中2 数学：1から引いて求める確率の練習問題
事象が起こる場合と起こらない場合が、すべての結果を重なりなく二つに分けることを確かめ、確率を1から引いて求めます。選択・入力の準備14問と、起こらない場合・すべての結果・式を自分で示す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2D(2)の簡単な場合の確率を求め、考え方を説明する範囲に沿う独自課題です。「起こらない場合の確率を1から引く」はこの範囲内の解法として扱い、独立した必修項目名として学習指導要領へ付け加えません。求める事象が起こる場合と起こらない場合の説明、全結果の二分、同じすべての場合での割り算を明らかにします。
解説を読む
一回の試行で、求める事象が起こる場合と、起こらない場合は、全ての結果を漏れや重なりなく二つに分けます。起こる確率をpとすれば、起こらない確率は1−pです。逆に、起こらない確率を先に求めて1から引けば、起こる確率が求まります。ただ違う二つのことや、同時に起こらない二つのことなら何でもよいわけではありません。途中ですべての場合を変えず、二つで全体を尽くすことが必要です。
必要な予備知識
同様に確からしいすべての場合と条件に合う場合から確率を求めること、樹形図や表での整理、分数の減法と約分、数の大小・倍数、装置や段階の区別。二段階では公平さと互いに出方が影響しないという、問題に明記された数学的な条件を使います。独立試行の確率を掛ける公式や、条件付き確率の公式は要求しません。
- 求める事象を先に言葉で書き、その事象が起こらない場合を同じ試行の中で言い直します。「少なくとも一回ある」が起こらないのは「一回もない」です。
- 二回のうち「ちょうど一回ある」が起こらないのは、0回または2回です。「一回もない」だけに狭めません。
- 全結果を、求める場合と起こらない場合へ印や表で分けます。各結果はどちらか一方に一度だけ入り、両方に入ったり、どちらにも入らなかったりしません。
- 同様に確からしいすべての場合がn通り、起こらない場合がb通りなら、起こらない確率はb/nです。求める確率は1−b/n=(n−b)/n。二つの分母は同じすべての場合nです。
- 求める場合を直接数えた値とも照合できます。1を、同じすべての場合の数で割ったn/nと見れば、なぜ残りが求まるかを説明できます。
- 同時に起こらない二つでも、二つの外に結果が残るなら反対の場合になりません。二つで全結果を尽くすかを確かめます。
- 0や1の確率にも使えます。起こらない確率が0なら求める確率は1、起こらない確率が1なら求める確率は0です。短い試行の回数の保証にはしません。
解き方の例
公平な装置が1〜8の整数を一つ出すとき、3の倍数でない確率を考えます。そのことが起こらないのは「3の倍数が出る」で、3,6の2通りです。全8通りを変えず、1−2/8=6/8=3/4。自分の一覧で、3,6と、それ以外の1,2,4,5,7,8が全8結果を一度ずつ分けると確かめます。
Aは0,1、Bは0,1,2を公平に出し、互いに影響しないとします。和が0でないことが起こらないのは「和が0」で、(0,0)の1組です。全6組は同様に確からしいので1−1/6=5/6。全6組を二つへ分けることが根拠で、(0,0)を分母から取り除いて1から引くのではありません。
よくある間違い
- 「少なくとも一回ある」の反対を「全部ある」や「ちょうど一回ある」とする。
- 二回のうち「ちょうど一回ある」の反対を、0回だけにする。
- 同時に起こらない二つのことなら、全体を尽くすかを見ずに1から引けるとする。
- 起こらない場合を数える途中で、その結果をすべての場合の分母から消す。
- 1−b/nの1を、1/nという一つの結果の確率に取り違える。
- 正しい数値だけを答え、起こらない場合の言葉や二つに分けた根拠を残さない。
考え方を説明する
準備14問は、反対の言い方・分母・式の根拠・確率の意味を確かめる選択と、確率の数値入力です。主課題10題では、生徒が書いた、求める事象が起こる場合と起こらない場合の説明、全結果の一覧・表・二つへ分けた印、漏れと重複の確認、同様に確からしい根拠、起こらない場合の数と確率、1から引く式と同じ分母での説明を講師が確認します。直接数えた値との照合も残します。T2,T6は反対の言葉、T7は分母、T9は二つの外に残る場合を根拠から直します。T8,T10の生徒の具体的な条件・試行も必須です。数値だけで完了にしません。
選択や数値の正答は、生徒が反対の場合を作り、全結果を二つに分けて1から引く理由を説明できた証拠にはなりません。主課題の生徒の図・一覧・言葉・式を講師が手動で確認します。
練習する
選択や数値入力は、起こらない場合を使う準備です。主課題では反対の場合を言葉にし、全結果を二つへ分け、1から引く式と根拠を残します。記述や図は講師が手動で確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
三回のうち「少なくとも一回は星が出る」ということが起こらない場合はどれですか。
- 三回とも星が出る
- 星が一度も出ない
- 星がちょうど一回出る
- 星が二回出る
答えと解説
星が一度も出ない
少なくとも一回は1,2,3回を含み、その全てが起こらないのは0回です。
二回のうち「ちょうど一回赤が出る」ということが起こらない場合はどれですか。
- 赤が一回出る
- 赤が出る回数はいつでも一回
- 赤が0回だけ出る
- 赤が0回または2回出る
答えと解説
赤が0回または2回出る
回数0,1,2のうち、1回でないのは0回と2回です。
起こらない場合を使って1から引くとき、すべての場合の扱いはどれですか。
- 同じ一回の試行のすべての場合を分母に保つ
- 条件に合う場合だけに分母を減らす
- 引くたびに分母を1にする
- 起こらない結果をすべての場合から消して割る
答えと解説
同じ一回の試行のすべての場合を分母に保つ
起こる場合と起こらない場合は、同じ全体を二つに分けたものです。
あることが起こらない確率は3/10です。そのことが起こる確率を求めてください。
答えと解説
起こる場合と起こらない場合は全体を二分するので1−3/10=7/10です。
あることが起こらない確率は7/18です。そのことが起こる確率を求めてください。
答えと解説
1−7/18=18/18−7/18=11/18です。
同様に確からしい全12結果のうち、求める事象が起こらない結果は3通りです。求める事象が起こらない確率を1から引いて、求める確率を出してください。
答えと解説
起こらない確率3/12を全体1から引き、1−3/12=9/12=3/4です。
A,Bは各0,1,2を公平に出し、互いに影響しません。和が1でない確率を、和が1の組を数えて1から引いて求めてください。
答えと解説
全9組のうち和1は(0,1),(1,0)の2組なので、1−2/9=7/9です。
A,Bは各1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数が異なる確率を、二数が等しい組から考えて求めてください。
答えと解説
全16組のうち等しいのは(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)の4組なので、1−4/16=12/16=3/4です。
結果が赤・青・緑の三種類だけなら、「赤が出る」が起こらない場合を全部表すものはどれですか。
- 青が出るだけ
- 緑が出るだけ
- 青が出るか緑が出る
- 赤が出るか青が出る
答えと解説
青が出るか緑が出る
赤でない全結果は青と緑です。一方だけでは反対の場合を尽くしません。
あることが起こる確率は1です。そのことが起こらない確率を求めてください。
答えと解説
0
1−1=0です。すべての場合が起こる側に入るので、起こらない側には結果がありません。
あることが起こる確率は0です。そのことが起こらない確率を求めてください。
答えと解説
1
1−0=1です。起こる側に結果が無いので、すべての場合が起こらない側へ入ります。
1から引く式が成り立つ理由として、正しいものはどれですか。
- 二つの出来事の名前が違うから
- 式に1が出てくるから
- 求める場合と起こらない場合が全結果を漏れ・重なりなく二つに分けるから
- 二つの確率は必ず等しいから
答えと解説
求める場合と起こらない場合が全結果を漏れ・重なりなく二つに分けるから
両者の確率の和が全体の1になることが根拠です。名前の違いや確率が等しいことは条件ではありません。
あることが起こる確率をpとし、p=2/7と分かっています。そのことが起こらない確率を求めてください。
答えと解説
ここでpは起こる確率2/7です。起こらない確率は1−p=1−2/7=5/7です。
起こらない確率を引いて、求める事象が一回の試行で起こる確率が3/4と分かりました。正しい意味はどれですか。
- どの4回でも必ず3回起こる
- 一回の起こりやすさで、短い4回の正確な回数を保証するものではない
- 次には必ず起こる
- 次には起こらない
答えと解説
一回の起こりやすさで、短い4回の正確な回数を保証するものではない
一回の確率と、有限回の試行で起きた正確な回数は分けて考えます。
考え方を説明する
公平な装置が1〜10の整数を一つ出します。4の倍数でない確率を、起こらない場合を使って求めてください。自分で作った全ての結果の一覧を二つに分け、求める事象が起こらない場合を言葉で書き、個数・1から引く式・同じすべての場合を使う理由を説明します。直接数えた値とも照合します。
答えと解説
起こらない場合は「4の倍数が出る」。生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8,9,10で反対側は4,8の2結果、求める側は1,2,3,5,6,7,9,10の8結果。二つで全10結果を漏れ・重なりなく分ける。全結果は公平さから同様に確からしく、1−2/10=10/10−2/10=8/10=4/5。直接数えた8/10とも一致する。
生徒の全10結果、二つの具体的な一覧、反対の言葉、分母10を共通にした式と照合を必須にする。4/5だけでは完了にしない。
公平な装置が1〜12の整数を一つ出します。「9未満の数が出る」確率を求めたい人が、そのことが起こらないのは「9より大きい数が出る」だと言いました。全結果を二つに分け、その言い方を直して1から引く式で確率を求めてください。9の扱いと、直接数えた値との一致も説明します。
答えと解説
生徒の全結果1〜12で求める側は1,2,3,4,5,6,7,8の8結果。反対は「9以上が出る」で9,10,11,12の4結果。「9より大きい」だと9がどちらにも入らず全体を尽くさない。全12結果は同様に確からしく、1−4/12=8/12=2/3。直接の8/12も同じ。
生徒の全12結果と二つの印、9が漏れる理由、正しい反対の4結果、同じ分母12での式が必要。未満を以下へ勝手に変えて元の目標を直さない。
Aは1,2、Bは1,2,3,4,5を公平に出し、互いに影響しません。二数の和が6でない確率を、和が6になる場合を使って求めてください。全ての結果をまとめた自分の表で、反対側と求める側の印を分けて付け、両側の個数、全組が同様に確からしい根拠、1から引く式と直接の数え上げとの一致を説明します。
答えと解説
生徒の表は(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)の10組。和6は(1,5),(2,4)の2組で、反対側。残り8組が求める側。公平さと互いに影響しない条件から全10組は同様に確からしく、1−2/10=8/10=4/5。求める8組を直接数えても8/10となる。
生徒の2×5の全10組、和6の2印、残り8と全体の照合、同じすべての場合での引き算が必要。和の数値の種類を分母にしない。
Aは1,2,3、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数が異なる確率を、二数が等しい場合から考えます。全結果の表を作り、反対側を明示して、すべての場合・両側の個数・1から引く式・直接数えた値を説明してください。
答えと解説
生徒の全12組は各A=1,2,3の行ごとにB=1,2,3,4を一度ずつ置く。(1,1),(2,2),(3,3)の3組が等しい反対側、他9組が異なる求める側。(4,4)はAの範囲外。公平さと出方の条件から各12組は同様に確からしく、1−3/12=9/12=3/4、直接の9/12とも一致。
生徒の全12組が読める表、等しい3組と異なる9組、A,Bの範囲、同じ分母12を使う理由を見る。等しい組を4個に増やしたり、二つの装置を同じ範囲へ勝手に変えたりしない。
二装置A,BはそれぞれX,Y,Zを公平に出し、互いに影響しません。「少なくとも一方にXが出る」確率を、起こらない場合から求めます。反対の言葉を書き、全組の表を二つへ分け、すべての場合と反対側の数から1を使う式を作ってください。求める側を直接数えた値とも照合します。
答えと解説
起こらないのは「どちらにもXが出ない」。生徒の全9組は(X,X),(X,Y),(X,Z),(Y,X),(Y,Y),(Y,Z),(Z,X),(Z,Y),(Z,Z)。反対側は(Y,Y),(Y,Z),(Z,Y),(Z,Z)の4組、求める側は残り5組。全9組は公平さと出方の条件から同様に確からしく、1−4/9=5/9。直接の5/9と一致し、(X,X)は一度だけ数える。
生徒の全9組と両側、0個のXという反対の言葉、4と5の全体への戻し、1−4/9の根拠が必要。反対を「二つともX」としたり、「少なくとも」を「ちょうど」に変えたりしない。一般の複合事象の公式は要求しない。
Aは赤,青、Bは赤,青,緑を公平に出し、互いに影響しません。求める事象は「赤がちょうど一つ出る」です。ある人は、起こらない場合を「赤が一つも出ない」とだけしました。全ての結果をまとめた自分の表を使って言い方を直し、1から引く式で確率を求め、直接数えた値とも照合してください。
答えと解説
生徒の全6組は(赤,赤),(赤,青),(赤,緑),(青,赤),(青,青),(青,緑)。赤がちょうど一つは(赤,青),(赤,緑),(青,赤)の3組。反対は0個または2個で、(青,青),(青,緑),(赤,赤)の3組。「一つもない」だけでは(赤,赤)がどちらにも入らない。各6組は公平さと出方の条件から同様に確からしく、1−3/6=1/2、直接の3/6とも一致する。
生徒の全6組、赤の個数0,1,2の対応、反対に2個の場合を含める理由、同じ分母6の式と照合が必須。赤の出やすさを両装置で同じと仮定せず、各区別した組から数える。
公平な装置が1〜12の番号を一つ出します。目標に合わない番号は2,7,11だけで、他は全て目標に合います。ある人は「合わないのは3通りなので、求める確率は1−3/(12−3)」としました。自分で作った全ての結果の一覧を二つへ分け、この分母の扱いを根拠から直し、直接数えた値とも比べてください。
答えと解説
生徒の全12結果で反対側は2,7,11の3、求める側は1,3,4,5,6,8,9,10,12の9。全体は同じ12結果であり、反対側の確率は3/12。全体から反対側を消して分母を9にしてはいけない。正しくは1−3/12=12/12−3/12=9/12=3/4。直接の9/12とも一致する。誤式は1−3/9=2/3で、全体の区別が変わっている。
生徒の全12番号と二つの一覧、誤った分母9を使えない理由、1=12/12を使った説明、直接の9/12との照合を必須にする。
公平な装置が−2,−1,1,2だけを一つずつの結果として出します。このモデルで必ず起こることと、決して起こらないことを一つずつ作ります。それぞれの起こらない場合も言葉にし、全結果を二つへ分けた印と、1から引く式で両方の確率を説明してください。
答えと解説
作例：生徒の全4結果は−2,−1,1,2。「整数が出る」は全4結果に合い、起こらない「整数でない」は0結果なので1−0/4=1。「0が出る」は0結果で、起こらない「0でない」は全4結果なので1−4/4=0。いずれも同じ全4結果を漏れ・重なりなく分ける。生徒の別の適切な必然・不可能の条件も認める。
生徒が作った二つの条件と各反対の言葉、全4結果との照合、空の側と全ての側の個数、同じ分母4での二式を必須にする。0や1だけの暗記で完了にしない。
公平な装置が1〜6の整数を一つ出します。ある人が「3未満が出る確率は、4より大きい確率を1から引けばよい。二つは同時に起こらないから」としました。全結果一覧へ二つの印を付け、この説明の問題を具体的な結果で示してください。正しい起こらない場合へ直して1から引き、直接数えた値も確認します。
答えと解説
生徒の全結果1,2,3,4,5,6で「3未満」は1,2、「4より大きい」は5,6。二つは重ならないが3,4がどちらにも入らず、全体を二分しない。3未満が起こらないのは「3以上」で3,4,5,6の4結果。全6結果は同様に確からしいので、求める確率は1−4/6=2/6=1/3、直接の2/6とも一致。誤った1−2/6=2/3とは違う。
生徒の全6結果、両方の外に残る3,4、重ならないだけでは不十分という理由、正しい反対の4結果と式を見る。「3未満」という元の目標を変更しない。
全結果12通り以下で全て同様に確からしい新しい試行と、確率3/4となる一つの目標を考えてください。自分の図・一覧・表で全結果を目標と起こらない場合へ分け、起こらない確率を先に求めます。公平さの条件、二つで全体を尽くす理由、1から引く式と直接数えた値を説明します。結果が何を表すかも自分で決めます。
答えと解説
作例：公平な表示装置が春・夏・秋・冬の四ラベルを同じ確からしさで一つ出す、と定める。生徒の全結果一覧はこの4ラベル。目標「冬以外が出る」は春・夏・秋の3結果で、起こらない「冬が出る」は1結果。全体を漏れ・重なりなく3と1に分け、求める確率は1−1/4=3/4、直接の3/4と一致。実際の季節や気候の出現頻度が均等だという主張ではなく、表示装置の数学的な条件。生徒の別の意味・適切な試行と目標も認める。
生徒の新しい試行の意味と公平さ、全12以下の具体的な結果、正しい反対の言葉と二分、先に求めた起こらない確率、1から引いた3/4と直接の数え上げを必須にする。二段階の試行なら各段階の公平さと出方の条件も明記する。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2D(2)の簡単な場合の確率を求め、考え方を説明する範囲に沿う独自課題です。「起こらない場合の確率を1から引く」はこの範囲内の解法として扱い、独立した必修項目名として学習指導要領へ付け加えません。求める事象が起こる場合と起こらない場合の説明、全結果の二分、同じすべての場合での割り算を明らかにします。 · 2026-11-02
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-complementary-events-before-subtracting-from-one/
準備14問は、反対の言い方・分母・式の根拠・確率の意味を確かめる選択と、確率の数値入力です。主課題10題では、生徒が書いた、求める事象が起こる場合と起こらない場合の説明、全結果の一覧・表・二つへ分けた印、漏れと重複の確認、同様に確からしい根拠、起こらない場合の数と確率、1から引く式と同じ分母での説明を講師が確認します。直接数えた値との照合も残します。T2,T6は反対の言葉、T7は分母、T9は二つの外に残る場合を根拠から直します。T8,T10の生徒の具体的な条件・試行も必須です。数値だけで完了にしません。
三回のうち「少なくとも一回は星が出る」ということが起こらない場合はどれですか。
- 三回とも星が出る
- 星が一度も出ない
- 星がちょうど一回出る
- 星が二回出る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二回のうち「ちょうど一回赤が出る」ということが起こらない場合はどれですか。
- 赤が一回出る
- 赤が出る回数はいつでも一回
- 赤が0回だけ出る
- 赤が0回または2回出る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
起こらない場合を使って1から引くとき、すべての場合の扱いはどれですか。
- 同じ一回の試行のすべての場合を分母に保つ
- 条件に合う場合だけに分母を減らす
- 引くたびに分母を1にする
- 起こらない結果をすべての場合から消して割る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
あることが起こらない確率は3/10です。そのことが起こる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
あることが起こらない確率は7/18です。そのことが起こる確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同様に確からしい全12結果のうち、求める事象が起こらない結果は3通りです。求める事象が起こらない確率を1から引いて、求める確率を出してください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,Bは各0,1,2を公平に出し、互いに影響しません。和が1でない確率を、和が1の組を数えて1から引いて求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,Bは各1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数が異なる確率を、二数が等しい組から考えて求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
結果が赤・青・緑の三種類だけなら、「赤が出る」が起こらない場合を全部表すものはどれですか。
- 青が出るだけ
- 緑が出るだけ
- 青が出るか緑が出る
- 赤が出るか青が出る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
あることが起こる確率は1です。そのことが起こらない確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
あることが起こる確率は0です。そのことが起こらない確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1から引く式が成り立つ理由として、正しいものはどれですか。
- 二つの出来事の名前が違うから
- 式に1が出てくるから
- 求める場合と起こらない場合が全結果を漏れ・重なりなく二つに分けるから
- 二つの確率は必ず等しいから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
あることが起こる確率をpとし、p=2/7と分かっています。そのことが起こらない確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
起こらない確率を引いて、求める事象が一回の試行で起こる確率が3/4と分かりました。正しい意味はどれですか。
- どの4回でも必ず3回起こる
- 一回の起こりやすさで、短い4回の正確な回数を保証するものではない
- 次には必ず起こる
- 次には起こらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
公平な装置が1〜10の整数を一つ出します。4の倍数でない確率を、起こらない場合を使って求めてください。自分で作った全ての結果の一覧を二つに分け、求める事象が起こらない場合を言葉で書き、個数・1から引く式・同じすべての場合を使う理由を説明します。直接数えた値とも照合します。
公平な装置が1〜12の整数を一つ出します。「9未満の数が出る」確率を求めたい人が、そのことが起こらないのは「9より大きい数が出る」だと言いました。全結果を二つに分け、その言い方を直して1から引く式で確率を求めてください。9の扱いと、直接数えた値との一致も説明します。
Aは1,2、Bは1,2,3,4,5を公平に出し、互いに影響しません。二数の和が6でない確率を、和が6になる場合を使って求めてください。全ての結果をまとめた自分の表で、反対側と求める側の印を分けて付け、両側の個数、全組が同様に確からしい根拠、1から引く式と直接の数え上げとの一致を説明します。
Aは1,2,3、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数が異なる確率を、二数が等しい場合から考えます。全結果の表を作り、反対側を明示して、すべての場合・両側の個数・1から引く式・直接数えた値を説明してください。
二装置A,BはそれぞれX,Y,Zを公平に出し、互いに影響しません。「少なくとも一方にXが出る」確率を、起こらない場合から求めます。反対の言葉を書き、全組の表を二つへ分け、すべての場合と反対側の数から1を使う式を作ってください。求める側を直接数えた値とも照合します。
Aは赤,青、Bは赤,青,緑を公平に出し、互いに影響しません。求める事象は「赤がちょうど一つ出る」です。ある人は、起こらない場合を「赤が一つも出ない」とだけしました。全ての結果をまとめた自分の表を使って言い方を直し、1から引く式で確率を求め、直接数えた値とも照合してください。
公平な装置が1〜12の番号を一つ出します。目標に合わない番号は2,7,11だけで、他は全て目標に合います。ある人は「合わないのは3通りなので、求める確率は1−3/(12−3)」としました。自分で作った全ての結果の一覧を二つへ分け、この分母の扱いを根拠から直し、直接数えた値とも比べてください。
公平な装置が−2,−1,1,2だけを一つずつの結果として出します。このモデルで必ず起こることと、決して起こらないことを一つずつ作ります。それぞれの起こらない場合も言葉にし、全結果を二つへ分けた印と、1から引く式で両方の確率を説明してください。
公平な装置が1〜6の整数を一つ出します。ある人が「3未満が出る確率は、4より大きい確率を1から引けばよい。二つは同時に起こらないから」としました。全結果一覧へ二つの印を付け、この説明の問題を具体的な結果で示してください。正しい起こらない場合へ直して1から引き、直接数えた値も確認します。
全結果12通り以下で全て同様に確からしい新しい試行と、確率3/4となる一つの目標を考えてください。自分の図・一覧・表で全結果を目標と起こらない場合へ分け、起こらない確率を先に求めます。公平さの条件、二つで全体を尽くす理由、1から引く式と直接数えた値を説明します。結果が何を表すかも自分で決めます。
解答: 起こらない場合を言葉と図で分け、1から引く
星が一度も出ない
少なくとも一回は1,2,3回を含み、その全てが起こらないのは0回です。
赤が0回または2回出る
回数0,1,2のうち、1回でないのは0回と2回です。
同じ一回の試行のすべての場合を分母に保つ
起こる場合と起こらない場合は、同じ全体を二つに分けたものです。
起こる場合と起こらない場合は全体を二分するので1−3/10=7/10です。
1−7/18=18/18−7/18=11/18です。
起こらない確率3/12を全体1から引き、1−3/12=9/12=3/4です。
全9組のうち和1は(0,1),(1,0)の2組なので、1−2/9=7/9です。
全16組のうち等しいのは(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)の4組なので、1−4/16=12/16=3/4です。
青が出るか緑が出る
赤でない全結果は青と緑です。一方だけでは反対の場合を尽くしません。
0
1−1=0です。すべての場合が起こる側に入るので、起こらない側には結果がありません。
1
1−0=1です。起こる側に結果が無いので、すべての場合が起こらない側へ入ります。
求める場合と起こらない場合が全結果を漏れ・重なりなく二つに分けるから
両者の確率の和が全体の1になることが根拠です。名前の違いや確率が等しいことは条件ではありません。
ここでpは起こる確率2/7です。起こらない確率は1−p=1−2/7=5/7です。
一回の起こりやすさで、短い4回の正確な回数を保証するものではない
一回の確率と、有限回の試行で起きた正確な回数は分けて考えます。
記述問題の解答・確認の観点
公平な装置が1〜10の整数を一つ出します。4の倍数でない確率を、起こらない場合を使って求めてください。自分で作った全ての結果の一覧を二つに分け、求める事象が起こらない場合を言葉で書き、個数・1から引く式・同じすべての場合を使う理由を説明します。直接数えた値とも照合します。
起こらない場合は「4の倍数が出る」。生徒の一覧1,2,3,4,5,6,7,8,9,10で反対側は4,8の2結果、求める側は1,2,3,5,6,7,9,10の8結果。二つで全10結果を漏れ・重なりなく分ける。全結果は公平さから同様に確からしく、1−2/10=10/10−2/10=8/10=4/5。直接数えた8/10とも一致する。
生徒の全10結果、二つの具体的な一覧、反対の言葉、分母10を共通にした式と照合を必須にする。4/5だけでは完了にしない。
公平な装置が1〜12の整数を一つ出します。「9未満の数が出る」確率を求めたい人が、そのことが起こらないのは「9より大きい数が出る」だと言いました。全結果を二つに分け、その言い方を直して1から引く式で確率を求めてください。9の扱いと、直接数えた値との一致も説明します。
生徒の全結果1〜12で求める側は1,2,3,4,5,6,7,8の8結果。反対は「9以上が出る」で9,10,11,12の4結果。「9より大きい」だと9がどちらにも入らず全体を尽くさない。全12結果は同様に確からしく、1−4/12=8/12=2/3。直接の8/12も同じ。
生徒の全12結果と二つの印、9が漏れる理由、正しい反対の4結果、同じ分母12での式が必要。未満を以下へ勝手に変えて元の目標を直さない。
Aは1,2、Bは1,2,3,4,5を公平に出し、互いに影響しません。二数の和が6でない確率を、和が6になる場合を使って求めてください。全ての結果をまとめた自分の表で、反対側と求める側の印を分けて付け、両側の個数、全組が同様に確からしい根拠、1から引く式と直接の数え上げとの一致を説明します。
生徒の表は(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)の10組。和6は(1,5),(2,4)の2組で、反対側。残り8組が求める側。公平さと互いに影響しない条件から全10組は同様に確からしく、1−2/10=8/10=4/5。求める8組を直接数えても8/10となる。
生徒の2×5の全10組、和6の2印、残り8と全体の照合、同じすべての場合での引き算が必要。和の数値の種類を分母にしない。
Aは1,2,3、Bは1,2,3,4を公平に出し、互いに影響しません。二数が異なる確率を、二数が等しい場合から考えます。全結果の表を作り、反対側を明示して、すべての場合・両側の個数・1から引く式・直接数えた値を説明してください。
生徒の全12組は各A=1,2,3の行ごとにB=1,2,3,4を一度ずつ置く。(1,1),(2,2),(3,3)の3組が等しい反対側、他9組が異なる求める側。(4,4)はAの範囲外。公平さと出方の条件から各12組は同様に確からしく、1−3/12=9/12=3/4、直接の9/12とも一致。
生徒の全12組が読める表、等しい3組と異なる9組、A,Bの範囲、同じ分母12を使う理由を見る。等しい組を4個に増やしたり、二つの装置を同じ範囲へ勝手に変えたりしない。
二装置A,BはそれぞれX,Y,Zを公平に出し、互いに影響しません。「少なくとも一方にXが出る」確率を、起こらない場合から求めます。反対の言葉を書き、全組の表を二つへ分け、すべての場合と反対側の数から1を使う式を作ってください。求める側を直接数えた値とも照合します。
起こらないのは「どちらにもXが出ない」。生徒の全9組は(X,X),(X,Y),(X,Z),(Y,X),(Y,Y),(Y,Z),(Z,X),(Z,Y),(Z,Z)。反対側は(Y,Y),(Y,Z),(Z,Y),(Z,Z)の4組、求める側は残り5組。全9組は公平さと出方の条件から同様に確からしく、1−4/9=5/9。直接の5/9と一致し、(X,X)は一度だけ数える。
生徒の全9組と両側、0個のXという反対の言葉、4と5の全体への戻し、1−4/9の根拠が必要。反対を「二つともX」としたり、「少なくとも」を「ちょうど」に変えたりしない。一般の複合事象の公式は要求しない。
Aは赤,青、Bは赤,青,緑を公平に出し、互いに影響しません。求める事象は「赤がちょうど一つ出る」です。ある人は、起こらない場合を「赤が一つも出ない」とだけしました。全ての結果をまとめた自分の表を使って言い方を直し、1から引く式で確率を求め、直接数えた値とも照合してください。
生徒の全6組は(赤,赤),(赤,青),(赤,緑),(青,赤),(青,青),(青,緑)。赤がちょうど一つは(赤,青),(赤,緑),(青,赤)の3組。反対は0個または2個で、(青,青),(青,緑),(赤,赤)の3組。「一つもない」だけでは(赤,赤)がどちらにも入らない。各6組は公平さと出方の条件から同様に確からしく、1−3/6=1/2、直接の3/6とも一致する。
生徒の全6組、赤の個数0,1,2の対応、反対に2個の場合を含める理由、同じ分母6の式と照合が必須。赤の出やすさを両装置で同じと仮定せず、各区別した組から数える。
公平な装置が1〜12の番号を一つ出します。目標に合わない番号は2,7,11だけで、他は全て目標に合います。ある人は「合わないのは3通りなので、求める確率は1−3/(12−3)」としました。自分で作った全ての結果の一覧を二つへ分け、この分母の扱いを根拠から直し、直接数えた値とも比べてください。
生徒の全12結果で反対側は2,7,11の3、求める側は1,3,4,5,6,8,9,10,12の9。全体は同じ12結果であり、反対側の確率は3/12。全体から反対側を消して分母を9にしてはいけない。正しくは1−3/12=12/12−3/12=9/12=3/4。直接の9/12とも一致する。誤式は1−3/9=2/3で、全体の区別が変わっている。
生徒の全12番号と二つの一覧、誤った分母9を使えない理由、1=12/12を使った説明、直接の9/12との照合を必須にする。
公平な装置が−2,−1,1,2だけを一つずつの結果として出します。このモデルで必ず起こることと、決して起こらないことを一つずつ作ります。それぞれの起こらない場合も言葉にし、全結果を二つへ分けた印と、1から引く式で両方の確率を説明してください。
作例：生徒の全4結果は−2,−1,1,2。「整数が出る」は全4結果に合い、起こらない「整数でない」は0結果なので1−0/4=1。「0が出る」は0結果で、起こらない「0でない」は全4結果なので1−4/4=0。いずれも同じ全4結果を漏れ・重なりなく分ける。生徒の別の適切な必然・不可能の条件も認める。
生徒が作った二つの条件と各反対の言葉、全4結果との照合、空の側と全ての側の個数、同じ分母4での二式を必須にする。0や1だけの暗記で完了にしない。
公平な装置が1〜6の整数を一つ出します。ある人が「3未満が出る確率は、4より大きい確率を1から引けばよい。二つは同時に起こらないから」としました。全結果一覧へ二つの印を付け、この説明の問題を具体的な結果で示してください。正しい起こらない場合へ直して1から引き、直接数えた値も確認します。
生徒の全結果1,2,3,4,5,6で「3未満」は1,2、「4より大きい」は5,6。二つは重ならないが3,4がどちらにも入らず、全体を二分しない。3未満が起こらないのは「3以上」で3,4,5,6の4結果。全6結果は同様に確からしいので、求める確率は1−4/6=2/6=1/3、直接の2/6とも一致。誤った1−2/6=2/3とは違う。
生徒の全6結果、両方の外に残る3,4、重ならないだけでは不十分という理由、正しい反対の4結果と式を見る。「3未満」という元の目標を変更しない。
全結果12通り以下で全て同様に確からしい新しい試行と、確率3/4となる一つの目標を考えてください。自分の図・一覧・表で全結果を目標と起こらない場合へ分け、起こらない確率を先に求めます。公平さの条件、二つで全体を尽くす理由、1から引く式と直接数えた値を説明します。結果が何を表すかも自分で決めます。
作例：公平な表示装置が春・夏・秋・冬の四ラベルを同じ確からしさで一つ出す、と定める。生徒の全結果一覧はこの4ラベル。目標「冬以外が出る」は春・夏・秋の3結果で、起こらない「冬が出る」は1結果。全体を漏れ・重なりなく3と1に分け、求める確率は1−1/4=3/4、直接の3/4と一致。実際の季節や気候の出現頻度が均等だという主張ではなく、表示装置の数学的な条件。生徒の別の意味・適切な試行と目標も認める。
生徒の新しい試行の意味と公平さ、全12以下の具体的な結果、正しい反対の言葉と二分、先に求めた起こらない確率、1から引いた3/4と直接の数え上げを必須にする。二段階の試行なら各段階の公平さと出方の条件も明記する。