中2 数学：二等辺三角形の性質とその逆の練習問題
辺から角へ、角から辺へという二つの向きを区別し、底角の性質とその逆をそれぞれ合同で証明します。数値だけの準備14問と、自分の図・証明全体を残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)イ(ア)の二等辺三角形の性質の論証と、用語「逆」に沿います。冊子113〜114/PDF117〜118では、仮定と結論を区別し、もとの命題が正しくても逆は常に正しいとは限らないこと、証明を根拠から組み立てることを扱っています。底角定理と逆の両方を生徒が証明し、角度の測定で一般的な証明を代えません。
解説を読む
AB=ACならば∠B=∠Cという性質と、∠B=∠CならばAB=ACという逆では、出発点と示すことが入れ替わります。もとの命題が正しいだけでは、逆が正しいと決められません。このテーマでは両方を別々に証明し、どちらを使ったかを示します。14問の数値欄は準備だけです。主課題10題は自分の図と、仮定から結論までの証明を残し、講師が確認します。
必要な予備知識
三角形の合同条件と対応、内角の和、角の二等分線、中点、一直線上の角、簡単な一次方程式。紙や授業用ボードに図と証明を書きます。
- 二等辺三角形は、二つの辺の長さが等しい三角形です。AB=ACを使うとき、向かい合う底角はそれぞれCとBです。
- 性質は「等しい辺がある→その向かいの角が等しい」という向きです。逆は「等しい角がある→その向かいの辺が等しい」という向きで、仮定と結論を交換しています。
- 底角定理そのものを証明する課題では、これから示す底角の等しさを先に使いません。逆そのものを証明する課題でも、これから示す辺の等しさを先に使いません。
- 補助線を引いたら、どの二つの三角形をどの順で比べるか、等しい辺や角の根拠、使う合同条件、対応する角や辺への結論を示します。
- 角の二等分線ADで比べる二つの三角形において、辺ADの両端はAとDです。B,Cの角が等しいことからDの角を導くなら、内角の和を根拠として書きます。
- 一度証明した性質や逆を応用問題で用いるときは、どの仮定からどの向きで使ったかを書きます。等しい角に向かい合う辺を確かめ、角にはさまれた辺と取り違えません。
解き方の例
△RSTでRS=RT、∠R=82°とします。等しい辺に向かい合うSとTの角が等しいので、∠S=∠T=(180°−82°)÷2=49°です。これは辺の等しさから角へ進む性質の利用です。
△UVWで∠U=∠W=64°、UV=12cmとします。等しい角U,Wに向かい合う辺はVW,UVです。底角定理の逆よりVW=UV=12cm。残りの∠V=180°−64°−64°=52°です。これは角から辺へ進む逆の利用です。
よくある間違い
- 性質を証明する途中で、まだ示していない底角の等しさを仮定として使う。
- 逆を証明するとき、結論の二辺の等しさを合同の条件に加える。
- 一組の辺ADの両端の角として、Aの角とB,Cの角をそのまま挙げる。B,CはADの端点ではない。必要なDの角を導くなど、根拠をつなぐ。
- 等しい二角に向かい合う辺でなく、その二角にはさまれた辺を等しいと言う。
- 性質とその逆の文を取り替えただけで、逆も証明できたとする。
- 一つの図を測ったことを、同じ条件を満たすどの三角形にも成り立つ証明とする。
考え方を説明する
準備14問は数値だけを自動採点します。主課題10題はすべて生徒の図と、仮定から結論までの証明全体を講師が確認します。T1では底角定理、T2ではその逆を、示すことの先取りをせずそれぞれ合同から証明することが必須です。応用では、性質と逆のどちらをどの向きで用いたか、等しい角と向かい合う辺、計算や補助線の根拠を見ます。T7,T8は誤りの指摘だけで終わらず正しく書き直します。見本と異なる補助線・合同条件・対応順でも、仮定から根拠が通れば認めます。
数値の正解や性質の名前だけで、底角定理や逆を証明したことにはなりません。主課題は自分の図と証明全体を紙や授業用ボードに残し、講師が手動で確認します。
練習する
数値欄は準備です。主課題の図と証明、性質と逆の使う向きは講師が確認し、自動で証明の正しさを判定する機能ではありません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
△ABCでAB=AC、∠A=38°です。∠Bを答えてください（度）。
答えと解説
71
底角B,Cは等しいので(180−38)÷2=71°です。
△PQRでPQ=PR、∠P=104°です。∠Qを答えてください（度）。
答えと解説
38
Pが頂角なので、底角Q,Rは(180−104)÷2=38°です。
△XYZでXY=XZ、∠Y=67°です。∠Xを答えてください（度）。
答えと解説
46
底角Y,Zがともに67°なので180−67−67=46°です。
△KLMでKL=LM、∠L=56°です。∠Kを答えてください（度）。
答えと解説
62
等しい二辺の間のLが頂角。底角K,Mは(180−56)÷2=62°です。
△ABCで∠A=∠C=52°、BC=8cmです。ABの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
8
等しいA,Cの角に向かい合う辺BC,ABが等しいので8cmです。
△PQRで∠P=∠Q=61°、PR=7cmです。QRの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
7
等しいP,Qの角の向かいはQR,PRなのでQR=PR=7cmです。
△UVWで∠U=∠W=49°、UV=11cmです。VWの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
11
U,Wの角に向かい合うVW,UVは等しいので11cmです。
△ABCでAB=AC、∠B=58°です。辺ACをCの先へ延長してできる、内角Cに隣り合う外角を答えてください（度）。
答えと解説
122
底角Cも58°なので、隣り合う外角は180−58=122°です。
△ABCのBとCの内角にそれぞれ隣り合う外角は、ともに137°です。∠Aを答えてください（度）。
答えと解説
94
内角B,Cはそれぞれ180−137=43°。A=180−43−43=94°です。
△ABCでAB=AC=6.5cm、BC=4cmです。周の長さを答えてください（cm）。
答えと解説
17
等しい二辺もそれぞれ一回ずつ足し、6.5+6.5+4=17cmです。
△ABCで∠B=∠C、AB=(3x+2)cm、AC=(5x−8)cmです。xを答えてください。
答えと解説
5
逆よりAB=AC。3x+2=5x−8から2x=10、x=5です。両辺は17cmで正です。
△ABCで∠A=∠B、AC=4x−3cm、BC=2x+5cmです。xを答えてください。
答えと解説
4
等しいA,Bの角に向かい合うBC,ACが等しいので4x−3=2x+5、x=4です。両辺は13cmです。
△ABCでAB=AC、∠A=(2x+8)°、∠B=(3x+2)°です。xを答えてください。
答えと解説
21
底角Cも3x+2度。(2x+8)+2(3x+2)=180から8x+12=180、x=21です。
△ABCで∠A=34°、∠B=73°、AB=9cmです。ACの長さを答えてください（cm）。
答えと解説
9
内角の和からC=180−34−73=73°。B=Cなので、逆よりその向かいのAC=AB=9cmです。
考え方を説明する
AB=ACの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、∠ABC=∠ACBを、二つの三角形の合同から全部証明してください。底角の等しさは今から示すことなので、先に使いません。仮定と結論、各等しさの理由、合同条件、対応する角までを書きます。
答えと解説
△ABDと△ACDで、AB=ACは仮定、AD=ADは共通、∠BAD=∠CADは角の二等分線から分かる。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する角から∠ABD=∠ACD。DはBC上なので∠ABC=∠ACB。辺の等しさから底角の等しさを示した。
生徒の図、二等分線、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す、独立した三つの根拠、対応するB,Cの角と結論を確認する。求める底角を合同の根拠に使わない。
∠ABC=∠ACBの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、AB=ACを合同から全部証明してください。T1の結論と仮定を交換しただけで済ませず、必要な角の等しさを内角の和から導きます。AB=ACを先に仮定として加えません。
答えと解説
△ABDと△ACDで、∠BAD=∠CADは二等分線、∠ABD=∠ACDは仮定とDがBC上にあることから分かる。各三角形の内角の和180°から∠ADB=∠ADCも等しい。AD=ADは共通で、その両端A,Dの角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する辺からAB=AC。角の等しさから辺の等しさを示した。
生徒の図、出発点が等しい底角であること、Dの角を導く根拠、ADの実際の両端A,D、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいという合同条件、結論の辺を先取りしないことを確認する。別の有効な合同の証明も認める。
△KLMで∠K=∠M=55°、KL=9cmです。自分の図を作り、「等しくなる二辺はKLとKMだ」という説明を直してください。等しい角の向かい合う辺を特定し、正しい辺の等しさと∠Lを、仮定から根拠を付けて示します。性質と逆のどちらを使ったかも書きます。
答えと解説
等しいKとMの角に向かい合う辺はLMとKLで、KMではない。底角定理の逆よりLM=KL=9cm。内角の和から∠L=180°−55°−55°=70°。角から辺へ進んでいるので逆を使った。
生徒の角印と辺の対応、誤った辺の修正、逆を使う根拠、70°の計算までを確認する。二角にはさまれた辺KMを自動的に等しいとしない。
AB=AC、∠BAC=100°の三角形ABCで、辺BCの途中にAD=BDとなる点Dを取ります。自分の図を用い、証明全体を示して∠BADと∠CADを求めてください。二つの二等辺三角形を区別し、どの等しい辺からどの角の等しさを使ったかを明らかにします。
答えと解説
△ABCでAB=ACなので∠ABC=∠ACB=(180°−100°)÷2=40°。DはBCの途中なので∠ABD=40°。△ABDでAD=BDだから、その向かいの角∠BADと∠ABDは等しく、∠BAD=40°。よって∠CAD=100°−40°=60°。二回とも辺から角へ進む性質を使った。
生徒のDをBC内部に置く図、ABCとABDでの二組の辺と対応する底角、100°の分割を確認する。見た目だけで二等分線と決めない。
三角形ABCで、A,B,Xがこの順で一直線上にあり、A,C,Yもこの順で一直線上にあります。∠CBX=∠BCY=118°です。自分の図を用い、証明全体を示してAB=ACを示し、∠Aも求めてください。等しい外角からすぐ等辺と言わず、必要な内角へ根拠をつなぎます。
答えと解説
一直線の隣り合う角より∠ABC=180°−118°=62°、∠ACB=180°−118°=62°。二つの内角が等しいので底角定理の逆よりAB=AC。内角の和から∠A=180°−62°−62°=56°。外角から内角へ直し、角から辺へ進んだ。
生徒の点の順序と二つの外角、内角62°への根拠、逆と向かい合う辺、56°までを確認する。
△ABCで∠ABC=∠ACB=54°です。Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、DB=ECです。自分の図を用い、証明全体を示してAD=AEを示してください。二等辺三角形の性質と逆を取り違えず、辺の全体と残りの関係にも根拠を付けます。
答えと解説
等しいB,Cの角に向かい合う辺AC,ABは、底角定理の逆より等しい。D,Eの位置よりAD=AB−DB、AE=AC−EC。AB=AC、DB=ECなので、等しい全体から等しい部分を引いた残りは等しく、AD=AE。AB=ACを最初から仮定に加えず、等しい角から導いた。
生徒の辺の内部のD,E、逆で導くAB=AC、等しい部分の差、結論AD=AEを確認する。見本と同じ文章や補助線に限定しない。
AB=ACから∠ABC=∠ACBを示す証明を考えます。ある人は「∠ABC=∠ACBだから逆を使ってAB=AC、したがって底角は等しい」と書きました。自分の図で、この説明が何を先取りしているかを指摘し、BCの中点Mを用いて、合同から根拠を省かず正しい証明に書き直してください。
答えと解説
示すべき∠ABC=∠ACBを最初に使っており、出発点のAB=ACを確かめ直すだけでは底角を証明できない。△ABMと△ACMでAB=ACは仮定、BM=CMはMが中点、AM=AMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△ABM≡△ACM。対応する角より∠ABM=∠ACMであり、MはBC上だから∠ABC=∠ACB。
生徒が循環論法になっている最初の角を示し、中点と共通辺を独立した根拠として、3組の辺がそれぞれ等しいことを用いた証明全体に直すことを見る。誤りの名前だけで完了にしない。
∠ABC=∠ACBからAB=ACを示すため、∠Aの二等分線とBCの交点をDとします。ある人は「ADは共通、Aの半分の角とB,Cの角が等しい。ADの両端の角が等しいので合同」と書きました。自分の図でADの端点を確かめ、この両端についての説明を直し、内角の和を用いた正しい証明全体を書いてください。
答えと解説
ADの端点はA,Dで、B,Cではない。ただし与えられた二角の等しさから合同を導くこと自体は可能である。△ABDと△ACDで∠BAD=∠CADは二等分線、∠ABD=∠ACDは仮定。内角の和から∠ADB=∠ADCを導く。共通のADと、その両端A,Dの角が等しいので△ABD≡△ACD。対応する辺よりAB=AC。
生徒の図、ADの両端の場所、Dの角の等しさを導く根拠、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことから結論までの修正を確認する。「元の条件では合同にできない」と誤って断定せず、説明の省略と条件そのものを区別する。
△PQRで∠P=∠R、PQ=(2x+1)cm、QR=(3x−4)cm、PR=6cmです。自分の図を用い、証明全体を示して、等しくなる二辺を示し、xと三角形の周の長さを求めてください。等しい角と辺の向かい合う関係、および使った向きを書きます。
答えと解説
P,Rの角が等しいので底角定理の逆よりQR=PQ。2x+1=3x−4からx=5。PQ=QR=11cm、PR=6cmだから周は11+11+6=28cm。角から辺へ進む逆を使い、その辺の等式からxを求めた。
生徒の図、等しい辺の正しい対応、逆を使った根拠、方程式と28cmまでを確認する。PRを等しい二辺に取り違えない。
性質を使う例と逆を使う例を、一つずつ自分で作ってください。それぞれ別の三角形の図を描き、何が仮定で何が結論かを決め、仮定から結論まで根拠を付けて説明します。使う辺や角の対応と向きが分かるようにし、見本の数値や点名をそのまま写すだけで済ませません。T1,T2で別々に証明した定理を使って構いません。
答えと解説
例1：△UVWでUV=UW、∠U=74°を仮定にする。性質より∠V=∠Wで、内角の和から各53°。辺から角へ進む。例2：△LMNで∠L=∠M=64°を仮定にする。逆より向かい合うMN=LN、内角の和から∠N=52°。角から辺へ進む。生徒が別の成立する二例を作り、根拠を通した場合も認める。
生徒が決めた別々の二図、両方向それぞれの仮定と結論、三角形の成立、等しい角と向かい合う辺、根拠付きの全説明を確認する。見本の数値や同じ補助線に限定しない。
ワークシート
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)イ(ア)の二等辺三角形の性質の論証と、用語「逆」に沿います。冊子113〜114/PDF117〜118では、仮定と結論を区別し、もとの命題が正しくても逆は常に正しいとは限らないこと、証明を根拠から組み立てることを扱っています。底角定理と逆の両方を生徒が証明し、角度の測定で一般的な証明を代えません。 · 2026-11-02
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 二等辺三角形の性質と逆を、別々に証明する
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準備14問は数値だけを自動採点します。主課題10題はすべて生徒の図と、仮定から結論までの証明全体を講師が確認します。T1では底角定理、T2ではその逆を、示すことの先取りをせずそれぞれ合同から証明することが必須です。応用では、性質と逆のどちらをどの向きで用いたか、等しい角と向かい合う辺、計算や補助線の根拠を見ます。T7,T8は誤りの指摘だけで終わらず正しく書き直します。見本と異なる補助線・合同条件・対応順でも、仮定から根拠が通れば認めます。
△ABCでAB=AC、∠A=38°です。∠Bを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△PQRでPQ=PR、∠P=104°です。∠Qを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△XYZでXY=XZ、∠Y=67°です。∠Xを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△KLMでKL=LM、∠L=56°です。∠Kを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCで∠A=∠C=52°、BC=8cmです。ABの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△PQRで∠P=∠Q=61°、PR=7cmです。QRの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△UVWで∠U=∠W=49°、UV=11cmです。VWの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでAB=AC、∠B=58°です。辺ACをCの先へ延長してできる、内角Cに隣り合う外角を答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCのBとCの内角にそれぞれ隣り合う外角は、ともに137°です。∠Aを答えてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでAB=AC=6.5cm、BC=4cmです。周の長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCで∠B=∠C、AB=(3x+2)cm、AC=(5x−8)cmです。xを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCで∠A=∠B、AC=4x−3cm、BC=2x+5cmです。xを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでAB=AC、∠A=(2x+8)°、∠B=(3x+2)°です。xを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCで∠A=34°、∠B=73°、AB=9cmです。ACの長さを答えてください（cm）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
AB=ACの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、∠ABC=∠ACBを、二つの三角形の合同から全部証明してください。底角の等しさは今から示すことなので、先に使いません。仮定と結論、各等しさの理由、合同条件、対応する角までを書きます。
∠ABC=∠ACBの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、AB=ACを合同から全部証明してください。T1の結論と仮定を交換しただけで済ませず、必要な角の等しさを内角の和から導きます。AB=ACを先に仮定として加えません。
△KLMで∠K=∠M=55°、KL=9cmです。自分の図を作り、「等しくなる二辺はKLとKMだ」という説明を直してください。等しい角の向かい合う辺を特定し、正しい辺の等しさと∠Lを、仮定から根拠を付けて示します。性質と逆のどちらを使ったかも書きます。
AB=AC、∠BAC=100°の三角形ABCで、辺BCの途中にAD=BDとなる点Dを取ります。自分の図を用い、証明全体を示して∠BADと∠CADを求めてください。二つの二等辺三角形を区別し、どの等しい辺からどの角の等しさを使ったかを明らかにします。
三角形ABCで、A,B,Xがこの順で一直線上にあり、A,C,Yもこの順で一直線上にあります。∠CBX=∠BCY=118°です。自分の図を用い、証明全体を示してAB=ACを示し、∠Aも求めてください。等しい外角からすぐ等辺と言わず、必要な内角へ根拠をつなぎます。
△ABCで∠ABC=∠ACB=54°です。Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、DB=ECです。自分の図を用い、証明全体を示してAD=AEを示してください。二等辺三角形の性質と逆を取り違えず、辺の全体と残りの関係にも根拠を付けます。
AB=ACから∠ABC=∠ACBを示す証明を考えます。ある人は「∠ABC=∠ACBだから逆を使ってAB=AC、したがって底角は等しい」と書きました。自分の図で、この説明が何を先取りしているかを指摘し、BCの中点Mを用いて、合同から根拠を省かず正しい証明に書き直してください。
∠ABC=∠ACBからAB=ACを示すため、∠Aの二等分線とBCの交点をDとします。ある人は「ADは共通、Aの半分の角とB,Cの角が等しい。ADの両端の角が等しいので合同」と書きました。自分の図でADの端点を確かめ、この両端についての説明を直し、内角の和を用いた正しい証明全体を書いてください。
△PQRで∠P=∠R、PQ=(2x+1)cm、QR=(3x−4)cm、PR=6cmです。自分の図を用い、証明全体を示して、等しくなる二辺を示し、xと三角形の周の長さを求めてください。等しい角と辺の向かい合う関係、および使った向きを書きます。
性質を使う例と逆を使う例を、一つずつ自分で作ってください。それぞれ別の三角形の図を描き、何が仮定で何が結論かを決め、仮定から結論まで根拠を付けて説明します。使う辺や角の対応と向きが分かるようにし、見本の数値や点名をそのまま写すだけで済ませません。T1,T2で別々に証明した定理を使って構いません。
解答: 二等辺三角形の性質と逆を、別々に証明する
71
底角B,Cは等しいので(180−38)÷2=71°です。
38
Pが頂角なので、底角Q,Rは(180−104)÷2=38°です。
46
底角Y,Zがともに67°なので180−67−67=46°です。
62
等しい二辺の間のLが頂角。底角K,Mは(180−56)÷2=62°です。
8
等しいA,Cの角に向かい合う辺BC,ABが等しいので8cmです。
7
等しいP,Qの角の向かいはQR,PRなのでQR=PR=7cmです。
11
U,Wの角に向かい合うVW,UVは等しいので11cmです。
122
底角Cも58°なので、隣り合う外角は180−58=122°です。
94
内角B,Cはそれぞれ180−137=43°。A=180−43−43=94°です。
17
等しい二辺もそれぞれ一回ずつ足し、6.5+6.5+4=17cmです。
5
逆よりAB=AC。3x+2=5x−8から2x=10、x=5です。両辺は17cmで正です。
4
等しいA,Bの角に向かい合うBC,ACが等しいので4x−3=2x+5、x=4です。両辺は13cmです。
21
底角Cも3x+2度。(2x+8)+2(3x+2)=180から8x+12=180、x=21です。
9
内角の和からC=180−34−73=73°。B=Cなので、逆よりその向かいのAC=AB=9cmです。
記述問題の解答・確認の観点
AB=ACの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、∠ABC=∠ACBを、二つの三角形の合同から全部証明してください。底角の等しさは今から示すことなので、先に使いません。仮定と結論、各等しさの理由、合同条件、対応する角までを書きます。
△ABDと△ACDで、AB=ACは仮定、AD=ADは共通、∠BAD=∠CADは角の二等分線から分かる。二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する角から∠ABD=∠ACD。DはBC上なので∠ABC=∠ACB。辺の等しさから底角の等しさを示した。
生徒の図、二等分線、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す、独立した三つの根拠、対応するB,Cの角と結論を確認する。求める底角を合同の根拠に使わない。
∠ABC=∠ACBの三角形ABCを自分で描きます。∠BACの二等分線とBCの交点をDとして、AB=ACを合同から全部証明してください。T1の結論と仮定を交換しただけで済ませず、必要な角の等しさを内角の和から導きます。AB=ACを先に仮定として加えません。
△ABDと△ACDで、∠BAD=∠CADは二等分線、∠ABD=∠ACDは仮定とDがBC上にあることから分かる。各三角形の内角の和180°から∠ADB=∠ADCも等しい。AD=ADは共通で、その両端A,Dの角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD。対応する辺からAB=AC。角の等しさから辺の等しさを示した。
生徒の図、出発点が等しい底角であること、Dの角を導く根拠、ADの実際の両端A,D、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいという合同条件、結論の辺を先取りしないことを確認する。別の有効な合同の証明も認める。
△KLMで∠K=∠M=55°、KL=9cmです。自分の図を作り、「等しくなる二辺はKLとKMだ」という説明を直してください。等しい角の向かい合う辺を特定し、正しい辺の等しさと∠Lを、仮定から根拠を付けて示します。性質と逆のどちらを使ったかも書きます。
等しいKとMの角に向かい合う辺はLMとKLで、KMではない。底角定理の逆よりLM=KL=9cm。内角の和から∠L=180°−55°−55°=70°。角から辺へ進んでいるので逆を使った。
生徒の角印と辺の対応、誤った辺の修正、逆を使う根拠、70°の計算までを確認する。二角にはさまれた辺KMを自動的に等しいとしない。
AB=AC、∠BAC=100°の三角形ABCで、辺BCの途中にAD=BDとなる点Dを取ります。自分の図を用い、証明全体を示して∠BADと∠CADを求めてください。二つの二等辺三角形を区別し、どの等しい辺からどの角の等しさを使ったかを明らかにします。
△ABCでAB=ACなので∠ABC=∠ACB=(180°−100°)÷2=40°。DはBCの途中なので∠ABD=40°。△ABDでAD=BDだから、その向かいの角∠BADと∠ABDは等しく、∠BAD=40°。よって∠CAD=100°−40°=60°。二回とも辺から角へ進む性質を使った。
生徒のDをBC内部に置く図、ABCとABDでの二組の辺と対応する底角、100°の分割を確認する。見た目だけで二等分線と決めない。
三角形ABCで、A,B,Xがこの順で一直線上にあり、A,C,Yもこの順で一直線上にあります。∠CBX=∠BCY=118°です。自分の図を用い、証明全体を示してAB=ACを示し、∠Aも求めてください。等しい外角からすぐ等辺と言わず、必要な内角へ根拠をつなぎます。
一直線の隣り合う角より∠ABC=180°−118°=62°、∠ACB=180°−118°=62°。二つの内角が等しいので底角定理の逆よりAB=AC。内角の和から∠A=180°−62°−62°=56°。外角から内角へ直し、角から辺へ進んだ。
生徒の点の順序と二つの外角、内角62°への根拠、逆と向かい合う辺、56°までを確認する。
△ABCで∠ABC=∠ACB=54°です。Dは辺ABの途中、Eは辺ACの途中にあり、DB=ECです。自分の図を用い、証明全体を示してAD=AEを示してください。二等辺三角形の性質と逆を取り違えず、辺の全体と残りの関係にも根拠を付けます。
等しいB,Cの角に向かい合う辺AC,ABは、底角定理の逆より等しい。D,Eの位置よりAD=AB−DB、AE=AC−EC。AB=AC、DB=ECなので、等しい全体から等しい部分を引いた残りは等しく、AD=AE。AB=ACを最初から仮定に加えず、等しい角から導いた。
生徒の辺の内部のD,E、逆で導くAB=AC、等しい部分の差、結論AD=AEを確認する。見本と同じ文章や補助線に限定しない。
AB=ACから∠ABC=∠ACBを示す証明を考えます。ある人は「∠ABC=∠ACBだから逆を使ってAB=AC、したがって底角は等しい」と書きました。自分の図で、この説明が何を先取りしているかを指摘し、BCの中点Mを用いて、合同から根拠を省かず正しい証明に書き直してください。
示すべき∠ABC=∠ACBを最初に使っており、出発点のAB=ACを確かめ直すだけでは底角を証明できない。△ABMと△ACMでAB=ACは仮定、BM=CMはMが中点、AM=AMは共通。三組の辺がそれぞれ等しいので△ABM≡△ACM。対応する角より∠ABM=∠ACMであり、MはBC上だから∠ABC=∠ACB。
生徒が循環論法になっている最初の角を示し、中点と共通辺を独立した根拠として、3組の辺がそれぞれ等しいことを用いた証明全体に直すことを見る。誤りの名前だけで完了にしない。
∠ABC=∠ACBからAB=ACを示すため、∠Aの二等分線とBCの交点をDとします。ある人は「ADは共通、Aの半分の角とB,Cの角が等しい。ADの両端の角が等しいので合同」と書きました。自分の図でADの端点を確かめ、この両端についての説明を直し、内角の和を用いた正しい証明全体を書いてください。
ADの端点はA,Dで、B,Cではない。ただし与えられた二角の等しさから合同を導くこと自体は可能である。△ABDと△ACDで∠BAD=∠CADは二等分線、∠ABD=∠ACDは仮定。内角の和から∠ADB=∠ADCを導く。共通のADと、その両端A,Dの角が等しいので△ABD≡△ACD。対応する辺よりAB=AC。
生徒の図、ADの両端の場所、Dの角の等しさを導く根拠、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことから結論までの修正を確認する。「元の条件では合同にできない」と誤って断定せず、説明の省略と条件そのものを区別する。
△PQRで∠P=∠R、PQ=(2x+1)cm、QR=(3x−4)cm、PR=6cmです。自分の図を用い、証明全体を示して、等しくなる二辺を示し、xと三角形の周の長さを求めてください。等しい角と辺の向かい合う関係、および使った向きを書きます。
P,Rの角が等しいので底角定理の逆よりQR=PQ。2x+1=3x−4からx=5。PQ=QR=11cm、PR=6cmだから周は11+11+6=28cm。角から辺へ進む逆を使い、その辺の等式からxを求めた。
生徒の図、等しい辺の正しい対応、逆を使った根拠、方程式と28cmまでを確認する。PRを等しい二辺に取り違えない。
性質を使う例と逆を使う例を、一つずつ自分で作ってください。それぞれ別の三角形の図を描き、何が仮定で何が結論かを決め、仮定から結論まで根拠を付けて説明します。使う辺や角の対応と向きが分かるようにし、見本の数値や点名をそのまま写すだけで済ませません。T1,T2で別々に証明した定理を使って構いません。
例1：△UVWでUV=UW、∠U=74°を仮定にする。性質より∠V=∠Wで、内角の和から各53°。辺から角へ進む。例2：△LMNで∠L=∠M=64°を仮定にする。逆より向かい合うMN=LN、内角の和から∠N=52°。角から辺へ進む。生徒が別の成立する二例を作り、根拠を通した場合も認める。
生徒が決めた別々の二図、両方向それぞれの仮定と結論、三角形の成立、等しい角と向かい合う辺、根拠付きの全説明を確認する。見本の数値や同じ補助線に限定しない。