中2 数学：図形の証明の見直しの練習問題
結論の先取り、対応順のずれ、抜けた根拠、合同条件の取り違えを調べます。準備14問と、自分の図・診断・修正した証明全体を残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)ア(イ)の証明の意味・方法と、イ(ア)の図形の性質を論理的に確かめる範囲です。冊子113/PDF117には、何をどこへ補うか、推論の誤りをどう指摘し改めるかという、証明を評価・改善する活動が示されています。ここでは誤った説明の診断と全文修正を中心にし、一般の逆の命題と反例は次の別テーマで扱います。
解説を読む
主課題では、意図的に誤りや抜けを入れた説明を読みます。どの文が、なぜ根拠にならないかを指摘し、元の仮定を勝手に増やさず、仮定から結論までの証明を全部書き直します。結論そのものが成立しない課題では、成立する結論へ明示的に修正します。準備の選択得点だけで、証明を直せたとは判定しません。
必要な予備知識
三角形の合同条件と対応順、仮定・結論、対頂角・平行線と角、内角の和、中点、円の半径。直角三角形の「斜辺と他の1辺」の合同条件は証明済みとして使えます。紙や授業用ボードに自分の図と全証明を書きます。三平方の定理や三角比は不要です。
- 仮定と結論を分け、これから示したいことを仮定として使っていないか確かめます。結論がたまたま正しくても、循環した説明は証明になりません。
- 等しいと書いた各辺・角について、仮定、共通、中点、半径、平行線と角など、使える根拠を一つずつ照合します。図の測定値や見た目を、新しい仮定にしません。
- 合同条件は事実の個数だけで選びません。同じ線分を逆順に二回数えず、二辺の間の角か、一辺の両端の角かを確かめます。直角三角形には既習の専用条件もあります。
- 三角形を書く順と、最後に使う対応する辺・角を照合します。条件が正しくても、頂点の対応順を違えて書けば、そのままでは結論を導けません。
- 根拠を補うときは、何が先に使え、何がその後に言えるかを並べ直します。定型句を増やすことより、仮定から結論へのつながりを大切にします。
- 最後に、誤りの指摘だけで止めず、正しい証明を最初から最後まで書きます。別の順序・別の使える根拠による証明も認め、見本と同じ文体に限定しません。
解き方の例
△JKLと△UVWでJK=UV、∠J=∠U=38°、∠L=∠W=79°とします。「一辺とその両端の角」と言うだけでは、∠Lが辺JKの端の角ではないことが説明されていません。内角の和から∠K=∠V=63°を先に導き、辺JKとUV、その両端の角が等しいと書けば、△JKL≡△UVWへつながります。
「線分の中点を通るから、そこから両端までの距離は等しい」という文では、どの点からの距離かが不明です。中点Mで直接言えるのはAM=BMです。Mを通る別の直線上の点PについてPA=PBを示すなら、その直線がABに垂直かなど、与えられた条件と合同を使う証明が必要です。
よくある間違い
- 正しい結論だから、その結論を途中の根拠として使ってもよいとする。
- 図を測って等しかったことや、平行に見えることを仮定に加える。
- 共通な辺XY=XYとYX=YXを、独立した二組の辺として数える。
- 二辺と角が三つあれば、角がその間になくても同じ合同条件を使えるとする。
- 三角形の対応順がずれているのに、最後の対応する辺・角を確認しない。
- 欠けた一語だけを埋め、仮定から結論までの証明を書き直さない。
考え方を説明する
準備14問は根拠を見分ける足場です。主課題10題は生徒の図、誤りまたは不足の箇所、その理由、修正後の全証明を講師が確認します。仮定の無断追加や結論の先取りを避け、各等しさの根拠、条件の位置、対応、結論へのつながりを照合します。T8では元の合同という結論が成立しない理由と、成立する角の結論への明示的修正を確認します。別の正しい証明や誤りの説明を認めます。
選択の正答率は、証明を全文修正できることを示しません。主課題の生徒の図・診断・証明全体を紙や授業用ボードに残し、講師が手動で確認します。
練習する
選択欄は根拠を見分ける準備です。主課題の自分の図・誤りの診断・書き直した全証明は講師が手動で確認します。自動で証明を採点する機能ではありません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
PA=PBを証明したい説明が、最初に「PA=PBより」と使っています。まず指摘する問題点はどれですか。
- 点名が三つあること
- 結論を根拠に使う循環
- 等号があること
- 結論を最後に書くこと
答えと解説
結論を根拠に使う循環
まだ示していないPA=PBを根拠にすると循環します。元の仮定から導き直します。
Mが線分ABの中点という仮定から、直接言える等しさはどれですか。
- PA=PB
- PM=AM
- AB=AM
- AM=BM
答えと解説
AM=BM
中点の定義からAM=BMです。任意の点Pからの距離については直接言えません。
△ABCと△DEFでAB=DE、AC=DF、∠B=∠Eが与えられています。「二辺とその間の角」がそろうという説明について、正しい指摘はどれですか。
- 与えた角は、示した二辺の間の角ではない
- 等しい辺が二組なら角は何でもよい
- 三つの事実があるので必ずその条件になる
- 角Bは辺ABとACの間の角である
答えと解説
与えた角は、示した二辺の間の角ではない
ABとACの間は角A、DEとDFの間は角Dです。角BとEをその間の角とはできません。この三事実だけでその合同条件を使う説明は不適切です。
△ABCと△DEFでAB=DE、∠A=∠D、∠C=∠Fです。辺ABとDEに「一辺とその両端の角」を使う前に、何を補えばよいですか。
- BC=EFを測って足す
- 辺を三つに増やす
- 内角の和から∠B=∠Eを導く
- ∠Aと∠Dを消す
答えと解説
内角の和から∠B=∠Eを導く
ABの両端はA,B、DEの両端はD,Eです。残りの角B,Eが等しいことを内角の和から導きます。
△ABC≡△DFAという順で、Bに対応する頂点はどれですか。
- D
- A
- F
- C
答えと解説
F
並べた順からA↔D、B↔F、C↔Aです。点名が一つ重なっていても対応順を読みます。
同じ線分PQについてPQ=PQとQP=QPを並べ、「二組の辺が等しい」と数えました。問題点はどれですか。
- 同じ一組の線分を二回数えている
- 線分には順序を付けられない
- 共通な辺は一度も使えない
- PQとQPは必ず異なる長さになる
答えと解説
同じ一組の線分を二回数えている
PQとQPは同じ線分です。共通な一組として使えますが、独立した二組にはなりません。
二本の直線がOで交わるとき、対頂角の等しさの根拠として適切なのはどれですか。
- 図を測ったら同じだった
- 平行線に見えた
- 結論が等しい角だから
- 対頂角は等しいという既習の性質
答えと解説
対頂角は等しいという既習の性質
交わる二直線の対頂角という配置と、既習の性質を結びます。測定や見た目を一般の根拠にはしません。
AB∥CDという仮定がなく、まだ平行を示してもいないのに「平行線の錯角が等しい」と使いました。何が不足していますか。
- 角の度数を必ず数値で出すこと
- その二直線が平行だという使える根拠
- 線分の単位をmmに変えること
- 三角形の名前を省くこと
答えと解説
その二直線が平行だという使える根拠
平行線の性質を使うには、その線が平行だという仮定や、それまでに導いた根拠が必要です。
ある一つの図を定規で測ってAB=CDだったので、同じ仮定を満たすすべての図でAB=CDだと結論しました。正しい評価はどれですか。
- 一例の測定だけでは一般の証明にならない
- 定規なら誤差がないので証明である
- 長さは角と違い証明不要である
- 同じ紙に描けばすべての図を調べたことになる
答えと解説
一例の測定だけでは一般の証明にならない
一例の観察は予想に役立ちますが、仮定から既知の性質を使って一般に導く証明が別に必要です。
二つの直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいと分かっています。既習の合同条件としてそのまま使えるものはどれですか。
- 対応する三つの角がそれぞれ等しいだけという条件
- 二辺とその間でない角という一般条件
- 一辺が同じなら必ず合同という条件
- 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいという条件
答えと解説
直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいという条件
直角三角形に使える既習の専用条件です。一般の二辺とその間の角という条件に無理に言い換えません。
平行四辺形の対辺が等しいことを合同から証明する課題で、最初に「平行四辺形の対辺は等しい」と使いました。この課題での問題はどれですか。
- 平行という仮定は使えない
- 今示す性質そのものを、先に根拠にした
- 対角線を引くことが禁止されている
- 対辺は必ず長さが違う
答えと解説
今示す性質そのものを、先に根拠にした
その性質を証明する課題なので、それ自体を根拠にせず、平行線と角や共通辺から合同を示します。
△ABC≡△DEFまで示したが、目標BC=EFを書かずに止まっています。最後に補うべきつながりはどれですか。
- 三角形をもう一つ描けばよい
- BC=EFを仮定へ移す
- 合同な三角形の対応する辺からBC=EFと述べる
- すべての角を測り直す
答えと解説
合同な三角形の対応する辺からBC=EFと述べる
合同後の対応B↔E,C↔Fを確かめ、対応する辺が等しいことから目標へ結びます。
三つの内角がそれぞれ等しい二つの三角形について、そのことだけから「合同」としました。正しい指摘はどれですか。
- 対応する三つの角がそれぞれ等しければ大きさも必ず同じ
- 合同条件はどれも角だけでできている
- 角が等しいことは一切使えない
- 角が同じでも大きさが異なり、合同とは限らない
答えと解説
角が同じでも大きさが異なり、合同とは限らない
同じ角で拡大した形が作れます。対応する三つの角がそれぞれ等しいことだけでは合同を保証しません。
誤りを一か所見つけたあと、この主課題を終えるために必要な作業はどれですか。
- 間違いという語だけ書く
- 元の仮定から結論まで、修正した全証明を書く
- 根拠を確認せず結論だけ写す
- 仮定へ結論を追加して解決する
答えと解説
元の仮定から結論まで、修正した全証明を書く
どの文をなぜ改めたかと、修正後の論理のつながりが必要です。診断だけや仮定の無断追加では完了しません。
考え方を説明する
Mは線分ABの中点、PはMを通りABに垂直な直線上のM以外の点です。目標はPA=PBです。ある説明は「PA=PB、AM=BM、PMは共通だから三辺で合同」としました。自分の図で、使えない根拠を特定し、元の仮定から始める正しい全証明を書いてください。
答えと解説
PA=PBは結論なので、先に使うのは循環。△AMPと△BMPでAM=BMは中点、MP=MPは共通、∠AMP=∠BMP=90°はPM⊥ABから言える。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AMP≡△BMP。対応する辺からAP=BP。
生徒の図、中点と垂直の仮定、循環箇所、二辺の間の直角、合同後の対応辺まで見る。正しい結論だったことだけで元の証明を認めない。
AB=ACの三角形ABCで、DはBCの中点です。目標は∠BAD=∠CADです。ある説明はAB=AC、BD=CD、ADは共通から「△ABD≡△CAD」と書いて、そのまま目標を結論しました。自分の図を描き、三組の辺と頂点の対応順を照合し、全文を書き直してください。
答えと解説
示した三組に合う順は△ABDと△ACD。AB=ACは仮定、BD=CDは中点、AD=ADは共通なので三辺がそれぞれ等しく△ABD≡△ACD。対応A↔A,B↔C,D↔Dより∠BAD=∠CAD。元の△CADの順ではABにCAが対応してもBDにADが対応してしまい、示した三組と一致しない。
生徒が対応する頂点を明示し、仮定・中点・共通辺の各根拠から正しい合同順と角の結論まで書く。別の一貫した順も認める。
△ABCと△DEFでAB=DE、∠B=∠E=64°、∠C=∠F=47°です。目標はAC=DFです。ある説明は「一辺とその両端の角が等しいので合同」とだけ書きました。自分の二図に、どの角が辺の端にあるかを示し、抜けた推論を補って、仮定から目標まで全文を書いてください。
答えと解説
辺ABの両端はA,Bで、Cはその端ではない。内角の和から∠A=∠D=180°−64°−47°=69°。AB=DEは仮定、両端A,Dの69°とB,Eの64°がそれぞれ等しいので、一辺とその両端の角から△ABC≡△DEF。対応する辺よりAC=DF。
69°を図の測定や追加仮定にせず、内角の和から証明中で導く。既知の辺の両端と合同後の対応辺を結ぶ全証明を見る。
凸四角形ABCDでAB∥CD、AD∥BCです。対角線BDを引き、AB=CDかつAD=BCを合同から示す課題です。ある説明は最初に「平行四辺形の対辺は等しいのでAB=CD、AD=BC」と使いました。自分の図で先取りを指摘し、その性質を使わず、元の平行の仮定から全証明を書き直してください。
答えと解説
今示す対辺の等しさを先に使っている。△ABDと△CDBで、AB∥CDから∠ABD=∠CDB、AD∥BCから∠ADB=∠CBD（いずれも錯角）。BD=DBは共通なので一辺とその両端の角がそれぞれ等しく△ABD≡△CDB。対応する辺からAB=CD、AD=CB。
生徒の凸四角形・対角線、二組の平行に基づく別々の錯角、共通BDの両端、対応と二つの目標まで見る。平行四辺形の既知の別性質を一律に禁止するのでなく、この証明対象の先取りを避ける。
長方形ABCDの対角線AC,BDがEで交わります。目標はAE=CEかつBE=DEです。ある説明は「図ではEが真ん中に見え、測っても半分なので成立する」としました。自分の図を描き、測定だけでは不足する理由を述べ、長方形の対辺の平行・等長を既習として使って全証明を書いてください。対角線が互いに二等分するという性質自体は先に使いません。
答えと解説
一例の見た目や測定は一般の根拠にならない。△ABEと△CDEでAB=CDは長方形の対辺の性質。AB∥CDより∠BAE=∠DCE、∠ABE=∠CDEは錯角で等しい。一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDE。対応する辺よりAE=CE、BE=DE。
対角線の二等分を先取りせず、使ってよい対辺の性質から二組の錯角を導く。生徒の図、測定の限界の診断、二つの等長までの全証明を見る。
中心Oの円に異なる二点A,Bを取り、ABは直径でないとします。Mは弦ABの中点です。目標はOM⊥ABです。ある説明は「OA=OB、OM=OM、MO=MOの三組で△OAM≡△OBM」としました。自分の図で重複を指摘し、不足する根拠を補って垂直まで全部証明してください。
答えと解説
OMとMOは同じ共通辺で、二組に数えられない。△OAMと△OBMでOA=OBは同じ円の半径、AM=BMはMが中点、OM=OMは共通。三辺がそれぞれ等しいので△OAM≡△OBM。対応する角∠OMA=∠OMB。A,M,Bは一直線上で二角の和は180°なのでそれぞれ90°。よってOM⊥AB。
弦が直径でないのでOとMが異なり三角形がつぶれない。生徒の図、共通辺の重複という診断、半径・中点・共通の三組、等角と180°から90°への全論証を見る。
∠C=∠F=90°の△ABCと△DEFで、AB=DE=10cm、BC=EF=6cmです。目標は∠A=∠Dです。ある説明は「二辺AB,BCと角C、二辺DE,EFと角Fで、二辺とその間の角が等しい」としました。自分の二図で角の位置を指摘し、既習の直角三角形の合同条件を用いて、目標まで全文を書き直してください。
答えと解説
ABとBCの間の角はBで、Cではない。二つは直角三角形で、AB,DEは斜辺。斜辺AB=DEと他の一辺BC=EFがそれぞれ等しいので、既習の直角三角形の合同条件により△ABC≡△DEF。対応する角から∠A=∠D。
直角に向かい合う斜辺の特定、元の角が二辺の間でないという診断、直角三角形の斜辺と他の一辺の条件、目標の対応角まで見る。三平方の計算を必須にしない。
△ABCで∠A=50°、∠B=60°、AB=7cm、△DEFで∠D=50°、∠E=60°、DE=11cmです。ある説明は残りの角も70°なので「対応する三つの角がそれぞれ等しく、合同」としました。二つの図を描き、合同という結論が成立しない根拠を述べてください。そのうえで、結論を「∠C=∠F=70°である」へ明示的に修正し、元の仮定からその結論まで全文を書いてください。
答えと解説
対応する三つの角がそれぞれ等しいことだけでは合同条件にならず、対応ABとDEも7cmと11cmで異なるので、この二つは合同でない。修正した結論について、△ABCの内角の和から∠C=180°−50°−60°=70°。同様に△DEFで∠F=180°−50°−60°=70°。したがって∠C=∠F=70°。長さの仮定を勝手に変えて合同にしない。
生徒の二図、7≠11と対応する辺という根拠、角だけの合同条件はないという診断、結論の明示的変更と修正後の全論証を見る。相似の用語・三角比・未習の辺計算を要求しない。
AB=ACの三角形ABCについて∠ABC=∠ACBを示します。ある人は「底角は等しいから目標が正しい。それを使い、二角と辺から合同だとも言える」と書きました。この課題では二等辺三角形の底角の性質そのものを、三辺の合同条件から証明します。自分の図を描き、循環を指摘して、△ABCと頂点の順を入れ替えた同じ三角形を比較する全証明を書いてください。
答えと解説
証明対象である底角の等しさを先に使っている。△ABCと△ACBを比較すると、AB=AC、AC=ABは仮定から、BC=CBは共通。ここではABとACという異なる二本の辺が、入れ替わる対応として二組ある。三辺がそれぞれ等しいので△ABC≡△ACB。対応B↔Cから∠ABC=∠ACB。
同じ三角形を別の対応で比較できること、二つの異なる辺ABとACの入れ替えと、一本の共通辺を二回数える誤りとの違いを見ます。生徒の図、循環の診断、三辺の対応と底角への全証明が必須。
自分で、図と仮定・目標を決めた証明課題を一つ作ってください。意図的に根拠を一か所だけ間違えた説明も作り、どの文がなぜ使えないかを述べます。次に元の仮定を無断で増やさず、正しい全証明を書いてください。見本の点名や数値を写すだけでなく、自分で選んだ条件・結論を図に示します。
答えと解説
作例：△JKLと△UVWでJK=UV=4cm、KL=VW=9cm、∠JKL=∠UVW=67°と決め、JL=UWを目標にする。誤った説明を「二辺とその間の角から△JKL≡△UWV」とする。この順はJKにUW、KLにWVが対応して条件と合わない。修正：仮定の二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△JKL≡△UVW。対応する辺よりJL=UW。生徒が別の有効な図・仮定・診断・修正を作っても認める。
生徒が作った図と課題、成立する三角形と条件、誤りが具体的に一か所特定されること、仮定から成立する結論への修正後の全証明を見る。作例と同じ合同条件や点名・寸法に固定しない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)ア(イ)の証明の意味・方法と、イ(ア)の図形の性質を論理的に確かめる範囲です。冊子113/PDF117には、何をどこへ補うか、推論の誤りをどう指摘し改めるかという、証明を評価・改善する活動が示されています。ここでは誤った説明の診断と全文修正を中心にし、一般の逆の命題と反例は次の別テーマで扱います。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 証明の根拠の誤り・抜けを見つけて、全文を書き直す
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/diagnose-and-rewrite-faulty-geometric-proofs/
準備14問は根拠を見分ける足場です。主課題10題は生徒の図、誤りまたは不足の箇所、その理由、修正後の全証明を講師が確認します。仮定の無断追加や結論の先取りを避け、各等しさの根拠、条件の位置、対応、結論へのつながりを照合します。T8では元の合同という結論が成立しない理由と、成立する角の結論への明示的修正を確認します。別の正しい証明や誤りの説明を認めます。
PA=PBを証明したい説明が、最初に「PA=PBより」と使っています。まず指摘する問題点はどれですか。
- 点名が三つあること
- 結論を根拠に使う循環
- 等号があること
- 結論を最後に書くこと
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Mが線分ABの中点という仮定から、直接言える等しさはどれですか。
- PA=PB
- PM=AM
- AB=AM
- AM=BM
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCと△DEFでAB=DE、AC=DF、∠B=∠Eが与えられています。「二辺とその間の角」がそろうという説明について、正しい指摘はどれですか。
- 与えた角は、示した二辺の間の角ではない
- 等しい辺が二組なら角は何でもよい
- 三つの事実があるので必ずその条件になる
- 角Bは辺ABとACの間の角である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCと△DEFでAB=DE、∠A=∠D、∠C=∠Fです。辺ABとDEに「一辺とその両端の角」を使う前に、何を補えばよいですか。
- BC=EFを測って足す
- 辺を三つに増やす
- 内角の和から∠B=∠Eを導く
- ∠Aと∠Dを消す
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC≡△DFAという順で、Bに対応する頂点はどれですか。
- D
- A
- F
- C
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ線分PQについてPQ=PQとQP=QPを並べ、「二組の辺が等しい」と数えました。問題点はどれですか。
- 同じ一組の線分を二回数えている
- 線分には順序を付けられない
- 共通な辺は一度も使えない
- PQとQPは必ず異なる長さになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二本の直線がOで交わるとき、対頂角の等しさの根拠として適切なのはどれですか。
- 図を測ったら同じだった
- 平行線に見えた
- 結論が等しい角だから
- 対頂角は等しいという既習の性質
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB∥CDという仮定がなく、まだ平行を示してもいないのに「平行線の錯角が等しい」と使いました。何が不足していますか。
- 角の度数を必ず数値で出すこと
- その二直線が平行だという使える根拠
- 線分の単位をmmに変えること
- 三角形の名前を省くこと
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある一つの図を定規で測ってAB=CDだったので、同じ仮定を満たすすべての図でAB=CDだと結論しました。正しい評価はどれですか。
- 一例の測定だけでは一般の証明にならない
- 定規なら誤差がないので証明である
- 長さは角と違い証明不要である
- 同じ紙に描けばすべての図を調べたことになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいと分かっています。既習の合同条件としてそのまま使えるものはどれですか。
- 対応する三つの角がそれぞれ等しいだけという条件
- 二辺とその間でない角という一般条件
- 一辺が同じなら必ず合同という条件
- 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいという条件
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平行四辺形の対辺が等しいことを合同から証明する課題で、最初に「平行四辺形の対辺は等しい」と使いました。この課題での問題はどれですか。
- 平行という仮定は使えない
- 今示す性質そのものを、先に根拠にした
- 対角線を引くことが禁止されている
- 対辺は必ず長さが違う
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC≡△DEFまで示したが、目標BC=EFを書かずに止まっています。最後に補うべきつながりはどれですか。
- 三角形をもう一つ描けばよい
- BC=EFを仮定へ移す
- 合同な三角形の対応する辺からBC=EFと述べる
- すべての角を測り直す
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三つの内角がそれぞれ等しい二つの三角形について、そのことだけから「合同」としました。正しい指摘はどれですか。
- 対応する三つの角がそれぞれ等しければ大きさも必ず同じ
- 合同条件はどれも角だけでできている
- 角が等しいことは一切使えない
- 角が同じでも大きさが異なり、合同とは限らない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
誤りを一か所見つけたあと、この主課題を終えるために必要な作業はどれですか。
- 間違いという語だけ書く
- 元の仮定から結論まで、修正した全証明を書く
- 根拠を確認せず結論だけ写す
- 仮定へ結論を追加して解決する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
Mは線分ABの中点、PはMを通りABに垂直な直線上のM以外の点です。目標はPA=PBです。ある説明は「PA=PB、AM=BM、PMは共通だから三辺で合同」としました。自分の図で、使えない根拠を特定し、元の仮定から始める正しい全証明を書いてください。
AB=ACの三角形ABCで、DはBCの中点です。目標は∠BAD=∠CADです。ある説明はAB=AC、BD=CD、ADは共通から「△ABD≡△CAD」と書いて、そのまま目標を結論しました。自分の図を描き、三組の辺と頂点の対応順を照合し、全文を書き直してください。
△ABCと△DEFでAB=DE、∠B=∠E=64°、∠C=∠F=47°です。目標はAC=DFです。ある説明は「一辺とその両端の角が等しいので合同」とだけ書きました。自分の二図に、どの角が辺の端にあるかを示し、抜けた推論を補って、仮定から目標まで全文を書いてください。
凸四角形ABCDでAB∥CD、AD∥BCです。対角線BDを引き、AB=CDかつAD=BCを合同から示す課題です。ある説明は最初に「平行四辺形の対辺は等しいのでAB=CD、AD=BC」と使いました。自分の図で先取りを指摘し、その性質を使わず、元の平行の仮定から全証明を書き直してください。
長方形ABCDの対角線AC,BDがEで交わります。目標はAE=CEかつBE=DEです。ある説明は「図ではEが真ん中に見え、測っても半分なので成立する」としました。自分の図を描き、測定だけでは不足する理由を述べ、長方形の対辺の平行・等長を既習として使って全証明を書いてください。対角線が互いに二等分するという性質自体は先に使いません。
中心Oの円に異なる二点A,Bを取り、ABは直径でないとします。Mは弦ABの中点です。目標はOM⊥ABです。ある説明は「OA=OB、OM=OM、MO=MOの三組で△OAM≡△OBM」としました。自分の図で重複を指摘し、不足する根拠を補って垂直まで全部証明してください。
∠C=∠F=90°の△ABCと△DEFで、AB=DE=10cm、BC=EF=6cmです。目標は∠A=∠Dです。ある説明は「二辺AB,BCと角C、二辺DE,EFと角Fで、二辺とその間の角が等しい」としました。自分の二図で角の位置を指摘し、既習の直角三角形の合同条件を用いて、目標まで全文を書き直してください。
△ABCで∠A=50°、∠B=60°、AB=7cm、△DEFで∠D=50°、∠E=60°、DE=11cmです。ある説明は残りの角も70°なので「対応する三つの角がそれぞれ等しく、合同」としました。二つの図を描き、合同という結論が成立しない根拠を述べてください。そのうえで、結論を「∠C=∠F=70°である」へ明示的に修正し、元の仮定からその結論まで全文を書いてください。
AB=ACの三角形ABCについて∠ABC=∠ACBを示します。ある人は「底角は等しいから目標が正しい。それを使い、二角と辺から合同だとも言える」と書きました。この課題では二等辺三角形の底角の性質そのものを、三辺の合同条件から証明します。自分の図を描き、循環を指摘して、△ABCと頂点の順を入れ替えた同じ三角形を比較する全証明を書いてください。
自分で、図と仮定・目標を決めた証明課題を一つ作ってください。意図的に根拠を一か所だけ間違えた説明も作り、どの文がなぜ使えないかを述べます。次に元の仮定を無断で増やさず、正しい全証明を書いてください。見本の点名や数値を写すだけでなく、自分で選んだ条件・結論を図に示します。
解答: 証明の根拠の誤り・抜けを見つけて、全文を書き直す
結論を根拠に使う循環
まだ示していないPA=PBを根拠にすると循環します。元の仮定から導き直します。
AM=BM
中点の定義からAM=BMです。任意の点Pからの距離については直接言えません。
与えた角は、示した二辺の間の角ではない
ABとACの間は角A、DEとDFの間は角Dです。角BとEをその間の角とはできません。この三事実だけでその合同条件を使う説明は不適切です。
内角の和から∠B=∠Eを導く
ABの両端はA,B、DEの両端はD,Eです。残りの角B,Eが等しいことを内角の和から導きます。
F
並べた順からA↔D、B↔F、C↔Aです。点名が一つ重なっていても対応順を読みます。
同じ一組の線分を二回数えている
PQとQPは同じ線分です。共通な一組として使えますが、独立した二組にはなりません。
対頂角は等しいという既習の性質
交わる二直線の対頂角という配置と、既習の性質を結びます。測定や見た目を一般の根拠にはしません。
その二直線が平行だという使える根拠
平行線の性質を使うには、その線が平行だという仮定や、それまでに導いた根拠が必要です。
一例の測定だけでは一般の証明にならない
一例の観察は予想に役立ちますが、仮定から既知の性質を使って一般に導く証明が別に必要です。
直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいという条件
直角三角形に使える既習の専用条件です。一般の二辺とその間の角という条件に無理に言い換えません。
今示す性質そのものを、先に根拠にした
その性質を証明する課題なので、それ自体を根拠にせず、平行線と角や共通辺から合同を示します。
合同な三角形の対応する辺からBC=EFと述べる
合同後の対応B↔E,C↔Fを確かめ、対応する辺が等しいことから目標へ結びます。
角が同じでも大きさが異なり、合同とは限らない
同じ角で拡大した形が作れます。対応する三つの角がそれぞれ等しいことだけでは合同を保証しません。
元の仮定から結論まで、修正した全証明を書く
どの文をなぜ改めたかと、修正後の論理のつながりが必要です。診断だけや仮定の無断追加では完了しません。
記述問題の解答・確認の観点
Mは線分ABの中点、PはMを通りABに垂直な直線上のM以外の点です。目標はPA=PBです。ある説明は「PA=PB、AM=BM、PMは共通だから三辺で合同」としました。自分の図で、使えない根拠を特定し、元の仮定から始める正しい全証明を書いてください。
PA=PBは結論なので、先に使うのは循環。△AMPと△BMPでAM=BMは中点、MP=MPは共通、∠AMP=∠BMP=90°はPM⊥ABから言える。二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AMP≡△BMP。対応する辺からAP=BP。
生徒の図、中点と垂直の仮定、循環箇所、二辺の間の直角、合同後の対応辺まで見る。正しい結論だったことだけで元の証明を認めない。
AB=ACの三角形ABCで、DはBCの中点です。目標は∠BAD=∠CADです。ある説明はAB=AC、BD=CD、ADは共通から「△ABD≡△CAD」と書いて、そのまま目標を結論しました。自分の図を描き、三組の辺と頂点の対応順を照合し、全文を書き直してください。
示した三組に合う順は△ABDと△ACD。AB=ACは仮定、BD=CDは中点、AD=ADは共通なので三辺がそれぞれ等しく△ABD≡△ACD。対応A↔A,B↔C,D↔Dより∠BAD=∠CAD。元の△CADの順ではABにCAが対応してもBDにADが対応してしまい、示した三組と一致しない。
生徒が対応する頂点を明示し、仮定・中点・共通辺の各根拠から正しい合同順と角の結論まで書く。別の一貫した順も認める。
△ABCと△DEFでAB=DE、∠B=∠E=64°、∠C=∠F=47°です。目標はAC=DFです。ある説明は「一辺とその両端の角が等しいので合同」とだけ書きました。自分の二図に、どの角が辺の端にあるかを示し、抜けた推論を補って、仮定から目標まで全文を書いてください。
辺ABの両端はA,Bで、Cはその端ではない。内角の和から∠A=∠D=180°−64°−47°=69°。AB=DEは仮定、両端A,Dの69°とB,Eの64°がそれぞれ等しいので、一辺とその両端の角から△ABC≡△DEF。対応する辺よりAC=DF。
69°を図の測定や追加仮定にせず、内角の和から証明中で導く。既知の辺の両端と合同後の対応辺を結ぶ全証明を見る。
凸四角形ABCDでAB∥CD、AD∥BCです。対角線BDを引き、AB=CDかつAD=BCを合同から示す課題です。ある説明は最初に「平行四辺形の対辺は等しいのでAB=CD、AD=BC」と使いました。自分の図で先取りを指摘し、その性質を使わず、元の平行の仮定から全証明を書き直してください。
今示す対辺の等しさを先に使っている。△ABDと△CDBで、AB∥CDから∠ABD=∠CDB、AD∥BCから∠ADB=∠CBD（いずれも錯角）。BD=DBは共通なので一辺とその両端の角がそれぞれ等しく△ABD≡△CDB。対応する辺からAB=CD、AD=CB。
生徒の凸四角形・対角線、二組の平行に基づく別々の錯角、共通BDの両端、対応と二つの目標まで見る。平行四辺形の既知の別性質を一律に禁止するのでなく、この証明対象の先取りを避ける。
長方形ABCDの対角線AC,BDがEで交わります。目標はAE=CEかつBE=DEです。ある説明は「図ではEが真ん中に見え、測っても半分なので成立する」としました。自分の図を描き、測定だけでは不足する理由を述べ、長方形の対辺の平行・等長を既習として使って全証明を書いてください。対角線が互いに二等分するという性質自体は先に使いません。
一例の見た目や測定は一般の根拠にならない。△ABEと△CDEでAB=CDは長方形の対辺の性質。AB∥CDより∠BAE=∠DCE、∠ABE=∠CDEは錯角で等しい。一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDE。対応する辺よりAE=CE、BE=DE。
対角線の二等分を先取りせず、使ってよい対辺の性質から二組の錯角を導く。生徒の図、測定の限界の診断、二つの等長までの全証明を見る。
中心Oの円に異なる二点A,Bを取り、ABは直径でないとします。Mは弦ABの中点です。目標はOM⊥ABです。ある説明は「OA=OB、OM=OM、MO=MOの三組で△OAM≡△OBM」としました。自分の図で重複を指摘し、不足する根拠を補って垂直まで全部証明してください。
OMとMOは同じ共通辺で、二組に数えられない。△OAMと△OBMでOA=OBは同じ円の半径、AM=BMはMが中点、OM=OMは共通。三辺がそれぞれ等しいので△OAM≡△OBM。対応する角∠OMA=∠OMB。A,M,Bは一直線上で二角の和は180°なのでそれぞれ90°。よってOM⊥AB。
弦が直径でないのでOとMが異なり三角形がつぶれない。生徒の図、共通辺の重複という診断、半径・中点・共通の三組、等角と180°から90°への全論証を見る。
∠C=∠F=90°の△ABCと△DEFで、AB=DE=10cm、BC=EF=6cmです。目標は∠A=∠Dです。ある説明は「二辺AB,BCと角C、二辺DE,EFと角Fで、二辺とその間の角が等しい」としました。自分の二図で角の位置を指摘し、既習の直角三角形の合同条件を用いて、目標まで全文を書き直してください。
ABとBCの間の角はBで、Cではない。二つは直角三角形で、AB,DEは斜辺。斜辺AB=DEと他の一辺BC=EFがそれぞれ等しいので、既習の直角三角形の合同条件により△ABC≡△DEF。対応する角から∠A=∠D。
直角に向かい合う斜辺の特定、元の角が二辺の間でないという診断、直角三角形の斜辺と他の一辺の条件、目標の対応角まで見る。三平方の計算を必須にしない。
△ABCで∠A=50°、∠B=60°、AB=7cm、△DEFで∠D=50°、∠E=60°、DE=11cmです。ある説明は残りの角も70°なので「対応する三つの角がそれぞれ等しく、合同」としました。二つの図を描き、合同という結論が成立しない根拠を述べてください。そのうえで、結論を「∠C=∠F=70°である」へ明示的に修正し、元の仮定からその結論まで全文を書いてください。
対応する三つの角がそれぞれ等しいことだけでは合同条件にならず、対応ABとDEも7cmと11cmで異なるので、この二つは合同でない。修正した結論について、△ABCの内角の和から∠C=180°−50°−60°=70°。同様に△DEFで∠F=180°−50°−60°=70°。したがって∠C=∠F=70°。長さの仮定を勝手に変えて合同にしない。
生徒の二図、7≠11と対応する辺という根拠、角だけの合同条件はないという診断、結論の明示的変更と修正後の全論証を見る。相似の用語・三角比・未習の辺計算を要求しない。
AB=ACの三角形ABCについて∠ABC=∠ACBを示します。ある人は「底角は等しいから目標が正しい。それを使い、二角と辺から合同だとも言える」と書きました。この課題では二等辺三角形の底角の性質そのものを、三辺の合同条件から証明します。自分の図を描き、循環を指摘して、△ABCと頂点の順を入れ替えた同じ三角形を比較する全証明を書いてください。
証明対象である底角の等しさを先に使っている。△ABCと△ACBを比較すると、AB=AC、AC=ABは仮定から、BC=CBは共通。ここではABとACという異なる二本の辺が、入れ替わる対応として二組ある。三辺がそれぞれ等しいので△ABC≡△ACB。対応B↔Cから∠ABC=∠ACB。
同じ三角形を別の対応で比較できること、二つの異なる辺ABとACの入れ替えと、一本の共通辺を二回数える誤りとの違いを見ます。生徒の図、循環の診断、三辺の対応と底角への全証明が必須。
自分で、図と仮定・目標を決めた証明課題を一つ作ってください。意図的に根拠を一か所だけ間違えた説明も作り、どの文がなぜ使えないかを述べます。次に元の仮定を無断で増やさず、正しい全証明を書いてください。見本の点名や数値を写すだけでなく、自分で選んだ条件・結論を図に示します。
作例：△JKLと△UVWでJK=UV=4cm、KL=VW=9cm、∠JKL=∠UVW=67°と決め、JL=UWを目標にする。誤った説明を「二辺とその間の角から△JKL≡△UWV」とする。この順はJKにUW、KLにWVが対応して条件と合わない。修正：仮定の二辺とその間の角がそれぞれ等しいので△JKL≡△UVW。対応する辺よりJL=UW。生徒が別の有効な図・仮定・診断・修正を作っても認める。
生徒が作った図と課題、成立する三角形と条件、誤りが具体的に一か所特定されること、仮定から成立する結論への修正後の全証明を見る。作例と同じ合同条件や点名・寸法に固定しない。