複素数を計算し、共役な根になる条件を説明する
i²=−1を使った複素数と共役複素数の計算を通して、実数係数の多項式方程式で虚数解が共役な組になる条件を確かめます。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)ア(ウ)(エ)、冊子54・56/PDF66・68の複素数の四則計算・実数係数の二次方程式と解と係数の関係を踏まえた独自課題です。共役な虚数解の条件を、簡単な三次式のア(オ)とも関連付けます。複素数平面・極形式・複素数係数の一般の二次方程式の解法・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。
解説を読む
実数の範囲で解がないことと、複素数の範囲でも解がないことを分けます。i²=−1を使ってa+biの形へ戻し、共役を分母の計算や実数係数の方程式の解へ結びます。「共役な解もある」の条件を、計算と反例から説明します。
必要な予備知識
実数の四則計算・展開・因数分解、二次方程式の解の公式と判別式、多項式の因数定理。i²=−1の定義をここで示します。実部・虚部は実数とし、自分で書いた複素数の式と計算過程と証明は講師が手動確認します。
- 虚数単位iはi²=−1を満たします。複素数はa+bi（a,bは実数）の形で表し、実部はa、虚部はbです。虚部をbi全体とはしません。b=0なら実数も含みます。
- a+bi=c+di（a,b,c,dは実数）は、a=cかつb=dと同値です。この実数という条件の下で実部と虚部を対応させます。
- 和と差は実部どうし・虚部どうしを計算します。積は分配法則で全項を展開し、i²=−1を使ってa+biへ戻します。i²を1にしたり、掛けた虚部の符号を落としたりしません。
- iの累乗はi,−1,−i,1という4回の周期で繰り返されます。例えばi⁴=1を分け、残る指数を計算します。指数の値と虚部の係数を分けます。
- a+biの共役な複素数はa−biです。実部を保って虚部の符号を変えます。和は2a、積はa²+b²。共役は常に元の数の負とは限らず、実数の共役はその実数自身です。
- c+diで割るときはc+di≠0が必要です。分子と分母の両方にc−diを掛けると分母はc²+d²。c,dが同時に0でないのでこの分母は正です。元の除数が0の場合へこの計算を適用しません。
- 実数係数の二次方程式Ax²+Bx+C=0（A≠0）ではD=B²−4ACで解の種類を分けます。D<0なら異なる二つの虚数解で、解の公式から−B/(2A)±i√(−D)/(2A)と表せます。二つは共役です。D=0は実数の重解、D>0は異なる二つの実数解です。
- 実数係数の多項式Pでは、P(z)の共役がP(zの共役)に一致します。和・積の共役の法則と、実数係数の共役がそのままであることを使います。P(z)=0ならP(zの共役)=0です。zが実数でないなら二つは異なり、zが実数なら同じ解を言い直すだけです。
- 実数a,bでb≠0のとき、a±biを解にもつ実数係数の二次方程式は、x²の係数を1にすると(x−a−bi)(x−a+bi)=0、すなわちx²−2ax+(a²+b²)=0です。和2aと積a²+b²を係数に対応させ、元の解も確かめます。
- 実数係数という条件を外すと、虚数解と共役な数が必ず解になるとは限りません。例えばP(x)=x−iとすると、方程式P(x)=0はiを解にもちますがP(−i)=−2i≠0です。複素数の式と計算過程・根号・解の集合や証明は手動確認し、最後の数値や準備点だけで達成を判定しません。
解き方の例
(3+2i)/(1−i)では分子と分母に1+iを掛けます。分母(1−i)(1+i)=2、分子(3+2i)(1+i)=3+5i+2i²=1+5iなので、1/2+(5/2)i。元の除数は0でなく、この値に1−iを掛けると3+2iへ戻ります。
x²−6x+13=0はD=36−52=−16で、解は3±2i。二つの和は6、積は13で、(x−3−2i)(x−3+2i)=(x−3)²+4=x²−6x+13へ戻ります。実数解がないことを、複素数の解がないこととはしません。
よくある間違い
- 虚部を実数bでなくbi全体とし、実部と虚部の対応を崩す。
- i²を1として積の実部の符号を誤る。
- 共役を全体の負と取り違え、実部まで反転する。
- 分母の共役を分子へ掛けなかったり、0の除数へ同じ計算を使ったりする。
- 実数係数という条件を外して、共役な虚数解が必ずあるとする。
- 実数の二つの解も互いに共役だとしたり、実数の共役を新しい別の解と数えたりする。
考え方を説明する
準備14問は実部・虚部の数値、共役と解の種類の選択です。主課題では生徒の分配法則の全項・i²の置き換え、元の除数が0でないことと共役を両方へ掛ける根拠、実数係数であることと解が実数でないことと共役な解の理由を手動確認します。T1は和差、T2は積の符号の修正、T3は除法と掛け戻し、T4は実部虚部の相等、T5は共役と全体の負の区別、T6は負の判別式とすべての複素数解、T7は実数係数の三次式の共役な解と残りの因数、T8は二つの解から係数、T9は実数係数の根拠と条件外の反例、T10は生徒の具体的な二次式と三次式を見ます。正しい別解・同値な根号やa+biの表し方・解の順序を認め、準備点だけを主課題の達成にしません。
準備は指定した実数の数値と選択だけを自動採点します。iを含む自分で書いた式と計算過程、複素数の解の集合・共役の証明、生徒の計算と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。複素数の自動入力採点器や数式解法器・複素数平面・極形式は追加せず、生徒の達成や効果も主張しません。
練習する
準備の実数値と選択だけを自動採点します。iを含む式と計算過程・解と条件の理由は手動確認し、準備点だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(2+3i)+(−5+4i)をa+bi（a,bは実数）と表します。虚部bを求めてください。
答えと解説
7
和は−3+7iなので虚部bは7です。7i全体ではなく、実数の係数7を答えます。
(4−i)(2+3i)をa+bi（a,bは実数）と表します。実部aを求めてください。
答えと解説
11
8+12i−2i−3i²=11+10iなので実部aは11です。
z=−3+2iと、その共役な複素数との積を求めてください。
答えと解説
13
(−3+2i)(−3−2i)=9−(2i)²=9+4=13です。
(5+i)/(2−i)をa+bi（a,bは実数）と表します。実部aを求めてください。
答えと解説
分子と分母に2+iを掛けると、分母5、分子9+7iなので実部は9/5です。
i²=−1のとき、i²⁷をa+bi（a,bは実数）と表します。虚部bを求めてください。
答えと解説
−1
i²⁷=(i⁴)⁶i³=−iなので、実部0、虚部−1です。
実数係数の方程式x²−8x+25=0の解のうち、虚部が正の解を4+bi（bは正の実数）と表します。bを求めてください。
答えと解説
3
D=64−100=−36より解は4±3i。虚部が正の方の係数bは3です。
実数p,qについてx²+px+q=0が−1+4iを解にもちます。qを求めてください。
答えと解説
17
実数係数なので、共役な−1−4iも解です。二つの解の積(−1)²+4²=17が定数項qになります。
a,bは実数で、a+bi=5−2iです。a,bの組はどれですか。
- a=−5,b=2
- a=5,b=2
- a=5,b=−2
- a=−5,b=−2
答えと解説
a=5,b=−2
実部と虚部をそれぞれ比べるとa=5,b=−2です。
−2−3iと共役な複素数はどれですか。
- −2+3i
- 2+3i
- −2−3i
- 2−3i
答えと解説
−2+3i
実部−2を保って虚部の符号を変えるので−2+3iです。全体の負2+3iとは分けます。
(3−2i)(3+2i)を計算した値はどれですか。
- 5
- 9
- 11
- 13
答えと解説
13
9−(2i)²=9+4=13です。i²=−1による符号を残します。
実数係数の方程式x²+2x+5=0の解を全て表すものはどれですか。
- 1±2i
- −1±2i
- −1±4i
- 1±4i
答えと解説
−1±2i
D=4−20=−16よりx=(−2±4i)/2=−1±2iです。
A,B,Cは実数、A≠0とし、D=B²−4ACです。Ax²+Bx+C=0が異なる二つの虚数解をもつ条件はどれですか。
- D=0
- D>0
- D<0
- D≥0
答えと解説
D<0
D<0なら解の公式にi√(−D)が現れ、二つの異なる共役な虚数解です。D=0は実数の重解です。
実数係数の多項式Pについて、実数でない数αはP(α)=0を満たします。この情報から確かに言えることはどれですか。
- αの共役も必ずP(x)=0の解になる
- −αも必ずP(x)=0の解になる
- α²も必ずP(x)=0の解になる
- 1/αも必ずP(x)=0の解になる
答えと解説
αの共役も必ずP(x)=0の解になる
実数係数ではP(αの共役)がP(α)の共役となり0です。他の三つは、この情報だけから常に解だとはいえません。
P(x)=x−iとすると、P(i)=0です。−iを代入した値と結論が正しいものはどれですか。
- P(−i)=0なので、−iも解である
- P(−i)=−2iなので、−iは解でない
- P(−i)=2iなので、−iは解でない
- P(−i)=−2なので、−iは解でない
答えと解説
P(−i)=−2iなので、−iは解でない
P(−i)=−i−i=−2i≠0。係数−iが実数でないので、実数係数の共役な解の性質を無条件には使えません。
考え方を説明する
(3−2i)+(−4+5i)と(3−2i)−(−4+5i)を、それぞれa+bi（a,bは実数）の形へ計算してください。引くかっこ全体の符号を残し、二つの結果の実部と虚部を別々に説明します。
答えと解説
和は−1+3iで実部−1・虚部3。差は3−2i+4−5i=7−7iで実部7・虚部−7。実部どうし、虚部どうしを対応させ、後のかっこ全体を引く。
生徒の和差の全項と、実数の係数としての実部・虚部、差の両符号を見ます。
友達は(2−3i)(−1+4i)=−14+11iとしました。分配法則の全項を書き、i²の値を使って結果を確かめ、誤りがどこにあるか説明してください。
答えと解説
全展開は−2+8i+3i−12i²。i²=−1なので−12i²=12となり、正しく10+11i。友達の−14はi²を1として実部−2−12とした場合の誤りで、虚部11は正しい。
生徒の四つの積・i²の置き換えを分け、正しい虚部まで誤りにしない説明を見ます。
(4+3i)/(1−2i)をa+bi（a,bは実数）へ直してください。元の除数が0でないこと、両方へ掛ける共役と分母の値を説明し、最後に求めた値へ1−2iを掛けて元の分子へ戻します。
答えと解説
1−2iは0ではない。両方へ1+2iを掛け、分母は1+4=5、分子4+8i+3i+6i²=−2+11i。結果は−2/5+(11/5)i。掛け戻すと(−2/5+11i/5)(1−2i)=4+3i。
生徒の元の除数が0でないこと・共役を両方へ掛ける理由、全積と実数の分母、掛け戻す全計算を見ます。
a,bは実数で、(a+2)+(b−1)i=4−3iです。実部と虚部の二つの条件からa,bを求め、元の等式へ戻してください。a,bを実数とした条件を、どこで使ったかも説明します。
答えと解説
a+2=4,b−1=−3からa=2,b=−2。元は(2+2)+(−2−1)i=4−3i。a+2とb−1が実数だからa+biの実部と虚部の一意な対応を使える。
生徒の二つの係数の式と元の式、実部・虚部が実数となる条件を見ます。
z=1−3iについて、自分で共役な複素数と−zを別々に求めてください。zと共役な数の和・積を全計算し、「共役は常に全体の負と同じ」という説明を、この値から直します。
答えと解説
共役は1+3i、−zは−1+3iで、実部が異なる。和は2、積は(1−3i)(1+3i)=1−9i²=10。共役は実部を保ち、虚部の符号だけを変えるので全体の負とは一般に異なる。
生徒の二つの数・和と積の全計算、実部を変えるかどうかの区別を見ます。
実数係数の方程式2x²−4x+7=0を、自分で判別式と解の公式から複素数の範囲で全て解いてください。二つの解の共役な関係、和と積を元の係数に対応させ、解を元の式へ代入して確認します。正しい同値な根号の形も認めます。
答えと解説
D=16−56=−40。x=(4±i√40)/4=1±(√10/2)i。二つは共役、和2=−(−4)/2、積1+10/4=7/2。どちらの解も2(1−10/4±√10i)−4∓2√10i+7=0となる。
生徒の負の判別式・二つの複素数解・共役と和積、正負両方の元の式への代入を見ます。
実数係数のF(x)=x³−3x²+7x−5について、1+2iを代入して方程式F(x)=0の解であることを自分で確かめてください。共役な解もある理由を示し、二つの虚数解から二次の因数を作り、残りの因数と複素数の範囲での全ての解を求めます。
答えと解説
(1+2i)²=−3+4i、三乗=−11−2iなのでF=−11−2i+9−12i+7+14i−5=0。実数係数だから1−2iも解。二次因数(x−1−2i)(x−1+2i)=x²−2x+5でF=(x−1)(x²−2x+5)。全ての解は1,1+2i,1−2i。
生徒の実際の複素数代入・実数係数の条件と共役、二次因数の全展開と残りの一次因数、すべての解を見ます。
p,qは実数で、x²+px+q=0は−2+3iを解にもちます。もう一つの解を理由から示し、二つの因数の積からp,qを求めてください。解の和と積でも係数を確かめ、元の二次式へ戻します。
答えと解説
実数係数で虚数解なので共役な−2−3iも解。(x+2−3i)(x+2+3i)=(x+2)²+9=x²+4x+13。p=4,q=13。二つの解の和−4=−p、積13=qで、二つは異なるので二つの解すべてがそろう。
生徒の実数係数・虚数解の条件、すべての因数と全展開、和積と係数の符号を見ます。
P(x)=Ax²+Bx+CでA,B,Cは実数、A≠0とし、実数でない数αはP(α)=0を満たします。和・積の共役の法則を使って、P(αの共役)=0を示してください。さらにQ(x)=x−iでiと−iを代入し、実数係数という条件を外すと何が言えなくなるか説明します。
答えと解説
P(α)の共役はA(αの共役)²+B(αの共役)+C=P(αの共役)。係数が実数なので共役で変わらず、0の共役も0だから結論する。αが実数でないので二つの解は異なる。Q(i)=0、Q(−i)=−2i≠0で、係数が実数でない多項式方程式にも必ず共役な解がある、とはいえない。
生徒が実数係数を使う箇所・共役の式と計算過程と0への結論を示し、条件外の具体的な二値を反例へ結んだかを見ます。
aを−2,1,3から、bを1,2から、cを−1,4から一つずつ選びます。a±biを解にもつ、x²の係数が1の実数係数の二次方程式を作り、その左辺にx−cを掛けて具体的な三次式Fを展開してください。方程式F(x)=0の解をすべて求め、そのうち共役な二つの解になる理由を示し、作った二次式への虚数解の代入とF(0)でも確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
答えと解説
作例a=1,b=2,c=4なら二次式x²−2x+5、F=(x−4)(x²−2x+5)=x³−6x²+13x−20。すべての解は4,1±2i。二次式で(−3±4i)−2(1±2i)+5=0、F(0)=−20で積でも−4×5=−20。一般に二次式x²−2ax+a²+b²、三次式x³−(2a+c)x²+(a²+b²+2ac)x−c(a²+b²)。b>0だから実数でない二つの解が異なり、実数cとは重ならない。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・実数係数の全二次式と三次式、三つのすべての解と共役の根拠、実際の代入と定数項を手動で見る。全12例や作例の転記を必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)ア(ウ)(エ)、冊子54・56/PDF66・68の複素数の四則計算・実数係数の二次方程式と解と係数の関係を踏まえた独自課題です。共役な虚数解の条件を、簡単な三次式のア(オ)とも関連付けます。複素数平面・極形式・複素数係数の一般の二次方程式の解法・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。 · 2026-11-04
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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準備14問は実部・虚部の数値、共役と解の種類の選択です。主課題では生徒の分配法則の全項・i²の置き換え、元の除数が0でないことと共役を両方へ掛ける根拠、実数係数であることと解が実数でないことと共役な解の理由を手動確認します。T1は和差、T2は積の符号の修正、T3は除法と掛け戻し、T4は実部虚部の相等、T5は共役と全体の負の区別、T6は負の判別式とすべての複素数解、T7は実数係数の三次式の共役な解と残りの因数、T8は二つの解から係数、T9は実数係数の根拠と条件外の反例、T10は生徒の具体的な二次式と三次式を見ます。正しい別解・同値な根号やa+biの表し方・解の順序を認め、準備点だけを主課題の達成にしません。
(2+3i)+(−5+4i)をa+bi（a,bは実数）と表します。虚部bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(4−i)(2+3i)をa+bi（a,bは実数）と表します。実部aを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
z=−3+2iと、その共役な複素数との積を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(5+i)/(2−i)をa+bi（a,bは実数）と表します。実部aを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
i²=−1のとき、i²⁷をa+bi（a,bは実数）と表します。虚部bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数係数の方程式x²−8x+25=0の解のうち、虚部が正の解を4+bi（bは正の実数）と表します。bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数p,qについてx²+px+q=0が−1+4iを解にもちます。qを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a,bは実数で、a+bi=5−2iです。a,bの組はどれですか。
- a=−5,b=2
- a=5,b=2
- a=5,b=−2
- a=−5,b=−2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−2−3iと共役な複素数はどれですか。
- −2+3i
- 2+3i
- −2−3i
- 2−3i
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(3−2i)(3+2i)を計算した値はどれですか。
- 5
- 9
- 11
- 13
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数係数の方程式x²+2x+5=0の解を全て表すものはどれですか。
- 1±2i
- −1±2i
- −1±4i
- 1±4i
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,B,Cは実数、A≠0とし、D=B²−4ACです。Ax²+Bx+C=0が異なる二つの虚数解をもつ条件はどれですか。
- D=0
- D>0
- D<0
- D≥0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数係数の多項式Pについて、実数でない数αはP(α)=0を満たします。この情報から確かに言えることはどれですか。
- αの共役も必ずP(x)=0の解になる
- −αも必ずP(x)=0の解になる
- α²も必ずP(x)=0の解になる
- 1/αも必ずP(x)=0の解になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=x−iとすると、P(i)=0です。−iを代入した値と結論が正しいものはどれですか。
- P(−i)=0なので、−iも解である
- P(−i)=−2iなので、−iは解でない
- P(−i)=2iなので、−iは解でない
- P(−i)=−2なので、−iは解でない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
(3−2i)+(−4+5i)と(3−2i)−(−4+5i)を、それぞれa+bi（a,bは実数）の形へ計算してください。引くかっこ全体の符号を残し、二つの結果の実部と虚部を別々に説明します。
友達は(2−3i)(−1+4i)=−14+11iとしました。分配法則の全項を書き、i²の値を使って結果を確かめ、誤りがどこにあるか説明してください。
(4+3i)/(1−2i)をa+bi（a,bは実数）へ直してください。元の除数が0でないこと、両方へ掛ける共役と分母の値を説明し、最後に求めた値へ1−2iを掛けて元の分子へ戻します。
a,bは実数で、(a+2)+(b−1)i=4−3iです。実部と虚部の二つの条件からa,bを求め、元の等式へ戻してください。a,bを実数とした条件を、どこで使ったかも説明します。
z=1−3iについて、自分で共役な複素数と−zを別々に求めてください。zと共役な数の和・積を全計算し、「共役は常に全体の負と同じ」という説明を、この値から直します。
実数係数の方程式2x²−4x+7=0を、自分で判別式と解の公式から複素数の範囲で全て解いてください。二つの解の共役な関係、和と積を元の係数に対応させ、解を元の式へ代入して確認します。正しい同値な根号の形も認めます。
実数係数のF(x)=x³−3x²+7x−5について、1+2iを代入して方程式F(x)=0の解であることを自分で確かめてください。共役な解もある理由を示し、二つの虚数解から二次の因数を作り、残りの因数と複素数の範囲での全ての解を求めます。
p,qは実数で、x²+px+q=0は−2+3iを解にもちます。もう一つの解を理由から示し、二つの因数の積からp,qを求めてください。解の和と積でも係数を確かめ、元の二次式へ戻します。
P(x)=Ax²+Bx+CでA,B,Cは実数、A≠0とし、実数でない数αはP(α)=0を満たします。和・積の共役の法則を使って、P(αの共役)=0を示してください。さらにQ(x)=x−iでiと−iを代入し、実数係数という条件を外すと何が言えなくなるか説明します。
aを−2,1,3から、bを1,2から、cを−1,4から一つずつ選びます。a±biを解にもつ、x²の係数が1の実数係数の二次方程式を作り、その左辺にx−cを掛けて具体的な三次式Fを展開してください。方程式F(x)=0の解をすべて求め、そのうち共役な二つの解になる理由を示し、作った二次式への虚数解の代入とF(0)でも確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
解答: 複素数を計算し、共役な根になる条件を説明する
7
和は−3+7iなので虚部bは7です。7i全体ではなく、実数の係数7を答えます。
11
8+12i−2i−3i²=11+10iなので実部aは11です。
13
(−3+2i)(−3−2i)=9−(2i)²=9+4=13です。
分子と分母に2+iを掛けると、分母5、分子9+7iなので実部は9/5です。
−1
i²⁷=(i⁴)⁶i³=−iなので、実部0、虚部−1です。
3
D=64−100=−36より解は4±3i。虚部が正の方の係数bは3です。
17
実数係数なので、共役な−1−4iも解です。二つの解の積(−1)²+4²=17が定数項qになります。
a=5,b=−2
実部と虚部をそれぞれ比べるとa=5,b=−2です。
−2+3i
実部−2を保って虚部の符号を変えるので−2+3iです。全体の負2+3iとは分けます。
13
9−(2i)²=9+4=13です。i²=−1による符号を残します。
−1±2i
D=4−20=−16よりx=(−2±4i)/2=−1±2iです。
D<0
D<0なら解の公式にi√(−D)が現れ、二つの異なる共役な虚数解です。D=0は実数の重解です。
αの共役も必ずP(x)=0の解になる
実数係数ではP(αの共役)がP(α)の共役となり0です。他の三つは、この情報だけから常に解だとはいえません。
P(−i)=−2iなので、−iは解でない
P(−i)=−i−i=−2i≠0。係数−iが実数でないので、実数係数の共役な解の性質を無条件には使えません。
記述問題の解答・確認の観点
(3−2i)+(−4+5i)と(3−2i)−(−4+5i)を、それぞれa+bi（a,bは実数）の形へ計算してください。引くかっこ全体の符号を残し、二つの結果の実部と虚部を別々に説明します。
和は−1+3iで実部−1・虚部3。差は3−2i+4−5i=7−7iで実部7・虚部−7。実部どうし、虚部どうしを対応させ、後のかっこ全体を引く。
生徒の和差の全項と、実数の係数としての実部・虚部、差の両符号を見ます。
友達は(2−3i)(−1+4i)=−14+11iとしました。分配法則の全項を書き、i²の値を使って結果を確かめ、誤りがどこにあるか説明してください。
全展開は−2+8i+3i−12i²。i²=−1なので−12i²=12となり、正しく10+11i。友達の−14はi²を1として実部−2−12とした場合の誤りで、虚部11は正しい。
生徒の四つの積・i²の置き換えを分け、正しい虚部まで誤りにしない説明を見ます。
(4+3i)/(1−2i)をa+bi（a,bは実数）へ直してください。元の除数が0でないこと、両方へ掛ける共役と分母の値を説明し、最後に求めた値へ1−2iを掛けて元の分子へ戻します。
1−2iは0ではない。両方へ1+2iを掛け、分母は1+4=5、分子4+8i+3i+6i²=−2+11i。結果は−2/5+(11/5)i。掛け戻すと(−2/5+11i/5)(1−2i)=4+3i。
生徒の元の除数が0でないこと・共役を両方へ掛ける理由、全積と実数の分母、掛け戻す全計算を見ます。
a,bは実数で、(a+2)+(b−1)i=4−3iです。実部と虚部の二つの条件からa,bを求め、元の等式へ戻してください。a,bを実数とした条件を、どこで使ったかも説明します。
a+2=4,b−1=−3からa=2,b=−2。元は(2+2)+(−2−1)i=4−3i。a+2とb−1が実数だからa+biの実部と虚部の一意な対応を使える。
生徒の二つの係数の式と元の式、実部・虚部が実数となる条件を見ます。
z=1−3iについて、自分で共役な複素数と−zを別々に求めてください。zと共役な数の和・積を全計算し、「共役は常に全体の負と同じ」という説明を、この値から直します。
共役は1+3i、−zは−1+3iで、実部が異なる。和は2、積は(1−3i)(1+3i)=1−9i²=10。共役は実部を保ち、虚部の符号だけを変えるので全体の負とは一般に異なる。
生徒の二つの数・和と積の全計算、実部を変えるかどうかの区別を見ます。
実数係数の方程式2x²−4x+7=0を、自分で判別式と解の公式から複素数の範囲で全て解いてください。二つの解の共役な関係、和と積を元の係数に対応させ、解を元の式へ代入して確認します。正しい同値な根号の形も認めます。
D=16−56=−40。x=(4±i√40)/4=1±(√10/2)i。二つは共役、和2=−(−4)/2、積1+10/4=7/2。どちらの解も2(1−10/4±√10i)−4∓2√10i+7=0となる。
生徒の負の判別式・二つの複素数解・共役と和積、正負両方の元の式への代入を見ます。
実数係数のF(x)=x³−3x²+7x−5について、1+2iを代入して方程式F(x)=0の解であることを自分で確かめてください。共役な解もある理由を示し、二つの虚数解から二次の因数を作り、残りの因数と複素数の範囲での全ての解を求めます。
(1+2i)²=−3+4i、三乗=−11−2iなのでF=−11−2i+9−12i+7+14i−5=0。実数係数だから1−2iも解。二次因数(x−1−2i)(x−1+2i)=x²−2x+5でF=(x−1)(x²−2x+5)。全ての解は1,1+2i,1−2i。
生徒の実際の複素数代入・実数係数の条件と共役、二次因数の全展開と残りの一次因数、すべての解を見ます。
p,qは実数で、x²+px+q=0は−2+3iを解にもちます。もう一つの解を理由から示し、二つの因数の積からp,qを求めてください。解の和と積でも係数を確かめ、元の二次式へ戻します。
実数係数で虚数解なので共役な−2−3iも解。(x+2−3i)(x+2+3i)=(x+2)²+9=x²+4x+13。p=4,q=13。二つの解の和−4=−p、積13=qで、二つは異なるので二つの解すべてがそろう。
生徒の実数係数・虚数解の条件、すべての因数と全展開、和積と係数の符号を見ます。
P(x)=Ax²+Bx+CでA,B,Cは実数、A≠0とし、実数でない数αはP(α)=0を満たします。和・積の共役の法則を使って、P(αの共役)=0を示してください。さらにQ(x)=x−iでiと−iを代入し、実数係数という条件を外すと何が言えなくなるか説明します。
P(α)の共役はA(αの共役)²+B(αの共役)+C=P(αの共役)。係数が実数なので共役で変わらず、0の共役も0だから結論する。αが実数でないので二つの解は異なる。Q(i)=0、Q(−i)=−2i≠0で、係数が実数でない多項式方程式にも必ず共役な解がある、とはいえない。
生徒が実数係数を使う箇所・共役の式と計算過程と0への結論を示し、条件外の具体的な二値を反例へ結んだかを見ます。
aを−2,1,3から、bを1,2から、cを−1,4から一つずつ選びます。a±biを解にもつ、x²の係数が1の実数係数の二次方程式を作り、その左辺にx−cを掛けて具体的な三次式Fを展開してください。方程式F(x)=0の解をすべて求め、そのうち共役な二つの解になる理由を示し、作った二次式への虚数解の代入とF(0)でも確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
作例a=1,b=2,c=4なら二次式x²−2x+5、F=(x−4)(x²−2x+5)=x³−6x²+13x−20。すべての解は4,1±2i。二次式で(−3±4i)−2(1±2i)+5=0、F(0)=−20で積でも−4×5=−20。一般に二次式x²−2ax+a²+b²、三次式x³−(2a+c)x²+(a²+b²+2ac)x−c(a²+b²)。b>0だから実数でない二つの解が異なり、実数cとは重ならない。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・実数係数の全二次式と三次式、三つのすべての解と共役の根拠、実際の代入と定数項を手動で見る。全12例や作例の転記を必須にしない。