中2 数学：樹形図と同様に確からしい場合の練習問題
試行の順序と区別を決め、生徒がすべての末端をもつ樹形図を作ります。準備14問と、図・数え上げ・等しい確からしさの根拠を残す主課題10題です。場合の個数だけでは完了にしません。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2D(2)の確率の必要性・意味と、冊子123–124/PDF127–128の、同様に確からしい場合を樹形図や二次元の表などで漏れや重なりなく整理する範囲に沿う独自課題です。小6の場合の数を前提に、ここでは一つ一つの結果の選び方と等しい確からしさの仮定を明示します。確率の商を求める075、取り出し方を扱う077とは主な課題を分けます。
解説を読む
樹形図では、根から末端までの一つの道が、一回の試行の一つの結果を表すようにします。枝に何を記したか、二つの装置をどの順に記すかを先に決めます。漏れなく重なりなく並べたことと、それぞれの結果が同様に確からしいことは別の確認です。枝や末端を同じ間隔で描いたことは、確からしさが等しい理由にはなりません。この教材では各問題に書かれた公平さ・出方の条件を数学的な仮定として使い、実際の装置が公平だと実験で証明したとは言いません。
必要な予備知識
小6の漏れや重なりのない場合の数え方、順序の区別、分数と割合。樹形図は紙や授業用ボードに描き、末端の結果を読み取れる文字で記します。「同様に確からしい」は、扱う一つ一つの結果の起こりやすさが等しいという意味です。二装置の出方が互いに影響しないという仮定は、その条件がある問題で使います。確率の値を分数で求める公式、樹形図を自動作成する機能、実物を使った試行は必須ではありません。
- 一回の試行で何をするか、どこまでを一つの結果とするかを決めます。装置AとBの結果は、整理の順序を変えても(Aの結果,Bの結果)と区別して書けます。
- 最初の分かれ方をすべて描き、それぞれの枝の先で次の分かれ方をすべて描きます。根から末端までをたどり、一つの結果を一度だけ記します。途中の点を、完了した結果に数えません。
- 末端の個数を数え、同じラベルの結果が重複していないか、可能な組が抜けていないかを確かめます。個数が合うだけでは、漏れと重複が打ち消し合っている場合を見つけられません。
- 各段階の選択肢が公平に出て、出方が互いに影響しないと仮定された同じ形の二段階なら、区別した組の一つ一つを同様に確からしい場合として扱えます。仮定を書かず、枝の本数だけから断定しません。
- 同じ色や同じ和などに結果をまとめると、一つのラベルにいくつの末端が入るかが変わることがあります。まとめたラベルの個数だけを見て、どれも同じ確からしさだとはしません。
- 枝の整理の順序を変えて二つの図を描いても、同じ試行の結果が二倍になるわけではありません。対応する末端を照合します。結果を組分けするときも、全ての末端を一度ずつ入れます。
解き方の例
装置Aは「春・秋」を同じ確からしさで、装置Bは「午前・午後」を同じ確からしさで出し、出方は互いに影響しないとします。Aで分けて各枝の先をBで分けると、(春,午前)、(春,午後)、(秋,午前)、(秋,午後)の4末端です。公平さと出方の条件により、この4組を同様に確からしい結果として扱います。四つの文字を並べるだけでなく、二段階の枝を描いて対応を確かめます。
円を3等分した区画に赤1・赤2・青と記し、各区画が同様に確からしく出るものとします。一回の結果を区画で区別すれば3通りです。色だけにまとめると赤と青の2ラベルですが、赤には2区画、青には1区画が入ります。したがって色の2ラベルを同様に確からしい二つの場合として扱うことはできません。図の枝を等間隔に描いても、この違いは消えません。
よくある間違い
- 末端の個数だけを書き、生徒の樹形図や結果のラベルを残さない。
- 装置AとBを区別する試行で、(1,2)と(2,1)を同じ結果として一つ消す。
- 漏れ一つと重複一つがあるのに、一覧の個数が合っただけで正しいとする。
- 枝が同じ長さ、末端が同じ間隔だから、すべて同様に確からしいとする。
- 同じ色・和などにまとめた各ラベルに、同じ個数の末端が入るかを調べない。
- 整理の順序を変えた二図を、別々の試行の結果として足し合わせる。
考え方を説明する
準備14問は結果の区別と樹形図の読み方の足場です。主課題10題は、生徒が描いた根から全ての末端までの樹形図、段階・装置を区別するラベル、漏れ・重複の確認、個数と条件に合う結果、同様に確からしいとする仮定またはそう言えない理由を講師が確認します。T6は整理順を変えた二図と末端の対応、T8は枝数が異なる場合の等確率性の否定、T9は生徒の新しい試行、T10は生徒の具体的な三組への分け方も必要です。数字、正誤、枝だけの無記名図で完了にしません。別の配置・有効な作例を認めます。
選択の得点や場合の個数は、生徒が樹形図を作り、同様に確からしいかを説明できた証拠にはなりません。主課題の実際の図と説明を紙や授業用ボードに残し、講師が手動で確認します。
練習する
選択は樹形図を作る準備です。主課題では根から末端までの樹形図を描き、各末端の結果、漏れ・重複、同様に確からしいとする根拠を残します。図と説明は講師が手動で確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
装置Aはア、イ、ウのいずれか、装置Bはp、qのいずれかを出します。装置Aの各結果から装置Bの結果すべてに枝を伸ばすと、樹形図の末端は何個になりますか。
- 5個
- 6個
- 3個
- 2個
答えと解説
6個
Aの3枝のそれぞれにBの2枝があり、3×2=6末端です。
装置Aと装置Bの結果を(A,B)の順で記します。(1,2)と(2,1)の扱いはどれですか。
- 和が同じなので必ず一つにする
- 左右を回転して同じにする
- 二装置の結果が入れ替わった異なる二つの結果
- どちらか一つだけ残せばよい
答えと解説
二装置の結果が入れ替わった異なる二つの結果
最初の数は装置A、次は装置Bです。各装置が何を出したかが違うので、異なる結果です。
二段階の試行の樹形図で、一回の試行が完了した結果を表すものはどれですか。
- 根から末端までの一つの道
- 最初の枝だけ
- 根の点だけ
- 見出しの文字数
答えと解説
根から末端までの一つの道
一段階目と二段階目の両方の結果がそろう一つの道を、一つの完了した結果に対応させます。
二装置の区別した組を同様に確からしいとする説明として、適切なのはどれですか。
- 枝を同じ長さに描いたから
- 末端を同じ間隔に並べたから
- 結果の文字数が同じだから
- 各装置が公平に出て、出方が互いに影響しないという条件があるから
答えと解説
各装置が公平に出て、出方が互いに影響しないという条件があるから
確からしさの根拠は試行に与えた条件です。樹形図の見た目だけでは決まりません。
一回の装置が同様に確からしい4区画「赤1・赤2・青・黄」を出します。色だけにまとめた赤・青・黄を、三つとも同様に確からしいとできますか。
- できない。赤には2区画、青と黄には各1区画が入る
- できる。色名は三つだから
- できる。赤を一つの字で書けばよい
- 青と黄だけが出ないことになる
答えと解説
できない。赤には2区画、青と黄には各1区画が入る
もとの等しい4場合のうち、色の各ラベルに入る区画数が違います。赤の2区画を一つと呼んでも起こりやすさは変わりません。
Aの結果がP,Q、Bの結果がa,b,cです。一覧Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paに抜けている組はどれですか。
- Pa
- Qb
- Qc
- Pc
答えと解説
Qc
Qの枝の先にはa,b,cが必要です。Qcがなく、Paは二度書かれています。
一つ前の一覧Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paは6個の表記があります。なぜ正しい数え上げとは言えませんか。
- 6は偶数だから
- Paの重複とQcの漏れがあるから
- 結果は必ず7個だから
- Qを含む結果をすべて消す必要があるから
答えと解説
Paの重複とQcの漏れがあるから
個数が合っても、一つの結果を二度数え別の結果を落としていることがあります。各末端のラベルを照合します。
最初に3通り、どの枝の先にも2通りがある二段階の試行です。結果を数える対象はどれですか。
- 最初の3点だけ
- 枝と文字と見出しの合計
- 根を加えた7点
- 二段階が完了する6末端
答えと解説
二段階が完了する6末端
途中の点や根を足さず、試行が完了した6末端を数えます。
装置AとBがそれぞれ1,2,3を出します。区別した組(A,B)のうち、和が4になる組は何個ですか。
- 3個
- 1個
- 5個
- 9個
答えと解説
3個
(1,3),(2,2),(3,1)の3組です。和4というラベル一つに3末端が入ります。
A,Bがそれぞれ1,2,3を公平に出し、互いに影響しないとします。和2,3,4,5,6を五つの同様に確からしい場合とできますか。
- できる。和は五つだから
- できない。各和に入る末端数が1,2,3,2,1と違うから
- できる。どの和も整数だから
- 和が同じ組は存在しない
答えと解説
できない。各和に入る末端数が1,2,3,2,1と違うから
もとの9組は同様に確からしくても、和でまとめた五群の末端数は異なります。
同じ一回の試行を、Aから分ける樹形図とBから分ける樹形図で整理すると、それぞれ6末端でした。正しい扱いはどれですか。
- 6+6=12個の別の結果とする
- 共通する末端をすべて捨てる
- 装置を区別した同じ6組の対応を確かめる
- 先に描いた図だけが正しく、他方は必ず誤り
答えと解説
装置を区別した同じ6組の対応を確かめる
整理の順序を変えただけなら、同じ6結果を二度表したものです。装置A,Bのラベルで照合します。
ある試行を20回行ったら、結果XとYは10回ずつでした。この観測だけから何が言えますか。
- 今後のすべての20回も必ず10回ずつ
- XとYが同様に確からしいことを完全に証明した
- 次は必ずXが出る
- 今回の回数は等しいが、これだけでモデルの等しい確からしさを証明したわけではない
答えと解説
今回の回数は等しいが、これだけでモデルの等しい確からしさを証明したわけではない
実際の有限回の回数の記録と、試行の仕組みについて置く等しい確からしさの仮定は区別します。
同様に確からしい6末端を、漏れや重複なく3組に分け、各組に2末端ずつ入りました。三つの組の確からしさについて正しい説明はどれですか。
- まとめたら必ずすべて不均等になる
- 等しい末端が同数ずつ入るので、三組を同様に確からしいと扱える
- 最も長い名前の組だけ起こりやすい
- 三組の確からしさは末端の個数に無関係
答えと解説
等しい末端が同数ずつ入るので、三組を同様に確からしいと扱える
等しい一つ一つの結果が、各組に同じ2個ずつ入り、全結果を重なりなく分けています。
最初のX,Yは同じ確からしさです。Xの後はa,bから公平に一つ、Yの後はp,q,rから公平に一つ選びます。5末端をすべて同様に確からしいとする根拠としてどうですか。
- 各段階で公平だから必ず5末端すべて等しい
- 枝を等間隔にすれば必ず等しい
- 不適切。X側2末端とY側3末端のまとまりは、最初には同じ確からしさだから
- 末端は5個でなく必ず6個になる
答えと解説
不適切。X側2末端とY側3末端のまとまりは、最初には同じ確からしさだから
もし5末端すべて等しければ、2末端のX側と3末端のY側は同じ確からしさになりません。これは最初のX,Yが等しいという条件に反します。
考え方を説明する
装置AはA,B,Cを公平に一つ、装置Bはp,qを公平に一つ出し、二装置の出方は互いに影響しません。一回はAとBを一度ずつ使うことです。Aから分ける樹形図を、根からすべての末端まで描いてください。各末端を（装置Aの結果、装置Bの結果）の組で記してください。漏れや重複がないこと、総数、各組が同様に確からしい理由も説明してください。
答えと解説
A,B,Cの各枝の先をp,qに分ける生徒の図。末端は(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)の6組。Aの全3結果ごとにBの全2結果が一度ずつあり、同じ組を二度記していない。両装置の公平さと出方が互いに影響しない条件から、この6組を同様に確からしい場合として扱う。
生徒の二段階の枝と全6ラベルが必須。6だけや一覧だけで完了にしない。図の配置やp,qを左右どちらに置くかは自由で、等しい枝の見た目を確からしさの根拠にしない。
装置AとBは、それぞれ1,2,3を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。一回の結果は(Aの数,Bの数)です。自分の樹形図に全ての末端を記し、二数が同じ末端に印を付けてください。同じ二数の結果と異なる二数の結果をそれぞれ数え、(1,2)と(2,1)を一つにしない理由、もとの全ての末端の確からしさの根拠を説明します。
答えと解説
生徒の図は1→1,2,3、2→1,2,3、3→1,2,3の二段階で、(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)の9末端。同数は(1,1),(2,2),(3,3)の3、異数は残り6。(1,2)と(2,1)はA,Bが出した数が違うので別。公平さと相互に影響しない条件から9組を同様に確からしいと扱う。同数・異数の二ラベルが等しいという意味ではない。
生徒の全9末端と3印、残り6の確認を見る。順序の違いを和の一致などで消さない。各9組と二つの集約群の確からしさを混同しない。
装置Aの4区画は赤1,赤2,青,黄で、各区画は同様に確からしく出ます。装置Bは左,右を公平に出し、Aとは互いに影響しません。区画を区別した樹形図を描き、全ての末端を記してください。次に色と左右だけにまとめた各ラベルに、もとの末端がいくつ入るかを図の印で示し、まとめた6ラベルを同様に確からしいとできるか説明します。
答えと解説
生徒の図は赤1,赤2,青,黄の各枝を左,右に分ける8末端。区画と左右を区別した8組は与えた公平さと出方の条件から同様に確からしい。色だけなら(赤,左)には(赤1,左),(赤2,左)の2、(赤,右)にも2、(青,左),(青,右),(黄,左),(黄,右)には各1が入る。したがって色と左右の6ラベルは同様に確からしくない。
生徒の8末端と6ラベルへの対応を示す。赤1・赤2を最初から一枝に消して6個と数えない。単に色は不公平と述べず、等しいもとの末端が2対1で入る具体的な理由まで必要。
装置AはP,Q、装置Bはa,b,cをそれぞれ公平に出し、互いに影響しません。ある人は結果をPa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paと書き、「6個あるから漏れも重複もない」としました。正しい樹形図を全ての末端まで描き、元の一覧のどこが誤りかを対応させて直してください。個数が合うだけでは足りない理由と、正しい末端を同様に確からしいとする条件も説明します。
答えと解説
生徒の図はP→a,b,c、Q→a,b,cで、Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Qcの6末端。元の一覧ではPaが重複しQcが漏れ、表記の総数6は変わらなくても全結果を一度ずつ並べていない。全てのAごとに全Bが一度ずつあるかを確認する。正しい6組は二装置の公平さと相互に影響しない条件から同様に確からしい。
誤りの名前だけでなく、生徒の修正した枝と全6ラベルが必要。漏れと重複を別々に指摘し、元の6という数を7に変えるだけで直したことにしない。
公平な装置AとBがそれぞれ1,2,3を出し、互いに影響しません。全組の樹形図を描き、各末端に二数の和も書いてください。和2,3,4,5,6ごとに入る末端を示して数え、和の五つのラベルを同様に確からしい場合とできるかを説明します。確率の値を計算する必要はありません。
答えと解説
生徒の9末端には(1,1):2,(1,2):3,(1,3):4,(2,1):3,(2,2):4,(2,3):5,(3,1):4,(3,2):5,(3,3):6を記す。和ごとの末端数は2から順に1,2,3,2,1。もとの9組は公平さと出方の条件から同様に確からしいが、和の五群は異なる個数の等しい末端を含むので同様に確からしくない。
生徒の全9組と各和、その集計が必要。五つの和を一覧にするだけ、9と5だけ、和4の一群だけで完了にしない。075の確率の商を要求しない。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。同じ一回の試行を整理するため、Aを先に分ける樹形図とBを先に分ける樹形図の二つを描いてください。どちらも末端は必ず(Aの結果,Bの結果)と記し、全ての末端の対応を線や同じ印で示します。二図で別々の12結果にならない理由と、等しい確からしさの条件を説明します。
答えと解説
A先の図はA,B,Cの各枝の先にp,q、B先の図はp,qの各枝の先にA,B,Cを描く。両方の末端ラベルは(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)で、各組が他方の同じ組一つに対応する。二装置を使う同じ一回の試行を別の順序で整理しただけなので、総数は6であって12ではない。各組を同様に確からしいとする根拠は公平さと相互に影響しない条件。
生徒の二つの完成した図と6組すべての対応を見る。B先で(p,A)と書いたまま装置名を消さず、指定した(A,B)ラベルに戻して照合する。整理順の変更と別の試行を実行したことを区別する。
装置Aは文字X,Y,Zを公平に、装置Bは0,1,2,3を公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描き、『装置Aの出た文字が「Y」でなく、かつ装置Bの数が0または2』という条件を満たす末端に印を付けてください。印付きと印なしを全て示して数え、漏れ・重複がない確認と、装置を区別した12個の末端の組が同様に確からしい理由を説明します。
答えと解説
生徒の図は3本の最初の枝の各先を0,1,2,3に分ける12末端。印は(X,0),(X,2),(Z,0),(Z,2)の4。印なしは(X,1),(X,3),(Y,0),(Y,1),(Y,2),(Y,3),(Z,1),(Z,3)の8で、4+8=12、各組はどちらか一方に一度だけ入る。全12組は与えた公平さと出方の条件から同様に確からしい。
装置Aの文字X,Y,Zと装置Bの数0,1,2,3をラベルで区別する。生徒の全12末端、両条件を満たす4印、残り8、全体への戻しを確認する。印の4と8を等しい確からしさの二群とはしない。
最初にX,Yを同じ確からしさで選びます。Xなら装置Uでa,bを公平に一つ、Yなら装置Vでp,q,rを公平に一つ選んで終わります。この試行の樹形図を全ての末端まで描き、結果を第一段階と第二段階の組で記してください。ある人の「各段階で公平だから全ての末端も同様に確からしい」を、X側とY側の末端のまとまりに着目して確かめます。確率の値の計算は不要です。
答えと解説
生徒の図はX→a,b、Y→p,q,rで、(X,a),(X,b),(Y,p),(Y,q),(Y,r)の5末端。X側2末端全体とY側3末端全体は、最初のX,Yが同じ確からしさなので等しい。もし5末端がすべて同様に確からしければ、等しい末端2個のまとまりと3個のまとまりが等しいことになり、正の確からしさをもつこれらの結果では矛盾する。よって各段階で公平というだけで全5末端を同様に確からしいとはできない。
生徒の分岐数が2と3で異なる完成図と5ラベルが必須。5という個数だけでは不十分。最初のX,Yの等しい確からしさと、各側の末端数2,3を対比して否定する。条件付き確率の公式や数値計算は要求しない。
独立に一つずつ選ぶ二段階の試行を自分で考えます。第一段階と第二段階はどちらも2通り以上、末端の総数は12個以下にし、各段階の結果を公平に選ぶことを明記します。見本のラベルや数だけを写さず、結果が表す意味を自分で決めてください。自分の樹形図に全ての末端を記し、総数・漏れと重複の確認・各末端を同様に確からしいとする根拠を説明します。
答えと解説
作例：公平な抽選装置Aで案内の言語「日本語・英語・スペイン語」、公平な別装置Bで表示様式「文字・音声」を選び、出方は互いに影響しないと決める。樹形図では各言語の枝を文字と音声に分け、(日本語,文字),(日本語,音声),(英語,文字),(英語,音声),(スペイン語,文字),(スペイン語,音声)の6末端。全3言語ごとに全2様式を一度ずつ置き、漏れ・重複なし。選ぶ装置の公平さと出方の条件から各組は同様に確からしい。実際の人の言語や好みが均等だという主張ではない。
生徒が意味と選択の仕組みを決めた新しい試行、両段階2以上、12末端以下、全ラベル付きの樹形図が必要。人の好みなどを根拠なく均等とせず、公平に選ぶ数学的な仕組み・仮定を明記する。別の有効な試行と図を認める。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描いたうえで、その結果を、自分で名前を付けた三つの空でない組へ、漏れや重複なく分けます。三組を同様に確からしいと扱える分け方を一つ作り、各組に入る全ての結果を図の印と一覧で示し、なぜそう言えるかを説明してください。
答えと解説
生徒の木の末端は(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)の6組。作例として「月」={(A,p),(B,q)}、「星」={(A,q),(C,p)}、「空」={(B,p),(C,q)}に分ける。全ての末端がちょうど一組に一度ずつ入り、各組は空でなく2末端ずつ。もとの6末端は公平さと出方の条件から同様に確からしいので、等しい末端が同数ずつ入る三組も同様に確からしいと扱える。
生徒の完成木と生徒が決めた具体的な三組、全6結果の対応が必要。各組2個でも同じ結果を二群へ重複させたり一結果を落としたりしていないかを見る。別の有効な三組分けを認める。まとめたラベルは必ず不均等だという誤一般化をしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2D(2)の確率の必要性・意味と、冊子123–124/PDF127–128の、同様に確からしい場合を樹形図や二次元の表などで漏れや重なりなく整理する範囲に沿う独自課題です。小6の場合の数を前提に、ここでは一つ一つの結果の選び方と等しい確からしさの仮定を明示します。確率の商を求める075、取り出し方を扱う077とは主な課題を分けます。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 自分で樹形図を描き、同様に確からしい場合を確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/build-outcome-trees-and-check-equally-likely-cases/
準備14問は結果の区別と樹形図の読み方の足場です。主課題10題は、生徒が描いた根から全ての末端までの樹形図、段階・装置を区別するラベル、漏れ・重複の確認、個数と条件に合う結果、同様に確からしいとする仮定またはそう言えない理由を講師が確認します。T6は整理順を変えた二図と末端の対応、T8は枝数が異なる場合の等確率性の否定、T9は生徒の新しい試行、T10は生徒の具体的な三組への分け方も必要です。数字、正誤、枝だけの無記名図で完了にしません。別の配置・有効な作例を認めます。
装置Aはア、イ、ウのいずれか、装置Bはp、qのいずれかを出します。装置Aの各結果から装置Bの結果すべてに枝を伸ばすと、樹形図の末端は何個になりますか。
- 5個
- 6個
- 3個
- 2個
途中の計算・単位・理由・確認答え:
装置Aと装置Bの結果を(A,B)の順で記します。(1,2)と(2,1)の扱いはどれですか。
- 和が同じなので必ず一つにする
- 左右を回転して同じにする
- 二装置の結果が入れ替わった異なる二つの結果
- どちらか一つだけ残せばよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二段階の試行の樹形図で、一回の試行が完了した結果を表すものはどれですか。
- 根から末端までの一つの道
- 最初の枝だけ
- 根の点だけ
- 見出しの文字数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二装置の区別した組を同様に確からしいとする説明として、適切なのはどれですか。
- 枝を同じ長さに描いたから
- 末端を同じ間隔に並べたから
- 結果の文字数が同じだから
- 各装置が公平に出て、出方が互いに影響しないという条件があるから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一回の装置が同様に確からしい4区画「赤1・赤2・青・黄」を出します。色だけにまとめた赤・青・黄を、三つとも同様に確からしいとできますか。
- できない。赤には2区画、青と黄には各1区画が入る
- できる。色名は三つだから
- できる。赤を一つの字で書けばよい
- 青と黄だけが出ないことになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Aの結果がP,Q、Bの結果がa,b,cです。一覧Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paに抜けている組はどれですか。
- Pa
- Qb
- Qc
- Pc
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一つ前の一覧Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paは6個の表記があります。なぜ正しい数え上げとは言えませんか。
- 6は偶数だから
- Paの重複とQcの漏れがあるから
- 結果は必ず7個だから
- Qを含む結果をすべて消す必要があるから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
最初に3通り、どの枝の先にも2通りがある二段階の試行です。結果を数える対象はどれですか。
- 最初の3点だけ
- 枝と文字と見出しの合計
- 根を加えた7点
- 二段階が完了する6末端
途中の計算・単位・理由・確認答え:
装置AとBがそれぞれ1,2,3を出します。区別した組(A,B)のうち、和が4になる組は何個ですか。
- 3個
- 1個
- 5個
- 9個
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,Bがそれぞれ1,2,3を公平に出し、互いに影響しないとします。和2,3,4,5,6を五つの同様に確からしい場合とできますか。
- できる。和は五つだから
- できない。各和に入る末端数が1,2,3,2,1と違うから
- できる。どの和も整数だから
- 和が同じ組は存在しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ一回の試行を、Aから分ける樹形図とBから分ける樹形図で整理すると、それぞれ6末端でした。正しい扱いはどれですか。
- 6+6=12個の別の結果とする
- 共通する末端をすべて捨てる
- 装置を区別した同じ6組の対応を確かめる
- 先に描いた図だけが正しく、他方は必ず誤り
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある試行を20回行ったら、結果XとYは10回ずつでした。この観測だけから何が言えますか。
- 今後のすべての20回も必ず10回ずつ
- XとYが同様に確からしいことを完全に証明した
- 次は必ずXが出る
- 今回の回数は等しいが、これだけでモデルの等しい確からしさを証明したわけではない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同様に確からしい6末端を、漏れや重複なく3組に分け、各組に2末端ずつ入りました。三つの組の確からしさについて正しい説明はどれですか。
- まとめたら必ずすべて不均等になる
- 等しい末端が同数ずつ入るので、三組を同様に確からしいと扱える
- 最も長い名前の組だけ起こりやすい
- 三組の確からしさは末端の個数に無関係
途中の計算・単位・理由・確認答え:
最初のX,Yは同じ確からしさです。Xの後はa,bから公平に一つ、Yの後はp,q,rから公平に一つ選びます。5末端をすべて同様に確からしいとする根拠としてどうですか。
- 各段階で公平だから必ず5末端すべて等しい
- 枝を等間隔にすれば必ず等しい
- 不適切。X側2末端とY側3末端のまとまりは、最初には同じ確からしさだから
- 末端は5個でなく必ず6個になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
装置AはA,B,Cを公平に一つ、装置Bはp,qを公平に一つ出し、二装置の出方は互いに影響しません。一回はAとBを一度ずつ使うことです。Aから分ける樹形図を、根からすべての末端まで描いてください。各末端を（装置Aの結果、装置Bの結果）の組で記してください。漏れや重複がないこと、総数、各組が同様に確からしい理由も説明してください。
装置AとBは、それぞれ1,2,3を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。一回の結果は(Aの数,Bの数)です。自分の樹形図に全ての末端を記し、二数が同じ末端に印を付けてください。同じ二数の結果と異なる二数の結果をそれぞれ数え、(1,2)と(2,1)を一つにしない理由、もとの全ての末端の確からしさの根拠を説明します。
装置Aの4区画は赤1,赤2,青,黄で、各区画は同様に確からしく出ます。装置Bは左,右を公平に出し、Aとは互いに影響しません。区画を区別した樹形図を描き、全ての末端を記してください。次に色と左右だけにまとめた各ラベルに、もとの末端がいくつ入るかを図の印で示し、まとめた6ラベルを同様に確からしいとできるか説明します。
装置AはP,Q、装置Bはa,b,cをそれぞれ公平に出し、互いに影響しません。ある人は結果をPa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paと書き、「6個あるから漏れも重複もない」としました。正しい樹形図を全ての末端まで描き、元の一覧のどこが誤りかを対応させて直してください。個数が合うだけでは足りない理由と、正しい末端を同様に確からしいとする条件も説明します。
公平な装置AとBがそれぞれ1,2,3を出し、互いに影響しません。全組の樹形図を描き、各末端に二数の和も書いてください。和2,3,4,5,6ごとに入る末端を示して数え、和の五つのラベルを同様に確からしい場合とできるかを説明します。確率の値を計算する必要はありません。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。同じ一回の試行を整理するため、Aを先に分ける樹形図とBを先に分ける樹形図の二つを描いてください。どちらも末端は必ず(Aの結果,Bの結果)と記し、全ての末端の対応を線や同じ印で示します。二図で別々の12結果にならない理由と、等しい確からしさの条件を説明します。
装置Aは文字X,Y,Zを公平に、装置Bは0,1,2,3を公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描き、『装置Aの出た文字が「Y」でなく、かつ装置Bの数が0または2』という条件を満たす末端に印を付けてください。印付きと印なしを全て示して数え、漏れ・重複がない確認と、装置を区別した12個の末端の組が同様に確からしい理由を説明します。
最初にX,Yを同じ確からしさで選びます。Xなら装置Uでa,bを公平に一つ、Yなら装置Vでp,q,rを公平に一つ選んで終わります。この試行の樹形図を全ての末端まで描き、結果を第一段階と第二段階の組で記してください。ある人の「各段階で公平だから全ての末端も同様に確からしい」を、X側とY側の末端のまとまりに着目して確かめます。確率の値の計算は不要です。
独立に一つずつ選ぶ二段階の試行を自分で考えます。第一段階と第二段階はどちらも2通り以上、末端の総数は12個以下にし、各段階の結果を公平に選ぶことを明記します。見本のラベルや数だけを写さず、結果が表す意味を自分で決めてください。自分の樹形図に全ての末端を記し、総数・漏れと重複の確認・各末端を同様に確からしいとする根拠を説明します。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描いたうえで、その結果を、自分で名前を付けた三つの空でない組へ、漏れや重複なく分けます。三組を同様に確からしいと扱える分け方を一つ作り、各組に入る全ての結果を図の印と一覧で示し、なぜそう言えるかを説明してください。
解答: 自分で樹形図を描き、同様に確からしい場合を確かめる
6個
Aの3枝のそれぞれにBの2枝があり、3×2=6末端です。
二装置の結果が入れ替わった異なる二つの結果
最初の数は装置A、次は装置Bです。各装置が何を出したかが違うので、異なる結果です。
根から末端までの一つの道
一段階目と二段階目の両方の結果がそろう一つの道を、一つの完了した結果に対応させます。
各装置が公平に出て、出方が互いに影響しないという条件があるから
確からしさの根拠は試行に与えた条件です。樹形図の見た目だけでは決まりません。
できない。赤には2区画、青と黄には各1区画が入る
もとの等しい4場合のうち、色の各ラベルに入る区画数が違います。赤の2区画を一つと呼んでも起こりやすさは変わりません。
Qc
Qの枝の先にはa,b,cが必要です。Qcがなく、Paは二度書かれています。
Paの重複とQcの漏れがあるから
個数が合っても、一つの結果を二度数え別の結果を落としていることがあります。各末端のラベルを照合します。
二段階が完了する6末端
途中の点や根を足さず、試行が完了した6末端を数えます。
3個
(1,3),(2,2),(3,1)の3組です。和4というラベル一つに3末端が入ります。
できない。各和に入る末端数が1,2,3,2,1と違うから
もとの9組は同様に確からしくても、和でまとめた五群の末端数は異なります。
装置を区別した同じ6組の対応を確かめる
整理の順序を変えただけなら、同じ6結果を二度表したものです。装置A,Bのラベルで照合します。
今回の回数は等しいが、これだけでモデルの等しい確からしさを証明したわけではない
実際の有限回の回数の記録と、試行の仕組みについて置く等しい確からしさの仮定は区別します。
等しい末端が同数ずつ入るので、三組を同様に確からしいと扱える
等しい一つ一つの結果が、各組に同じ2個ずつ入り、全結果を重なりなく分けています。
不適切。X側2末端とY側3末端のまとまりは、最初には同じ確からしさだから
もし5末端すべて等しければ、2末端のX側と3末端のY側は同じ確からしさになりません。これは最初のX,Yが等しいという条件に反します。
記述問題の解答・確認の観点
装置AはA,B,Cを公平に一つ、装置Bはp,qを公平に一つ出し、二装置の出方は互いに影響しません。一回はAとBを一度ずつ使うことです。Aから分ける樹形図を、根からすべての末端まで描いてください。各末端を（装置Aの結果、装置Bの結果）の組で記してください。漏れや重複がないこと、総数、各組が同様に確からしい理由も説明してください。
A,B,Cの各枝の先をp,qに分ける生徒の図。末端は(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)の6組。Aの全3結果ごとにBの全2結果が一度ずつあり、同じ組を二度記していない。両装置の公平さと出方が互いに影響しない条件から、この6組を同様に確からしい場合として扱う。
生徒の二段階の枝と全6ラベルが必須。6だけや一覧だけで完了にしない。図の配置やp,qを左右どちらに置くかは自由で、等しい枝の見た目を確からしさの根拠にしない。
装置AとBは、それぞれ1,2,3を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。一回の結果は(Aの数,Bの数)です。自分の樹形図に全ての末端を記し、二数が同じ末端に印を付けてください。同じ二数の結果と異なる二数の結果をそれぞれ数え、(1,2)と(2,1)を一つにしない理由、もとの全ての末端の確からしさの根拠を説明します。
生徒の図は1→1,2,3、2→1,2,3、3→1,2,3の二段階で、(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)の9末端。同数は(1,1),(2,2),(3,3)の3、異数は残り6。(1,2)と(2,1)はA,Bが出した数が違うので別。公平さと相互に影響しない条件から9組を同様に確からしいと扱う。同数・異数の二ラベルが等しいという意味ではない。
生徒の全9末端と3印、残り6の確認を見る。順序の違いを和の一致などで消さない。各9組と二つの集約群の確からしさを混同しない。
装置Aの4区画は赤1,赤2,青,黄で、各区画は同様に確からしく出ます。装置Bは左,右を公平に出し、Aとは互いに影響しません。区画を区別した樹形図を描き、全ての末端を記してください。次に色と左右だけにまとめた各ラベルに、もとの末端がいくつ入るかを図の印で示し、まとめた6ラベルを同様に確からしいとできるか説明します。
生徒の図は赤1,赤2,青,黄の各枝を左,右に分ける8末端。区画と左右を区別した8組は与えた公平さと出方の条件から同様に確からしい。色だけなら(赤,左)には(赤1,左),(赤2,左)の2、(赤,右)にも2、(青,左),(青,右),(黄,左),(黄,右)には各1が入る。したがって色と左右の6ラベルは同様に確からしくない。
生徒の8末端と6ラベルへの対応を示す。赤1・赤2を最初から一枝に消して6個と数えない。単に色は不公平と述べず、等しいもとの末端が2対1で入る具体的な理由まで必要。
装置AはP,Q、装置Bはa,b,cをそれぞれ公平に出し、互いに影響しません。ある人は結果をPa,Pb,Pc,Qa,Qb,Paと書き、「6個あるから漏れも重複もない」としました。正しい樹形図を全ての末端まで描き、元の一覧のどこが誤りかを対応させて直してください。個数が合うだけでは足りない理由と、正しい末端を同様に確からしいとする条件も説明します。
生徒の図はP→a,b,c、Q→a,b,cで、Pa,Pb,Pc,Qa,Qb,Qcの6末端。元の一覧ではPaが重複しQcが漏れ、表記の総数6は変わらなくても全結果を一度ずつ並べていない。全てのAごとに全Bが一度ずつあるかを確認する。正しい6組は二装置の公平さと相互に影響しない条件から同様に確からしい。
誤りの名前だけでなく、生徒の修正した枝と全6ラベルが必要。漏れと重複を別々に指摘し、元の6という数を7に変えるだけで直したことにしない。
公平な装置AとBがそれぞれ1,2,3を出し、互いに影響しません。全組の樹形図を描き、各末端に二数の和も書いてください。和2,3,4,5,6ごとに入る末端を示して数え、和の五つのラベルを同様に確からしい場合とできるかを説明します。確率の値を計算する必要はありません。
生徒の9末端には(1,1):2,(1,2):3,(1,3):4,(2,1):3,(2,2):4,(2,3):5,(3,1):4,(3,2):5,(3,3):6を記す。和ごとの末端数は2から順に1,2,3,2,1。もとの9組は公平さと出方の条件から同様に確からしいが、和の五群は異なる個数の等しい末端を含むので同様に確からしくない。
生徒の全9組と各和、その集計が必要。五つの和を一覧にするだけ、9と5だけ、和4の一群だけで完了にしない。075の確率の商を要求しない。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。同じ一回の試行を整理するため、Aを先に分ける樹形図とBを先に分ける樹形図の二つを描いてください。どちらも末端は必ず(Aの結果,Bの結果)と記し、全ての末端の対応を線や同じ印で示します。二図で別々の12結果にならない理由と、等しい確からしさの条件を説明します。
A先の図はA,B,Cの各枝の先にp,q、B先の図はp,qの各枝の先にA,B,Cを描く。両方の末端ラベルは(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)で、各組が他方の同じ組一つに対応する。二装置を使う同じ一回の試行を別の順序で整理しただけなので、総数は6であって12ではない。各組を同様に確からしいとする根拠は公平さと相互に影響しない条件。
生徒の二つの完成した図と6組すべての対応を見る。B先で(p,A)と書いたまま装置名を消さず、指定した(A,B)ラベルに戻して照合する。整理順の変更と別の試行を実行したことを区別する。
装置Aは文字X,Y,Zを公平に、装置Bは0,1,2,3を公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描き、『装置Aの出た文字が「Y」でなく、かつ装置Bの数が0または2』という条件を満たす末端に印を付けてください。印付きと印なしを全て示して数え、漏れ・重複がない確認と、装置を区別した12個の末端の組が同様に確からしい理由を説明します。
生徒の図は3本の最初の枝の各先を0,1,2,3に分ける12末端。印は(X,0),(X,2),(Z,0),(Z,2)の4。印なしは(X,1),(X,3),(Y,0),(Y,1),(Y,2),(Y,3),(Z,1),(Z,3)の8で、4+8=12、各組はどちらか一方に一度だけ入る。全12組は与えた公平さと出方の条件から同様に確からしい。
装置Aの文字X,Y,Zと装置Bの数0,1,2,3をラベルで区別する。生徒の全12末端、両条件を満たす4印、残り8、全体への戻しを確認する。印の4と8を等しい確からしさの二群とはしない。
最初にX,Yを同じ確からしさで選びます。Xなら装置Uでa,bを公平に一つ、Yなら装置Vでp,q,rを公平に一つ選んで終わります。この試行の樹形図を全ての末端まで描き、結果を第一段階と第二段階の組で記してください。ある人の「各段階で公平だから全ての末端も同様に確からしい」を、X側とY側の末端のまとまりに着目して確かめます。確率の値の計算は不要です。
生徒の図はX→a,b、Y→p,q,rで、(X,a),(X,b),(Y,p),(Y,q),(Y,r)の5末端。X側2末端全体とY側3末端全体は、最初のX,Yが同じ確からしさなので等しい。もし5末端がすべて同様に確からしければ、等しい末端2個のまとまりと3個のまとまりが等しいことになり、正の確からしさをもつこれらの結果では矛盾する。よって各段階で公平というだけで全5末端を同様に確からしいとはできない。
生徒の分岐数が2と3で異なる完成図と5ラベルが必須。5という個数だけでは不十分。最初のX,Yの等しい確からしさと、各側の末端数2,3を対比して否定する。条件付き確率の公式や数値計算は要求しない。
独立に一つずつ選ぶ二段階の試行を自分で考えます。第一段階と第二段階はどちらも2通り以上、末端の総数は12個以下にし、各段階の結果を公平に選ぶことを明記します。見本のラベルや数だけを写さず、結果が表す意味を自分で決めてください。自分の樹形図に全ての末端を記し、総数・漏れと重複の確認・各末端を同様に確からしいとする根拠を説明します。
作例：公平な抽選装置Aで案内の言語「日本語・英語・スペイン語」、公平な別装置Bで表示様式「文字・音声」を選び、出方は互いに影響しないと決める。樹形図では各言語の枝を文字と音声に分け、(日本語,文字),(日本語,音声),(英語,文字),(英語,音声),(スペイン語,文字),(スペイン語,音声)の6末端。全3言語ごとに全2様式を一度ずつ置き、漏れ・重複なし。選ぶ装置の公平さと出方の条件から各組は同様に確からしい。実際の人の言語や好みが均等だという主張ではない。
生徒が意味と選択の仕組みを決めた新しい試行、両段階2以上、12末端以下、全ラベル付きの樹形図が必要。人の好みなどを根拠なく均等とせず、公平に選ぶ数学的な仕組み・仮定を明記する。別の有効な試行と図を認める。
装置AはA,B,C、装置Bはp,qを公平に出し、互いに影響しません。全ての末端を示した樹形図を描いたうえで、その結果を、自分で名前を付けた三つの空でない組へ、漏れや重複なく分けます。三組を同様に確からしいと扱える分け方を一つ作り、各組に入る全ての結果を図の印と一覧で示し、なぜそう言えるかを説明してください。
生徒の木の末端は(A,p),(A,q),(B,p),(B,q),(C,p),(C,q)の6組。作例として「月」={(A,p),(B,q)}、「星」={(A,q),(C,p)}、「空」={(B,p),(C,q)}に分ける。全ての末端がちょうど一組に一度ずつ入り、各組は空でなく2末端ずつ。もとの6末端は公平さと出方の条件から同様に確からしいので、等しい末端が同数ずつ入る三組も同様に確からしいと扱える。
生徒の完成木と生徒が決めた具体的な三組、全6結果の対応が必要。各組2個でも同じ結果を二群へ重複させたり一結果を落としたりしていないかを見る。別の有効な三組分けを認める。まとめたラベルは必ず不均等だという誤一般化をしない。