中2 数学：同様に確からしい場合の確率の練習問題
同様に確からしい結果をそろえ、全体と条件に合う結果を生徒が数えて確率を求めます。数値を入力する準備14問と、一覧・表・式・根拠を自分で残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2D(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子123–124/PDF127–128の簡単な場合の確率です。同様に確からしいすべての場合を樹形図や二次元の表で整理し、条件に合う場合の数とすべての場合の数から考えます。主に一つの条件の直接数え上げと式を扱い、起こらない場合の確率を1から引く解法、戻して引くかの比較、複合条件の整理とは主課題を分けます。
解説を読む
起こり得る全ての結果が同様に確からしいとき、あることが起こる確率は、そのことに合う場合の数をすべての場合の数で割って求められます。分母と分子は同じ区別の仕方で数えます。色や和などの名前だけをすべての場合にすると、各名前の確からしさが等しくないことがあります。確率は0以上1以下で、0はこのモデルで起こらない場合、1は必ず起こる場合です。確率が1/4でも、4回のうち必ず一度起こるという意味ではありません。
必要な予備知識
樹形図や表で漏れ・重複なく結果を整理すること、同様に確からしいことの意味、装置や段階の区別、分数の約分と割り算。二装置の公平さと互いに出方が影響しないことは、問題に明記された数学的な仮定として使います。自分の途中の数え方・式・説明は紙や授業用ボードへ残します。
- まず一回の試行と一つの結果を決めます。全ての結果が同様に確からしいとする理由を、問題の公平さや出方の条件から述べます。
- すべての場合を一覧・樹形図・表などに整理し、一つの結果を一度ずつ数えます。二装置を区別するなら、(1,2)と(2,1)も区別します。
- 求める条件に合う結果へ印を付け、その全てを数えます。分子だけを違うラベルへまとめたり、分母から条件に合わない結果を消したりしません。
- 確率＝条件に合う場合の数÷すべての場合の数です。すべての場合がn通り、条件に合う場合がa通りならa/nと表せます。nは0ではありません。
- 分数を約分しても確率の値は変わりません。割り切れる場合の同じ値の小数も使えますが、割り切れない小数を途中で丸めた値を正確な確率にしません。
- 0以上1以下かを確かめ、0や1なら条件に合う結果が無いか、全てかへ戻します。範囲内だから正しいと決めず、もとの一覧と数え方も照合します。
- 有限回の実際の回数と、モデルの一回の確率を分けます。求めた確率だけから、次に出る結果や短い一組の試行の正確な回数を決めません。
解き方の例
公平な装置が1〜7の整数を一つ出すとします。5より大きい結果は6,7の2通り、すべての場合は1,2,3,4,5,6,7の7通りで、確率は2/7です。分母を条件に合う二数だけに変えたり、7/2と逆に割ったりしません。
Aは0,1、Bは2,5,8を公平に出し、互いに影響しないとします。全結果は(0,2),(0,5),(0,8),(1,2),(1,5),(1,8)の6通りです。和が6なのは(1,5)の1通りなので確率1/6。6組が同様に確からしい根拠は、公平さと出方の条件です。和だけのラベルを分母には使いません。
よくある間違い
- すべての場合の数と条件に合う場合の数を逆に割る。
- 同じ色や和のラベルを等しい重みの一つとして数え、もとの結果数を失う。
- 二装置の入れ替わった結果を勝手にまとめ、分母と分子の区別を変える。
- 一部の条件に合う結果を見つけただけで、全て見つけたとして計算する。
- 2/9を0.22に丸めて、正確に同じ答えだとする。
- 確率1/4なら、どの4回にも必ず一度起こるとする。
考え方を説明する
準備14問の自動採点は確率の数値だけです。主課題10題では、生徒が書いた結果の一覧・表・印、同様に確からしいとする条件、すべての場合と条件に合う場合の数、割る順序、分数の式と正確な値、モデル内での意味を講師が確認します。T6,T7は誤った分母や割り算を根拠から直し、T8は生徒の0と1となる条件、T9は一回の確率と短い試行の回数の違い、T10は生徒の新しい試行と条件を必須にします。数字だけや写した式だけで完了にしません。別の有効な整理・同値な分数を認めます。
数値を入力して正解でも、生徒がすべての場合をそろえ、条件に合う場合を漏れなく数え、確率の式の意味を説明できた証拠にはなりません。主課題の生徒の一覧・表・式と説明を講師が手動で確認します。
練習する
準備では確率の値を入力します。主課題では自分の一覧や表、すべての場合と条件に合う場合、割り算と説明を講師が確認します。数値の正答だけでは、その過程を自動採点したことにはなりません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
公平な装置が1〜8の整数を一つ出します。6より大きい数が出る確率を求めてください。
答えと解説
全8通りのうち7,8の2通りなので2/8=1/4です。
同様に確からしい10区画のうち、青い区画が4個です。一回で青い区画が出る確率を求めてください。
答えと解説
区画を区別した全10通りに対し青4通りなので4/10=2/5です。
同様に確からしい8個の図柄のうち、星の印付きが3個です。星の印付きが一つ出る確率を求めてください。
答えと解説
全8結果のうち印付き3結果なので3/8です。
公平な装置は1,2,3,4,5だけを出します。7が出る確率を求めてください。
答えと解説
0
条件に合う場合は0通り、全5通りで0/5=0です。
公平な装置は1,2,3,4,5,6だけを出します。正の整数が出る確率を求めてください。
答えと解説
1
全6結果が条件に合うので6/6=1です。
公平な装置が1〜12の整数を一つ出します。8以上の数が出る確率を求めてください。
答えと解説
8,9,10,11,12の5通り、全12通りなので5/12です。
公平な装置が1〜9の整数を一つ出します。4の倍数が出る確率を求めてください。
答えと解説
4,8の2通り、全9通りなので2/9です。近似小数へ丸めません。
公平な装置が1〜9の整数を一つ出します。3の倍数が出る確率を求めてください。
答えと解説
3,6,9の3通りで3/9=1/3です。
公平な装置AとBが、それぞれ1,2,3,4を出し、互いに影響しません。二装置の数が等しくなる確率を求めてください。
答えと解説
装置を区別した全4×4=16通りのうち(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)の4通りで4/16=1/4です。
Aは赤,青、Bは1,2,3を公平に出し、互いに影響しません。(Aの色,Bの数)が(赤,2)となる確率を求めてください。
答えと解説
全2×3=6組のうち、指定した(赤,2)は1組なので1/6です。
Aは1,2,3、Bは0,1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数の和が4となる確率を求めてください。
答えと解説
全3×5=15組、和4は(1,3),(2,2),(3,1)の3組なので3/15=1/5です。
同様に確からしい10区画のうち、赤い区画は7個です。一回で赤い区画が出る確率を求めてください。
答えと解説
全10通りのうち赤7通りで7/10です。同じ値の0.7も正しい表し方です。
公平な装置が2,4,6,8,10を一つずつの結果として出します。6以上の数が出る確率を求めてください。
答えと解説
全5通りのうち6,8,10の3通りなので3/5です。1〜10の全整数が出る装置ではありません。
一回の試行の全18結果は同様に確からしく、そのうち印付きの結果は5通りです。印付きとなる確率を求めてください。
答えと解説
条件に合う5通りを全18通りで割り、5/18です。分子と分母を逆にしません。
考え方を説明する
装置の12区画に1〜12の番号があり、どの区画も同様に確からしく出ます。1〜5は橙、6〜9は青、10〜12は灰です。全ての区画の一覧を作って青へ印を付け、青が出る確率を求めてください。分母・分子が何を数えた値かと、色名の三つを分母にしない理由も説明します。
答えと解説
生徒の一覧は橙1,2,3,4,5、青6,7,8,9、灰10,11,12の全12区画で、青の4区画に印。区画を区別した12結果が同様に確からしく、条件に合うのは4結果なので4/12=1/3。分母12は全ての区画、分子4は青の区画。橙・青・灰には5,4,3区画が入り、三つの色名は同様に確からしい結果ではない。
生徒が示した全ての区画と4か所の印、12と4の意味、同じ区画単位での割り算が必要。答え1/3だけで完了にしない。色名を分母にした1/3が偶然同じ数値になっても、根拠の誤りを見逃さない。
公平な装置が1〜14の整数を一つ出します。全結果を一覧にし、4の倍数へ印を付けて確率を求めてください。条件に合う結果が漏れていないこと、分母と分子の意味、約分ができるかも説明します。
答えと解説
生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14のうち印は4,8,12。次の倍数16は範囲外なので全3通り。全14結果は公平さから同様に確からしく、確率は3/14でこれ以上約分できない。分母は全結果数14、分子は印の3結果。
生徒の全範囲と印、次の倍数の範囲外性、3÷14の意味を見る。数の14を条件に合う数として足したり、4の約数を数えたりしない。
Aは0,1,2、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。(A,B)の全結果の表か樹形図を作り、和が5の結果へ印を付けて確率を求めてください。すべての場合と条件に合う場合、同様に確からしい根拠を説明します。
答えと解説
生徒の表は(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)の12組。和5は(1,4),(2,3)の2組で、(0,5)はBの範囲外。各組は公平さと相互に影響しない条件から同様に確からしいので2/12=1/6。
生徒の全12組と2印、装置ごとの範囲、12と2の意味と割る順序が必要。和のラベルの個数をすべての場合にしない。
Aは1,3,5、Bは2,4,6を公平に出し、互いに影響しません。全ての結果をまとめた自分の表でAの数がBの数より小さい組に印を付け、確率を求めてください。各行で何組を数えたかと、すべての場合が同様に確からしい理由も説明します。
答えと解説
生徒の表は(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)の9組。A<Bは1の行3組、3の行2組、5の行1組で合計6。公平さと相互に影響しない条件から全9組は同様に確からしく、6/9=2/3。
生徒の全9組と6印、3+2+1の行別確認、分母9を残す理由が必要。異なる装置の大小比較であり、AやBの単独の値だけを3通りとして割らない。
二つの装置A,Bは、それぞれ赤,青,緑を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。装置を区別した全結果の表を作り、色が同じになる確率を求めてください。異なる二色の組の入れ替えを分ける理由と、分母・分子の意味も説明します。
答えと解説
生徒の表は(赤,赤),(赤,青),(赤,緑),(青,赤),(青,青),(青,緑),(緑,赤),(緑,青),(緑,緑)の9組。同色は(赤,赤),(青,青),(緑,緑)の3組で3/9=1/3。公平さと出方の条件から全9組は同様に確からしい。(赤,青)と(青,赤)は各装置の結果が異なり別。
全9組と3印、分母9・分子3、二装置の区別と条件の根拠を見る。同色・異色という二ラベルを同様に確からしいとしない。
装置の6区画は赤1,赤2,赤3,赤4,青,白で、各区画は同様に確からしく出ます。ある人は「色は三つだから、赤の確率は1/3」としました。全ての区画を示す図か一覧で、赤の区画に印を付け、その説明を根拠から直し、正しい確率を求めてください。
答えと解説
生徒の6区画は赤1,赤2,赤3,赤4,青,白で、赤の4区画に印。全6区画が等しく確からしく、赤が出るのは4通りだから4/6=2/3。色名の赤・青・白には4,1,1区画が入り同様に確からしくないため、三色を同じ重みの分母3にはできない。
生徒の全6区画と4印、誤った分母3の理由、分母6へ戻した式と値が必要。1/3を2/3へ直すだけでは完了にしない。
公平な装置が番号R1〜R14を一つずつの結果として出します。当たりの印はR1〜R5だけです。ある人は「全14通り、当たり5通りだから確率14/5」としました。自分で作った全ての結果の一覧で、当たりに印を付け、割る順序を根拠から直してください。答えの範囲も、もとの場合に戻して確認します。
答えと解説
生徒の全結果はR1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13,R14で当たり5個に印。全14結果が同様に確からしく、当たり5通りを全14通りで割るので5/14。14/5は1を超え、全体のうちの一部の割合ではない。5/14は0より大きく1より小さいが、範囲内というだけでなく一覧の5と14へ戻して確かめる。
生徒の全結果と5印、全体で割る理由、式5÷14=5/14、0と1の間の確認まで見る。範囲内ならどんな数でも正しいとはしない。
公平な装置は2,5,8,11だけを一つずつの結果として出します。このモデルで確率が0になる一つの条件と、1になる一つの条件を考えてください。全結果一覧に各条件に合う結果を示し、それぞれの場合の数と割り算から確率を説明します。
答えと解説
生徒の全結果は2,5,8,11の4通り。作例として「負の数が出る」は該当0通りで0/4=0、「整数が出る」は全4通りで4/4=1。各結果が公平に出るという条件を使う。生徒が別の適切な不可能・必然の条件を作っても認める。
生徒が作った二つの具体的な条件、全4結果との照合、分子0・4と分母4の意味が必要。0と1だけで完了にしない。書いていない結果が出る装置へ変えない。
公平な装置が1〜8の整数を一つ出します。全結果一覧と印から、3の倍数が出る一回の確率を求めてください。同じ公平な抽選を、前の出方が次へ影響しないものとして4回行います。「この4回では必ず一度だけ3の倍数が出る」という説明を検討し、3の倍数が一度も出ない、自分で選んだ四つの結果を示して理由を説明します。
答えと解説
生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8で印は3,6の2通り、確率2/8=1/4。確率1/4はどの4回でも必ず一度という保証ではない。例えば生徒が四回を1,2,4,5とすれば全て可能な結果で、どれも3の倍数でなく、一度も出ない並びも起こり得る。各回にこの結果が許され、前の結果によって次が禁止されない条件を保つ。一度も出ない確率の値を計算することは必須ではない。
生徒の8結果・2印・式と、生徒の具体的な四結果・各値が範囲内で3の倍数でない確認を必須にする。実際に試行したとは書かず、一回の確率と短い試行列の回数を区別する。
全結果12通り以下で、全ての結果が同様に確からしい新しい試行を考えます。確率が2/3となる一つの条件も自分で決め、全結果と条件に合う結果の図・一覧・表を作ってください。公平さの条件、分母・分子、割り算と正確な確率を説明します。見本の数字だけを写さず、結果が何を表すかも自分で決めます。
答えと解説
作例：公平な図柄装置が三角形・正方形・円の三図柄を一つずつの結果として同じ確からしさで表示する、と定める。生徒の全結果一覧はこの3図柄で、条件を「多角形の図柄」とすれば三角形と正方形の2結果に印。円は多角形でない。全3結果が同様に確からしいという数学的な仮定から、確率2/3。実際の図柄の人気が均等だという意味ではない。生徒の別の意味・有効な試行と条件を認める。
生徒の新しい試行の意味と公平さ、全12以下の結果と条件に合う全結果、同じ区別での分母・分子と式2/3が必要。二段階を選んだ場合は各段階の公平さと出方の条件も明記する。定義を使う条件ならその意味を明確にし、答えだけの後付けにしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2D(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子123–124/PDF127–128の簡単な場合の確率です。同様に確からしいすべての場合を樹形図や二次元の表で整理し、条件に合う場合の数とすべての場合の数から考えます。主に一つの条件の直接数え上げと式を扱い、起こらない場合の確率を1から引く解法、戻して引くかの比較、複合条件の整理とは主課題を分けます。 · 2026-11-02
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 全場合と条件に合う場合から、確率の式を説明する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/calculate-probability-from-equally-likely-case-counts/
準備14問の自動採点は確率の数値だけです。主課題10題では、生徒が書いた結果の一覧・表・印、同様に確からしいとする条件、すべての場合と条件に合う場合の数、割る順序、分数の式と正確な値、モデル内での意味を講師が確認します。T6,T7は誤った分母や割り算を根拠から直し、T8は生徒の0と1となる条件、T9は一回の確率と短い試行の回数の違い、T10は生徒の新しい試行と条件を必須にします。数字だけや写した式だけで完了にしません。別の有効な整理・同値な分数を認めます。
公平な装置が1〜8の整数を一つ出します。6より大きい数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同様に確からしい10区画のうち、青い区画が4個です。一回で青い区画が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同様に確からしい8個の図柄のうち、星の印付きが3個です。星の印付きが一つ出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置は1,2,3,4,5だけを出します。7が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置は1,2,3,4,5,6だけを出します。正の整数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置が1〜12の整数を一つ出します。8以上の数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置が1〜9の整数を一つ出します。4の倍数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置が1〜9の整数を一つ出します。3の倍数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置AとBが、それぞれ1,2,3,4を出し、互いに影響しません。二装置の数が等しくなる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Aは赤,青、Bは1,2,3を公平に出し、互いに影響しません。(Aの色,Bの数)が(赤,2)となる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Aは1,2,3、Bは0,1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数の和が4となる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同様に確からしい10区画のうち、赤い区画は7個です。一回で赤い区画が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
公平な装置が2,4,6,8,10を一つずつの結果として出します。6以上の数が出る確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一回の試行の全18結果は同様に確からしく、そのうち印付きの結果は5通りです。印付きとなる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
装置の12区画に1〜12の番号があり、どの区画も同様に確からしく出ます。1〜5は橙、6〜9は青、10〜12は灰です。全ての区画の一覧を作って青へ印を付け、青が出る確率を求めてください。分母・分子が何を数えた値かと、色名の三つを分母にしない理由も説明します。
公平な装置が1〜14の整数を一つ出します。全結果を一覧にし、4の倍数へ印を付けて確率を求めてください。条件に合う結果が漏れていないこと、分母と分子の意味、約分ができるかも説明します。
Aは0,1,2、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。(A,B)の全結果の表か樹形図を作り、和が5の結果へ印を付けて確率を求めてください。すべての場合と条件に合う場合、同様に確からしい根拠を説明します。
Aは1,3,5、Bは2,4,6を公平に出し、互いに影響しません。全ての結果をまとめた自分の表でAの数がBの数より小さい組に印を付け、確率を求めてください。各行で何組を数えたかと、すべての場合が同様に確からしい理由も説明します。
二つの装置A,Bは、それぞれ赤,青,緑を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。装置を区別した全結果の表を作り、色が同じになる確率を求めてください。異なる二色の組の入れ替えを分ける理由と、分母・分子の意味も説明します。
装置の6区画は赤1,赤2,赤3,赤4,青,白で、各区画は同様に確からしく出ます。ある人は「色は三つだから、赤の確率は1/3」としました。全ての区画を示す図か一覧で、赤の区画に印を付け、その説明を根拠から直し、正しい確率を求めてください。
公平な装置が番号R1〜R14を一つずつの結果として出します。当たりの印はR1〜R5だけです。ある人は「全14通り、当たり5通りだから確率14/5」としました。自分で作った全ての結果の一覧で、当たりに印を付け、割る順序を根拠から直してください。答えの範囲も、もとの場合に戻して確認します。
公平な装置は2,5,8,11だけを一つずつの結果として出します。このモデルで確率が0になる一つの条件と、1になる一つの条件を考えてください。全結果一覧に各条件に合う結果を示し、それぞれの場合の数と割り算から確率を説明します。
公平な装置が1〜8の整数を一つ出します。全結果一覧と印から、3の倍数が出る一回の確率を求めてください。同じ公平な抽選を、前の出方が次へ影響しないものとして4回行います。「この4回では必ず一度だけ3の倍数が出る」という説明を検討し、3の倍数が一度も出ない、自分で選んだ四つの結果を示して理由を説明します。
全結果12通り以下で、全ての結果が同様に確からしい新しい試行を考えます。確率が2/3となる一つの条件も自分で決め、全結果と条件に合う結果の図・一覧・表を作ってください。公平さの条件、分母・分子、割り算と正確な確率を説明します。見本の数字だけを写さず、結果が何を表すかも自分で決めます。
解答: 全場合と条件に合う場合から、確率の式を説明する
全8通りのうち7,8の2通りなので2/8=1/4です。
区画を区別した全10通りに対し青4通りなので4/10=2/5です。
全8結果のうち印付き3結果なので3/8です。
0
条件に合う場合は0通り、全5通りで0/5=0です。
1
全6結果が条件に合うので6/6=1です。
8,9,10,11,12の5通り、全12通りなので5/12です。
4,8の2通り、全9通りなので2/9です。近似小数へ丸めません。
3,6,9の3通りで3/9=1/3です。
装置を区別した全4×4=16通りのうち(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)の4通りで4/16=1/4です。
全2×3=6組のうち、指定した(赤,2)は1組なので1/6です。
全3×5=15組、和4は(1,3),(2,2),(3,1)の3組なので3/15=1/5です。
全10通りのうち赤7通りで7/10です。同じ値の0.7も正しい表し方です。
全5通りのうち6,8,10の3通りなので3/5です。1〜10の全整数が出る装置ではありません。
条件に合う5通りを全18通りで割り、5/18です。分子と分母を逆にしません。
記述問題の解答・確認の観点
装置の12区画に1〜12の番号があり、どの区画も同様に確からしく出ます。1〜5は橙、6〜9は青、10〜12は灰です。全ての区画の一覧を作って青へ印を付け、青が出る確率を求めてください。分母・分子が何を数えた値かと、色名の三つを分母にしない理由も説明します。
生徒の一覧は橙1,2,3,4,5、青6,7,8,9、灰10,11,12の全12区画で、青の4区画に印。区画を区別した12結果が同様に確からしく、条件に合うのは4結果なので4/12=1/3。分母12は全ての区画、分子4は青の区画。橙・青・灰には5,4,3区画が入り、三つの色名は同様に確からしい結果ではない。
生徒が示した全ての区画と4か所の印、12と4の意味、同じ区画単位での割り算が必要。答え1/3だけで完了にしない。色名を分母にした1/3が偶然同じ数値になっても、根拠の誤りを見逃さない。
公平な装置が1〜14の整数を一つ出します。全結果を一覧にし、4の倍数へ印を付けて確率を求めてください。条件に合う結果が漏れていないこと、分母と分子の意味、約分ができるかも説明します。
生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14のうち印は4,8,12。次の倍数16は範囲外なので全3通り。全14結果は公平さから同様に確からしく、確率は3/14でこれ以上約分できない。分母は全結果数14、分子は印の3結果。
生徒の全範囲と印、次の倍数の範囲外性、3÷14の意味を見る。数の14を条件に合う数として足したり、4の約数を数えたりしない。
Aは0,1,2、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。(A,B)の全結果の表か樹形図を作り、和が5の結果へ印を付けて確率を求めてください。すべての場合と条件に合う場合、同様に確からしい根拠を説明します。
生徒の表は(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)の12組。和5は(1,4),(2,3)の2組で、(0,5)はBの範囲外。各組は公平さと相互に影響しない条件から同様に確からしいので2/12=1/6。
生徒の全12組と2印、装置ごとの範囲、12と2の意味と割る順序が必要。和のラベルの個数をすべての場合にしない。
Aは1,3,5、Bは2,4,6を公平に出し、互いに影響しません。全ての結果をまとめた自分の表でAの数がBの数より小さい組に印を付け、確率を求めてください。各行で何組を数えたかと、すべての場合が同様に確からしい理由も説明します。
生徒の表は(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)の9組。A<Bは1の行3組、3の行2組、5の行1組で合計6。公平さと相互に影響しない条件から全9組は同様に確からしく、6/9=2/3。
生徒の全9組と6印、3+2+1の行別確認、分母9を残す理由が必要。異なる装置の大小比較であり、AやBの単独の値だけを3通りとして割らない。
二つの装置A,Bは、それぞれ赤,青,緑を同じ確からしさで出し、互いに影響しません。装置を区別した全結果の表を作り、色が同じになる確率を求めてください。異なる二色の組の入れ替えを分ける理由と、分母・分子の意味も説明します。
生徒の表は(赤,赤),(赤,青),(赤,緑),(青,赤),(青,青),(青,緑),(緑,赤),(緑,青),(緑,緑)の9組。同色は(赤,赤),(青,青),(緑,緑)の3組で3/9=1/3。公平さと出方の条件から全9組は同様に確からしい。(赤,青)と(青,赤)は各装置の結果が異なり別。
全9組と3印、分母9・分子3、二装置の区別と条件の根拠を見る。同色・異色という二ラベルを同様に確からしいとしない。
装置の6区画は赤1,赤2,赤3,赤4,青,白で、各区画は同様に確からしく出ます。ある人は「色は三つだから、赤の確率は1/3」としました。全ての区画を示す図か一覧で、赤の区画に印を付け、その説明を根拠から直し、正しい確率を求めてください。
生徒の6区画は赤1,赤2,赤3,赤4,青,白で、赤の4区画に印。全6区画が等しく確からしく、赤が出るのは4通りだから4/6=2/3。色名の赤・青・白には4,1,1区画が入り同様に確からしくないため、三色を同じ重みの分母3にはできない。
生徒の全6区画と4印、誤った分母3の理由、分母6へ戻した式と値が必要。1/3を2/3へ直すだけでは完了にしない。
公平な装置が番号R1〜R14を一つずつの結果として出します。当たりの印はR1〜R5だけです。ある人は「全14通り、当たり5通りだから確率14/5」としました。自分で作った全ての結果の一覧で、当たりに印を付け、割る順序を根拠から直してください。答えの範囲も、もとの場合に戻して確認します。
生徒の全結果はR1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13,R14で当たり5個に印。全14結果が同様に確からしく、当たり5通りを全14通りで割るので5/14。14/5は1を超え、全体のうちの一部の割合ではない。5/14は0より大きく1より小さいが、範囲内というだけでなく一覧の5と14へ戻して確かめる。
生徒の全結果と5印、全体で割る理由、式5÷14=5/14、0と1の間の確認まで見る。範囲内ならどんな数でも正しいとはしない。
公平な装置は2,5,8,11だけを一つずつの結果として出します。このモデルで確率が0になる一つの条件と、1になる一つの条件を考えてください。全結果一覧に各条件に合う結果を示し、それぞれの場合の数と割り算から確率を説明します。
生徒の全結果は2,5,8,11の4通り。作例として「負の数が出る」は該当0通りで0/4=0、「整数が出る」は全4通りで4/4=1。各結果が公平に出るという条件を使う。生徒が別の適切な不可能・必然の条件を作っても認める。
生徒が作った二つの具体的な条件、全4結果との照合、分子0・4と分母4の意味が必要。0と1だけで完了にしない。書いていない結果が出る装置へ変えない。
公平な装置が1〜8の整数を一つ出します。全結果一覧と印から、3の倍数が出る一回の確率を求めてください。同じ公平な抽選を、前の出方が次へ影響しないものとして4回行います。「この4回では必ず一度だけ3の倍数が出る」という説明を検討し、3の倍数が一度も出ない、自分で選んだ四つの結果を示して理由を説明します。
生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8で印は3,6の2通り、確率2/8=1/4。確率1/4はどの4回でも必ず一度という保証ではない。例えば生徒が四回を1,2,4,5とすれば全て可能な結果で、どれも3の倍数でなく、一度も出ない並びも起こり得る。各回にこの結果が許され、前の結果によって次が禁止されない条件を保つ。一度も出ない確率の値を計算することは必須ではない。
生徒の8結果・2印・式と、生徒の具体的な四結果・各値が範囲内で3の倍数でない確認を必須にする。実際に試行したとは書かず、一回の確率と短い試行列の回数を区別する。
全結果12通り以下で、全ての結果が同様に確からしい新しい試行を考えます。確率が2/3となる一つの条件も自分で決め、全結果と条件に合う結果の図・一覧・表を作ってください。公平さの条件、分母・分子、割り算と正確な確率を説明します。見本の数字だけを写さず、結果が何を表すかも自分で決めます。
作例：公平な図柄装置が三角形・正方形・円の三図柄を一つずつの結果として同じ確からしさで表示する、と定める。生徒の全結果一覧はこの3図柄で、条件を「多角形の図柄」とすれば三角形と正方形の2結果に印。円は多角形でない。全3結果が同様に確からしいという数学的な仮定から、確率2/3。実際の図柄の人気が均等だという意味ではない。生徒の別の意味・有効な試行と条件を認める。
生徒の新しい試行の意味と公平さ、全12以下の結果と条件に合う全結果、同じ区別での分母・分子と式2/3が必要。二段階を選んだ場合は各段階の公平さと出方の条件も明記する。定義を使う条件ならその意味を明確にし、答えだけの後付けにしない。