつり合いの位置への右向きと示す。
資料：同じばねで質量を替える
同じばねで質量が四倍になったとき、周期が何倍になるか説明しましょう。
答えと解説
周期T＝2π√(m/k)のばね定数kは同じです。質量mが四倍になると√mは二倍なので、周期は1.2秒から2.4秒に変わります。
質量にそのまま比例する場合と区別します。
- ばね定数が一定なら、周期は質量の平方根に比例すると示す。
- 質量が四倍で周期は二倍になるので、1.2秒から2.4秒になると示す。
ワークシート
学習内容と参考資料
授業・宿題・次の記録につなげる
観察や測定の結果をもとに、生徒が何を根拠に考えたかを一緒に確かめましょう。印刷する場合は、生徒用には解答を付けず、講師用には解答と記述課題の評価の目安を付けます。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 円運動・単振動を力と運動の条件からモデル化する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/model-circular-motion-and-oscillation-from-forces/
基準となる点と正方向を決め、速度、加速度、合力を区別します。計算では使ったモデルの条件を示します。
読む文章・資料
円の右端を通る物体
図の円の中心をOとします。物体は地面から見て水平面上で反時計回りに等速円運動をしています。円の右端Pでは速度は紙面の上向き、中心Oは左側です。
半径と速さが分かる円運動
質量0.5 kgの物体が、水平面で半径2 mの円を速さ4 m/sで動きます。速さは一定です。
同じ速さで曲がり方が違う
同じ質量の台車を使い、速さを両方とも6 m/sに保ちました。走路Aの半径は3 m、走路Bの半径は6 mです。
ばねの左側での力
摩擦を無視できる水平ばねにつないだ質量0.5 kgの物体を調べます。ばね定数は20 N/m、つり合いの位置をx＝0、右を正にします。いま物体はx＝−0.10 mにあります。
変位のグラフを読む
図は摩擦を無視した水平ばねの変位xと時間tです。t＝0秒では右端の+4 cmにあり、1秒でつり合いの位置を左向きに通過し、2秒で左端の−4 cm、3秒でつり合いの位置を右向きに通り、4秒で右端に戻ります。
同じばねで質量を替える
同じばねを使い、質量1 kgの物体と質量4 kgの物体で単振動を比べます。1 kgのときの周期は1.2秒です。摩擦は無視します。
円の向心力とばねの復元力
装置甲は糸につないだ物体を水平面上で等速円運動させます。装置乙は水平ばねにつないだ物体を一直線上で単振動させます。どちらも摩擦を無視します。
資料：円の右端を通る物体
点Pで、物体に働く合力はどちら向きですか。
- 紙面の左向き
- 紙面の上向き
- 紙面の右向き
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：円の右端を通る物体
点Pで速さが一定でも加速度があるのはなぜですか。
- 運動する高さが変わるから。
- 速度の向きが変わり続けるから。
- 物体の質量が増えるから。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：半径と速さが分かる円運動
向心加速度の大きさは何m/s²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：半径と速さが分かる円運動
物体に働く合力の大きさは何Nですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路Aでの角速度の大きさは何rad/sですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路Aの向心加速度は、走路Bの何倍ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：ばねの左側での力
右を正として、ばねが物体に加える力は何Nですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：ばねの左側での力
右を正として、物体の加速度は何m/s²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：変位のグラフを読む
2秒のときの速さと加速度を表すのはどれですか。
- 速さは最大で、加速度は右向き。
- 速さは0で、加速度は左向き。
- 速さは0で、加速度は右向き。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：変位のグラフを読む
この単振動の周期は何秒ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：同じばねで質量を替える
4 kgの物体の周期は何秒ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：同じばねで質量を替える
二つの物体をつり合いの位置から同じ0.10 mだけ右にずらすと、ばねの力の大きさはどうなりますか。
- 二つの物体で等しい。
- 4 kgの物体で四倍になる。
- 1 kgの物体で四倍になる。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：円の向心力とばねの復元力
二つの装置で加速度の向きを正しく表したものはどれですか。
- 甲は接線方向。乙では端の側へ向かう。
- 甲は円の中心向き。乙では変位と逆向き。
- 甲は円の外向き。乙では物体が動く方を向く。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
資料：円の向心力とばねの復元力
同じ装置で運動を続ける間の速さを比べたものはどれですか。
- 甲の速さは変化し、乙の速さは一定。
- 甲の速さも乙の速さも一定。
- 甲の速さは一定で、乙の速さは変化する。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
観察と考え方を講師と確かめる
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
資料：円の右端を通る物体
点Pで速度と加速度の矢印を付けるとしたら、それぞれをどちらへ向けるか説明しましょう。
資料：半径と速さが分かる円運動
向心加速度と合力を計算し、合力の向きも示しましょう。
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路AとBの向心加速度を比べ、合力の大きさの比も説明しましょう。
資料：ばねの左側での力
変位とばねの力の符号が逆になる理由を、物体の位置を使って説明しましょう。
資料：変位のグラフを読む
1秒と2秒の速さと加速度を、グラフ上の位置から比べましょう。
資料：同じばねで質量を替える
同じばねで質量が四倍になったとき、周期が何倍になるか説明しましょう。
解答: 円運動・単振動を力と運動の条件からモデル化する
紙面の左向き
円の中心Oは点Pの左にあります。等速円運動の合力は中心向きです。
速度の向きが変わり続けるから。
速度には向きがあります。円を進む間は接線の向きが変わり続けます。
8
4²÷2＝8 m/s²です。
4
質量0.5 kgに向心加速度8 m/s²を掛けると4 Nです。
2
速さ6 m/sを半径3 mで割ると2 rad/sです。
2
速さが同じなので、半径が半分のAでは向心加速度がBの二倍です。
2
−kx＝−20×(−0.10)＝+2 Nです。正の値なので右向きです。
4
力+2 Nを質量0.5 kgで割ると+4 m/s²です。
速さは0で、加速度は右向き。
2秒では左端で折り返すので速さは0です。ばねの力と加速度は、つり合いの位置へ向かう右向きです。
4
右端から出発して同じ状態に戻るまでに4秒かかります。
2.4
同じばねなら周期は質量の平方根に比例します。質量が四倍なので周期は二倍の2.4秒です。
二つの物体で等しい。
ばね定数と変位が同じなので、ばねの力の大きさは質量によらず等しいです。
甲は円の中心向き。乙では変位と逆向き。
甲の加速度は円の中心向きです。乙では変位が0でないとき、復元力と加速度はつり合いの位置に向きます。
甲の速さは一定で、乙の速さは変化する。
甲は等速円運動です。乙は端では速さ0、つり合いの位置では最大です。
記述問題の解答・確認の観点
資料：円の右端を通る物体
点Pで速度と加速度の矢印を付けるとしたら、それぞれをどちらへ向けるか説明しましょう。
速度は円の接線に沿って紙面の上向きです。加速度は円の中心Oを向くので紙面の左向きです。
速さ一定でも、速度の向きは変わります。
- 速度は点Pで円の接線に沿い、紙面の上を向くと示す。
- 加速度は中心Oへ向かい、紙面の左を向くと示す。
資料：半径と速さが分かる円運動
向心加速度と合力を計算し、合力の向きも示しましょう。
向心加速度は4²÷2＝8 m/s²です。合力は0.5×8＝4 Nで、円の中心に向かいます。
加速度に質量を掛けると合力になります。
- 速さの二乗を半径で割り、向心加速度を8 m/s²と求める。
- 質量0.5 kgを掛けて合力を4 Nと求め、中心向きと示す。
資料：同じ速さで曲がり方が違う
走路AとBの向心加速度を比べ、合力の大きさの比も説明しましょう。
Aは6²÷3＝12 m/s²、Bは6²÷6＝6 m/s²です。Aの向心加速度はBの二倍で、同じ質量なので合力の大きさも二倍です。
比を取るときに速さと質量が同じことを使います。
- 速さと半径から向心加速度をAは12 m/s²、Bは6 m/s²と求める。
- 質量が同じなので、Aの合力の大きさはBの二倍と示す。
資料：ばねの左側での力
変位とばねの力の符号が逆になる理由を、物体の位置を使って説明しましょう。
物体はつり合いの位置より左にあるため変位は負です。ばねは物体をつり合いの位置に戻す右向きの力を加えるので、力は正です。
変位は位置を、力の符号は力の向きを表します。
- 物体がつり合いの位置より左にあり、変位は負だと示す。
- ばねの力はつり合いの位置へ向かう右向きなので、力は正と示す。
資料：変位のグラフを読む
1秒と2秒の速さと加速度を、グラフ上の位置から比べましょう。
1秒ではつり合いの位置を通るので速さは最大、加速度は0です。2秒では左端なので速さは0、加速度はつり合いの位置への右向きです。
ばねの力が0になる位置と、速さが0になる位置は異なります。
- 1秒ではつり合いの位置を通り、速さは最大、加速度は0と示す。
- 2秒では左端で速さは0、加速度はつり合いの位置への右向きと示す。
資料：同じばねで質量を替える
同じばねで質量が四倍になったとき、周期が何倍になるか説明しましょう。
周期T＝2π√(m/k)のばね定数kは同じです。質量mが四倍になると√mは二倍なので、周期は1.2秒から2.4秒に変わります。
質量にそのまま比例する場合と区別します。
- ばね定数が一定なら、周期は質量の平方根に比例すると示す。
- 質量が四倍で周期は二倍になるので、1.2秒から2.4秒になると示す。