中2 数学：文字式による整数の性質の説明の練習問題
中2数学の式による説明。任意の整数を文字で表し、偶数・奇数・倍数の形と根拠を確かめる16問と、全文を書く記述問題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2 A(1) 文字を用いた式・ア(イ)、イ(イ)。数学編の冊子102〜104ページ（PDF106〜108ページ）。
解説を読む
数例を調べることと、すべての整数について説明することを分けます。文字の範囲、式の変形、整数である根拠をつなぎます。
必要な予備知識
中1の一次方程式、正負の数と分数の計算、文字式の分配法則を確認してから取り組みます。
- m、nなどは整数と定めます。偶数は2m、奇数は2n + 1と表せます。
- 二つの任意の整数を、同じ一つの文字だけで限定しないようにします。
- 倍数の形に直し、かっこの中が整数であることを根拠にします。
- 選択式の確認だけで全文を書けるとは判断せず、記述問題で説明します。
解き方の例
二つの5の倍数を5m、5n（m、nは整数）とすると、差は5m − 5n = 5(m − n)。m − nは整数なので、差も5の倍数です。
よくある間違い
- いくつかの具体例だけで、すべての場合を証明したとする。
- 「2×何か」の何かが整数であることを確かめない。
- 任意の二つの奇数をどちらも2n + 1と表し、同じ数に限定する。
考え方を説明する
選択肢を自動採点します。文字の範囲、式変形、整数性、結論をつないだ説明は講師が記述で確認します。
自動採点は選んだ答えまたは二つの数値だけです。解き方、立式、途中式、単位、理由は自動採点しません。紙や記述欄で講師と確かめます。
練習する
四つの選択肢から一つ選びます。代入の計算や式の意味、理由は紙や記述欄に書き、講師と確かめてください。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
m、nは整数です。二つの偶数2m、2nの和を、偶数とわかる形にした式を選んでください。
- 4mn
- m + n + 2
- 2(m + n)
- 2(m + n) + 1
答えと解説
2(m + n)
2m + 2n = 2(m + n)。m + nは整数なので偶数です。
m、nは整数です。二つの奇数2m + 1、2n + 1の和に等しい式を選んでください。
- 2(m + n + 1)
- 2(m + n) + 1
- (2m + 1)(2n + 1)
- 2m + 2n
答えと解説
2(m + n + 1)
和は2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)。かっこの中は整数です。
m、nは整数です。偶数2mと奇数2n + 1の和はどう説明できますか。
- 2(m + n + 1)なので偶数
- m + nが整数なので偶数
- 正の数なので奇数
- 2(m + n) + 1なので奇数
答えと解説
2(m + n) + 1なので奇数
和は2(m + n) + 1。m + nは整数なので奇数です。
二つの奇数2m + 1、2n + 1（m、nは整数）の差が偶数だとわかる式はどれですか。
- 2(m + n)
- 2(m − n)
- 2(m − n) + 1
- 2m − (2n + 1)
答えと解説
2(m − n)
(2m + 1) − (2n + 1) = 2(m − n)。m − nは整数です。
nは整数です。連続する二つの整数n、n + 1の和はどれですか。
- 2n + 1
- (n + 1) + (n + 1)
- n + (n − 1)
- n(n + 1)
答えと解説
2n + 1
n + (n + 1) = 2n + 1なので、和は奇数です。
連続する二つの奇数2n + 1、2n + 3の和を4の倍数とわかる形にした式はどれですか。
- 4n + 2
- 2(n + 2)
- 4(n + 1)
- 4(n + 2)
答えと解説
4(n + 1)
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)。
連続する二つの偶数2n、2n + 2の和について、いつでも正しい説明はどれですか。
- いつでも4の倍数
- 2(2n + 1)なので偶数だが4の倍数とは限らない
- いつでも奇数
- nが正のときだけ偶数
答えと解説
2(2n + 1)なので偶数だが4の倍数とは限らない
和は4n + 2 = 2(2n + 1)。例えば2と4の和6は4の倍数ではありません。
連続する三つの整数n − 1、n、n + 1の和はどれですか。
- 3n + 1
- 3n + 3
- n³
- 3n
答えと解説
3n
(n − 1) + n + (n + 1) = 3n。和は中央の整数の3倍です。
連続する三つの奇数2n − 1、2n + 1、2n + 3の和に等しい式はどれですか。
- 3(2n + 3)
- 6n + 1
- 6n − 3
- 3(2n + 1)
答えと解説
3(2n + 1)
和は6n + 3 = 3(2n + 1)。かっこの中は中央の奇数です。
a、bは1から9の整数です。二けたの整数10a + bから、位を逆にした10b + aをひいた式はどれですか。
- 9(a + b)
- 9(a − b)
- 10a + b − 10b + a
- 11a + 11b
答えと解説
9(a − b)
10a + b − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)。
m、nは整数です。2(m + n + 1)が偶数だと言える直接の根拠はどれですか。
- m + n + 1が整数だから
- mとnはどちらも正だから
- mとnはどちらも偶数だから
- かっこがあるから
答えと解説
m + n + 1が整数だから
偶数は整数の2倍です。m + n + 1が整数であることを使います。
「二つの奇数の和は偶数」をいくつかの数例で確認しました。すべての奇数について説明するために必要なのはどれですか。
- 正の奇数だけを十個調べる
- 一番大きい奇数を調べる
- 任意の二つを文字で表し、整数の2倍の形を示す
- 同じ奇数どうしだけを調べる
答えと解説
任意の二つを文字で表し、整数の2倍の形を示す
有限個の例だけではすべての場合を尽くせません。任意の整数m、nを使って説明します。
任意の二つの奇数を表すとき、適切な書き方はどれですか。
- 2n + 1、2n + 1だけを使う
- 2m + 1、2n + 1（m、nはそれぞれ整数）
- m、nを正の偶数だけにする
- m、nを小数だけにする
答えと解説
2m + 1、2n + 1（m、nはそれぞれ整数）
別々の整数m、nなら、異なる奇数も同じ奇数も含めて表せます。同じ文字だけでは同じ奇数に限定されます。
「二つの奇数の和はいつでも4の倍数」の反例になる組はどれですか。
- 1と3
- −5と13
- −7と19
- 1と5
答えと解説
1と5
1 + 5 = 6は4の倍数ではありません。他の三組の和は4、8、12です。
m、nは整数です。二つの3の倍数3m、3nの差が3の倍数だとわかる式はどれですか。
- 3(m + n)
- 9mn
- 3(m − n)
- 3m − n
答えと解説
3(m − n)
3m − 3n = 3(m − n)。m − nは整数なので差も3の倍数です。
連続する三つの3の倍数3n、3(n + 1)、3(n + 2)の和はどれですか。
- 9(n + 1)
- 3(n + 1)
- 9n + 3
- 3(n + 2)
答えと解説
9(n + 1)
和は3n + 3n + 3 + 3n + 6 = 9n + 9 = 9(n + 1)。
考え方を説明する
連続する四つの整数の和が偶数になることを、文字を使って説明してください。
答えと解説
n、n + 1、n + 2、n + 3（nは整数）とすると、和は4n + 6 = 2(2n + 3)。2n + 3は整数なので和は偶数。
連続性、四つの数を尽くす表し方、変形、整数性と結論を確認します。
二つの偶数の積が4の倍数になることを説明してください。
答えと解説
二つの偶数を2m、2n（m、nは整数）とすると積は4mn。mnは整数なので4の倍数。
任意の二つの整数と積の整数性を明示しているか確認します。
十の位と一の位がどちらも0でない二けたの整数と、位を逆にした整数の和が11の倍数になることを説明してください。
答えと解説
数字をa、b（1から9の整数）とすると和は(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)。a + bは整数なので11の倍数。
位取り、数字の範囲、和の式、整数性を確認します。
連続する三つの偶数の和が6の倍数になることを説明してください。
答えと解説
2n、2n + 2、2n + 4（nは整数）とすると和は6n + 6 = 6(n + 1)。n + 1は整数なので6の倍数。
連続する偶数の間隔2と、6の倍数の形を結び付けて説明しているか確認します。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/algebraic-reasoning/
選択肢を自動採点します。文字の範囲、式変形、整数性、結論をつないだ説明は講師が記述で確認します。
m、nは整数です。二つの偶数2m、2nの和を、偶数とわかる形にした式を選んでください。
- 4mn
- m + n + 2
- 2(m + n)
- 2(m + n) + 1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
m、nは整数です。二つの奇数2m + 1、2n + 1の和に等しい式を選んでください。
- 2(m + n + 1)
- 2(m + n) + 1
- (2m + 1)(2n + 1)
- 2m + 2n
途中の計算・単位・理由・確認答え:
m、nは整数です。偶数2mと奇数2n + 1の和はどう説明できますか。
- 2(m + n + 1)なので偶数
- m + nが整数なので偶数
- 正の数なので奇数
- 2(m + n) + 1なので奇数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの奇数2m + 1、2n + 1（m、nは整数）の差が偶数だとわかる式はどれですか。
- 2(m + n)
- 2(m − n)
- 2(m − n) + 1
- 2m − (2n + 1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは整数です。連続する二つの整数n、n + 1の和はどれですか。
- 2n + 1
- (n + 1) + (n + 1)
- n + (n − 1)
- n(n + 1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する二つの奇数2n + 1、2n + 3の和を4の倍数とわかる形にした式はどれですか。
- 4n + 2
- 2(n + 2)
- 4(n + 1)
- 4(n + 2)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する二つの偶数2n、2n + 2の和について、いつでも正しい説明はどれですか。
- いつでも4の倍数
- 2(2n + 1)なので偶数だが4の倍数とは限らない
- いつでも奇数
- nが正のときだけ偶数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する三つの整数n − 1、n、n + 1の和はどれですか。
- 3n + 1
- 3n + 3
- n³
- 3n
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する三つの奇数2n − 1、2n + 1、2n + 3の和に等しい式はどれですか。
- 3(2n + 3)
- 6n + 1
- 6n − 3
- 3(2n + 1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a、bは1から9の整数です。二けたの整数10a + bから、位を逆にした10b + aをひいた式はどれですか。
- 9(a + b)
- 9(a − b)
- 10a + b − 10b + a
- 11a + 11b
途中の計算・単位・理由・確認答え:
m、nは整数です。2(m + n + 1)が偶数だと言える直接の根拠はどれですか。
- m + n + 1が整数だから
- mとnはどちらも正だから
- mとnはどちらも偶数だから
- かっこがあるから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「二つの奇数の和は偶数」をいくつかの数例で確認しました。すべての奇数について説明するために必要なのはどれですか。
- 正の奇数だけを十個調べる
- 一番大きい奇数を調べる
- 任意の二つを文字で表し、整数の2倍の形を示す
- 同じ奇数どうしだけを調べる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
任意の二つの奇数を表すとき、適切な書き方はどれですか。
- 2n + 1、2n + 1だけを使う
- 2m + 1、2n + 1（m、nはそれぞれ整数）
- m、nを正の偶数だけにする
- m、nを小数だけにする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「二つの奇数の和はいつでも4の倍数」の反例になる組はどれですか。
- 1と3
- −5と13
- −7と19
- 1と5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
m、nは整数です。二つの3の倍数3m、3nの差が3の倍数だとわかる式はどれですか。
- 3(m + n)
- 9mn
- 3(m − n)
- 3m − n
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する三つの3の倍数3n、3(n + 1)、3(n + 2)の和はどれですか。
- 9(n + 1)
- 3(n + 1)
- 9n + 3
- 3(n + 2)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
連続する四つの整数の和が偶数になることを、文字を使って説明してください。
二つの偶数の積が4の倍数になることを説明してください。
十の位と一の位がどちらも0でない二けたの整数と、位を逆にした整数の和が11の倍数になることを説明してください。
連続する三つの偶数の和が6の倍数になることを説明してください。
解答: 文字式で整数の性質を説明する
2(m + n)
2m + 2n = 2(m + n)。m + nは整数なので偶数です。
2(m + n + 1)
和は2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)。かっこの中は整数です。
2(m + n) + 1なので奇数
和は2(m + n) + 1。m + nは整数なので奇数です。
2(m − n)
(2m + 1) − (2n + 1) = 2(m − n)。m − nは整数です。
2n + 1
n + (n + 1) = 2n + 1なので、和は奇数です。
4(n + 1)
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)。
2(2n + 1)なので偶数だが4の倍数とは限らない
和は4n + 2 = 2(2n + 1)。例えば2と4の和6は4の倍数ではありません。
3n
(n − 1) + n + (n + 1) = 3n。和は中央の整数の3倍です。
3(2n + 1)
和は6n + 3 = 3(2n + 1)。かっこの中は中央の奇数です。
9(a − b)
10a + b − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)。
m + n + 1が整数だから
偶数は整数の2倍です。m + n + 1が整数であることを使います。
任意の二つを文字で表し、整数の2倍の形を示す
有限個の例だけではすべての場合を尽くせません。任意の整数m、nを使って説明します。
2m + 1、2n + 1（m、nはそれぞれ整数）
別々の整数m、nなら、異なる奇数も同じ奇数も含めて表せます。同じ文字だけでは同じ奇数に限定されます。
1と5
1 + 5 = 6は4の倍数ではありません。他の三組の和は4、8、12です。
3(m − n)
3m − 3n = 3(m − n)。m − nは整数なので差も3の倍数です。
9(n + 1)
和は3n + 3n + 3 + 3n + 6 = 9n + 9 = 9(n + 1)。
記述問題の解答・確認の観点
連続する四つの整数の和が偶数になることを、文字を使って説明してください。
n、n + 1、n + 2、n + 3（nは整数）とすると、和は4n + 6 = 2(2n + 3)。2n + 3は整数なので和は偶数。
連続性、四つの数を尽くす表し方、変形、整数性と結論を確認します。
二つの偶数の積が4の倍数になることを説明してください。
二つの偶数を2m、2n（m、nは整数）とすると積は4mn。mnは整数なので4の倍数。
任意の二つの整数と積の整数性を明示しているか確認します。
十の位と一の位がどちらも0でない二けたの整数と、位を逆にした整数の和が11の倍数になることを説明してください。
数字をa、b（1から9の整数）とすると和は(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)。a + bは整数なので11の倍数。
位取り、数字の範囲、和の式、整数性を確認します。
連続する三つの偶数の和が6の倍数になることを説明してください。
2n、2n + 2、2n + 4（nは整数）とすると和は6n + 6 = 6(n + 1)。n + 1は整数なので6の倍数。
連続する偶数の間隔2と、6の倍数の形を結び付けて説明しているか確認します。