中2 数学：三角形の合同の証明の練習問題
仮定・等しい根拠・合同条件・対応する辺や角・結論を、生徒が一つの証明にします。数値だけの準備14問と、自分の図と証明全体を残す10題です。選択式の問題はありません。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)イ(ア)、冊子114〜115/PDF118〜119の合同条件を根拠にした図形の性質の論証に沿います。仮定・結論と証明の意味は冊子113/PDF117を参照します。見本の語句を丸写しするのでなく、各条件の根拠、対応順、合同後の辺・角の使い方を生徒が明示します。根拠の通る別の順序や別の合同条件も認めます。
解説を読む
このテーマの主課題は、自分で図を作り、仮定から結論までの証明を全部書く10題です。14問の数値確認は、対応・角の和・共通な辺などの準備だけで、証明を完成したことにはなりません。図を測った値や、これから証明する結論を仮定に加えません。三つの条件がそろった根拠を述べ、合同を示してから、対応するどの辺・角を使って結論へ進んだかを書きます。
必要な予備知識
三角形の合同条件、対応順、対頂角・平行線と角、内角の和、線分の中点、垂直・角の二等分線、円の半径。紙や授業用ボードに図と証明を書き、必要なら定規・コンパス・分度器を使います。
- 最初に、何が仮定で何を証明したいかを分け、点の位置と条件を自分の図に示します。図の見た目だけの等しさを仮定に加えません。
- 比較する二つの三角形を、対応が分かる順序で書きます。同じ線分を使うときは「共通」と根拠を示し、逆順に書いた同じ線分を別の組に数えません。
- 等しい三組の辺、二組の辺とその間の角、一組の辺とその両端の角のいずれを使うか決めます。仮定からの等しさと、性質から導いた等しさを分けて書きます。
- 合同を示したあと、どの対応する辺・角が等しいかを述べ、求める結論へ結びます。合同だけを書いて止めたり、先に結論を仮定に使ったりしません。
- 二つの角が等しいだけでは不足することがあります。必要な角を内角の和から導くときは、180°の式と理由を証明の中に含めます。
- 長さや角度の正確な数値をすべて求める必要はありません。等しさを既知の性質と合同から示すことを目的にします。三平方の定理や三角比は要求しません。
解き方の例
△RSTと△UVWでRS=UV=3cm、ST=VW=4cm、TR=WU=5cmとします。三角形を比べると、仮定より三組の辺がそれぞれ等しいので△RST≡△UVW。合同な図形の対応する角は等しいので、∠RST=∠UVWです。角度の数値を測って付け足す必要はありません。
△KLMと△NOPでKL=NO、∠K=∠N=36°、∠M=∠P=68°とします。内角の和から∠L=∠O=180°−36°−68°=76°。辺KLとNO、その両端の角が等しいので△KLM≡△NOP。対応する辺よりLM=OPです。角LとOの等しさを新しい仮定でなく、証明中で導いています。
よくある間違い
- これから証明したい辺や角の等しさを、先に仮定として使う。
- 三つの事実を並べても、二辺の間の角や一辺の両端の角になっていない。
- 対応する三角形の順を変えたのに、最後の辺・角の対応を変えない。
- 合同であることだけを書き、求める辺や角の結論へ進まない。
- 二等辺三角形や平行四辺形について、今証明する性質を「知っているから」と根拠にして循環する。
- 図の一例を測ったことを、同じ条件を満たすすべての図形についての証明とする。
考え方を説明する
自動採点14問は数値だけの準備です。主課題10題はすべて生徒の図と証明全体が必須で、講師が確認します。仮定と結論、比較する三角形と対応順、三つの等しさと各根拠、使う合同条件、合同後に用いる対応する辺・角、結論へのつながりを見ます。数値、条件名、選択、穴埋めだけで完了にしません。言い回しや書く順序を見本どおりに固定せず、根拠が通る別の証明も認めます。
14問の数値確認の点数は、証明の完成や正しさを判定しません。主課題10題は自分の図と、仮定から結論までの証明を紙や授業用ボードに残してください。証明は講師が手動で確認します。
練習する
数値欄は準備だけです。主課題は自分の図と全証明を講師が確認し、自動で証明を採点する機能ではありません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
△ABC≡△DEFという順に対応します。AB=6cmのとき、対応するDEの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
6
A↔D、B↔EなのでAB↔DE。合同と与えられているのでDE=6cmです。
△ABC≡△EFDという順に対応します。BC=8cmのとき、対応するFDの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
8
B↔F、C↔DなのでBC↔FD、FD=8cmです。
△ABC≡△DEFと与えられ、∠B=53°です。対応する∠Eを答えてください（度）。
答えと解説
53
合同な三角形の対応する角BとEは等しいので53°です。
三角形の二つの内角は42°と66°です。残りの内角を答えてください（度）。
答えと解説
72
180−42−66=72°です。
△DEFで∠D=37°、∠F=81°です。∠Eを答えてください（度）。
答えと解説
62
180−37−81=62°です。
AB=10cmでMは線分ABの中点です。AMの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
5
中点は線分を二等分するので10÷2=5cmです。
Dは線分ACの途中にあり、AC=9cm、AD=3cmです。DCの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
6
DがAとCの間にあるのでDC=AC−AD=9−3=6cmです。
中心O、半径4cmの円の上に点Aがあります。OAの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
4
OAはその円の半径なので4cmです。
△PQRと△PSRは辺PRを共有します。PR=9cmと与えられたとき、△PSRの辺RPの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
9
PRとRPは同じ線分なので9cmです。別の組の辺ではありません。
二直線が交わってできる角の一つが58°です。その対頂角の大きさを答えてください（度）。
答えと解説
58
同じ交点の対頂角は等しいので58°です。
平行な二直線を一本の直線が横切ります。対応する同位角の一方が121°です。もう一方を答えてください（度）。
答えと解説
121
平行線にできる同位角は等しいので121°です。
一直線上で隣り合う二つの角の一方が112°です。もう一方を答えてください（度）。
答えと解説
68
和が180°なので180−112=68°です。
△ABCでAB=ACが仮定です。AB=7cmのときACを答えてください（cm）。
答えと解説
7
AB=ACがすでに仮定として与えられているのでAC=7cmです。
半直線OPは86°の∠AOBの二等分線です。∠AOPを答えてください（度）。
答えと解説
43
角の二等分線は角を等しく分けるので86÷2=43°です。
考え方を説明する
AB=ACの三角形ABCで、Mは辺BCの中点です。自分の図に条件を示し、AMが∠BACを二等分し、AM⊥BCでもあることを、二つの三角形の合同から証明してください。仮定から結論まで全部を書き、これから示す性質を先に根拠にしません。
答えと解説
△ABMと△ACMで、AB=ACは仮定、BM=CMはMが中点、AM=AMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△ABM≡△ACM。対応する角から∠BAM=∠CAMでAMは角を二等分する。また∠BMA=∠CMA。B,M,Cは一直線上で二角の和180°なので、両角は90°。したがってAM⊥BC。
生徒の図・中点と共通辺の根拠・三辺の条件・正しい対応・二等分と垂直への二つの結び付きを見る。「二等辺三角形の中線だから垂直」と結論を先取りしない。
PとQの距離を6cmとし、Pを中心とする半径4cmの円と、Qを中心とする半径5cmの円が二点A,Bで交わるとします。自分の図と全証明で、∠APQ=∠BPQを示してください。円の半径と共通な辺を根拠にし、角度の測定では示しません。
答えと解説
△PAQと△PBQで、PA=PB=4cmは同じ円の半径、QA=QB=5cmも同じ円の半径、PQ=PQは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△PAQ≡△PBQ。対応するPの角は等しいので∠APQ=∠BPQ。二円の半径は互いに同じである必要はなく、それぞれの円で等しいことを使う。
生徒の二円と二交点の図、同じ円ごとの半径二組、共通PQ、三辺の条件、対応するPの角への結論を確認する。円の中心を結ぶ直線の性質を結論として先に使わない。
線分ABの中点をMとし、Mを通りABに垂直な直線上に、Mとは異なる点Pを取ります。自分の図と全証明でPA=PBを示してください。直角と共通な辺を用い、長さの数値計算や三平方の定理を使う必要はありません。
答えと解説
△AMPと△BMPで、AM=BMはMが中点、MP=MPは共通、∠AMP=∠BMP=90°はPM⊥ABから分かる。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AMP≡△BMP。対応する辺よりAP=BP。
生徒の図、点PがMでないこと、直角が二辺AM・MPおよびBM・MPの間にあること、合同条件から対応辺へ進む全証明を見る。垂直二等分線の性質を証明の根拠として先取りしない。
0°より大きく180°より小さい∠AOBで、OA=OBとします。小さい方の∠AOBの二等分線上に、Oとは異なる点Pを取ります。自分の図を作り、AP=BPとなる理由を、二つの三角形の合同を用いて仮定から全部証明してください。
答えと解説
△OAPと△OBPで、OA=OBは仮定、OP=OPは共通、∠AOP=∠BOPはOPが角の二等分線だから等しい。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△OAP≡△OBP。対応する辺よりAP=BP。ここで比べるのは点A,Bまでの距離で、辺OA,OBという直線までの垂直距離ではない。
生徒の図、等しい半径方向の長さOA・OBという仮定、共通OPと角の二等分の根拠、二辺とその間の角、対応AP・BPを結ぶ全証明を見る。OA=OBを省いて同じ結論を一般化しない。
AB=ACの三角形ABCで、Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、AD=AEとします。自分の図に各点を置き、CD=BEを合同から証明してください。どの二辺の間に、同じAの角が入るかを明らかにし、仮定から結論まで全部を書きます。
答えと解説
△ADCと△AEBで、AD=AE、AC=ABは仮定。DがAB上、EがAC上なので∠DACと∠EABはどちらも∠BACに等しい。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ADC≡△AEB。対応D↔E、C↔BからDC=EB。
生徒の図でD,Eがそれぞれの辺の途中にあり、Aで使う角が二辺の間であること、対応順ADC/AEBと最後のDC/EBがつながることを見る。結論CD=BEを三組目の辺として先に使わない。
凸四角形ABCDでAB∥CD、BC∥ADです。対角線ACを加えた自分の図を作り、AB=CDかつBC=ADを、二つの三角形の合同から全部証明してください。ここで示す対辺の等しさを「平行四辺形の性質」として先に使いません。
答えと解説
△ABCと△CDAで、平行線の錯角より∠BAC=∠DCA、∠BCA=∠DAC。AC=CAは共通。一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△CDA。対応する辺よりAB=CD、BC=DA。平行という仮定を、二つの角の等しさへ結び直して使っている。
生徒の凸四角形と対角線の図、二組の平行からそれぞれ導いた錯角、共通ACの両端の角、対応順ABC/CDA、二つの対応辺への結論を確認する。
△ABCと△PQRでAB=PQ、∠A=∠P=47°、∠C=∠R=58°とします。自分の二図に仮定を示し、BC=QRかつAC=PRを全部証明してください。必要な残りの角は、証明の中で根拠を付けて導きます。
答えと解説
内角の和から∠B=∠Q=180°−47°−58°=75°。△ABCと△PQRでAB=PQは仮定、両端A,Pの角47°とB,Qの角75°がそれぞれ等しい。一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△PQR。対応する辺よりBC=QR、AC=PR。
生徒の二図、75°を内角の和から導いた根拠、辺AB/PQの両端の対応、合同条件と二つの対応辺までの全証明を見る。残りの角を新しい仮定として測り足さない。
凸四角形KLMNでKL=KN、ML=MNです。対角線KMを示す自分の図を作り、∠LKM=∠MKNを証明します。ある人は、まだ示していない∠LKM=∠MKNを最初に仮定として使い、二辺とその間の角で合同だとしました。その循環を指摘したうえで、仮定から始める正しい全証明を書いてください。
答えと解説
示したい角の等しさを先に使うと循環する。正しくは△KLMと△KNMで、KL=KN、LM=NMは仮定、KM=KMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△KLM≡△KNM。対応するKの角より∠LKM=∠NKM。∠NKMと∠MKNは同じ二半直線の角なので、求める∠LKM=∠MKNとなる。
生徒が循環した箇所を示し、四角形の与えた二組の辺と共通対角線の三辺から、対応する角までの正しい証明を書き直すことを見る。誤りの指摘だけでは完了にしない。
異なる二直線がOで交わり、一方にA,O,Bがこの順で、他方にC,O,Dがこの順で並びます。OA=OB、∠ACO=∠BDOが仮定です。自分の図と全証明でOC=ODを示してください。二組目の辺OC=ODは結論なので、合同の条件として先に使いません。
答えと解説
△OACと△OBDで、∠AOC=∠BODは対頂角、∠ACO=∠BDOは仮定。内角の和から残りの∠CAO=∠DBOも等しい。OA=OBは仮定で、その両端O,AとO,Bの角がそれぞれ等しいので△OAC≡△OBD。対応する辺よりOC=OD。二辺とその間の角ではなく、角の等しさを導いて一辺とその両端の角をそろえている。
生徒の二直線と点の順序、対頂角・内角の和という根拠、既知の辺OA/OBの両端の角、正しい対応順とOC/ODの結論を確認する。結論の辺を仮定にしない。
自分で二つの三角形と、合同を保証する三つの等しさの条件を決め、図と全証明を作ってください。合同を示すために用いなかった、別の対応する辺または角の等しさを結論にします。三辺を仮定にした場合は、辺の等しさを結論として言い直すのでなく、対応する角の等しさを選びます。仮定・各根拠・合同条件・対応・結論を全部書きます。
答えと解説
例：△JKLと△MNPでJK=MN=5cm、KL=NP=7cm、∠JKL=∠MNP=52°と決める。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△JKL≡△MNP。合同を示すために用いていない対応する辺JLとMPに注目し、JL=MPと結論する。生徒が別の図・等しさ・合同条件・未使用の結論を選んだ場合も、三角形が成立し根拠が通れば認める。
生徒が決めた二つの図、条件が三つの合同条件のいずれかに合うこと、仮定にしていない対応する辺・角への結論、循環のない全証明を確認する。見本の数値・点名・二辺と角の方法に限定しない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)イ(ア)、冊子114〜115/PDF118〜119の合同条件を根拠にした図形の性質の論証に沿います。仮定・結論と証明の意味は冊子113/PDF117を参照します。見本の語句を丸写しするのでなく、各条件の根拠、対応順、合同後の辺・角の使い方を生徒が明示します。根拠の通る別の順序や別の合同条件も認めます。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 合同条件から対応する辺と角へ、証明をつなぐ
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/write-complete-proofs-from-triangle-congruence/
自動採点14問は数値だけの準備です。主課題10題はすべて生徒の図と証明全体が必須で、講師が確認します。仮定と結論、比較する三角形と対応順、三つの等しさと各根拠、使う合同条件、合同後に用いる対応する辺・角、結論へのつながりを見ます。数値、条件名、選択、穴埋めだけで完了にしません。言い回しや書く順序を見本どおりに固定せず、根拠が通る別の証明も認めます。
△ABC≡△DEFという順に対応します。AB=6cmのとき、対応するDEの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC≡△EFDという順に対応します。BC=8cmのとき、対応するFDの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC≡△DEFと与えられ、∠B=53°です。対応する∠Eを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形の二つの内角は42°と66°です。残りの内角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△DEFで∠D=37°、∠F=81°です。∠Eを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=10cmでMは線分ABの中点です。AMの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Dは線分ACの途中にあり、AC=9cm、AD=3cmです。DCの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心O、半径4cmの円の上に点Aがあります。OAの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△PQRと△PSRは辺PRを共有します。PR=9cmと与えられたとき、△PSRの辺RPの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二直線が交わってできる角の一つが58°です。その対頂角の大きさを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平行な二直線を一本の直線が横切ります。対応する同位角の一方が121°です。もう一方を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一直線上で隣り合う二つの角の一方が112°です。もう一方を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでAB=ACが仮定です。AB=7cmのときACを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半直線OPは86°の∠AOBの二等分線です。∠AOPを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
AB=ACの三角形ABCで、Mは辺BCの中点です。自分の図に条件を示し、AMが∠BACを二等分し、AM⊥BCでもあることを、二つの三角形の合同から証明してください。仮定から結論まで全部を書き、これから示す性質を先に根拠にしません。
PとQの距離を6cmとし、Pを中心とする半径4cmの円と、Qを中心とする半径5cmの円が二点A,Bで交わるとします。自分の図と全証明で、∠APQ=∠BPQを示してください。円の半径と共通な辺を根拠にし、角度の測定では示しません。
線分ABの中点をMとし、Mを通りABに垂直な直線上に、Mとは異なる点Pを取ります。自分の図と全証明でPA=PBを示してください。直角と共通な辺を用い、長さの数値計算や三平方の定理を使う必要はありません。
0°より大きく180°より小さい∠AOBで、OA=OBとします。小さい方の∠AOBの二等分線上に、Oとは異なる点Pを取ります。自分の図を作り、AP=BPとなる理由を、二つの三角形の合同を用いて仮定から全部証明してください。
AB=ACの三角形ABCで、Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、AD=AEとします。自分の図に各点を置き、CD=BEを合同から証明してください。どの二辺の間に、同じAの角が入るかを明らかにし、仮定から結論まで全部を書きます。
凸四角形ABCDでAB∥CD、BC∥ADです。対角線ACを加えた自分の図を作り、AB=CDかつBC=ADを、二つの三角形の合同から全部証明してください。ここで示す対辺の等しさを「平行四辺形の性質」として先に使いません。
△ABCと△PQRでAB=PQ、∠A=∠P=47°、∠C=∠R=58°とします。自分の二図に仮定を示し、BC=QRかつAC=PRを全部証明してください。必要な残りの角は、証明の中で根拠を付けて導きます。
凸四角形KLMNでKL=KN、ML=MNです。対角線KMを示す自分の図を作り、∠LKM=∠MKNを証明します。ある人は、まだ示していない∠LKM=∠MKNを最初に仮定として使い、二辺とその間の角で合同だとしました。その循環を指摘したうえで、仮定から始める正しい全証明を書いてください。
異なる二直線がOで交わり、一方にA,O,Bがこの順で、他方にC,O,Dがこの順で並びます。OA=OB、∠ACO=∠BDOが仮定です。自分の図と全証明でOC=ODを示してください。二組目の辺OC=ODは結論なので、合同の条件として先に使いません。
自分で二つの三角形と、合同を保証する三つの等しさの条件を決め、図と全証明を作ってください。合同を示すために用いなかった、別の対応する辺または角の等しさを結論にします。三辺を仮定にした場合は、辺の等しさを結論として言い直すのでなく、対応する角の等しさを選びます。仮定・各根拠・合同条件・対応・結論を全部書きます。
解答: 合同条件から対応する辺と角へ、証明をつなぐ
6
A↔D、B↔EなのでAB↔DE。合同と与えられているのでDE=6cmです。
8
B↔F、C↔DなのでBC↔FD、FD=8cmです。
53
合同な三角形の対応する角BとEは等しいので53°です。
72
180−42−66=72°です。
62
180−37−81=62°です。
5
中点は線分を二等分するので10÷2=5cmです。
6
DがAとCの間にあるのでDC=AC−AD=9−3=6cmです。
4
OAはその円の半径なので4cmです。
9
PRとRPは同じ線分なので9cmです。別の組の辺ではありません。
58
同じ交点の対頂角は等しいので58°です。
121
平行線にできる同位角は等しいので121°です。
68
和が180°なので180−112=68°です。
7
AB=ACがすでに仮定として与えられているのでAC=7cmです。
43
角の二等分線は角を等しく分けるので86÷2=43°です。
記述問題の解答・確認の観点
AB=ACの三角形ABCで、Mは辺BCの中点です。自分の図に条件を示し、AMが∠BACを二等分し、AM⊥BCでもあることを、二つの三角形の合同から証明してください。仮定から結論まで全部を書き、これから示す性質を先に根拠にしません。
△ABMと△ACMで、AB=ACは仮定、BM=CMはMが中点、AM=AMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△ABM≡△ACM。対応する角から∠BAM=∠CAMでAMは角を二等分する。また∠BMA=∠CMA。B,M,Cは一直線上で二角の和180°なので、両角は90°。したがってAM⊥BC。
生徒の図・中点と共通辺の根拠・三辺の条件・正しい対応・二等分と垂直への二つの結び付きを見る。「二等辺三角形の中線だから垂直」と結論を先取りしない。
PとQの距離を6cmとし、Pを中心とする半径4cmの円と、Qを中心とする半径5cmの円が二点A,Bで交わるとします。自分の図と全証明で、∠APQ=∠BPQを示してください。円の半径と共通な辺を根拠にし、角度の測定では示しません。
△PAQと△PBQで、PA=PB=4cmは同じ円の半径、QA=QB=5cmも同じ円の半径、PQ=PQは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△PAQ≡△PBQ。対応するPの角は等しいので∠APQ=∠BPQ。二円の半径は互いに同じである必要はなく、それぞれの円で等しいことを使う。
生徒の二円と二交点の図、同じ円ごとの半径二組、共通PQ、三辺の条件、対応するPの角への結論を確認する。円の中心を結ぶ直線の性質を結論として先に使わない。
線分ABの中点をMとし、Mを通りABに垂直な直線上に、Mとは異なる点Pを取ります。自分の図と全証明でPA=PBを示してください。直角と共通な辺を用い、長さの数値計算や三平方の定理を使う必要はありません。
△AMPと△BMPで、AM=BMはMが中点、MP=MPは共通、∠AMP=∠BMP=90°はPM⊥ABから分かる。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AMP≡△BMP。対応する辺よりAP=BP。
生徒の図、点PがMでないこと、直角が二辺AM・MPおよびBM・MPの間にあること、合同条件から対応辺へ進む全証明を見る。垂直二等分線の性質を証明の根拠として先取りしない。
0°より大きく180°より小さい∠AOBで、OA=OBとします。小さい方の∠AOBの二等分線上に、Oとは異なる点Pを取ります。自分の図を作り、AP=BPとなる理由を、二つの三角形の合同を用いて仮定から全部証明してください。
△OAPと△OBPで、OA=OBは仮定、OP=OPは共通、∠AOP=∠BOPはOPが角の二等分線だから等しい。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△OAP≡△OBP。対応する辺よりAP=BP。ここで比べるのは点A,Bまでの距離で、辺OA,OBという直線までの垂直距離ではない。
生徒の図、等しい半径方向の長さOA・OBという仮定、共通OPと角の二等分の根拠、二辺とその間の角、対応AP・BPを結ぶ全証明を見る。OA=OBを省いて同じ結論を一般化しない。
AB=ACの三角形ABCで、Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、AD=AEとします。自分の図に各点を置き、CD=BEを合同から証明してください。どの二辺の間に、同じAの角が入るかを明らかにし、仮定から結論まで全部を書きます。
△ADCと△AEBで、AD=AE、AC=ABは仮定。DがAB上、EがAC上なので∠DACと∠EABはどちらも∠BACに等しい。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ADC≡△AEB。対応D↔E、C↔BからDC=EB。
生徒の図でD,Eがそれぞれの辺の途中にあり、Aで使う角が二辺の間であること、対応順ADC/AEBと最後のDC/EBがつながることを見る。結論CD=BEを三組目の辺として先に使わない。
凸四角形ABCDでAB∥CD、BC∥ADです。対角線ACを加えた自分の図を作り、AB=CDかつBC=ADを、二つの三角形の合同から全部証明してください。ここで示す対辺の等しさを「平行四辺形の性質」として先に使いません。
△ABCと△CDAで、平行線の錯角より∠BAC=∠DCA、∠BCA=∠DAC。AC=CAは共通。一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△CDA。対応する辺よりAB=CD、BC=DA。平行という仮定を、二つの角の等しさへ結び直して使っている。
生徒の凸四角形と対角線の図、二組の平行からそれぞれ導いた錯角、共通ACの両端の角、対応順ABC/CDA、二つの対応辺への結論を確認する。
△ABCと△PQRでAB=PQ、∠A=∠P=47°、∠C=∠R=58°とします。自分の二図に仮定を示し、BC=QRかつAC=PRを全部証明してください。必要な残りの角は、証明の中で根拠を付けて導きます。
内角の和から∠B=∠Q=180°−47°−58°=75°。△ABCと△PQRでAB=PQは仮定、両端A,Pの角47°とB,Qの角75°がそれぞれ等しい。一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△PQR。対応する辺よりBC=QR、AC=PR。
生徒の二図、75°を内角の和から導いた根拠、辺AB/PQの両端の対応、合同条件と二つの対応辺までの全証明を見る。残りの角を新しい仮定として測り足さない。
凸四角形KLMNでKL=KN、ML=MNです。対角線KMを示す自分の図を作り、∠LKM=∠MKNを証明します。ある人は、まだ示していない∠LKM=∠MKNを最初に仮定として使い、二辺とその間の角で合同だとしました。その循環を指摘したうえで、仮定から始める正しい全証明を書いてください。
示したい角の等しさを先に使うと循環する。正しくは△KLMと△KNMで、KL=KN、LM=NMは仮定、KM=KMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△KLM≡△KNM。対応するKの角より∠LKM=∠NKM。∠NKMと∠MKNは同じ二半直線の角なので、求める∠LKM=∠MKNとなる。
生徒が循環した箇所を示し、四角形の与えた二組の辺と共通対角線の三辺から、対応する角までの正しい証明を書き直すことを見る。誤りの指摘だけでは完了にしない。
異なる二直線がOで交わり、一方にA,O,Bがこの順で、他方にC,O,Dがこの順で並びます。OA=OB、∠ACO=∠BDOが仮定です。自分の図と全証明でOC=ODを示してください。二組目の辺OC=ODは結論なので、合同の条件として先に使いません。
△OACと△OBDで、∠AOC=∠BODは対頂角、∠ACO=∠BDOは仮定。内角の和から残りの∠CAO=∠DBOも等しい。OA=OBは仮定で、その両端O,AとO,Bの角がそれぞれ等しいので△OAC≡△OBD。対応する辺よりOC=OD。二辺とその間の角ではなく、角の等しさを導いて一辺とその両端の角をそろえている。
生徒の二直線と点の順序、対頂角・内角の和という根拠、既知の辺OA/OBの両端の角、正しい対応順とOC/ODの結論を確認する。結論の辺を仮定にしない。
自分で二つの三角形と、合同を保証する三つの等しさの条件を決め、図と全証明を作ってください。合同を示すために用いなかった、別の対応する辺または角の等しさを結論にします。三辺を仮定にした場合は、辺の等しさを結論として言い直すのでなく、対応する角の等しさを選びます。仮定・各根拠・合同条件・対応・結論を全部書きます。
例：△JKLと△MNPでJK=MN=5cm、KL=NP=7cm、∠JKL=∠MNP=52°と決める。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△JKL≡△MNP。合同を示すために用いていない対応する辺JLとMPに注目し、JL=MPと結論する。生徒が別の図・等しさ・合同条件・未使用の結論を選んだ場合も、三角形が成立し根拠が通れば認める。
生徒が決めた二つの図、条件が三つの合同条件のいずれかに合うこと、仮定にしていない対応する辺・角への結論、循環のない全証明を確認する。見本の数値・点名・二辺と角の方法に限定しない。