中2 数学：正三角形を補って考える図形の証明の練習問題
自分で正三角形を付け加え、等しい辺と60°を別の三角形の合同や一直線の関係へつなぎます。準備の数値14問と、作図した補助図形・証明全体を残す10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)イ(ア)、冊子114〜115/PDF118〜119の、三角形の合同条件などを基に図形の性質を論証し、新たな関係を見いだす学習に沿う補助図形の作図例です。正三角形を加えると得られる辺の等しさと60°を、実際の二辺の間の角へ組み直します。正三角形の性質や標準的な証明法そのものを、新しい定理として扱うものではありません。
解説を読む
主課題10題では、元の図に正三角形を自分で作り加え、作図によって得た等しい辺と60°を、求める辺・角・中点などの新たな関係へ結び付けます。内側や外側という見た目だけでなく、どの直線のどちら側に点を置くかを守って図を作ります。14問の数値確認は準備だけで、作図や証明を完成したことにはなりません。主課題は生徒の図と証明全体を講師が確認します。
必要な予備知識
三角形の合同条件と対応、内角の和、一直線の角、二等辺三角形の底角定理と逆、正三角形の辺と60°、中点。正方形・長方形の直角と対辺の等しさを用います。定規・コンパスや必要に応じて分度器、紙や授業用ボードを用意します。
- 正三角形は三つの辺が等しく、三つの角は60°です。元の条件と、付け加えた作図から得た条件を分けて書きます。
- 「辺ABを一辺として作る」だけでは、どちら側の正三角形かが二通りあります。点Cと同じ側、反対側という条件は、直線ABを境にした半平面で確かめます。三角形の内部に入るとは限りません。
- 合同で比べる三角形の二辺の間の角が60°とは限りません。正三角形の60°と元の角を足したり引いたりし、その角の位置と式を示します。
- 三つの等しさと各根拠、対応順、合同条件を示し、合同のあと求める辺や角へ結び付けます。新たな一直線や中点を示す場合も、その根拠を全部つなぎます。
- 同じ側と反対側を変えると、角の和が差に変わったり、別の結論になったりします。図を測って等しそうなことを、証明の仮定に加えません。
- 誤った証明を直す課題は、間違いの指摘だけで終えません。自分の図で正しい証明全体に直し、条件を変えた主張には、反例や矛盾の根拠を示します。三角比や三平方の定理を使う必要はありません。
解き方の例
線分ABの中点をMとし、AM=MB=4cmとします。AM、MBを一辺とする正三角形AMC、BMDを直線ABの同じ側に作ると、MC=MD=4cm。∠CMB=180°−60°=120°、∠DMB=60°なので∠CMD=60°です。△CMDの残りの二角も60°となり、CD=MC=4cmです。二つの補助図形から、別の正三角形を導きました。
△ABCで∠BAC=28°とし、ABを一辺とする正三角形ABD、ACを一辺とする正三角形ACEを、どちらも元の三角形と反対の側へ作ります。AD=AB、AC=AEで、比べる∠DACと∠BAEはどちらも60°＋28°=88°。△DAC≡△BAEとなり、DC=BEを導けます。比べる角は正三角形の60°そのものではありません。
よくある間違い
- 作る正三角形を、指定された直線の反対側でなく同じ側へ置いてしまう。
- 比べる三角形の間の角を、位置を確かめずどちらも60°とする。
- 元の角と60°を足す配置なのに引く、または差を使う配置で足す。
- 求める辺の等しさを先に仮定に加えて、合同を示したとする。
- 一直線に並ぶという結論を示す前に、その三点を一つの三角形として内角の和に用いる。
- 正方形で導けた角の値を、辺の比の異なる長方形でも同じだと決め付ける。
考え方を説明する
準備14問は数値だけを自動採点します。主課題10題はすべて生徒が作図した補助図形と、仮定から結論までの証明全体を講師が確認します。点を置く側、作図から得た等しい辺と60°、実際に比べる角の和や差、三角形の対応・合同条件・合同後の結論を見ます。一直線や中点の課題では、角の和180°、点の順序、二つの長さの等しさを結びます。「AB=AC=5cm」の課題と「AB=3cm、BC=6cm」の課題では否定の結論の根拠を、「∠BAC=42°」の課題では誤った角の修正と証明全体を示します。生徒の別の有効な証明・配置・言い回しも認め、数値や条件名だけでは完了にしません。
数値確認の正解は、生徒が正しい側に補助図形を作図し、証明全体を書いたことの判定ではありません。主課題は紙や授業用ボードに生徒の図・仮定・根拠・結論を残して講師が手動で確認します。
練習する
数値欄は準備です。主課題では、生徒が作図した補助図形と証明全体を講師が確認します。作図や証明は自動採点しません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
正三角形ABCでAB=7cmです。ACの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
7
正三角形の三辺は等しいのでAC=AB=7cmです。
正三角形の周は27cmです。一辺の長さを答えてください（cm）。
答えと解説
9
三辺が等しいので27÷3=9cmです。
正三角形の一辺は4.5cmです。周の長さを答えてください（cm）。
答えと解説
13.5
4.5×3=13.5cmです。
正三角形の一つの内角の大きさを答えてください（度）。
答えと解説
60
三つの角が等しく和180°なので180÷3=60°です。
正三角形の内角に一直線上で隣り合う外角を答えてください（度）。
答えと解説
120
180−60=120°です。
重ならず隣り合う35°と60°の二つの角を合わせた角を答えてください（度）。
答えと解説
95
35+60=95°です。比べる角が60°そのものとは限りません。
104°の角の内部を一本の半直線で二つに分け、一方は60°です。もう一方を答えてください（度）。
答えと解説
44
104−60=44°です。
二等辺三角形の頂角は150°です。底角の一つを答えてください（度）。
答えと解説
15
(180−150)÷2=15°です。
二等辺三角形の二つの底角は、それぞれ75°です。頂角を答えてください（度）。
答えと解説
30
180−75−75=30°です。
二等辺三角形の頂角は30°です。底角の一つを答えてください（度）。
答えと解説
75
(180−30)÷2=75°です。
AB=12cm、Mは線分ABの中点です。AMを一辺とする正三角形AMXを作りました。MXの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
6
AM=12÷2=6cm。正三角形よりMX=AM=6cmです。
AM=MB=5cmとし、MBを一辺とする正三角形BMYを作りました。MYの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
5
正三角形よりMY=MB=5cmです。AMの等しさとは別に、作図から得た等しさです。
重ならず隣り合う120°と60°を合わせた角を答えてください（度）。
答えと解説
180
120+60=180°です。二つの外側の半直線は一直線の反対向きになります。
正三角形から得た60°と、元の図の48°が重ならず隣り合います。二つを合わせた角を答えてください（度）。
答えと解説
108
60+48=108°です。
考え方を説明する
△ABCで0°<∠BAC<120°とします。ABを一辺とする正三角形ABDを、DとCが直線ABの反対側にくるように作ります。ACを一辺とする正三角形ACEも、EとBが直線ACの反対側にくるように作ります。自分で作図した補助図形と証明全体で、DC=BEと∠DCA=∠BEAを示してください。元の角と60°をどう組み合わせるかも示します。
答えと解説
α=∠BACとする。正三角形からAD=AB、AC=AE。指定された反対側の配置より∠DAC=60°+α、∠BAE=α+60°で等しく、α<120°なので180°未満。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE、対応する角から∠DCA=∠BEA。求める辺や角を先に仮定にしていない。
生徒の二つの補助図形と各反対側、二辺と実際の間の角60°+α、対応順DAC/BAE、辺と未使用の対応角への二つの結論を確認する。
△ABCで60°<∠BAC<120°とします。正三角形ABDをDとCが直線ABの同じ側に、正三角形ACEをEとBが直線ACの同じ側に作ります。自分の図で二点を置く側を確かめ、DC=BEと∠ADC=∠ABEを全部証明してください。「同じ側」は三角形ABCの内部という意味ではありません。
答えと解説
α=∠BACとする。指定された側の配置では、ADはABから角Aの内部へ60°、AEはACからABの側へ60°の半直線になる。α>60°だから∠DAC=α−60°、∠BAE=α−60°。正三角形からAD=AB、AC=AE。二辺とその間の角より△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE、対応する角から∠ADC=∠ABE。反対側の配置の和と異なり、ここでは差を用いた。
生徒の指定された二つの同じ側、60°<α<120°、差の角の位置、対応順と二つの結論を確認する。図の見た目から和の式を流用しない。
線分ABの中点をMとします。AMを一辺とする正三角形AMC、MBを一辺とする正三角形BMDを、CとDが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。C,M,Dがこの順に一直線上にあり、MがCDの中点になることを全部証明してください。
答えと解説
A,M,Bは一直線上で、∠CMA=60°だから∠CMB=120°。∠BMD=60°で、C,DはABの反対側なので、MBをはさんだ二角の和は180°。したがってMC,MDは反対向きでC,M,Dはこの順に一直線上。正三角形よりMC=AM、MD=MBで、AM=MBだからMC=MD。よってMはCDの中点。
生徒の反対側の二つの正三角形、角の位置と和180°、反対向きの半直線と点の順序、長さの等しさをつないだ中点の証明全体を見る。まだ三角形でないCMDに内角の和を使わない。
線分ABの中点をMとします。正三角形AMC、BMDを、CとDが直線ABの同じ側にくるように自分で作ります。△CMDも正三角形になり、CD=AMとなることを全部証明してください。二つの60°から、どの角が新しく求まるかを示します。
答えと解説
正三角形からMC=AM、MD=MBで、AM=MBよりMC=MD。∠CMB=180°−60°=120°、∠DMB=60°で同じ側だから∠CMD=120°−60°=60°。二等辺三角形CMDの残りの二角も各60°。等しい角に向かい合う辺も等しいのでCD=MC=MD、△CMDは正三角形。MC=AMからCD=AM。
生徒の同じ側の図、角の差で得る新しい60°、等しい二辺と残りの二角、逆を使った第三辺の等しさとCD=AMを見る。三辺の等しさを最初から仮定に足さない。
AB=AC、∠BAC=40°の三角形ABCで、BCを一辺とする正三角形BCDを、DとAが直線BCの反対側にくるように作ります。ADとBCの交点Mは辺BCの途中です。自分で作図した補助図形と証明全体で、ADが角Aと角Dをそれぞれ二等分することを示し、∠BADと∠BDAを求めてください。
答えと解説
△ABDと△ACDでAB=ACは仮定、BD=CDは正三角形、AD=ADは共通。三辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する角より∠BAD=∠CAD、∠BDA=∠CDA。MがBC内部にありADが両角の内側を通るので、角Aの40°は各20°、正三角形の角Dの60°は各30°に分かれる。したがって∠BAD=20°、∠BDA=30°。
生徒の外側の正三角形とADの交点位置、3組の辺がそれぞれ等しいことを示す三つの根拠、二つの対応角、40°と60°の分割を見る。DをAと同じ側に置く別図に変えない。
∠BAC=90°、AB=AC=5cmの三角形ABCを描きます。正三角形ABDはDとCが直線ABの反対側、正三角形ACEはEとBが直線ACの同じ側となるように加えます。この配置で「DC=BE」としてよいでしょうか。自分の図で、比べる二つの間の角を求め、等しいと仮定すると3組の辺がそれぞれ等しくなることを用いて矛盾を導き、結論を示してください。
答えと解説
正三角形よりAD=AB、AC=AE。しかし指定された配置では∠DAC=60°+90°=150°、∠BAE=90°−60°=30°。もしDC=BEなら、三辺がそれぞれ等しいので△DAC≡△BAEとなり、対応するAの角150°と30°が等しいことになって矛盾。よってこの配置ではDC≠BE。二辺だけや、別の配置の結論を流用できない。
生徒が一方だけ同じ側の図を作ること、150°と30°の実際の位置、DC=BEの仮定と3組の辺の等しさから導く矛盾、否定の結論までを見る。三角比や長さの近似測定は要求しない。
△ABCで∠BAC=42°です。DとCが直線ABの反対側になる正三角形ABDと、EとBが直線ACの反対側になる正三角形ACEを作ります。ある人は「AD=AB、AC=AE、∠DAC=∠BAE=60°だから合同、DC=BE」と書きました。自分の図で誤った角の説明を直し、正しい証明全体を書いてください。
答えと解説
等しい二辺は正しいが、比べる二辺の間の角は60°そのものではない。指定された反対側の配置から∠DAC=60°+42°=102°、∠BAE=42°+60°=102°。正三角形によるAD=AB、AC=AEと、この間の角の等しさから△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE。角の値と根拠を直せば結論へ正しくつながる。
生徒の二つの補助図形、60°と実際の間の角102°の違い、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す三つの根拠と対応する辺までの書き直しを見る。意図した誤った説明を、設問そのものの誤りとしない。
正方形ABCDの辺ABを一辺として、正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように作ります。自分の図と証明全体でCE=DEを示し、∠CEDも求めてください。正方形の直角と辺、正三角形の辺と60°を、それぞれどこに用いたかを書きます。
答えと解説
△DAEと△CBEでAD=BCは正方形、AE=BEは正三角形、∠DAE=∠CBE=90°+60°=150°。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり、DE=CE。またAD=AEなので△ADEは頂角150°の二等辺三角形で、∠ADE=15°。正方形の角Dは90°なので∠CDE=90°−15°=75°。CE=DEより∠DCEも75°、内角の和から∠CED=30°。
生徒の正方形の順序と外側の正三角形、150°を間の角とする合同、AD=AEを用いた15°、90°から75°、30°までの証明全体を見ます。
長方形ABCDでAB=3cm、BC=6cmです。正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。CE=DEを証明したあと、「この長方形でも∠CED=30°」という主張を検討してください。30°だと仮定した場合の角と辺の矛盾まで、証明全体を書きます。
答えと解説
△DAEと△CBEでAD=BC=6cm、AE=BE=3cm、∠DAE=∠CBE=150°である。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり、DE=CE。もし∠CED=30°なら、二等辺三角形CDEの底角C,Dは各75°。角CDA=90°より∠ADE=15°。∠DAE=150°なので∠AED=15°となり、等しい角に向かい合うADとAEは等しいはず。しかしAD=6cm、AE=3cmで矛盾。したがって∠CEDは30°ではない。
生徒の3cm×6cmの長方形と外側の正三角形、最初に2組の辺とその間の角の等しさから導く等辺、30°を仮定した15°二つと逆による等辺、6≠3の矛盾を見る。実際の角を三角比で数値化することは要求しない。
自分で元の図と条件を決め、少なくとも一つの正三角形を補助図形として加え、新しい辺や角、一直線、中点などの関係を一つ証明する問題を作ってください。自分の図・仮定・作図から得た条件・根拠・結論を全部残します。前の設問の点名や数値を替えるだけにせず、新たに示す関係も考えます。正三角形の辺が等しい、角が60°という言い直しだけを結論にしません。
答えと解説
例：HJ=HK=5cm、∠JHK=120°の△HJKを作り、HJを一辺とする正三角形HJLをLとKが直線HJの反対側にくるように加える。∠LHJ+∠JHK=60°+120°=180°なのでL,H,Kはこの順に一直線上。HL=HJ=HK=5cmなのでHはLKの中点。新たな一直線と中点を導いた。生徒の別の成立する構成や新しい結論も、根拠が通れば認める。
生徒が決めた元の図と補助図形、置く側、作図から得る条件と元の仮定、結論が元の正三角形の事実の単なる言い直しでないこと、循環のない証明全体を見る。一直線が結論なら、その三点で三角形の内角の和を使わない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)イ(ア)、冊子114〜115/PDF118〜119の、三角形の合同条件などを基に図形の性質を論証し、新たな関係を見いだす学習に沿う補助図形の作図例です。正三角形を加えると得られる辺の等しさと60°を、実際の二辺の間の角へ組み直します。正三角形の性質や標準的な証明法そのものを、新しい定理として扱うものではありません。 · 2026-11-02
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 正三角形を加えた図で、辺と角の関係を証明する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/prove-relations-with-auxiliary-equilateral-triangles/
準備14問は数値だけを自動採点します。主課題10題はすべて生徒が作図した補助図形と、仮定から結論までの証明全体を講師が確認します。点を置く側、作図から得た等しい辺と60°、実際に比べる角の和や差、三角形の対応・合同条件・合同後の結論を見ます。一直線や中点の課題では、角の和180°、点の順序、二つの長さの等しさを結びます。「AB=AC=5cm」の課題と「AB=3cm、BC=6cm」の課題では否定の結論の根拠を、「∠BAC=42°」の課題では誤った角の修正と証明全体を示します。生徒の別の有効な証明・配置・言い回しも認め、数値や条件名だけでは完了にしません。
正三角形ABCでAB=7cmです。ACの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正三角形の周は27cmです。一辺の長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正三角形の一辺は4.5cmです。周の長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正三角形の一つの内角の大きさを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正三角形の内角に一直線上で隣り合う外角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
重ならず隣り合う35°と60°の二つの角を合わせた角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
104°の角の内部を一本の半直線で二つに分け、一方は60°です。もう一方を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二等辺三角形の頂角は150°です。底角の一つを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二等辺三角形の二つの底角は、それぞれ75°です。頂角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二等辺三角形の頂角は30°です。底角の一つを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=12cm、Mは線分ABの中点です。AMを一辺とする正三角形AMXを作りました。MXの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AM=MB=5cmとし、MBを一辺とする正三角形BMYを作りました。MYの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
重ならず隣り合う120°と60°を合わせた角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正三角形から得た60°と、元の図の48°が重ならず隣り合います。二つを合わせた角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
△ABCで0°<∠BAC<120°とします。ABを一辺とする正三角形ABDを、DとCが直線ABの反対側にくるように作ります。ACを一辺とする正三角形ACEも、EとBが直線ACの反対側にくるように作ります。自分で作図した補助図形と証明全体で、DC=BEと∠DCA=∠BEAを示してください。元の角と60°をどう組み合わせるかも示します。
△ABCで60°<∠BAC<120°とします。正三角形ABDをDとCが直線ABの同じ側に、正三角形ACEをEとBが直線ACの同じ側に作ります。自分の図で二点を置く側を確かめ、DC=BEと∠ADC=∠ABEを全部証明してください。「同じ側」は三角形ABCの内部という意味ではありません。
線分ABの中点をMとします。AMを一辺とする正三角形AMC、MBを一辺とする正三角形BMDを、CとDが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。C,M,Dがこの順に一直線上にあり、MがCDの中点になることを全部証明してください。
線分ABの中点をMとします。正三角形AMC、BMDを、CとDが直線ABの同じ側にくるように自分で作ります。△CMDも正三角形になり、CD=AMとなることを全部証明してください。二つの60°から、どの角が新しく求まるかを示します。
AB=AC、∠BAC=40°の三角形ABCで、BCを一辺とする正三角形BCDを、DとAが直線BCの反対側にくるように作ります。ADとBCの交点Mは辺BCの途中です。自分で作図した補助図形と証明全体で、ADが角Aと角Dをそれぞれ二等分することを示し、∠BADと∠BDAを求めてください。
∠BAC=90°、AB=AC=5cmの三角形ABCを描きます。正三角形ABDはDとCが直線ABの反対側、正三角形ACEはEとBが直線ACの同じ側となるように加えます。この配置で「DC=BE」としてよいでしょうか。自分の図で、比べる二つの間の角を求め、等しいと仮定すると3組の辺がそれぞれ等しくなることを用いて矛盾を導き、結論を示してください。
△ABCで∠BAC=42°です。DとCが直線ABの反対側になる正三角形ABDと、EとBが直線ACの反対側になる正三角形ACEを作ります。ある人は「AD=AB、AC=AE、∠DAC=∠BAE=60°だから合同、DC=BE」と書きました。自分の図で誤った角の説明を直し、正しい証明全体を書いてください。
正方形ABCDの辺ABを一辺として、正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように作ります。自分の図と証明全体でCE=DEを示し、∠CEDも求めてください。正方形の直角と辺、正三角形の辺と60°を、それぞれどこに用いたかを書きます。
長方形ABCDでAB=3cm、BC=6cmです。正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。CE=DEを証明したあと、「この長方形でも∠CED=30°」という主張を検討してください。30°だと仮定した場合の角と辺の矛盾まで、証明全体を書きます。
自分で元の図と条件を決め、少なくとも一つの正三角形を補助図形として加え、新しい辺や角、一直線、中点などの関係を一つ証明する問題を作ってください。自分の図・仮定・作図から得た条件・根拠・結論を全部残します。前の設問の点名や数値を替えるだけにせず、新たに示す関係も考えます。正三角形の辺が等しい、角が60°という言い直しだけを結論にしません。
解答: 正三角形を加えた図で、辺と角の関係を証明する
7
正三角形の三辺は等しいのでAC=AB=7cmです。
9
三辺が等しいので27÷3=9cmです。
13.5
4.5×3=13.5cmです。
60
三つの角が等しく和180°なので180÷3=60°です。
120
180−60=120°です。
95
35+60=95°です。比べる角が60°そのものとは限りません。
44
104−60=44°です。
15
(180−150)÷2=15°です。
30
180−75−75=30°です。
75
(180−30)÷2=75°です。
6
AM=12÷2=6cm。正三角形よりMX=AM=6cmです。
5
正三角形よりMY=MB=5cmです。AMの等しさとは別に、作図から得た等しさです。
180
120+60=180°です。二つの外側の半直線は一直線の反対向きになります。
108
60+48=108°です。
記述問題の解答・確認の観点
△ABCで0°<∠BAC<120°とします。ABを一辺とする正三角形ABDを、DとCが直線ABの反対側にくるように作ります。ACを一辺とする正三角形ACEも、EとBが直線ACの反対側にくるように作ります。自分で作図した補助図形と証明全体で、DC=BEと∠DCA=∠BEAを示してください。元の角と60°をどう組み合わせるかも示します。
α=∠BACとする。正三角形からAD=AB、AC=AE。指定された反対側の配置より∠DAC=60°+α、∠BAE=α+60°で等しく、α<120°なので180°未満。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE、対応する角から∠DCA=∠BEA。求める辺や角を先に仮定にしていない。
生徒の二つの補助図形と各反対側、二辺と実際の間の角60°+α、対応順DAC/BAE、辺と未使用の対応角への二つの結論を確認する。
△ABCで60°<∠BAC<120°とします。正三角形ABDをDとCが直線ABの同じ側に、正三角形ACEをEとBが直線ACの同じ側に作ります。自分の図で二点を置く側を確かめ、DC=BEと∠ADC=∠ABEを全部証明してください。「同じ側」は三角形ABCの内部という意味ではありません。
α=∠BACとする。指定された側の配置では、ADはABから角Aの内部へ60°、AEはACからABの側へ60°の半直線になる。α>60°だから∠DAC=α−60°、∠BAE=α−60°。正三角形からAD=AB、AC=AE。二辺とその間の角より△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE、対応する角から∠ADC=∠ABE。反対側の配置の和と異なり、ここでは差を用いた。
生徒の指定された二つの同じ側、60°<α<120°、差の角の位置、対応順と二つの結論を確認する。図の見た目から和の式を流用しない。
線分ABの中点をMとします。AMを一辺とする正三角形AMC、MBを一辺とする正三角形BMDを、CとDが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。C,M,Dがこの順に一直線上にあり、MがCDの中点になることを全部証明してください。
A,M,Bは一直線上で、∠CMA=60°だから∠CMB=120°。∠BMD=60°で、C,DはABの反対側なので、MBをはさんだ二角の和は180°。したがってMC,MDは反対向きでC,M,Dはこの順に一直線上。正三角形よりMC=AM、MD=MBで、AM=MBだからMC=MD。よってMはCDの中点。
生徒の反対側の二つの正三角形、角の位置と和180°、反対向きの半直線と点の順序、長さの等しさをつないだ中点の証明全体を見る。まだ三角形でないCMDに内角の和を使わない。
線分ABの中点をMとします。正三角形AMC、BMDを、CとDが直線ABの同じ側にくるように自分で作ります。△CMDも正三角形になり、CD=AMとなることを全部証明してください。二つの60°から、どの角が新しく求まるかを示します。
正三角形からMC=AM、MD=MBで、AM=MBよりMC=MD。∠CMB=180°−60°=120°、∠DMB=60°で同じ側だから∠CMD=120°−60°=60°。二等辺三角形CMDの残りの二角も各60°。等しい角に向かい合う辺も等しいのでCD=MC=MD、△CMDは正三角形。MC=AMからCD=AM。
生徒の同じ側の図、角の差で得る新しい60°、等しい二辺と残りの二角、逆を使った第三辺の等しさとCD=AMを見る。三辺の等しさを最初から仮定に足さない。
AB=AC、∠BAC=40°の三角形ABCで、BCを一辺とする正三角形BCDを、DとAが直線BCの反対側にくるように作ります。ADとBCの交点Mは辺BCの途中です。自分で作図した補助図形と証明全体で、ADが角Aと角Dをそれぞれ二等分することを示し、∠BADと∠BDAを求めてください。
△ABDと△ACDでAB=ACは仮定、BD=CDは正三角形、AD=ADは共通。三辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する角より∠BAD=∠CAD、∠BDA=∠CDA。MがBC内部にありADが両角の内側を通るので、角Aの40°は各20°、正三角形の角Dの60°は各30°に分かれる。したがって∠BAD=20°、∠BDA=30°。
生徒の外側の正三角形とADの交点位置、3組の辺がそれぞれ等しいことを示す三つの根拠、二つの対応角、40°と60°の分割を見る。DをAと同じ側に置く別図に変えない。
∠BAC=90°、AB=AC=5cmの三角形ABCを描きます。正三角形ABDはDとCが直線ABの反対側、正三角形ACEはEとBが直線ACの同じ側となるように加えます。この配置で「DC=BE」としてよいでしょうか。自分の図で、比べる二つの間の角を求め、等しいと仮定すると3組の辺がそれぞれ等しくなることを用いて矛盾を導き、結論を示してください。
正三角形よりAD=AB、AC=AE。しかし指定された配置では∠DAC=60°+90°=150°、∠BAE=90°−60°=30°。もしDC=BEなら、三辺がそれぞれ等しいので△DAC≡△BAEとなり、対応するAの角150°と30°が等しいことになって矛盾。よってこの配置ではDC≠BE。二辺だけや、別の配置の結論を流用できない。
生徒が一方だけ同じ側の図を作ること、150°と30°の実際の位置、DC=BEの仮定と3組の辺の等しさから導く矛盾、否定の結論までを見る。三角比や長さの近似測定は要求しない。
△ABCで∠BAC=42°です。DとCが直線ABの反対側になる正三角形ABDと、EとBが直線ACの反対側になる正三角形ACEを作ります。ある人は「AD=AB、AC=AE、∠DAC=∠BAE=60°だから合同、DC=BE」と書きました。自分の図で誤った角の説明を直し、正しい証明全体を書いてください。
等しい二辺は正しいが、比べる二辺の間の角は60°そのものではない。指定された反対側の配置から∠DAC=60°+42°=102°、∠BAE=42°+60°=102°。正三角形によるAD=AB、AC=AEと、この間の角の等しさから△DAC≡△BAE。対応する辺からDC=BE。角の値と根拠を直せば結論へ正しくつながる。
生徒の二つの補助図形、60°と実際の間の角102°の違い、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す三つの根拠と対応する辺までの書き直しを見る。意図した誤った説明を、設問そのものの誤りとしない。
正方形ABCDの辺ABを一辺として、正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように作ります。自分の図と証明全体でCE=DEを示し、∠CEDも求めてください。正方形の直角と辺、正三角形の辺と60°を、それぞれどこに用いたかを書きます。
△DAEと△CBEでAD=BCは正方形、AE=BEは正三角形、∠DAE=∠CBE=90°+60°=150°。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり、DE=CE。またAD=AEなので△ADEは頂角150°の二等辺三角形で、∠ADE=15°。正方形の角Dは90°なので∠CDE=90°−15°=75°。CE=DEより∠DCEも75°、内角の和から∠CED=30°。
生徒の正方形の順序と外側の正三角形、150°を間の角とする合同、AD=AEを用いた15°、90°から75°、30°までの証明全体を見ます。
長方形ABCDでAB=3cm、BC=6cmです。正三角形ABEをEとCが直線ABの反対側にくるように自分で作ります。CE=DEを証明したあと、「この長方形でも∠CED=30°」という主張を検討してください。30°だと仮定した場合の角と辺の矛盾まで、証明全体を書きます。
△DAEと△CBEでAD=BC=6cm、AE=BE=3cm、∠DAE=∠CBE=150°である。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり、DE=CE。もし∠CED=30°なら、二等辺三角形CDEの底角C,Dは各75°。角CDA=90°より∠ADE=15°。∠DAE=150°なので∠AED=15°となり、等しい角に向かい合うADとAEは等しいはず。しかしAD=6cm、AE=3cmで矛盾。したがって∠CEDは30°ではない。
生徒の3cm×6cmの長方形と外側の正三角形、最初に2組の辺とその間の角の等しさから導く等辺、30°を仮定した15°二つと逆による等辺、6≠3の矛盾を見る。実際の角を三角比で数値化することは要求しない。
自分で元の図と条件を決め、少なくとも一つの正三角形を補助図形として加え、新しい辺や角、一直線、中点などの関係を一つ証明する問題を作ってください。自分の図・仮定・作図から得た条件・根拠・結論を全部残します。前の設問の点名や数値を替えるだけにせず、新たに示す関係も考えます。正三角形の辺が等しい、角が60°という言い直しだけを結論にしません。
例：HJ=HK=5cm、∠JHK=120°の△HJKを作り、HJを一辺とする正三角形HJLをLとKが直線HJの反対側にくるように加える。∠LHJ+∠JHK=60°+120°=180°なのでL,H,Kはこの順に一直線上。HL=HJ=HK=5cmなのでHはLKの中点。新たな一直線と中点を導いた。生徒の別の成立する構成や新しい結論も、根拠が通れば認める。
生徒が決めた元の図と補助図形、置く側、作図から得る条件と元の仮定、結論が元の正三角形の事実の単なる言い直しでないこと、循環のない証明全体を見る。一直線が結論なら、その三点で三角形の内角の和を使わない。