因数定理で次数を下げ、実数解を全て確かめる
因数になる根拠・商・残りの方程式を結び、実数解を全て求めます。準備14問と、生徒が因数分解・0になる因数・置き換えの条件を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)ア(オ)、冊子54・56/PDF66・68の因数定理と簡単な高次方程式を踏まえた独自課題です。剰余の関係式から因数を説明し、三次式と複二次式の実数解だけに範囲を絞ります。虚数解・一般の高次方程式の解法・数学Ⅱ全体・固定学年の履修は主張せず、出典の問題や図版も写していません。
解説を読む
一つの根が見つかっても、そこで解答を終えません。多項式を因数の積へ戻し、どの因数が0になるかを全て調べます。重解や0の根、二乗を置き換えた変数の範囲も、元の方程式へ戻して確かめます。
必要な予備知識
数学Ⅰまでの展開・因数分解、二次方程式の解の公式、平方根、実数の二乗が0以上であること、多項式の除法と剰余の定理。数は実数の範囲で扱います。自分の商・全因数・解の集合と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- この教材では、実数係数の0でない多項式FについてF(x)=0の実数解を求めます。複素数まで範囲を広げた解は別の内容とし、実数で解を持たない因数も区別します。
- F(x)をx−aで割るとF(x)=(x−a)Q(x)+rで、余りr=F(a)です。F(a)=0ならF=(x−a)Qとなってx−aが因数になり、逆も成り立ちます。代入の値aと因数の符号を対応させます。
- 示された候補を代入して一つの根を見つけることと、全ての解を求めることを分けます。一つの値の確認だけで、ほかに根がないとは結論しません。商の方程式も調べます。
- 除法の商を求めたら、除式×商を全項へ展開してFに戻し、余り0と全ての係数を確かめます。ない次数の項には係数0を残し、引く多項式全体の符号を扱います。
- F=(x−a)QならF=0はx=aまたはQ=0と同値です。両方を満たす場合も含みます。0になり得るx−aなどを無条件に割ると、その因数が0になる解を落とします。0でない定数で割ることとは分けます。
- 残った二次式は、因数分解や解の公式で実数解を調べます。例えば実数xではx²+cがc>0なら常に正で、この因数を0にする実数はありません。他の因数からの実数解まで消えたことにはしません。
- 同じ一次因数が繰り返されると同じ根が重なります。例えば(x−a)²(x−b)でa≠bなら、異なる実数解はa,bの二つです。次数が3というだけで異なる実数解が必ず三つとはしません。
- x⁴とx²を含む式ではt=x²と置けますが、実数xから作るtは0以上です。tの方程式を解いた後、負のtを除き、正のtならx=±√t、t=0ならx=0一つへ戻します。
- 係数を決める条件として根aが与えられた場合は、まずF(a)=0を使います。係数を元のFへ戻し、その決まった多項式を因数分解して全ての実数解を求めます。係数だけで終えません。
- 見つけた解を元へ代入する確認と、他の解がない理由を分けます。後者は元へ戻る因数分解と、積が0になる全ての場合から説明します。解の順序や正しい同値な根号の形を認め、式全体と根拠は講師が手動確認します。
解き方の例
F=x³−5x²+2x+8ではF(2)=8−20+4+8=0なのでx−2が因数です。商x²−3x−4=(x−4)(x+1)へ進むと、F=(x−2)(x−4)(x+1)。積が0になる全ての場合から実数解は−1,2,4です。2の確認だけで終えません。
x⁴−10x²+9=0でt=x²≧0と置くと(t−1)(t−9)=0。t=1,9はいずれも正なのでx=−3,−1,1,3です。tの値をそのままxの値とせず、二乗から正負の両方へ戻し、元の積(x²−1)(x²−9)も確かめます。
よくある間違い
- F(a)=0からx+aが因数だと、符号をそのまま写す。
- 一つの根を見つけ、商の方程式の根を調べずに終える。
- 0になり得る因数で割って、その因数が0になる解を落とす。
- 重解を異なる二つの値と数え、次数と異なる実数解の個数を混同する。
- t=x²のt≧0を落としたり、正のtから正の平方根だけを取ったりする。
- 解の代入確認だけで全ての解がそろったことにし、因数の積に戻す理由を残さない。
考え方を説明する
準備14問は係数・短い値・因数と実数解の範囲の確認です。主課題では生徒の因数定理の根拠、除法の商と全係数、積が0になる全ての場合、実数の範囲と元の式への戻しを手動確認します。T1は一つの因数から残りの二次式、T2はxの係数が1でない一次式と分数の根、T3は繰り返す因数と異なる解、T4は実数解のない二次因数、T5は0の因数を割って落とす誤り、T6は置き換え後の負のt、T7は正負の根号への戻し、T8は条件から係数を決めた後の全解、T9は符号と根の二つの修正、T10は生徒の具体的な多項式を見ます。正しい別解・因数や根の順序・同値な根号を認め、準備の点数や最後の根だけで達成を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒が書く因数分解・商・全ての実数解の式、重なり・置き換えの条件と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい根号入力の自動採点・数式自動解法器・複素数の根・一般の高次方程式の全範囲は扱いません。生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の全因数・実数解・条件と理由は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
F(x)=x³+kx−6で、x=2がF(x)=0の解です。実数の定数kを求めてください。
答えと解説
−1
F(2)=8+2k−6=0より2k=−2、k=−1です。
F(x)=2x³−5x²−x+cで、x=1/2がF(x)=0の解です。実数の定数cを求めてください。
答えと解説
F(1/2)=1/4−5/4−1/2+c=−3/2+c=0なのでc=3/2です。
(x−3)(x+2)(2x−1)=0の実数解のうち、最大の値を求めてください。
答えと解説
3
因数ごとにx=3,−2,1/2で、最大の実数解は3です。
(x+2)²(x−5)=0について、異なる実数解の個数を求めてください。
答えと解説
2
解は−2と5の二つです。同じ因数x+2が繰り返されても−2を異なる二つの値とは数えません。
F(x)=x³−3x²−4x+12をx−3で割ると余り0です。商の定数項を求めてください。
答えと解説
−4
F=(x−3)(x²−4)なので商x²−4の定数項は−4です。
x⁴−5x²+4=0でt=x²と置くと、t²−5t+4=0です。このtの方程式の大きい方の解を求めてください。
答えと解説
4
(t−1)(t−4)=0なのでt=1,4、大きい方は4です。これはまだxに戻す前のtの値です。
4x⁴−5x²+1=0の正の実数解のうち、小さい方を求めてください。
答えと解説
t=x²≧0と置くと(4t−1)(t−1)=0でt=1/4,1。正のxは1/2,1で、小さい方は1/2です。
F(x)=(x−a)Q(x)と因数分解できました。実数xについてF(x)=0と同値な条件はどれですか。
- x=aかつQ(x)=0の場合に限る
- x=aの場合に限り、Qの根は含まない
- x=aまたはQ(x)=0で、重なりも含む
- x=aとQ(x)=0の一方だけが成り立つ
答えと解説
x=aまたはQ(x)=0で、重なりも含む
積が0になるのは少なくとも一つの因数が0になるときです。両方が0の場合も含む「または」で、どちらか一方だけとはしません。
(x−2)(x²+1)=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−2だけ
- x=2だけ
- x=−1だけ
- x=1だけ
答えと解説
x=2だけ
実数xではx²+1>0なので、この因数からの実数解はありません。x−2=0のx=2だけです。
x(x²−9)=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−3,0,3
- x=−9,0,9
- x=−3,1,3
- x=−3,0,9
答えと解説
x=−3,0,3
x(x−3)(x+3)=0より−3,0,3です。xで無条件に割ると0の解を落とします。
(x+4)²(2x−1)=0について、異なる実数解の個数はいくつですか。
- 1個
- 2個
- 3個
- 4個
答えと解説
2個
実数解は−4と1/2。−4という同じ値が重なることと、異なる解が二つあることを分けます。
実数xについてt=x²と置き、tの方程式の解が−2と3になりました。元の実数xの解を全て表したものはどれですか。
- x=±√2
- x=±3
- x=±√3
- x=−2,3
答えと解説
x=±√3
t=x²は0以上なのでt=−2は使えません。t=3からx=±√3へ戻します。
0でない多項式FについてF(−3)=0です。因数定理から確かに言える因数はどれですか。
- x−3
- 3x−1
- 3x+1
- x+3
答えと解説
x+3
代入する値a=−3に対応する因数はx−a=x+3です。他の因数までこの情報だけから決めません。
x⁴−4x²=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−2,0,2
- x=−4,0,4
- x=−2,−1,2
- x=−2,1,2
答えと解説
x=−2,0,2
x²(x²−4)=x²(x−2)(x+2)=0。0と±2です。t=x²の解0,4から戻す方法でも、t=0はx=0一つになります。
考え方を説明する
F(x)=x³−4x²−x+4について、F(1)を計算し、x−1が因数になる理由を剰余の関係式から説明してください。実際に割った商を因数分解し、F(x)=0の実数解を全て求めます。元の全係数に戻す展開と、積が0になる全ての場合も示してください。
答えと解説
F(1)=1−4−1+4=0。F=(x−1)Q+rでr=F(1)=0だから因数になる。商x²−3x−4=(x−4)(x+1)。F=(x−1)(x−4)(x+1)を展開するとx³−4x²−x+4に戻る。積が0になる条件からx=1または4または−1で、全ての実数解は−1,1,4。
生徒の代入と余り0の根拠、商と全因数・全係数、他の解がない理由を積のすべての場合から見ます。
F(x)=2x³−3x²−8x+12について、F(3/2)を計算し、2x−3が因数になる理由を説明してください。この因数で割った商と元へ戻る恒等式を書き、F(x)=0の実数解を全て求めます。因数2x−3の係数2を落とさず、分数の根も元へ確かめてください。
答えと解説
F(3/2)=27/4−27/4−12+12=0なのでx−3/2が因数で、2x−3も定数倍を調整して因数にできる。商はx²−4、F=(2x−3)(x²−4)=(2x−3)(x−2)(x+2)。展開して2x³−3x²−8x+12に戻る。全実数解は−2,3/2,2。2x−3=0の解は3/2であり、単に3とはしない。
生徒の正確な分数の代入・因数の定数倍と商、全係数と全ての実数解を確認します。
F(x)=x³−3x²+4で、F(2)を確かめてx−2で割ってください。商もさらに因数分解し、F(x)=0の異なる実数解を全て求めます。友達の「三次だから異なる実数解が三つある」を、同じ因数の繰り返しと元の積から説明し直してください。
答えと解説
F(2)=8−12+4=0。商x²−x−2=(x−2)(x+1)なのでF=(x−2)²(x+1)。展開はx³−3x²+0x+4。異なる実数解は−1と2の二つで、2は因数x−2が二回現れる重解。次数3というだけで異なる実数解が三つとはいえない。積が0になる全ての場合はx=2またはx=−1。
生徒の係数0を含む除法・全因数と展開、重解と異なる値の個数、積のすべての場合を見ます。
F(x)=x³+3x²+4x+12について、F(−3)から因数を説明し、商を求めてF(x)=0の実数解を全て示してください。残った二次式について、実数の二乗の性質を使って根の有無を説明し、元へ戻る全展開も書いてください。複素数の解を求める必要はありません。
答えと解説
F(−3)=−27+27−12+12=0よりx+3が因数。商x²+4で、F=(x+3)(x²+4)を展開して全係数が戻る。実数xではx²≧0なのでx²+4≧4>0で、この因数は0にならない。よって実数解はx=−3だけ。二次因数に実数解がないことを、F全体に実数解がないこととはしない。
生徒の負の代入と因数の符号、商・全展開、二次因数が正という根拠と残る実数解を見ます。
3x³−12x=0を、因数の積から解いてください。友達は両辺を3xで割ってx²−4=0とし、x=±2だけとしました。割る式の0でない条件と失った場合を分け、元の方程式の全ての実数解と、その理由を全文へ直します。
答えと解説
3x³−12x=3x(x²−4)=3x(x−2)(x+2)。0でない定数3で割るのはよいが、3xで割るとx≠0を仮定してしまう。x=0は元の式で0=0となる解。積が0になる全ての場合はx=0または2または−2で、全実数解は−2,0,2。±2と0の代入も元の式で確かめられる。
生徒の全因数、定数と0になり得る因数の違い、x=0の元の式への確認と全解の理由を見ます。
x⁴−3x²−4=0を、t=x²という置き換えとtの範囲を書いて解いてください。tの方程式の全解を示した上で、使えるtと使えないtを理由から分け、元の実数xへ戻します。因数の積を元のxで書いて、解が全てそろう理由も説明してください。
答えと解説
t=x²≧0と置くとt²−3t−4=(t−4)(t+1)=0でt=4,−1。−1は実数の二乗ではないので除き、t=4からx=±2。元の式は(x²−4)(x²+1)で、後の因数は実数で常に正。前の因数から−2,2が全ての実数解。t=4をそのままx=4とはしない。
生徒のt≧0・二つのtと除外の根拠、正負への戻し、元の積と全解を見ます。
2x⁴−7x²+3=0を、t=x²と置いて解いてください。tの二つの値と範囲を記録し、正負を含む全ての実数xへ戻します。元のxの因数の積と、各因数が0になる場合を示してください。正しい同値な根号の形は認めます。
答えと解説
t=x²≧0から2t²−7t+3=(2t−1)(t−3)=0でt=1/2,3。どちらも正なのでx=±√(1/2)=±√2/2とx=±√3。元の式は(2x²−1)(x²−3)で、各二次因数の根を正負とも含めるため、この四つが全ての実数解。±1/√2という同値な形も可。
生徒の正確な二つのt・非負条件、四つの実数解と同値な根号、元の積からのすべての場合を見ます。根号の入力欄での自動採点はしません。
F(x)=x³+kx²−4x−4で、x=1がF(x)=0の解です。条件からkを決め、決まったFをx−1で割り、商の二次方程式も解いて全ての実数解を求めてください。元へ戻る恒等式と、因数定理を使った箇所を分けて書きます。
答えと解説
F(1)=1+k−4−4=k−7=0よりk=7。F=x³+7x²−4x−4=(x−1)(x²+8x+4)。商の二次方程式はx=(−8±√48)/2=−4±2√3。よって全実数解は1,−4−2√3,−4+2√3。展開して元の全係数が戻り、積が0になるx=1または二次式の二根で全てそろう。
生徒のkの式と代入後のF、余り0と商・全係数、二次式の解の公式と全解の理由を見ます。
F(x)=x³−2x²−5x+6について、友達IはF(3)=0だから「x+3が因数」、友達IIはF=(x−1)(x−3)(x+2)から「解は1,3,2」としました。二つの説明を別々に直し、全因数の積・元に戻す全展開と全ての実数解を示してください。F(−3),F(2),F(−2)でも誤りを具体的に比べます。
答えと解説
Iはa=3に対応する因数x−3へ直す。実際F(−3)=−27−18+15+6=−24で、x+3は因数でない。IIの因数分解自体は正しいが、x+2=0の根は−2。F(2)=8−8−10+6=−4、F(−2)=−8−8+10+6=0。正しくF=(x−1)(x−3)(x+2)=x³−2x²−5x+6で、全実数解は−2,1,3。
生徒がIの因数の符号とIIの根の符号を分け、正しい積まで誤りにせず、三つの比較値・全展開と全解を示したかを見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、cを4,5から一つずつ選び、F(x)=(x−a)(x−b)(x−c)という具体的な三次式を作ります。全項へ展開し、F(a)=0からの因数定理とx−aで割った商、全ての実数解を実際に示してください。F(0)も確かめます。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=3,b=−1,c=4ならF=(x−3)(x+1)(x−4)=x³−6x²+5x+12。F(3)=27−54+15+12=0でx−3が因数、商x²−3x−4=(x+1)(x−4)。全実数解は−1,3,4。F(0)=12で、積でも(−3)×1×(−4)=12。一般の展開はx³−(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x−abc。許された生徒の別の一例と正しい式と計算過程・根拠も認める。
生徒の選択した三数・具体的な三次式と全係数、代入と因数定理・商、積が0になるすべての場合・F(0)を手動で見ます。作例や一般形の転記だけを生徒の別例作成とはしません。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)ア(オ)、冊子54・56/PDF66・68の因数定理と簡単な高次方程式を踏まえた独自課題です。剰余の関係式から因数を説明し、三次式と複二次式の実数解だけに範囲を絞ります。虚数解・一般の高次方程式の解法・数学Ⅱ全体・固定学年の履修は主張せず、出典の問題や図版も写していません。 · 2026-11-04
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/reduce-higher-degree-equations-with-the-factor-theorem/
準備14問は係数・短い値・因数と実数解の範囲の確認です。主課題では生徒の因数定理の根拠、除法の商と全係数、積が0になる全ての場合、実数の範囲と元の式への戻しを手動確認します。T1は一つの因数から残りの二次式、T2はxの係数が1でない一次式と分数の根、T3は繰り返す因数と異なる解、T4は実数解のない二次因数、T5は0の因数を割って落とす誤り、T6は置き換え後の負のt、T7は正負の根号への戻し、T8は条件から係数を決めた後の全解、T9は符号と根の二つの修正、T10は生徒の具体的な多項式を見ます。正しい別解・因数や根の順序・同値な根号を認め、準備の点数や最後の根だけで達成を判定しません。
F(x)=x³+kx−6で、x=2がF(x)=0の解です。実数の定数kを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F(x)=2x³−5x²−x+cで、x=1/2がF(x)=0の解です。実数の定数cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−3)(x+2)(2x−1)=0の実数解のうち、最大の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+2)²(x−5)=0について、異なる実数解の個数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F(x)=x³−3x²−4x+12をx−3で割ると余り0です。商の定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x⁴−5x²+4=0でt=x²と置くと、t²−5t+4=0です。このtの方程式の大きい方の解を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4x⁴−5x²+1=0の正の実数解のうち、小さい方を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F(x)=(x−a)Q(x)と因数分解できました。実数xについてF(x)=0と同値な条件はどれですか。
- x=aかつQ(x)=0の場合に限る
- x=aの場合に限り、Qの根は含まない
- x=aまたはQ(x)=0で、重なりも含む
- x=aとQ(x)=0の一方だけが成り立つ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−2)(x²+1)=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−2だけ
- x=2だけ
- x=−1だけ
- x=1だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x(x²−9)=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−3,0,3
- x=−9,0,9
- x=−3,1,3
- x=−3,0,9
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+4)²(2x−1)=0について、異なる実数解の個数はいくつですか。
- 1個
- 2個
- 3個
- 4個
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数xについてt=x²と置き、tの方程式の解が−2と3になりました。元の実数xの解を全て表したものはどれですか。
- x=±√2
- x=±3
- x=±√3
- x=−2,3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0でない多項式FについてF(−3)=0です。因数定理から確かに言える因数はどれですか。
- x−3
- 3x−1
- 3x+1
- x+3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x⁴−4x²=0の実数解を全て表したものはどれですか。
- x=−2,0,2
- x=−4,0,4
- x=−2,−1,2
- x=−2,1,2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
F(x)=x³−4x²−x+4について、F(1)を計算し、x−1が因数になる理由を剰余の関係式から説明してください。実際に割った商を因数分解し、F(x)=0の実数解を全て求めます。元の全係数に戻す展開と、積が0になる全ての場合も示してください。
F(x)=2x³−3x²−8x+12について、F(3/2)を計算し、2x−3が因数になる理由を説明してください。この因数で割った商と元へ戻る恒等式を書き、F(x)=0の実数解を全て求めます。因数2x−3の係数2を落とさず、分数の根も元へ確かめてください。
F(x)=x³−3x²+4で、F(2)を確かめてx−2で割ってください。商もさらに因数分解し、F(x)=0の異なる実数解を全て求めます。友達の「三次だから異なる実数解が三つある」を、同じ因数の繰り返しと元の積から説明し直してください。
F(x)=x³+3x²+4x+12について、F(−3)から因数を説明し、商を求めてF(x)=0の実数解を全て示してください。残った二次式について、実数の二乗の性質を使って根の有無を説明し、元へ戻る全展開も書いてください。複素数の解を求める必要はありません。
3x³−12x=0を、因数の積から解いてください。友達は両辺を3xで割ってx²−4=0とし、x=±2だけとしました。割る式の0でない条件と失った場合を分け、元の方程式の全ての実数解と、その理由を全文へ直します。
x⁴−3x²−4=0を、t=x²という置き換えとtの範囲を書いて解いてください。tの方程式の全解を示した上で、使えるtと使えないtを理由から分け、元の実数xへ戻します。因数の積を元のxで書いて、解が全てそろう理由も説明してください。
2x⁴−7x²+3=0を、t=x²と置いて解いてください。tの二つの値と範囲を記録し、正負を含む全ての実数xへ戻します。元のxの因数の積と、各因数が0になる場合を示してください。正しい同値な根号の形は認めます。
F(x)=x³+kx²−4x−4で、x=1がF(x)=0の解です。条件からkを決め、決まったFをx−1で割り、商の二次方程式も解いて全ての実数解を求めてください。元へ戻る恒等式と、因数定理を使った箇所を分けて書きます。
F(x)=x³−2x²−5x+6について、友達IはF(3)=0だから「x+3が因数」、友達IIはF=(x−1)(x−3)(x+2)から「解は1,3,2」としました。二つの説明を別々に直し、全因数の積・元に戻す全展開と全ての実数解を示してください。F(−3),F(2),F(−2)でも誤りを具体的に比べます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、cを4,5から一つずつ選び、F(x)=(x−a)(x−b)(x−c)という具体的な三次式を作ります。全項へ展開し、F(a)=0からの因数定理とx−aで割った商、全ての実数解を実際に示してください。F(0)も確かめます。全12条件を解く必要はありません。
解答: 因数定理で次数を下げ、実数解を全て確かめる
−1
F(2)=8+2k−6=0より2k=−2、k=−1です。
F(1/2)=1/4−5/4−1/2+c=−3/2+c=0なのでc=3/2です。
3
因数ごとにx=3,−2,1/2で、最大の実数解は3です。
2
解は−2と5の二つです。同じ因数x+2が繰り返されても−2を異なる二つの値とは数えません。
−4
F=(x−3)(x²−4)なので商x²−4の定数項は−4です。
4
(t−1)(t−4)=0なのでt=1,4、大きい方は4です。これはまだxに戻す前のtの値です。
t=x²≧0と置くと(4t−1)(t−1)=0でt=1/4,1。正のxは1/2,1で、小さい方は1/2です。
x=aまたはQ(x)=0で、重なりも含む
積が0になるのは少なくとも一つの因数が0になるときです。両方が0の場合も含む「または」で、どちらか一方だけとはしません。
x=2だけ
実数xではx²+1>0なので、この因数からの実数解はありません。x−2=0のx=2だけです。
x=−3,0,3
x(x−3)(x+3)=0より−3,0,3です。xで無条件に割ると0の解を落とします。
2個
実数解は−4と1/2。−4という同じ値が重なることと、異なる解が二つあることを分けます。
x=±√3
t=x²は0以上なのでt=−2は使えません。t=3からx=±√3へ戻します。
x+3
代入する値a=−3に対応する因数はx−a=x+3です。他の因数までこの情報だけから決めません。
x=−2,0,2
x²(x²−4)=x²(x−2)(x+2)=0。0と±2です。t=x²の解0,4から戻す方法でも、t=0はx=0一つになります。
記述問題の解答・確認の観点
F(x)=x³−4x²−x+4について、F(1)を計算し、x−1が因数になる理由を剰余の関係式から説明してください。実際に割った商を因数分解し、F(x)=0の実数解を全て求めます。元の全係数に戻す展開と、積が0になる全ての場合も示してください。
F(1)=1−4−1+4=0。F=(x−1)Q+rでr=F(1)=0だから因数になる。商x²−3x−4=(x−4)(x+1)。F=(x−1)(x−4)(x+1)を展開するとx³−4x²−x+4に戻る。積が0になる条件からx=1または4または−1で、全ての実数解は−1,1,4。
生徒の代入と余り0の根拠、商と全因数・全係数、他の解がない理由を積のすべての場合から見ます。
F(x)=2x³−3x²−8x+12について、F(3/2)を計算し、2x−3が因数になる理由を説明してください。この因数で割った商と元へ戻る恒等式を書き、F(x)=0の実数解を全て求めます。因数2x−3の係数2を落とさず、分数の根も元へ確かめてください。
F(3/2)=27/4−27/4−12+12=0なのでx−3/2が因数で、2x−3も定数倍を調整して因数にできる。商はx²−4、F=(2x−3)(x²−4)=(2x−3)(x−2)(x+2)。展開して2x³−3x²−8x+12に戻る。全実数解は−2,3/2,2。2x−3=0の解は3/2であり、単に3とはしない。
生徒の正確な分数の代入・因数の定数倍と商、全係数と全ての実数解を確認します。
F(x)=x³−3x²+4で、F(2)を確かめてx−2で割ってください。商もさらに因数分解し、F(x)=0の異なる実数解を全て求めます。友達の「三次だから異なる実数解が三つある」を、同じ因数の繰り返しと元の積から説明し直してください。
F(2)=8−12+4=0。商x²−x−2=(x−2)(x+1)なのでF=(x−2)²(x+1)。展開はx³−3x²+0x+4。異なる実数解は−1と2の二つで、2は因数x−2が二回現れる重解。次数3というだけで異なる実数解が三つとはいえない。積が0になる全ての場合はx=2またはx=−1。
生徒の係数0を含む除法・全因数と展開、重解と異なる値の個数、積のすべての場合を見ます。
F(x)=x³+3x²+4x+12について、F(−3)から因数を説明し、商を求めてF(x)=0の実数解を全て示してください。残った二次式について、実数の二乗の性質を使って根の有無を説明し、元へ戻る全展開も書いてください。複素数の解を求める必要はありません。
F(−3)=−27+27−12+12=0よりx+3が因数。商x²+4で、F=(x+3)(x²+4)を展開して全係数が戻る。実数xではx²≧0なのでx²+4≧4>0で、この因数は0にならない。よって実数解はx=−3だけ。二次因数に実数解がないことを、F全体に実数解がないこととはしない。
生徒の負の代入と因数の符号、商・全展開、二次因数が正という根拠と残る実数解を見ます。
3x³−12x=0を、因数の積から解いてください。友達は両辺を3xで割ってx²−4=0とし、x=±2だけとしました。割る式の0でない条件と失った場合を分け、元の方程式の全ての実数解と、その理由を全文へ直します。
3x³−12x=3x(x²−4)=3x(x−2)(x+2)。0でない定数3で割るのはよいが、3xで割るとx≠0を仮定してしまう。x=0は元の式で0=0となる解。積が0になる全ての場合はx=0または2または−2で、全実数解は−2,0,2。±2と0の代入も元の式で確かめられる。
生徒の全因数、定数と0になり得る因数の違い、x=0の元の式への確認と全解の理由を見ます。
x⁴−3x²−4=0を、t=x²という置き換えとtの範囲を書いて解いてください。tの方程式の全解を示した上で、使えるtと使えないtを理由から分け、元の実数xへ戻します。因数の積を元のxで書いて、解が全てそろう理由も説明してください。
t=x²≧0と置くとt²−3t−4=(t−4)(t+1)=0でt=4,−1。−1は実数の二乗ではないので除き、t=4からx=±2。元の式は(x²−4)(x²+1)で、後の因数は実数で常に正。前の因数から−2,2が全ての実数解。t=4をそのままx=4とはしない。
生徒のt≧0・二つのtと除外の根拠、正負への戻し、元の積と全解を見ます。
2x⁴−7x²+3=0を、t=x²と置いて解いてください。tの二つの値と範囲を記録し、正負を含む全ての実数xへ戻します。元のxの因数の積と、各因数が0になる場合を示してください。正しい同値な根号の形は認めます。
t=x²≧0から2t²−7t+3=(2t−1)(t−3)=0でt=1/2,3。どちらも正なのでx=±√(1/2)=±√2/2とx=±√3。元の式は(2x²−1)(x²−3)で、各二次因数の根を正負とも含めるため、この四つが全ての実数解。±1/√2という同値な形も可。
生徒の正確な二つのt・非負条件、四つの実数解と同値な根号、元の積からのすべての場合を見ます。根号の入力欄での自動採点はしません。
F(x)=x³+kx²−4x−4で、x=1がF(x)=0の解です。条件からkを決め、決まったFをx−1で割り、商の二次方程式も解いて全ての実数解を求めてください。元へ戻る恒等式と、因数定理を使った箇所を分けて書きます。
F(1)=1+k−4−4=k−7=0よりk=7。F=x³+7x²−4x−4=(x−1)(x²+8x+4)。商の二次方程式はx=(−8±√48)/2=−4±2√3。よって全実数解は1,−4−2√3,−4+2√3。展開して元の全係数が戻り、積が0になるx=1または二次式の二根で全てそろう。
生徒のkの式と代入後のF、余り0と商・全係数、二次式の解の公式と全解の理由を見ます。
F(x)=x³−2x²−5x+6について、友達IはF(3)=0だから「x+3が因数」、友達IIはF=(x−1)(x−3)(x+2)から「解は1,3,2」としました。二つの説明を別々に直し、全因数の積・元に戻す全展開と全ての実数解を示してください。F(−3),F(2),F(−2)でも誤りを具体的に比べます。
Iはa=3に対応する因数x−3へ直す。実際F(−3)=−27−18+15+6=−24で、x+3は因数でない。IIの因数分解自体は正しいが、x+2=0の根は−2。F(2)=8−8−10+6=−4、F(−2)=−8−8+10+6=0。正しくF=(x−1)(x−3)(x+2)=x³−2x²−5x+6で、全実数解は−2,1,3。
生徒がIの因数の符号とIIの根の符号を分け、正しい積まで誤りにせず、三つの比較値・全展開と全解を示したかを見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、cを4,5から一つずつ選び、F(x)=(x−a)(x−b)(x−c)という具体的な三次式を作ります。全項へ展開し、F(a)=0からの因数定理とx−aで割った商、全ての実数解を実際に示してください。F(0)も確かめます。全12条件を解く必要はありません。
作例a=3,b=−1,c=4ならF=(x−3)(x+1)(x−4)=x³−6x²+5x+12。F(3)=27−54+15+12=0でx−3が因数、商x²−3x−4=(x+1)(x−4)。全実数解は−1,3,4。F(0)=12で、積でも(−3)×1×(−4)=12。一般の展開はx³−(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x−abc。許された生徒の別の一例と正しい式と計算過程・根拠も認める。
生徒の選択した三数・具体的な三次式と全係数、代入と因数定理・商、積が0になるすべての場合・F(0)を手動で見ます。作例や一般形の転記だけを生徒の別例作成とはしません。