中2 数学：長方形・ひし形・正方形の関係の練習問題
正方形を長方形とひし形の両方に含め、四つの図形の集合がどう重なるかを説明します。分類の準備14問と、自分の包含図・図形・説明を残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)の内容の取扱い(1)、冊子116/PDF120の、長方形・ひし形・正方形を平行四辺形の特別な形として扱う範囲です。ここでは定義と種類どうしの包含関係を図と言葉で説明します。五つの平行四辺形判定条件の証明や一般の逆の命題の検討は別のテーマです。
解説を読む
ここではA,B,C,Dをその順に結ぶ凸四角形を扱います。長方形は四つの角がすべて直角、ひし形は四辺がすべて等しい四角形です。正方形はその両方の定義を満たします。一つの図形に複数の名前が当てはまるので、名前を排他的な箱に分けません。準備問題は分類の確認だけです。主課題では包含関係の図と具体的な四角形を描き、定義に基づく説明を残します。
必要な予備知識
凸四角形、平行四辺形の定義と基本的性質、二組の対辺がそれぞれ等しければ平行四辺形になる条件、平行線と角。長さ・角の条件を決め、紙や授業用ボードに自分の図を描きます。三平方の定理や三角比は要求しません。
- 平行四辺形は二組の対辺がそれぞれ平行な四角形です。長方形は四つの角がすべて直角、ひし形は四辺がすべて等しく、正方形はその両方を満たします。
- 長方形は二組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形です。ひし形は二組の対辺がそれぞれ等しいので、証明済みの条件から平行四辺形です。
- すべての正方形は長方形であり、ひし形でもあります。正方形を長方形の外や、ひし形の外に置く包含図は正しくありません。
- 長方形とひし形のどちらか一方が、他方全体を含むわけではありません。長方形だがひし形でない例、ひし形だが長方形でない例をそれぞれ作れます。両方に属する部分が正方形です。
- 包含図の外側を平行四辺形とし、その中で長方形とひし形の領域を重ね、共通部分を正方形とする表し方ができます。領域の大きさは図形の個数や割合を表しません。
- 矢印で表すときは、A→Bを「Aに属するすべての図形はBにも属する」と決めます。矢印は図形を動かす手順ではなく、すべての場合に成り立つ関係です。逆向きも成り立つとは限りません。
解き方の例
縦5、横9の長方形を描くと、四つの角は直角で、二組の対辺はそれぞれ平行です。長方形と平行四辺形に属しますが、隣り合う辺の長さ5と9が異なるので、ひし形でも正方形でもありません。包含図では長方形の領域のうち、ひし形との共通部分の外に置きます。
四辺がすべて6で、一つの角が70°のひし形を描くと、対辺はそれぞれ等しいため平行四辺形です。隣り合う角は110°で、直角ではないため長方形でも正方形でもありません。包含図ではひし形の領域のうち、長方形の外に置きます。正方形をこの領域へ置くことはできません。
よくある間違い
- 正方形は長方形やひし形と別の名前だから、どちらにも属さないとする。
- ひし形は斜めに置いた形だけ、長方形は横長だけと、向きや見た目で種類を決める。
- 長方形の中にひし形全体を入れる、またはひし形の中に長方形全体を入れる。
- 長方形とひし形の領域を離して描き、正方形の属する共通部分をなくす。
- 一つの図形の最も限定した名前だけを書いた結果を、当てはまるすべての名前を書いた結果と混同する。
- 具体例が一つあることと、ある種類のすべての図形が別の種類にも属することを混同する。
考え方を説明する
準備14問は当てはまる名前や包含関係を自動採点する足場です。主課題10題は生徒の包含図、具体的な四角形、説明全体を講師が確認します。定義を満たす根拠と、属さない種類の定義を満たさない根拠を分けて示します。具体例を自分で決めて実際に描き、集合のどこに入るかを図に対応させることが必須です。与えた図を選ぶだけ、種類名や矢印だけで完了にしません。生徒の別の正しい例・表現・証明も認めます。
準備の選択得点は、生徒が包含図を作成して説明できたことを示しません。主課題の図形・包含図・根拠は紙や授業用ボードに残し、講師が手動で確認します。
練習する
選択欄は分類の準備です。自分の包含図と説明は講師が確認し、自動で図や説明の妥当性を採点する機能ではありません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
凸四角形の四つの角がすべて直角で、四辺がすべて等しいと分かりました。当てはまる名前を、四つの種類の中からすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形に当てはまるが、ほかの三種類には当てはまらない
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
答えと解説
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
正方形なので、長方形とひし形の両方、そして平行四辺形にも属します。
隣り合う辺が5と9で、四つの角がすべて直角の凸四角形です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
答えと解説
平行四辺形・長方形だけ
長方形と平行四辺形です。隣り合う辺が等しくないので、ひし形と正方形ではありません。
四辺がすべて6で、一つの角が70°の凸四角形です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
答えと解説
平行四辺形・ひし形だけ
ひし形と平行四辺形です。直角でない角をもつため、長方形と正方形ではありません。
平行四辺形で、隣り合う辺が4と7、一つの角が55°です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形だけ
答えと解説
平行四辺形だけ
この四つの中では平行四辺形だけです。内角がすべて直角という条件にも、四辺が等しいという条件にも当てはまりません。
紙に描いた正方形を回して、辺が水平でも垂直でもない向きにしました。長さと角は変えていません。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形とひし形に当てはまるが、回すと長方形と正方形には当てはまらない
答えと解説
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
回しても定義を満たす長さと角は変わらず、四つの名前すべてが当てはまります。
長方形の隣り合う二辺が、ともに7でした。この図形に当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・正方形。直角のある図形はひし形に含まれない
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 隣り合う二辺が等しくても、残りの辺が等しいか分からないので、平行四辺形と長方形に当てはまる
答えと解説
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
長方形の対辺は等しいため四辺とも7で、正方形です。四つの名前すべてが当てはまります。
ひし形の一つの角が90°でした。この図形に当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形とひし形に当てはまるが、一つの角が直角でも残りの角は判断できない
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形・ひし形・長方形。辺の長さが数で分からないので正方形とはいえない
- 平行四辺形だけ
答えと解説
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
ひし形は平行四辺形なので、対角は等しく隣り合う角の和は180°。四つの角すべて90°となり、正方形です。
長方形にも、ひし形にも属する図形全体は、どの種類と一致しますか。
- 平行四辺形全体
- 正方形全体
- 正方形でない長方形全体
- 正方形でないひし形全体
答えと解説
正方形全体
両方の定義、すなわち四つの角すべて直角かつ四辺等長を満たすので、ちょうど正方形全体です。
長方形全体とひし形全体の関係について、正しい説明はどれですか。
- 長方形全体がひし形全体を含む
- ひし形全体が長方形全体を含む
- 共通する図形は一つもない
- どちらも他方全体を含まず、共通部分は正方形全体
答えと解説
どちらも他方全体を含まず、共通部分は正方形全体
5×9の長方形と70°のひし形が、一方が他方全体を含まない根拠になります。正方形は両方に属します。
この四つの種類の間で、すべての場合に成り立つ関係はどれですか。
- すべての平行四辺形は長方形
- すべての長方形は平行四辺形
- すべての長方形は正方形
- すべてのひし形は長方形
答えと解説
すべての長方形は平行四辺形
長方形は二組の対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形です。逆は一般に成り立ちません。
ひし形全体が平行四辺形全体に含まれる理由として、適切なものはどれですか。
- ひし形は必ず四つの角が直角だから
- 二組の対辺がそれぞれ等しいかは分からないが、斜めに見える四角形は平行四辺形だから
- 四辺が等しいので二組の対辺もそれぞれ等しく、証明済みの条件を使えるから
- ひし形は必ず正方形だから
答えと解説
四辺が等しいので二組の対辺もそれぞれ等しく、証明済みの条件を使えるから
二組の対辺がそれぞれ等しければ平行四辺形になる、という既習の条件を使えます。直角は必要ありません。
「長方形全体を、ひし形全体の内側に入れる」という包含図が誤りだと示す例はどれですか。
- 四辺がすべて8の正方形
- 四辺がすべて6で角が70°のひし形
- 隣り合う辺が5と9で、四つの角すべて直角の長方形
- 隣り合う辺が4と7、角が55°の平行四辺形
答えと解説
隣り合う辺が5と9で、四つの角すべて直角の長方形
この長方形はひし形に属さないので、長方形全体がひし形に入るという主張への反例になります。
「平行四辺形なら、必ず長方形かひし形の少なくとも一方に属する」という主張について、正しい説明はどれですか。
- 正しい。対辺が平行なら四辺が等しいか角が直角かのどちらかも満たすので、両方から外れる平行四辺形はない
- 正しくない。隣り合う辺が異なり角が55°の平行四辺形は、どちらにも属さない
- 正しくない。正方形は長方形にもひし形にも属さない
- 正しくない。長方形とひし形の両方に属する図形はない
答えと解説
正しくない。隣り合う辺が異なり角が55°の平行四辺形は、どちらにも属さない
長方形の領域とひし形の領域の外にも、平行四辺形はあります。正方形は逆に両方に属します。
A→Bを「AのすべてがBにも属する」という意味にします。四種類の関係を正しく表したものはどれですか。
- 正方形→長方形→平行四辺形、かつ正方形→ひし形→平行四辺形
- 平行四辺形→長方形→ひし形→正方形
- 長方形→正方形、かつひし形→正方形
- 正方形→長方形→ひし形→平行四辺形
答えと解説
正方形→長方形→平行四辺形、かつ正方形→ひし形→平行四辺形
正方形からは長方形とひし形の両方へ矢印が必要で、どちらも平行四辺形へ含まれます。長方形全体とひし形全体の間には、この意味の矢印を引けません。
考え方を説明する
四つの種類の包含図を自分で描いてください。平行四辺形の領域の中で長方形とひし形がどう重なり、正方形がどこに入るかを示します。さらに「平行四辺形だけ」「長方形だがひし形でない」「ひし形だが長方形でない」「両方に属する」の四領域について、自分で条件を決めた四角形を一つずつ実際に描き、各位置に置いた理由を書きます。
答えと解説
例：平行四辺形を外枠にし、長方形とひし形を重ね、重なりを正方形とする。順に、隣り合う辺4と7・角55°の平行四辺形、5×9の長方形、四辺6・角70°のひし形、辺3の正方形を描く。それぞれ内角がすべて直角か、四辺が等しいかを確かめ、四領域に対応させる。
生徒の包含図と四つの実際の図形、定義の成立・不成立の根拠を確認する。ひし形と長方形を離したり片方全体を他方へ入れたりしない。領域の大きさや個数比は評価しない。
自分で正方形を描き、その向きを変えた図も描いてください。二つの図について、当てはまる四つの名前をすべて書きます。自分の包含図のどこに入るかを示し、向きを変えても分類が変わらない理由を、長さと角の定義で説明します。
答えと解説
例：辺4の正方形を描き、紙上で回した同じ正方形を描く。両方とも四辺4、四つの角すべて90°なので、正方形・長方形・ひし形・平行四辺形に属する。包含図の長方形とひし形の共通部分に置く。回転で長さと角が変わらないことを理由にする。
生徒が描いた二つの向きの正方形と包含図、四つの名前と各定義の根拠を見る。斜めだからひし形だけ、という判定にしない。
自分で辺の長さを決め、長方形だがひし形ではない四角形を描いてください。包含図ではどこに入りますか。長方形・平行四辺形に属する根拠と、ひし形・正方形に属さない根拠を分けて説明します。
答えと解説
例：縦2、横7の長方形を描く。四つの角すべて直角で、向かい合う辺がそれぞれ平行なので長方形と平行四辺形。隣り合う辺2と7が異なるので四辺等長ではなく、ひし形・正方形ではない。包含図の長方形の中、ひし形の外に置く。
生徒の具体的な図と包含図、二つの所属・二つの非所属の根拠を見る。等しくない隣接二辺を、等しくない対辺に置き換えない。
自分で辺の長さと直角でない角を決め、ひし形だが長方形ではない四角形を描いてください。自分の包含図に位置を示し、平行四辺形にも属する理由、長方形・正方形に属さない理由を書きます。
答えと解説
例：四辺が5、一つの角が60°のひし形を描く。四辺等長なのでひし形。二組の対辺もそれぞれ等しく、既習の条件で平行四辺形。60°は直角でないため長方形・正方形ではなく、包含図のひし形の中、長方形の外に置く。
生徒の実際のひし形と包含図、四辺等長の確認、既習条件による平行四辺形への所属、直角でない角による非所属を見る。角度の見た目だけに頼らない。
長方形にもひし形にも属さない平行四辺形を、自分で辺と角の条件を決めて描いてください。自分の包含図にその位置を示します。二種類の領域を合わせても平行四辺形全体にならないことを、この図と定義から説明してください。
答えと解説
例：隣り合う辺3と8、一つの角が65°で、二組の対辺がそれぞれ平行な四角形を描く。65°の角があるため長方形ではなく、隣り合う辺3と8が異なるためひし形でもない。平行四辺形の枠の中で、長方形・ひし形の両方の外に置ける。
生徒の平行四辺形と包含図、平行という条件、直角の不成立と四辺等長の不成立を確認する。二種類のどちらかに必ず入る、としない。
ある人が、平行四辺形の中に長方形、その中にひし形、その中に正方形を入れた一直線の入れ子図を描きました。どの包含が誤りか、自分の四角形の例で示してください。その後、自分で正しい包含図を描き直し、正方形の位置も説明します。
答えと解説
誤りは、ひし形全体を長方形全体の中へ入れた部分。例として四辺が4で角が80°のひし形を自分で描けば、直角でなく長方形ではない。正しくは長方形とひし形を重ねて両方を平行四辺形の中へ置き、共通部分を正方形とする。
生徒が挙げた反例と、その例がひし形の定義を満たし長方形の定義を満たさない根拠、修正した包含図、正方形の位置を見る。元の誤った矢印と別向きの命題を否定して済ませない。
長方形全体とひし形全体の共通部分が、正方形全体とちょうど一致することを説明します。自分の重なり図と、共通部分に入る自分の具体的な四角形を描いてください。「両方に入るなら正方形」と「正方形なら両方に入る」の二方向を、定義から書きます。
答えと解説
両方に入る四角形は、長方形の定義で四つの角すべて直角、ひし形の定義で四辺すべて等しく、正方形。逆に正方形は四つの角すべて直角で四辺すべて等しいので、長方形でもひし形でもある。例として辺6の正方形を生徒が描き、重なりに置く。この例だけで一般の説明を済ませない。
生徒の重なり図と具体例、二方向の定義に基づく一般の説明を確認する。一つの例だけから、共通部分全体の一致を結論しない。
四つの名前のうち一つだけを選ぶ分類と、当てはまる名前を全部付ける分類はどう違いますか。自分で少なくとも三つの四角形を描き、その中に正方形を必ず一つ含めます。各図に当てはまる名前を全部付け、自分の包含図の位置と対応させて、二つの分類方法の違いを説明してください。
答えと解説
例：辺2の正方形、3×8の長方形、四辺7・角50°のひし形を描く。正方形には四つの名前、3×8の長方形には長方形・平行四辺形、50°のひし形にはひし形・平行四辺形を付ける。「最も限定した名前」一つだけなら順に正方形・長方形・ひし形だが、全部の名前を付けると包含に沿って複数になる。生徒の包含図にも対応させる。
生徒の三図以上と包含図、正方形を含むこと、全ての適用可能な名前と、最も限定した一名称との区別を見る。正方形の長方形・ひし形への所属を落とさない。
A→Bを「Aに属するすべての図形はBにも属する」と決め、四種類の関係を自分で矢印図にしてください。次に同じ関係を領域の重なり図でも描きます。自分の正方形を一つ実際に描いて両方に対応させ、正方形から二方向の矢印が必要な理由を説明します。
答えと解説
正方形→長方形→平行四辺形と、正方形→ひし形→平行四辺形の二経路を描く。例えば辺5の正方形を自分で描き、長方形とひし形の両定義を満たすので両方へ矢印を出す。重なり図ではこの正方形を共通部分へ置く。長方形とひし形のどちらか全体が他方へ入る矢印は付けない。
生徒の二種類の関係図と正方形、矢印の意味を保った向き、長方形とひし形の両領域への所属と共通部分の対応を見る。一本の木にするため正方形の片方の所属を消さない。
四つの種類の所属や包含について、誤りだと思う主張を自分で一つ作ります。前の図や数値を写すだけでなく、新しい自分の四角形を描いて、その主張のどこが誤りかを定義で示してください。正しい関係へ書き換え、自分の包含図にもその関係を示します。
答えと解説
例：「辺が斜めに見える正方形は、長方形ではない」という主張を作る。生徒が辺3.5の正方形を回した図を描けば、四つの角は90°のままで長方形の定義を満たし反例になる。「正方形は向きによらず長方形であり、ひし形でもある」と直し、包含図の共通部分に置く。別の種類どうしの有効な主張と新しい例でもよい。
生徒が考えた主張と新しい図、定義に基づく誤りの根拠、修正した一般の関係と包含図を見る。同じ見た目の名前だけを入れ替えた説明で済ませない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)の内容の取扱い(1)、冊子116/PDF120の、長方形・ひし形・正方形を平行四辺形の特別な形として扱う範囲です。ここでは定義と種類どうしの包含関係を図と言葉で説明します。五つの平行四辺形判定条件の証明や一般の逆の命題の検討は別のテーマです。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 長方形・ひし形・正方形の関係を、自分の図で説明する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-inclusive-quadrilateral-families-with-own-diagrams/
準備14問は当てはまる名前や包含関係を自動採点する足場です。主課題10題は生徒の包含図、具体的な四角形、説明全体を講師が確認します。定義を満たす根拠と、属さない種類の定義を満たさない根拠を分けて示します。具体例を自分で決めて実際に描き、集合のどこに入るかを図に対応させることが必須です。与えた図を選ぶだけ、種類名や矢印だけで完了にしません。生徒の別の正しい例・表現・証明も認めます。
凸四角形の四つの角がすべて直角で、四辺がすべて等しいと分かりました。当てはまる名前を、四つの種類の中からすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形に当てはまるが、ほかの三種類には当てはまらない
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
途中の計算・単位・理由・確認答え:
隣り合う辺が5と9で、四つの角がすべて直角の凸四角形です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
途中の計算・単位・理由・確認答え:
四辺がすべて6で、一つの角が70°の凸四角形です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平行四辺形で、隣り合う辺が4と7、一つの角が55°です。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
紙に描いた正方形を回して、辺が水平でも垂直でもない向きにしました。長さと角は変えていません。当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形・長方形だけ
- 平行四辺形だけ
- 平行四辺形とひし形に当てはまるが、回すと長方形と正方形には当てはまらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長方形の隣り合う二辺が、ともに7でした。この図形に当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形・長方形・正方形。直角のある図形はひし形に含まれない
- 平行四辺形・ひし形だけ
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 隣り合う二辺が等しくても、残りの辺が等しいか分からないので、平行四辺形と長方形に当てはまる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ひし形の一つの角が90°でした。この図形に当てはまる名前をすべて挙げたものはどれですか。
- 平行四辺形とひし形に当てはまるが、一つの角が直角でも残りの角は判断できない
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
- 平行四辺形・ひし形・長方形。辺の長さが数で分からないので正方形とはいえない
- 平行四辺形だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長方形にも、ひし形にも属する図形全体は、どの種類と一致しますか。
- 平行四辺形全体
- 正方形全体
- 正方形でない長方形全体
- 正方形でないひし形全体
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長方形全体とひし形全体の関係について、正しい説明はどれですか。
- 長方形全体がひし形全体を含む
- ひし形全体が長方形全体を含む
- 共通する図形は一つもない
- どちらも他方全体を含まず、共通部分は正方形全体
途中の計算・単位・理由・確認答え:
この四つの種類の間で、すべての場合に成り立つ関係はどれですか。
- すべての平行四辺形は長方形
- すべての長方形は平行四辺形
- すべての長方形は正方形
- すべてのひし形は長方形
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ひし形全体が平行四辺形全体に含まれる理由として、適切なものはどれですか。
- ひし形は必ず四つの角が直角だから
- 二組の対辺がそれぞれ等しいかは分からないが、斜めに見える四角形は平行四辺形だから
- 四辺が等しいので二組の対辺もそれぞれ等しく、証明済みの条件を使えるから
- ひし形は必ず正方形だから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「長方形全体を、ひし形全体の内側に入れる」という包含図が誤りだと示す例はどれですか。
- 四辺がすべて8の正方形
- 四辺がすべて6で角が70°のひし形
- 隣り合う辺が5と9で、四つの角すべて直角の長方形
- 隣り合う辺が4と7、角が55°の平行四辺形
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「平行四辺形なら、必ず長方形かひし形の少なくとも一方に属する」という主張について、正しい説明はどれですか。
- 正しい。対辺が平行なら四辺が等しいか角が直角かのどちらかも満たすので、両方から外れる平行四辺形はない
- 正しくない。隣り合う辺が異なり角が55°の平行四辺形は、どちらにも属さない
- 正しくない。正方形は長方形にもひし形にも属さない
- 正しくない。長方形とひし形の両方に属する図形はない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A→Bを「AのすべてがBにも属する」という意味にします。四種類の関係を正しく表したものはどれですか。
- 正方形→長方形→平行四辺形、かつ正方形→ひし形→平行四辺形
- 平行四辺形→長方形→ひし形→正方形
- 長方形→正方形、かつひし形→正方形
- 正方形→長方形→ひし形→平行四辺形
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
四つの種類の包含図を自分で描いてください。平行四辺形の領域の中で長方形とひし形がどう重なり、正方形がどこに入るかを示します。さらに「平行四辺形だけ」「長方形だがひし形でない」「ひし形だが長方形でない」「両方に属する」の四領域について、自分で条件を決めた四角形を一つずつ実際に描き、各位置に置いた理由を書きます。
自分で正方形を描き、その向きを変えた図も描いてください。二つの図について、当てはまる四つの名前をすべて書きます。自分の包含図のどこに入るかを示し、向きを変えても分類が変わらない理由を、長さと角の定義で説明します。
自分で辺の長さを決め、長方形だがひし形ではない四角形を描いてください。包含図ではどこに入りますか。長方形・平行四辺形に属する根拠と、ひし形・正方形に属さない根拠を分けて説明します。
自分で辺の長さと直角でない角を決め、ひし形だが長方形ではない四角形を描いてください。自分の包含図に位置を示し、平行四辺形にも属する理由、長方形・正方形に属さない理由を書きます。
長方形にもひし形にも属さない平行四辺形を、自分で辺と角の条件を決めて描いてください。自分の包含図にその位置を示します。二種類の領域を合わせても平行四辺形全体にならないことを、この図と定義から説明してください。
ある人が、平行四辺形の中に長方形、その中にひし形、その中に正方形を入れた一直線の入れ子図を描きました。どの包含が誤りか、自分の四角形の例で示してください。その後、自分で正しい包含図を描き直し、正方形の位置も説明します。
長方形全体とひし形全体の共通部分が、正方形全体とちょうど一致することを説明します。自分の重なり図と、共通部分に入る自分の具体的な四角形を描いてください。「両方に入るなら正方形」と「正方形なら両方に入る」の二方向を、定義から書きます。
四つの名前のうち一つだけを選ぶ分類と、当てはまる名前を全部付ける分類はどう違いますか。自分で少なくとも三つの四角形を描き、その中に正方形を必ず一つ含めます。各図に当てはまる名前を全部付け、自分の包含図の位置と対応させて、二つの分類方法の違いを説明してください。
A→Bを「Aに属するすべての図形はBにも属する」と決め、四種類の関係を自分で矢印図にしてください。次に同じ関係を領域の重なり図でも描きます。自分の正方形を一つ実際に描いて両方に対応させ、正方形から二方向の矢印が必要な理由を説明します。
四つの種類の所属や包含について、誤りだと思う主張を自分で一つ作ります。前の図や数値を写すだけでなく、新しい自分の四角形を描いて、その主張のどこが誤りかを定義で示してください。正しい関係へ書き換え、自分の包含図にもその関係を示します。
解答: 長方形・ひし形・正方形の関係を、自分の図で説明する
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
正方形なので、長方形とひし形の両方、そして平行四辺形にも属します。
平行四辺形・長方形だけ
長方形と平行四辺形です。隣り合う辺が等しくないので、ひし形と正方形ではありません。
平行四辺形・ひし形だけ
ひし形と平行四辺形です。直角でない角をもつため、長方形と正方形ではありません。
平行四辺形だけ
この四つの中では平行四辺形だけです。内角がすべて直角という条件にも、四辺が等しいという条件にも当てはまりません。
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
回しても定義を満たす長さと角は変わらず、四つの名前すべてが当てはまります。
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
長方形の対辺は等しいため四辺とも7で、正方形です。四つの名前すべてが当てはまります。
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形
ひし形は平行四辺形なので、対角は等しく隣り合う角の和は180°。四つの角すべて90°となり、正方形です。
正方形全体
両方の定義、すなわち四つの角すべて直角かつ四辺等長を満たすので、ちょうど正方形全体です。
どちらも他方全体を含まず、共通部分は正方形全体
5×9の長方形と70°のひし形が、一方が他方全体を含まない根拠になります。正方形は両方に属します。
すべての長方形は平行四辺形
長方形は二組の対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形です。逆は一般に成り立ちません。
四辺が等しいので二組の対辺もそれぞれ等しく、証明済みの条件を使えるから
二組の対辺がそれぞれ等しければ平行四辺形になる、という既習の条件を使えます。直角は必要ありません。
隣り合う辺が5と9で、四つの角すべて直角の長方形
この長方形はひし形に属さないので、長方形全体がひし形に入るという主張への反例になります。
正しくない。隣り合う辺が異なり角が55°の平行四辺形は、どちらにも属さない
長方形の領域とひし形の領域の外にも、平行四辺形はあります。正方形は逆に両方に属します。
正方形→長方形→平行四辺形、かつ正方形→ひし形→平行四辺形
正方形からは長方形とひし形の両方へ矢印が必要で、どちらも平行四辺形へ含まれます。長方形全体とひし形全体の間には、この意味の矢印を引けません。
記述問題の解答・確認の観点
四つの種類の包含図を自分で描いてください。平行四辺形の領域の中で長方形とひし形がどう重なり、正方形がどこに入るかを示します。さらに「平行四辺形だけ」「長方形だがひし形でない」「ひし形だが長方形でない」「両方に属する」の四領域について、自分で条件を決めた四角形を一つずつ実際に描き、各位置に置いた理由を書きます。
例：平行四辺形を外枠にし、長方形とひし形を重ね、重なりを正方形とする。順に、隣り合う辺4と7・角55°の平行四辺形、5×9の長方形、四辺6・角70°のひし形、辺3の正方形を描く。それぞれ内角がすべて直角か、四辺が等しいかを確かめ、四領域に対応させる。
生徒の包含図と四つの実際の図形、定義の成立・不成立の根拠を確認する。ひし形と長方形を離したり片方全体を他方へ入れたりしない。領域の大きさや個数比は評価しない。
自分で正方形を描き、その向きを変えた図も描いてください。二つの図について、当てはまる四つの名前をすべて書きます。自分の包含図のどこに入るかを示し、向きを変えても分類が変わらない理由を、長さと角の定義で説明します。
例：辺4の正方形を描き、紙上で回した同じ正方形を描く。両方とも四辺4、四つの角すべて90°なので、正方形・長方形・ひし形・平行四辺形に属する。包含図の長方形とひし形の共通部分に置く。回転で長さと角が変わらないことを理由にする。
生徒が描いた二つの向きの正方形と包含図、四つの名前と各定義の根拠を見る。斜めだからひし形だけ、という判定にしない。
自分で辺の長さを決め、長方形だがひし形ではない四角形を描いてください。包含図ではどこに入りますか。長方形・平行四辺形に属する根拠と、ひし形・正方形に属さない根拠を分けて説明します。
例：縦2、横7の長方形を描く。四つの角すべて直角で、向かい合う辺がそれぞれ平行なので長方形と平行四辺形。隣り合う辺2と7が異なるので四辺等長ではなく、ひし形・正方形ではない。包含図の長方形の中、ひし形の外に置く。
生徒の具体的な図と包含図、二つの所属・二つの非所属の根拠を見る。等しくない隣接二辺を、等しくない対辺に置き換えない。
自分で辺の長さと直角でない角を決め、ひし形だが長方形ではない四角形を描いてください。自分の包含図に位置を示し、平行四辺形にも属する理由、長方形・正方形に属さない理由を書きます。
例：四辺が5、一つの角が60°のひし形を描く。四辺等長なのでひし形。二組の対辺もそれぞれ等しく、既習の条件で平行四辺形。60°は直角でないため長方形・正方形ではなく、包含図のひし形の中、長方形の外に置く。
生徒の実際のひし形と包含図、四辺等長の確認、既習条件による平行四辺形への所属、直角でない角による非所属を見る。角度の見た目だけに頼らない。
長方形にもひし形にも属さない平行四辺形を、自分で辺と角の条件を決めて描いてください。自分の包含図にその位置を示します。二種類の領域を合わせても平行四辺形全体にならないことを、この図と定義から説明してください。
例：隣り合う辺3と8、一つの角が65°で、二組の対辺がそれぞれ平行な四角形を描く。65°の角があるため長方形ではなく、隣り合う辺3と8が異なるためひし形でもない。平行四辺形の枠の中で、長方形・ひし形の両方の外に置ける。
生徒の平行四辺形と包含図、平行という条件、直角の不成立と四辺等長の不成立を確認する。二種類のどちらかに必ず入る、としない。
ある人が、平行四辺形の中に長方形、その中にひし形、その中に正方形を入れた一直線の入れ子図を描きました。どの包含が誤りか、自分の四角形の例で示してください。その後、自分で正しい包含図を描き直し、正方形の位置も説明します。
誤りは、ひし形全体を長方形全体の中へ入れた部分。例として四辺が4で角が80°のひし形を自分で描けば、直角でなく長方形ではない。正しくは長方形とひし形を重ねて両方を平行四辺形の中へ置き、共通部分を正方形とする。
生徒が挙げた反例と、その例がひし形の定義を満たし長方形の定義を満たさない根拠、修正した包含図、正方形の位置を見る。元の誤った矢印と別向きの命題を否定して済ませない。
長方形全体とひし形全体の共通部分が、正方形全体とちょうど一致することを説明します。自分の重なり図と、共通部分に入る自分の具体的な四角形を描いてください。「両方に入るなら正方形」と「正方形なら両方に入る」の二方向を、定義から書きます。
両方に入る四角形は、長方形の定義で四つの角すべて直角、ひし形の定義で四辺すべて等しく、正方形。逆に正方形は四つの角すべて直角で四辺すべて等しいので、長方形でもひし形でもある。例として辺6の正方形を生徒が描き、重なりに置く。この例だけで一般の説明を済ませない。
生徒の重なり図と具体例、二方向の定義に基づく一般の説明を確認する。一つの例だけから、共通部分全体の一致を結論しない。
四つの名前のうち一つだけを選ぶ分類と、当てはまる名前を全部付ける分類はどう違いますか。自分で少なくとも三つの四角形を描き、その中に正方形を必ず一つ含めます。各図に当てはまる名前を全部付け、自分の包含図の位置と対応させて、二つの分類方法の違いを説明してください。
例：辺2の正方形、3×8の長方形、四辺7・角50°のひし形を描く。正方形には四つの名前、3×8の長方形には長方形・平行四辺形、50°のひし形にはひし形・平行四辺形を付ける。「最も限定した名前」一つだけなら順に正方形・長方形・ひし形だが、全部の名前を付けると包含に沿って複数になる。生徒の包含図にも対応させる。
生徒の三図以上と包含図、正方形を含むこと、全ての適用可能な名前と、最も限定した一名称との区別を見る。正方形の長方形・ひし形への所属を落とさない。
A→Bを「Aに属するすべての図形はBにも属する」と決め、四種類の関係を自分で矢印図にしてください。次に同じ関係を領域の重なり図でも描きます。自分の正方形を一つ実際に描いて両方に対応させ、正方形から二方向の矢印が必要な理由を説明します。
正方形→長方形→平行四辺形と、正方形→ひし形→平行四辺形の二経路を描く。例えば辺5の正方形を自分で描き、長方形とひし形の両定義を満たすので両方へ矢印を出す。重なり図ではこの正方形を共通部分へ置く。長方形とひし形のどちらか全体が他方へ入る矢印は付けない。
生徒の二種類の関係図と正方形、矢印の意味を保った向き、長方形とひし形の両領域への所属と共通部分の対応を見る。一本の木にするため正方形の片方の所属を消さない。
四つの種類の所属や包含について、誤りだと思う主張を自分で一つ作ります。前の図や数値を写すだけでなく、新しい自分の四角形を描いて、その主張のどこが誤りかを定義で示してください。正しい関係へ書き換え、自分の包含図にもその関係を示します。
例：「辺が斜めに見える正方形は、長方形ではない」という主張を作る。生徒が辺3.5の正方形を回した図を描けば、四つの角は90°のままで長方形の定義を満たし反例になる。「正方形は向きによらず長方形であり、ひし形でもある」と直し、包含図の共通部分に置く。別の種類どうしの有効な主張と新しい例でもよい。
生徒が考えた主張と新しい図、定義に基づく誤りの根拠、修正した一般の関係と包含図を見る。同じ見た目の名前だけを入れ替えた説明で済ませない。