中2 数学：連立方程式の解と直線の交点の練習問題
点が二つの式のどちらを満たすか選ぶ14問と、二直線を実際にかき、交点・平行・一致と連立方程式の解の意味を説明する10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2A(2)ア(ア)(イ)・C(1)ア(ウ)。冊子105〜107/PDF109〜111、冊子118/PDF122。二つの式を同時に満たす値の組と二直線の共通の点を結び付けます。
解説を読む
一つの二元一次方程式を満たすxとyの組は、その式のグラフ上の点に対応します。連立方程式の解は二つの式を同時に満たす組なので、二直線の共通の点に対応します。交わる場合だけでなく、平行な場合や二直線が重なる場合も自分の作図で考えます。この練習ではx、yを整数だけに限定せず、座標平面上の直線全体を扱います。
必要な予備知識
中2の二元一次方程式・連立方程式の基本、一次関数の傾き・切片、座標と二点からの直線の作図。分数の座標も扱います。
- 点(x,y)が式を満たすかは、x座標とy座標を正しい順に代入して確かめます。
- 一方の式だけを満たす点は、その直線上にあっても連立方程式の解ではありません。両方を満たす必要があります。
- 異なる二直線が交われば、その交点の座標がただ一つの解に対応します。
- 傾きが等しく切片が異なる二直線は平行で、共通の点がなく、連立方程式の解もありません。
- 二つの式が同じ直線を表すなら、その直線上のすべての点が共通です。解は無数にあり、座標平面のすべての点が解になるわけではありません。
- 小さく描いた範囲に交点が見えないだけでは、直線全体に交点がないとは言えません。描く範囲を変えるか、式でも調べます。
解き方の例
①y=x＋1、②y=−x＋7では、点(3,4)は4=3＋1と4=−3＋7を満たします。二直線の共通の点であり、x=3、y=4が連立方程式の解です。点(0,1)は①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①y=3x−2、②y=3x＋1は、傾きが等しく切片が異なるため平行です。同じxでyの値がいつも3だけ違うので共通の点はなく、両方を同時に満たす組もありません。
よくある間違い
- 一つの式で合った点を、もう一つの式で確かめずに連立方程式の解とする。
- x座標とy座標を入れ替えたまま代入する。
- 二直線が重なるとき、一つの点だけが解だと思ったり、座標平面のどの点でも解だと思ったりする。
- 画面や紙の狭い範囲に交点が見えないだけで、解がないと決める。
- 作図で読み取ったおよその座標と、式で確認した正確な座標を区別しない。
考え方を説明する
14問は点が満たす式の分類だけを自動採点します。記述10題では、講師が生徒の座標軸・目盛り・二直線と作図に使った点を確認します。共通の点の有無、元の二式への代入、解との対応についての生徒の説明も確認します。平行・一致の理由、生徒が作った例、表示範囲の限界も各課題の条件に応じて見ます。正しい別法・同じ値の数の表し方も認めます。
選択した分類だけを自動採点します。記述問題では、方眼紙や授業用ボードに実際に二直線をかき、途中式と説明を残してください。作図や説明は講師が確認します。
練習する
点のx座標、y座標を①と②へそれぞれ代入し、満たす式の分類を一つ選びます。記述問題では、二直線を実際にかき、共通の点と連立方程式の解の関係を自分の言葉で説明してください。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
① y=2x−1、② y=−x＋4 について、点(0,4)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
②だけを満たす
①では4≠2×0−1、②では4=−0＋4です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① y=−0.5x＋3、② y=2x−2 について、点(0,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①だけを満たす
①では3=−0.5×0＋3、②では3≠2×0−2です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① x−y=2、② x+2y=4 について、点(0,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①も②も満たさない
①では0−0=0≠2、②では0＋2×0=0≠4です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
① y=2x−1、② y=−x＋1 について、点(2/3,1/3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①と②の両方を満たす
①では1/3=2×(2/3)−1、②では1/3=−2/3＋1です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
① 2x+y=5、② x−y=1 について、点(1,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①だけを満たす
①では2×1＋3=5、②では1−3=−2≠1です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① y=3x＋2、② y=−x−4 について、点(−3/2,−5/2)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①と②の両方を満たす
①では−5/2=3×(−3/2)＋2、②では−5/2=−(−3/2)−4です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
① y=(1/2)x＋1、② y=−x＋4 について、点(0,4)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
②だけを満たす
①では4≠(1/2)×0＋1、②では4=−0＋4です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① x+y=6、② 2x−y=3 について、点(0,6)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①だけを満たす
①では0＋6=6で成り立ちますが、②では2×0−6=−6で3になりません。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① y=−3x＋2、② y=2x−3 について、点(−1,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①も②も満たさない
①では0≠−3×(−1)＋2、②では0≠2×(−1)−3です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
① y=−2x＋1、② y=x＋7 について、点(−2,5)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①と②の両方を満たす
①では5=−2×(−2)＋1、②では5=−2＋7です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
① x−2y=−3、② 3x+y=5 について、点(2,−1)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
②だけを満たす
①では2−2×(−1)=4≠−3、②では3×2＋(−1)=5です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① 2x+y=−4、② x−y=2 について、点(−1,−2)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①だけを満たす
①では2×(−1)＋(−2)=−4、②では−1−(−2)=1≠2です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
① y=x＋2、② y=−2x＋5 について、点(1,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①と②の両方を満たす
点(1,3)を①へ代入すると3=1＋2、②へ代入すると3=−2×1＋5となります。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
① 3x−y=4、② x+y=2 について、点(1,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
答えと解説
①も②も満たさない
①では3×1−0=3≠4、②では1＋0=1≠2です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
考え方を説明する
①y=2x＋1、②y=−x＋7の二直線を、同じ座標平面に実際にかいてください。交点の座標を読み取り、元の二つの式に代入して確かめ、その点が連立方程式の解を表す理由を説明します。
答えと解説
①は(0,1),(2,5)、②は(0,7),(2,5)などを使ってかけます。交点は(2,5)です。5=2×2＋1、5=−2＋7で両方を満たします。二直線の共通の点は二式を同時に満たす組なので、x=2、y=5が解です。
生徒の軸・目盛り・二直線、交点、両式への代入、同時に満たすことと言葉での対応を見る。作図のための正しい別の二点も認める。
①x+y=8、②2x−y=1を表す二直線を同じ座標平面にかいてください。点(0,8)はなぜ①上にあっても連立方程式の解ではないか、図と両式への代入で説明し、共通の点も求めて確かめます。
答えと解説
①はy=−x＋8で(0,8),(3,5)、②はy=2x−1で(0,−1),(3,5)などを使えます。(0,8)は①を満たしますが②では2×0−8=−8で1になりません。共通の点は(3,5)で、3＋5=8、2×3−5=1です。両方を満たすこの点が解を表します。
一方だけを満たす点と共通点の違い、生徒の二直線、元の二式での確認を見ます。
①y=2x−1、②y=2x＋3の二直線を実際にかいてください。共通の点がない理由を、図だけでなく傾き・切片または同じxに対するyの値の違いで説明し、連立方程式の解について述べます。
答えと解説
①は(0,−1),(1,1)、②は(0,3),(1,5)などを使ってかけます。傾きは共に2で切片は異なり、二直線は平行です。同じxで②のyは①よりいつも4大きいので、両方に共通の点はなく、連立方程式の解はありません。
生徒の平行な二直線、傾き・切片または一定の差による理由、共通点と解の有無の対応を見る。狭い範囲の見た目だけを理由にしない。
①x−y=2、②2x−2y=4を表す二直線を実際にかいてください。どのように重なるか説明し、両方の式を満たす異なる二つの点と、どちらも満たさない一点を自分で挙げて代入で確かめます。解全体についても説明してください。
答えと解説
①も②もy=x−2を表すので同じ直線に重なります。例えば(0,−2)では0−(−2)=2、2×0−2×(−2)=4。(3,1)でも3−1=2、6−2=4です。(0,0)は①で0≠2、②で0≠4です。この直線上のすべての点が解で、無数にありますが、座標平面のすべての点が解なのではありません。
生徒の重なる直線、等しい関係を表す理由、生徒が選んだ二つの解と解でない一点の確認、解全体の範囲を見る。見本の点に限定しない。
①x−y=1、②x+2y=7の二直線をかきます。ある人は点(2,1)を①へ代入して合ったので、これが連立方程式の解だとしました。図と二式への代入で誤りを説明し、実際の共通の点を求めて両式で確かめてください。
答えと解説
①はy=x−1で(0,−1),(3,2)、②はy=−(1/2)x＋7/2で(1,3),(3,2)などを使えます。(2,1)は①では2−1=1ですが②では2＋2×1=4≠7です。共通点(3,2)なら3−2=1、3＋2×2=7で、両方を満たします。
生徒の作図、片方だけの確認では不足する説明、真の共通点と両式の確認を見ます。
①y=3x−2、②y=−x＋1を同じ座標平面に実際にかいてください。交点のおよその位置を図から読み取り、連立方程式を解いて正確な座標を求めます。元の二式で確かめ、図の読み取りと正確な値を区別して説明してください。
答えと解説
①は(0,−2),(1,1)、②は(0,1),(1,0)などを使ってかけます。図ではxが0.8付近、yが0.3付近と読めます。3x−2=−x＋1からx=3/4、y=1/4。①では3×(3/4)−2=1/4、②では−3/4＋1=1/4です。正確な交点は(3/4,1/4)で、図だけのおよその値とは区別します。
生徒の二直線と読み取り、代数で求めた分数の座標、両式への代入、近似と正確な値の区別を見る。特定の丸め方を要求しない。
傾きが0でない平行な二直線の式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。傾きと切片の条件、同じxに対するyの違いを示し、共通の点と連立方程式の解の有無を説明します。
答えと解説
例：y=−x＋1とy=−x−2。前者は(0,1),(1,0)、後者は(0,−2),(1,−3)などからかけます。共に傾き−1で切片が異なり、同じxでyの差はいつも3です。平行で共通点がなく、連立方程式の解もありません。生徒の別の正しい二式・作図・説明も認めます。
生徒が作った二式、0でない等しい傾きと異なる切片、作図、共通点がない理由を見ます。
同じ直線を表すが、見た目の異なる二つの二元一次方程式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。同じ関係を表す理由を説明し、異なる二点を両式で確かめ、解全体がどの点に対応するか述べます。
答えと解説
例：x+y=3と2x+2y=6。二つ目は一つ目の両辺を2倍した式で、共にy=−x＋3を表します。(0,3)と(2,1)はいずれも両式を満たし、かいた直線も重なります。この直線上のすべての点が解で、無数にあります。生徒の別の同じ直線を表す二式・点・説明も認めます。
生徒の二式が同じ関係を表すこと、実際の重なる直線、二点の代入、解全体の説明を見る。見本の倍率や点に限定しない。
①y=x＋3、②y=−2xの二直線を実際にかいてください。交点を(2,−1)とした人がいます。座標の順序を確かめて正しい交点を求め、誤った点と正しい点をどちらも元の二式で調べ、解との関係を説明します。
答えと解説
①は(0,3),(−1,2)、②は(0,0),(−1,2)などからかけます。交点は(−1,2)です。2=−1＋3、2=−2×(−1)で両方を満たします。順序を逆にした(2,−1)は、①で−1≠2＋3、②でも−1≠−2×2なので解ではありません。
生徒の作図、x・yの順序、誤答と正答を両式で検証する行、共通点との対応を見ます。
①y=x、②y=(1/2)x＋4を、まずx軸もy軸も−5から5までの範囲で実際にかいてください。この範囲で交点が見えないだけで解がないと言えるでしょうか。式から共通の点を求めて確かめ、必要に応じて描く範囲を広げ、理由を説明します。
答えと解説
狭い範囲だけでは解がないとは言えません。x=(1/2)x＋4よりx=8、y=8。①は8=8、②は8=(1/2)×8＋4で、共通点(8,8)は最初の範囲の外です。例えば両軸を−5から10までに広げれば共通点を示せます。①は(0,0),(4,4)、②は(−4,2),(0,4)などからかけます。
最初の表示範囲の生徒の二直線、見えないことと存在しないことの区別、正確な共通点と両式の確認、広げた図での対応を見る。範囲外の点を最初の図にあるとしない。
ワークシート
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2A(2)ア(ア)(イ)・C(1)ア(ウ)。冊子105〜107/PDF109〜111、冊子118/PDF122。二つの式を同時に満たす値の組と二直線の共通の点を結び付けます。 · 2026-11-02
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/interpret-systems-solutions-as-line-intersections/
14問は点が満たす式の分類だけを自動採点します。記述10題では、講師が生徒の座標軸・目盛り・二直線と作図に使った点を確認します。共通の点の有無、元の二式への代入、解との対応についての生徒の説明も確認します。平行・一致の理由、生徒が作った例、表示範囲の限界も各課題の条件に応じて見ます。正しい別法・同じ値の数の表し方も認めます。
① y=2x−1、② y=−x＋4 について、点(0,4)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=−0.5x＋3、② y=2x−2 について、点(0,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① x−y=2、② x+2y=4 について、点(0,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=2x−1、② y=−x＋1 について、点(2/3,1/3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① 2x+y=5、② x−y=1 について、点(1,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=3x＋2、② y=−x−4 について、点(−3/2,−5/2)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=(1/2)x＋1、② y=−x＋4 について、点(0,4)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① x+y=6、② 2x−y=3 について、点(0,6)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=−3x＋2、② y=2x−3 について、点(−1,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=−2x＋1、② y=x＋7 について、点(−2,5)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① x−2y=−3、② 3x+y=5 について、点(2,−1)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① 2x+y=−4、② x−y=2 について、点(−1,−2)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① y=x＋2、② y=−2x＋5 について、点(1,3)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
① 3x−y=4、② x+y=2 について、点(1,0)が満たす式を選んでください。
- ①と②の両方を満たす
- ①だけを満たす
- ②だけを満たす
- ①も②も満たさない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
①y=2x＋1、②y=−x＋7の二直線を、同じ座標平面に実際にかいてください。交点の座標を読み取り、元の二つの式に代入して確かめ、その点が連立方程式の解を表す理由を説明します。
①x+y=8、②2x−y=1を表す二直線を同じ座標平面にかいてください。点(0,8)はなぜ①上にあっても連立方程式の解ではないか、図と両式への代入で説明し、共通の点も求めて確かめます。
①y=2x−1、②y=2x＋3の二直線を実際にかいてください。共通の点がない理由を、図だけでなく傾き・切片または同じxに対するyの値の違いで説明し、連立方程式の解について述べます。
①x−y=2、②2x−2y=4を表す二直線を実際にかいてください。どのように重なるか説明し、両方の式を満たす異なる二つの点と、どちらも満たさない一点を自分で挙げて代入で確かめます。解全体についても説明してください。
①x−y=1、②x+2y=7の二直線をかきます。ある人は点(2,1)を①へ代入して合ったので、これが連立方程式の解だとしました。図と二式への代入で誤りを説明し、実際の共通の点を求めて両式で確かめてください。
①y=3x−2、②y=−x＋1を同じ座標平面に実際にかいてください。交点のおよその位置を図から読み取り、連立方程式を解いて正確な座標を求めます。元の二式で確かめ、図の読み取りと正確な値を区別して説明してください。
傾きが0でない平行な二直線の式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。傾きと切片の条件、同じxに対するyの違いを示し、共通の点と連立方程式の解の有無を説明します。
同じ直線を表すが、見た目の異なる二つの二元一次方程式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。同じ関係を表す理由を説明し、異なる二点を両式で確かめ、解全体がどの点に対応するか述べます。
①y=x＋3、②y=−2xの二直線を実際にかいてください。交点を(2,−1)とした人がいます。座標の順序を確かめて正しい交点を求め、誤った点と正しい点をどちらも元の二式で調べ、解との関係を説明します。
①y=x、②y=(1/2)x＋4を、まずx軸もy軸も−5から5までの範囲で実際にかいてください。この範囲で交点が見えないだけで解がないと言えるでしょうか。式から共通の点を求めて確かめ、必要に応じて描く範囲を広げ、理由を説明します。
解答: 連立方程式の解と二直線の交点を結び付ける
②だけを満たす
①では4≠2×0−1、②では4=−0＋4です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①だけを満たす
①では3=−0.5×0＋3、②では3≠2×0−2です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①も②も満たさない
①では0−0=0≠2、②では0＋2×0=0≠4です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
①と②の両方を満たす
①では1/3=2×(2/3)−1、②では1/3=−2/3＋1です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
①だけを満たす
①では2×1＋3=5、②では1−3=−2≠1です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①と②の両方を満たす
①では−5/2=3×(−3/2)＋2、②では−5/2=−(−3/2)−4です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
②だけを満たす
①では4≠(1/2)×0＋1、②では4=−0＋4です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①だけを満たす
①では0＋6=6で成り立ちますが、②では2×0−6=−6で3になりません。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①も②も満たさない
①では0≠−3×(−1)＋2、②では0≠2×(−1)−3です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
①と②の両方を満たす
①では5=−2×(−2)＋1、②では5=−2＋7です。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
②だけを満たす
①では2−2×(−1)=4≠−3、②では3×2＋(−1)=5です。②だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①だけを満たす
①では2×(−1)＋(−2)=−4、②では−1−(−2)=1≠2です。①だけを満たすので、連立方程式の解ではありません。
①と②の両方を満たす
点(1,3)を①へ代入すると3=1＋2、②へ代入すると3=−2×1＋5となります。両方を満たすので、二直線の共通の点であり、連立方程式の解です。
①も②も満たさない
①では3×1−0=3≠4、②では1＋0=1≠2です。どちらも満たさないので、連立方程式の解ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
①y=2x＋1、②y=−x＋7の二直線を、同じ座標平面に実際にかいてください。交点の座標を読み取り、元の二つの式に代入して確かめ、その点が連立方程式の解を表す理由を説明します。
①は(0,1),(2,5)、②は(0,7),(2,5)などを使ってかけます。交点は(2,5)です。5=2×2＋1、5=−2＋7で両方を満たします。二直線の共通の点は二式を同時に満たす組なので、x=2、y=5が解です。
生徒の軸・目盛り・二直線、交点、両式への代入、同時に満たすことと言葉での対応を見る。作図のための正しい別の二点も認める。
①x+y=8、②2x−y=1を表す二直線を同じ座標平面にかいてください。点(0,8)はなぜ①上にあっても連立方程式の解ではないか、図と両式への代入で説明し、共通の点も求めて確かめます。
①はy=−x＋8で(0,8),(3,5)、②はy=2x−1で(0,−1),(3,5)などを使えます。(0,8)は①を満たしますが②では2×0−8=−8で1になりません。共通の点は(3,5)で、3＋5=8、2×3−5=1です。両方を満たすこの点が解を表します。
一方だけを満たす点と共通点の違い、生徒の二直線、元の二式での確認を見ます。
①y=2x−1、②y=2x＋3の二直線を実際にかいてください。共通の点がない理由を、図だけでなく傾き・切片または同じxに対するyの値の違いで説明し、連立方程式の解について述べます。
①は(0,−1),(1,1)、②は(0,3),(1,5)などを使ってかけます。傾きは共に2で切片は異なり、二直線は平行です。同じxで②のyは①よりいつも4大きいので、両方に共通の点はなく、連立方程式の解はありません。
生徒の平行な二直線、傾き・切片または一定の差による理由、共通点と解の有無の対応を見る。狭い範囲の見た目だけを理由にしない。
①x−y=2、②2x−2y=4を表す二直線を実際にかいてください。どのように重なるか説明し、両方の式を満たす異なる二つの点と、どちらも満たさない一点を自分で挙げて代入で確かめます。解全体についても説明してください。
①も②もy=x−2を表すので同じ直線に重なります。例えば(0,−2)では0−(−2)=2、2×0−2×(−2)=4。(3,1)でも3−1=2、6−2=4です。(0,0)は①で0≠2、②で0≠4です。この直線上のすべての点が解で、無数にありますが、座標平面のすべての点が解なのではありません。
生徒の重なる直線、等しい関係を表す理由、生徒が選んだ二つの解と解でない一点の確認、解全体の範囲を見る。見本の点に限定しない。
①x−y=1、②x+2y=7の二直線をかきます。ある人は点(2,1)を①へ代入して合ったので、これが連立方程式の解だとしました。図と二式への代入で誤りを説明し、実際の共通の点を求めて両式で確かめてください。
①はy=x−1で(0,−1),(3,2)、②はy=−(1/2)x＋7/2で(1,3),(3,2)などを使えます。(2,1)は①では2−1=1ですが②では2＋2×1=4≠7です。共通点(3,2)なら3−2=1、3＋2×2=7で、両方を満たします。
生徒の作図、片方だけの確認では不足する説明、真の共通点と両式の確認を見ます。
①y=3x−2、②y=−x＋1を同じ座標平面に実際にかいてください。交点のおよその位置を図から読み取り、連立方程式を解いて正確な座標を求めます。元の二式で確かめ、図の読み取りと正確な値を区別して説明してください。
①は(0,−2),(1,1)、②は(0,1),(1,0)などを使ってかけます。図ではxが0.8付近、yが0.3付近と読めます。3x−2=−x＋1からx=3/4、y=1/4。①では3×(3/4)−2=1/4、②では−3/4＋1=1/4です。正確な交点は(3/4,1/4)で、図だけのおよその値とは区別します。
生徒の二直線と読み取り、代数で求めた分数の座標、両式への代入、近似と正確な値の区別を見る。特定の丸め方を要求しない。
傾きが0でない平行な二直線の式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。傾きと切片の条件、同じxに対するyの違いを示し、共通の点と連立方程式の解の有無を説明します。
例：y=−x＋1とy=−x−2。前者は(0,1),(1,0)、後者は(0,−2),(1,−3)などからかけます。共に傾き−1で切片が異なり、同じxでyの差はいつも3です。平行で共通点がなく、連立方程式の解もありません。生徒の別の正しい二式・作図・説明も認めます。
生徒が作った二式、0でない等しい傾きと異なる切片、作図、共通点がない理由を見ます。
同じ直線を表すが、見た目の異なる二つの二元一次方程式を自分で作り、同じ座標平面に実際にかいてください。同じ関係を表す理由を説明し、異なる二点を両式で確かめ、解全体がどの点に対応するか述べます。
例：x+y=3と2x+2y=6。二つ目は一つ目の両辺を2倍した式で、共にy=−x＋3を表します。(0,3)と(2,1)はいずれも両式を満たし、かいた直線も重なります。この直線上のすべての点が解で、無数にあります。生徒の別の同じ直線を表す二式・点・説明も認めます。
生徒の二式が同じ関係を表すこと、実際の重なる直線、二点の代入、解全体の説明を見る。見本の倍率や点に限定しない。
①y=x＋3、②y=−2xの二直線を実際にかいてください。交点を(2,−1)とした人がいます。座標の順序を確かめて正しい交点を求め、誤った点と正しい点をどちらも元の二式で調べ、解との関係を説明します。
①は(0,3),(−1,2)、②は(0,0),(−1,2)などからかけます。交点は(−1,2)です。2=−1＋3、2=−2×(−1)で両方を満たします。順序を逆にした(2,−1)は、①で−1≠2＋3、②でも−1≠−2×2なので解ではありません。
生徒の作図、x・yの順序、誤答と正答を両式で検証する行、共通点との対応を見ます。
①y=x、②y=(1/2)x＋4を、まずx軸もy軸も−5から5までの範囲で実際にかいてください。この範囲で交点が見えないだけで解がないと言えるでしょうか。式から共通の点を求めて確かめ、必要に応じて描く範囲を広げ、理由を説明します。
狭い範囲だけでは解がないとは言えません。x=(1/2)x＋4よりx=8、y=8。①は8=8、②は8=(1/2)×8＋4で、共通点(8,8)は最初の範囲の外です。例えば両軸を−5から10までに広げれば共通点を示せます。①は(0,0),(4,4)、②は(−4,2),(0,4)などからかけます。
最初の表示範囲の生徒の二直線、見えないことと存在しないことの区別、正確な共通点と両式の確認、広げた図での対応を見る。範囲外の点を最初の図にあるとしない。