中2 数学：平行四辺形になる条件の練習問題
条件を全部満たしても平行四辺形にならない図を生徒が作り、成り立つ条件の証明と比べます。判断の準備14問と、自分の反例・証明を残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)イ(ア)、冊子114/PDF118の平行四辺形になる条件と反例に沿います。反例では仮定を満たし結論を満たさない図を作ること、成り立つ命題には根拠をつないだ証明を与えることを区別します。特別な四角形どうしの包含関係は次のテーマへ分け、ここでは平行四辺形の条件の組合せを扱います。
解説を読む
ここで扱う四角形ABCDは、A,B,C,Dをその順に結んだ凸四角形です。辺が交差したり、三点が一直線になったりする図は使いません。「この条件だけで必ず平行四辺形になるか」を考えます。反例では、条件の全部が成り立つことと、平行四辺形でないことの両方を、自分の図と根拠で示します。14問の選択は判断の準備だけです。主課題は図を作り、必要な説明や証明を全部残して講師が確認します。
必要な予備知識
平行四辺形の定義と基本的な性質、平行線と角、三角形の合同、中点、線対称移動。紙や方眼紙に自分の図を作ります。必要なら座標や一次関数の傾きを使えますが、三平方の定理や三角比は要求しません。
- 平行四辺形は二組の対辺がそれぞれ平行な四角形です。与えた条件が一組だけなのか二組なのか、対辺なのか隣り合う辺なのかを、生徒の図で確かめます。
- 判定に使える条件は、二組の対辺がそれぞれ平行、二組の対辺がそれぞれ等しい、二組の対角がそれぞれ等しい、対角線がそれぞれの中点で交わる、一組の対辺が平行でその同じ組の長さが等しい、の五つです。これらは証明された条件として扱います。
- 「一組の対辺が平行で、その長さが等しい」では、平行な組と等しい組が同じである必要があります。AB∥CDとAD=BCを、その条件と取り違えません。
- 反例を作るときは、指定された条件を一つも落としません。平行四辺形でない図でも、元の条件を満たさなければ反例にはなりません。
- 平行四辺形でない理由は、一組の対辺が非平行、対辺や対角の性質に反する、対角線が互いを二等分しない、などの根拠で示せます。見た目や近似の測定だけで決めません。
- 「その条件だけでは必ずとはいえない」は、その条件を満たす平行四辺形が一つもないという意味ではありません。反例は一つで十分ですが、いくつかの成功例だけでは必ず成り立つ証明になりません。
解き方の例
「AB=CDだけで必ず平行四辺形になる」という主張への反例として、A(0,0)、B(5,0)、C(3,2)、D(0,2)を描いたとします。この図は平行四辺形ではありませんが、AB=5、CD=3でAB=CDを満たしません。したがって、この主張の反例としては使えません。結論だけでなく条件も確認します。
「一つの角が直角なら必ず平行四辺形になる」への反例には、A(0,0)、B(6,0)、C(5,2)、D(0,3)を使えます。ABが水平、ADが垂直なので角Aは90°。しかしABは水平でCDは水平でなく、一組の対辺が非平行です。条件を満たすことと、結論を満たさないことを別々に示しました。
よくある間違い
- 平行四辺形でないことだけを示し、反例が元の条件を全部満たすかを確認しない。
- 一組と二組、同じ組と別の組、対辺と隣り合う辺を取り違える。
- 対角線の長さが等しいことや垂直なことを、互いの中点で交わることと取り違える。
- 一方の対角線がもう一方を二等分しただけで、両方が互いを二等分したことにする。
- 辺が交差した四角形や、一直線上の三点を含む図を、ここでの凸四角形の反例とする。
- 一つの反例で「必ずではない」を示したのに、「この条件を満たす平行四辺形は存在しない」と広げる。
考え方を説明する
準備14問は、条件だけで必ずいえるかを選択して自動採点します。主課題10題は生徒の図と説明全体を講師が確認します。T1〜T8では生徒が反例の形・座標・長さなどを決めて実際に描き、凸四角形であること、元の条件を全部満たすこと、平行四辺形でない根拠を示すことが必須です。T9は反例を探すのでなく、仮定から合同・平行・定義へつないだ一般の証明を行います。T10は生徒の新しい反例と、条件を強めた命題の理由を示します。図を選ぶだけ、条件名や真偽だけで完了にしません。別の成立する反例・証明・根拠を認めます。
選択14問の点数は、生徒が反例を構成し条件と結論を確かめたことの判定ではありません。主課題は紙や授業用ボードに生徒の図と根拠を残し、講師が手動で確認します。
練習する
選択欄は判断の準備です。自分の反例と証明は講師が確認し、自動で図や証明の妥当性を採点する機能ではありません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
凸四角形ABCDで、AB∥CD、AD∥BCの二組の対辺がそれぞれ平行です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
二組の対辺がそれぞれ平行なので、定義から平行四辺形です。
凸四角形ABCDで、AB∥CDだけが分かっています。ADとBCの平行は条件にありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
一組だけでは足りません。ABとCDを異なる長さの水平な辺にし、ADを垂直、BCを斜めにした凸四角形を作れます。
凸四角形ABCDで、AB=CD、AD=BCの二組の対辺がそれぞれ等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
対角線ACを加えた二つの三角形を、三組の辺がそれぞれ等しいことから合同にし、対応する錯角から二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。
凸四角形ABCDで、対角線ACとBDの長さが等しいです。中点については条件がありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
対角線が等しいだけでは足りません。横と縦の対角線をともに6とし、一方は5と1、他方は3と3に分かれる凸四角形は、対角線が互いを二等分せず反例になります。
凸四角形ABCDで、∠A=∠C、∠B=∠Dの二組の対角がそれぞれ等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
四角形の角の和360°から隣り合う角の和は180°。平行線の角の性質の逆を用いて、二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。
凸四角形ABCDで、対角線ACとBDが垂直に交わります。中点については条件がありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
垂直だけでは、互いの中点で交わるとは限りません。水平と垂直な対角線で分かれる長さを不等にした凸四角形を反例にできます。
凸四角形ABCDで、対角線の交点OでAO=CO、BO=DOがともに成り立ちます。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
交点の対頂角と二組の辺による合同から、二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。対角線が互いを二等分する条件です。
凸四角形ABCDで、∠B=∠Dの一組の対角だけが等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
対称軸上の二頂点からの距離を不等にした、左右対称の凸四角形などを反例にできます。一組の対角だけでは二組の対辺の平行を保証しません。
凸四角形ABCDで、AB∥CDかつAB=CDです。平行な組と等しい組は同じです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
同じ一組の対辺が平行で長さも等しい条件です。対角線で分けた二つの三角形について、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことから合同を示します。そこから残る一組の対辺が平行であることも導けます。
凸四角形ABCDで、交点OでAO=COです。BO=DOは条件にありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
一方だけの二等分では足りません。例えばAO=CO=4、BO=5、DO=3となる直交する二本の対角線の凸四角形を作れます。
凸四角形ABCDで、AB∥CDかつAD=BCです。平行な組と等しい組は別です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
異なる長さの平行な底辺と、対称な位置の等しい脚をもつ凸四角形が反例になります。同じ組について平行かつ等しい条件とは異なります。
凸四角形ABCDで、AB=CDの一組の対辺だけが等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
等しい一組が非平行の凸四角形も作れます。二組の対辺がそれぞれ等しいという条件には足りません。
凸四角形ABCDで、隣り合う∠Aと∠Bが、ともに90°です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
ABを水平、ADとBCを異なる長さの垂直な辺とすると、A,Bは直角でもCDは水平にならず、平行四辺形でない図を作れます。
凸四角形ABCDで、AB=BC=CD=DAで、四つの辺の長さがすべて等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
答えと解説
この条件だけで必ずいえる
四辺が等しいなら二組の対辺もそれぞれ等しいので、平行四辺形になる条件を満たします。
考え方を説明する
「一組の対辺ABとCDが平行なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で形や座標・長さを決めて作り、凸四角形の図を描いてください。AB∥CDを満たす根拠と、残るADとBCが非平行である根拠を、それぞれ示します。見た目だけで決めません。
答えと解説
例：A(0,0)、B(6,0)、C(4,3)、D(0,3)。ABとCDはどちらも水平なので平行。ADは垂直ですがBCは垂直でなく、ADとBCは平行でない。条件AB∥CDを満たす一方で二組の対辺は平行にならず、反例となる。生徒の別の凸四角形と根拠でもよい。
生徒が決めて描いた凸四角形、指定された組の平行、もう一組の非平行という二つの確認を見る。「平行四辺形でない」だけでは反例の条件確認を省かない。
「一組の対辺ABとCDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形の図で作ってください。AB=CDの等しさを対称移動や合同などで確かめ、平行四辺形ではない理由も示します。等しく見える、というだけの測定では済ませません。
答えと解説
例：A(0,0)、B(2,−1)、C(2,5)、D(0,4)。直線y=2の対称移動でA↔D、B↔Cと対応するのでAB=DC。ABの傾きは−1/2、CDの傾きは1/2で非平行。よって条件の等しい一組を保ちながら、平行四辺形でない凸四角形となる。
生徒の図、等しい辺の根拠と、定義または必要な性質に反する根拠を見る。座標の傾きに限らず、正しい対称・合同・角の説明も認める。
「二本の対角線ACとBDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で凸四角形として描いてください。対角線が等しい根拠と、それでも平行四辺形でない根拠を両方示します。中点で交わることを勝手に条件へ加えません。
答えと解説
例：A(0,5)、B(−3,0)、C(0,−1)、D(3,0)。縦のACは6、横のBDも6で等しい。交点O(0,0)でAO=5、CO=1なのでACは二等分されない。平行四辺形の対角線は互いを二等分するという性質に反するため、平行四辺形ではない。
生徒の凸四角形、対角線の長さの等しさ、互いの中点と違うことなどの否定の根拠を見る。対角線を辺と取り違えない。
「二本の対角線ACとBDが垂直なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。対角線の垂直と、平行四辺形でないことを別々に確かめます。直角という条件と、互いの中点で交わるという条件を混同しません。
答えと解説
例：A(−2,0)、B(0,3)、C(4,0)、D(0,−1)。ACは水平、BDは垂直なので直交する。しかしO(0,0)でAO=2、CO=4となり、互いの中点で交わらない。平行四辺形の対角線の性質に反するため、平行四辺形でない反例となる。
生徒が作った直交する対角線と凸四角形、垂直の根拠、二等分などの必要な性質に反する根拠を確認する。
「一組の対角∠Bと∠Dが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形で作ってください。等しい角は向かい合う二角です。その等しさと、平行四辺形でないことを、対称移動や角・辺・対角線などの根拠で説明します。
答えと解説
例：A(0,4)、B(−3,0)、C(0,−2)、D(3,0)。直線ACを軸とする対称移動でBとDが対応するので∠ABC=∠CDA。しかしABの傾き4/3とCDの傾き2/3は異なり、この一組の対辺は非平行。したがって平行四辺形でない。
生徒の向かい合うB,Dの角が等しい根拠、凸四角形であること、結論を満たさない根拠を見る。隣り合う角に条件を置き換えない。
凸四角形ABCDの対角線の交点をOとします。「AO=COなら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を自分で作り、図を描いてください。一方の対角線がもう一方を二等分することを満たしながら、平行四辺形でない根拠を示します。BO=DOを条件に加えません。
答えと解説
例：A(−4,0)、B(0,5)、C(4,0)、D(0,−3)、O(0,0)。AO=CO=4なのでBDはACを二等分する。しかしBO=5、DO=3でBDは二等分されない。平行四辺形なら二本の対角線は互いを二等分するので、この凸四角形は平行四辺形でない。
生徒の交点を内部にもつ二本の対角線、指定された一方の二等分、もう一方で実際に長さが異なることと結論を確認する。単にBO=DOが与えられていない、だけで非平行四辺形としない。
「AB∥CDで、AD=BCでもあれば、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。平行な組と長さが等しい組は別です。両方の条件を同時に満たすことと、それでも平行四辺形でないことを、それぞれ根拠を付けて示します。
答えと解説
例：A(−4,0)、B(4,0)、C(2,4)、D(−2,4)。ABとCDは水平で平行。縦の対称軸によってADとBCが対応するので長さは等しい。しかしAB=8、CD=4で対辺の長さが等しくない。平行四辺形の対辺は等しいという性質に反するため、反例となる。
生徒が二つの条件をともに保った凸四角形を描くこと、同じ組の平行かつ等しい条件と区別すること、非平行四辺形の根拠を見ます。
「隣り合う∠Aと∠Bの和が180°なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。必要なら二角をどちらも直角にして構いません。角の和という条件を満たす根拠と、二組の対辺が平行にはならない根拠を示します。
答えと解説
例：A(0,0)、B(4,0)、C(4,2)、D(0,4)。ABは水平でADとBCは垂直なので、A,Bの角は各90°、和180°。しかしABは水平でCDは水平でなく、ABとCDは非平行。よって条件を満たしても平行四辺形ではない。
生徒の図、指定された隣り合う二角の和180°、一組の非平行の根拠を見る。二角の和だけから、二組とも平行だとしない。
今度はAB∥CDかつAB=CDという、同じ組の対辺についての条件です。自分の凸四角形の図に対角線BDを加え、この条件なら必ず平行四辺形になることを、合同と平行線の角から全部証明してください。今示す条件名を言うだけで済ませず、二組の対辺の平行まで導きます。
答えと解説
△ABDと△CDBで、AB=CDは仮定、BD=DBは共通、∠ABD=∠CDBはAB∥CDの錯角。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同。対応する角から∠ADB=∠CBDとなり、錯角が等しいのでAD∥BC。仮定AB∥CDと合わせ二組の対辺が平行なので、定義より平行四辺形。
生徒の対角線BDを示す凸四角形、三つの等しさと各根拠、対応順ABD/CDB、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいという合同条件、もう一組の平行、定義までを確認する。これは反例でなく一般の証明を行う課題。
自分で、平行四辺形になるための条件としては足りない命題を一つ作ります。条件を全部満たしても平行四辺形でない凸四角形を自分で描き、両方の根拠を示してください。その一般の命題の条件をどう強めれば必ずいえるか、強めた条件と理由も書きます。前の設問の図や数値をそのまま写すだけで済ませません。
答えと解説
例：「向かい合うA,Cがともに直角なら平行四辺形」とする。共通なBDの上側へ、B,Dの底角が各45°の△BADを、下側へBの角30°・Dの角60°の△BCDを作る。A=C=90°だが、四角形のB=75°、D=105°で対角が等しくなく反例。一般の条件を「さらにBも直角」と強めれば、四角形の角の和からDも直角。二組の対辺がそれぞれ平行になり、平行四辺形といえる。
生徒が考えた命題と凸四角形の反例、条件を満たす根拠と結論を満たさない根拠、条件を強めた別の一般の命題が成り立つ理由を見る。反例そのものに矛盾する条件を後付けした図を要求せず、別の有効な命題と構成を認める。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)イ(ア)、冊子114/PDF118の平行四辺形になる条件と反例に沿います。反例では仮定を満たし結論を満たさない図を作ること、成り立つ命題には根拠をつないだ証明を与えることを区別します。特別な四角形どうしの包含関係は次のテーマへ分け、ここでは平行四辺形の条件の組合せを扱います。 · 2026-11-02
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 平行四辺形になる条件を、自分の反例と比べる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/test-parallelogram-conditions-with-own-counterexamples/
準備14問は、条件だけで必ずいえるかを選択して自動採点します。主課題10題は生徒の図と説明全体を講師が確認します。T1〜T8では生徒が反例の形・座標・長さなどを決めて実際に描き、凸四角形であること、元の条件を全部満たすこと、平行四辺形でない根拠を示すことが必須です。T9は反例を探すのでなく、仮定から合同・平行・定義へつないだ一般の証明を行います。T10は生徒の新しい反例と、条件を強めた命題の理由を示します。図を選ぶだけ、条件名や真偽だけで完了にしません。別の成立する反例・証明・根拠を認めます。
凸四角形ABCDで、AB∥CD、AD∥BCの二組の対辺がそれぞれ平行です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB∥CDだけが分かっています。ADとBCの平行は条件にありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB=CD、AD=BCの二組の対辺がそれぞれ等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、対角線ACとBDの長さが等しいです。中点については条件がありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、∠A=∠C、∠B=∠Dの二組の対角がそれぞれ等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、対角線ACとBDが垂直に交わります。中点については条件がありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、対角線の交点OでAO=CO、BO=DOがともに成り立ちます。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、∠B=∠Dの一組の対角だけが等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB∥CDかつAB=CDです。平行な組と等しい組は同じです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、交点OでAO=COです。BO=DOは条件にありません。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB∥CDかつAD=BCです。平行な組と等しい組は別です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB=CDの一組の対辺だけが等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
- この条件だけで必ずいえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、隣り合う∠Aと∠Bが、ともに90°です。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸四角形ABCDで、AB=BC=CD=DAで、四つの辺の長さがすべて等しいです。 この条件だけで、必ず平行四辺形だといえますか。
- この条件だけで必ずいえる
- 条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
「一組の対辺ABとCDが平行なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で形や座標・長さを決めて作り、凸四角形の図を描いてください。AB∥CDを満たす根拠と、残るADとBCが非平行である根拠を、それぞれ示します。見た目だけで決めません。
「一組の対辺ABとCDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形の図で作ってください。AB=CDの等しさを対称移動や合同などで確かめ、平行四辺形ではない理由も示します。等しく見える、というだけの測定では済ませません。
「二本の対角線ACとBDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で凸四角形として描いてください。対角線が等しい根拠と、それでも平行四辺形でない根拠を両方示します。中点で交わることを勝手に条件へ加えません。
「二本の対角線ACとBDが垂直なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。対角線の垂直と、平行四辺形でないことを別々に確かめます。直角という条件と、互いの中点で交わるという条件を混同しません。
「一組の対角∠Bと∠Dが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形で作ってください。等しい角は向かい合う二角です。その等しさと、平行四辺形でないことを、対称移動や角・辺・対角線などの根拠で説明します。
凸四角形ABCDの対角線の交点をOとします。「AO=COなら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を自分で作り、図を描いてください。一方の対角線がもう一方を二等分することを満たしながら、平行四辺形でない根拠を示します。BO=DOを条件に加えません。
「AB∥CDで、AD=BCでもあれば、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。平行な組と長さが等しい組は別です。両方の条件を同時に満たすことと、それでも平行四辺形でないことを、それぞれ根拠を付けて示します。
「隣り合う∠Aと∠Bの和が180°なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。必要なら二角をどちらも直角にして構いません。角の和という条件を満たす根拠と、二組の対辺が平行にはならない根拠を示します。
今度はAB∥CDかつAB=CDという、同じ組の対辺についての条件です。自分の凸四角形の図に対角線BDを加え、この条件なら必ず平行四辺形になることを、合同と平行線の角から全部証明してください。今示す条件名を言うだけで済ませず、二組の対辺の平行まで導きます。
自分で、平行四辺形になるための条件としては足りない命題を一つ作ります。条件を全部満たしても平行四辺形でない凸四角形を自分で描き、両方の根拠を示してください。その一般の命題の条件をどう強めれば必ずいえるか、強めた条件と理由も書きます。前の設問の図や数値をそのまま写すだけで済ませません。
解答: 平行四辺形になる条件を、自分の反例と比べる
この条件だけで必ずいえる
二組の対辺がそれぞれ平行なので、定義から平行四辺形です。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
一組だけでは足りません。ABとCDを異なる長さの水平な辺にし、ADを垂直、BCを斜めにした凸四角形を作れます。
この条件だけで必ずいえる
対角線ACを加えた二つの三角形を、三組の辺がそれぞれ等しいことから合同にし、対応する錯角から二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
対角線が等しいだけでは足りません。横と縦の対角線をともに6とし、一方は5と1、他方は3と3に分かれる凸四角形は、対角線が互いを二等分せず反例になります。
この条件だけで必ずいえる
四角形の角の和360°から隣り合う角の和は180°。平行線の角の性質の逆を用いて、二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
垂直だけでは、互いの中点で交わるとは限りません。水平と垂直な対角線で分かれる長さを不等にした凸四角形を反例にできます。
この条件だけで必ずいえる
交点の対頂角と二組の辺による合同から、二組の対辺がそれぞれ平行だと示せます。対角線が互いを二等分する条件です。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
対称軸上の二頂点からの距離を不等にした、左右対称の凸四角形などを反例にできます。一組の対角だけでは二組の対辺の平行を保証しません。
この条件だけで必ずいえる
同じ一組の対辺が平行で長さも等しい条件です。対角線で分けた二つの三角形について、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことから合同を示します。そこから残る一組の対辺が平行であることも導けます。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
一方だけの二等分では足りません。例えばAO=CO=4、BO=5、DO=3となる直交する二本の対角線の凸四角形を作れます。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
異なる長さの平行な底辺と、対称な位置の等しい脚をもつ凸四角形が反例になります。同じ組について平行かつ等しい条件とは異なります。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
等しい一組が非平行の凸四角形も作れます。二組の対辺がそれぞれ等しいという条件には足りません。
条件を満たしても平行四辺形でない場合がある
ABを水平、ADとBCを異なる長さの垂直な辺とすると、A,Bは直角でもCDは水平にならず、平行四辺形でない図を作れます。
この条件だけで必ずいえる
四辺が等しいなら二組の対辺もそれぞれ等しいので、平行四辺形になる条件を満たします。
記述問題の解答・確認の観点
「一組の対辺ABとCDが平行なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で形や座標・長さを決めて作り、凸四角形の図を描いてください。AB∥CDを満たす根拠と、残るADとBCが非平行である根拠を、それぞれ示します。見た目だけで決めません。
例：A(0,0)、B(6,0)、C(4,3)、D(0,3)。ABとCDはどちらも水平なので平行。ADは垂直ですがBCは垂直でなく、ADとBCは平行でない。条件AB∥CDを満たす一方で二組の対辺は平行にならず、反例となる。生徒の別の凸四角形と根拠でもよい。
生徒が決めて描いた凸四角形、指定された組の平行、もう一組の非平行という二つの確認を見る。「平行四辺形でない」だけでは反例の条件確認を省かない。
「一組の対辺ABとCDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形の図で作ってください。AB=CDの等しさを対称移動や合同などで確かめ、平行四辺形ではない理由も示します。等しく見える、というだけの測定では済ませません。
例：A(0,0)、B(2,−1)、C(2,5)、D(0,4)。直線y=2の対称移動でA↔D、B↔Cと対応するのでAB=DC。ABの傾きは−1/2、CDの傾きは1/2で非平行。よって条件の等しい一組を保ちながら、平行四辺形でない凸四角形となる。
生徒の図、等しい辺の根拠と、定義または必要な性質に反する根拠を見る。座標の傾きに限らず、正しい対称・合同・角の説明も認める。
「二本の対角線ACとBDの長さが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分で凸四角形として描いてください。対角線が等しい根拠と、それでも平行四辺形でない根拠を両方示します。中点で交わることを勝手に条件へ加えません。
例：A(0,5)、B(−3,0)、C(0,−1)、D(3,0)。縦のACは6、横のBDも6で等しい。交点O(0,0)でAO=5、CO=1なのでACは二等分されない。平行四辺形の対角線は互いを二等分するという性質に反するため、平行四辺形ではない。
生徒の凸四角形、対角線の長さの等しさ、互いの中点と違うことなどの否定の根拠を見る。対角線を辺と取り違えない。
「二本の対角線ACとBDが垂直なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。対角線の垂直と、平行四辺形でないことを別々に確かめます。直角という条件と、互いの中点で交わるという条件を混同しません。
例：A(−2,0)、B(0,3)、C(4,0)、D(0,−1)。ACは水平、BDは垂直なので直交する。しかしO(0,0)でAO=2、CO=4となり、互いの中点で交わらない。平行四辺形の対角線の性質に反するため、平行四辺形でない反例となる。
生徒が作った直交する対角線と凸四角形、垂直の根拠、二等分などの必要な性質に反する根拠を確認する。
「一組の対角∠Bと∠Dが等しければ、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の凸四角形で作ってください。等しい角は向かい合う二角です。その等しさと、平行四辺形でないことを、対称移動や角・辺・対角線などの根拠で説明します。
例：A(0,4)、B(−3,0)、C(0,−2)、D(3,0)。直線ACを軸とする対称移動でBとDが対応するので∠ABC=∠CDA。しかしABの傾き4/3とCDの傾き2/3は異なり、この一組の対辺は非平行。したがって平行四辺形でない。
生徒の向かい合うB,Dの角が等しい根拠、凸四角形であること、結論を満たさない根拠を見る。隣り合う角に条件を置き換えない。
凸四角形ABCDの対角線の交点をOとします。「AO=COなら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を自分で作り、図を描いてください。一方の対角線がもう一方を二等分することを満たしながら、平行四辺形でない根拠を示します。BO=DOを条件に加えません。
例：A(−4,0)、B(0,5)、C(4,0)、D(0,−3)、O(0,0)。AO=CO=4なのでBDはACを二等分する。しかしBO=5、DO=3でBDは二等分されない。平行四辺形なら二本の対角線は互いを二等分するので、この凸四角形は平行四辺形でない。
生徒の交点を内部にもつ二本の対角線、指定された一方の二等分、もう一方で実際に長さが異なることと結論を確認する。単にBO=DOが与えられていない、だけで非平行四辺形としない。
「AB∥CDで、AD=BCでもあれば、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。平行な組と長さが等しい組は別です。両方の条件を同時に満たすことと、それでも平行四辺形でないことを、それぞれ根拠を付けて示します。
例：A(−4,0)、B(4,0)、C(2,4)、D(−2,4)。ABとCDは水平で平行。縦の対称軸によってADとBCが対応するので長さは等しい。しかしAB=8、CD=4で対辺の長さが等しくない。平行四辺形の対辺は等しいという性質に反するため、反例となる。
生徒が二つの条件をともに保った凸四角形を描くこと、同じ組の平行かつ等しい条件と区別すること、非平行四辺形の根拠を見ます。
「隣り合う∠Aと∠Bの和が180°なら、必ず平行四辺形になる」という主張への反例を、自分の図で作ってください。必要なら二角をどちらも直角にして構いません。角の和という条件を満たす根拠と、二組の対辺が平行にはならない根拠を示します。
例：A(0,0)、B(4,0)、C(4,2)、D(0,4)。ABは水平でADとBCは垂直なので、A,Bの角は各90°、和180°。しかしABは水平でCDは水平でなく、ABとCDは非平行。よって条件を満たしても平行四辺形ではない。
生徒の図、指定された隣り合う二角の和180°、一組の非平行の根拠を見る。二角の和だけから、二組とも平行だとしない。
今度はAB∥CDかつAB=CDという、同じ組の対辺についての条件です。自分の凸四角形の図に対角線BDを加え、この条件なら必ず平行四辺形になることを、合同と平行線の角から全部証明してください。今示す条件名を言うだけで済ませず、二組の対辺の平行まで導きます。
△ABDと△CDBで、AB=CDは仮定、BD=DBは共通、∠ABD=∠CDBはAB∥CDの錯角。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同。対応する角から∠ADB=∠CBDとなり、錯角が等しいのでAD∥BC。仮定AB∥CDと合わせ二組の対辺が平行なので、定義より平行四辺形。
生徒の対角線BDを示す凸四角形、三つの等しさと各根拠、対応順ABD/CDB、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいという合同条件、もう一組の平行、定義までを確認する。これは反例でなく一般の証明を行う課題。
自分で、平行四辺形になるための条件としては足りない命題を一つ作ります。条件を全部満たしても平行四辺形でない凸四角形を自分で描き、両方の根拠を示してください。その一般の命題の条件をどう強めれば必ずいえるか、強めた条件と理由も書きます。前の設問の図や数値をそのまま写すだけで済ませません。
例：「向かい合うA,Cがともに直角なら平行四辺形」とする。共通なBDの上側へ、B,Dの底角が各45°の△BADを、下側へBの角30°・Dの角60°の△BCDを作る。A=C=90°だが、四角形のB=75°、D=105°で対角が等しくなく反例。一般の条件を「さらにBも直角」と強めれば、四角形の角の和からDも直角。二組の対辺がそれぞれ平行になり、平行四辺形といえる。
生徒が考えた命題と凸四角形の反例、条件を満たす根拠と結論を満たさない根拠、条件を強めた別の一般の命題が成り立つ理由を見る。反例そのものに矛盾する条件を後付けした図を要求せず、別の有効な命題と構成を認める。