恒等式と条件付きの等式を、理由を残して証明する
全ての値で成り立つ等式と、条件の下で成り立つ等式を区別します。準備14問と、生徒が展開・係数・代入する条件・0でないことの根拠を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)イ(イ)、冊子54・56/PDF66・68の等式を論理的に考察して証明する部分を踏まえた独自課題です。PDF68の複数の証明方法の比較と、関連する恒等式の未定係数法も確認しました。不等式の証明全体・高次方程式全体・数学Ⅱ全体・固定学年の履修は主張せず、出典の問題や図版も写していません。
解説を読む
いくつかの値で合うこと、全ての値で成り立つこと、与えられた条件から結論が出ることを分けます。左辺の変形・両辺の差・条件による文字の置き換えを使い、どの値を許しているかと各変形の理由を残します。
必要な予備知識
数学Ⅰまでの展開・因数分解、一次の連立方程式、積が0になる条件、分母が0でない条件。三次の展開を使う課題には(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を示します。文字は実数とし、式全体・証明・場合分けは紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- 恒等式は、指定した文字の許される全ての値で成り立つ等式です。多項式なら実数全体を考えられます。方程式は等式を満たす値を求める問題として扱い、全ての値で成り立つとは限りません。条件付きの等式では、その条件を満たす全ての場合を証明します。
- 全ての実数xについての多項式の恒等式では、同じ次数の係数を比べられます。定数a,bなどを求めるときは、xの係数と定数項まで全てそろえ、求めた値で全項を戻します。ある一つのxだけで成り立つ方程式からは、そのまま係数比較できません。
- 左辺を右辺へ変形する、両辺を同じ式へ変形する、左辺−右辺を0と示す方法があります。各等号の理由を残し、証明したい等式を根拠なく途中で使わないようにします。
- 条件x+y=sがあるなら、y=s−xを代入したり、途中のx+yをsへ置いたりできます。元の条件をどこで使ったかを示し、条件を外した全てのx,yでも正しいと広げません。
- 同じ文字の式で両辺を割るときは、その値が0でない根拠が必要です。例えば(x−y)(x+y−s)=0では、x=yの場合を失うので、無条件にx−yで割りません。
- 比例式a/b=c/dからは、b≠0,d≠0のもとでad=bcを使えます。新しく作った分母も0でないことを別に確かめ、分子a,cまで無条件に0でないとはしません。
- 条件を満たす数値例は計算の確認、条件を満たさない数値例は主張の範囲の確認に使えます。誤った一般の主張を否定するには、許された反例を一つ具体的に示せます。
- 有限個の代入が十分かは、式について分かっている条件にもよります。例えばax+bについて二つの異なるxの値からa,bを決め、その式に戻す証明はできます。次数などの制限がない別の式へ、その結論を広げません。
- 三次の展開を使うときは(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を各項へ適用します。例えば条件からzを置き換えても、二項の三乗に中間の項が必要です。代入で得た式と元の条件への対応を残します。
- 最後は、どの文字が任意か、どの条件・0でない条件の下で何を示したかを言葉でも結びます。準備の数値入力だけで、生徒の証明や条件の確認を済ませたことにはしません。
解き方の例
(x+2)²−(x−2)²を展開すると、(x²+4x+4)−(x²−4x+4)=8x。全ての実数xで使える展開と整理なので恒等式です。x=3で25−1=24と合う確認は、この式と計算過程の理由とは分けます。
条件u+v=7の下ではu²−v²=(u−v)(u+v)=7(u−v)。u−vで割らずに示せるので、u=v=7/2も含みます。条件を外したu=2,v=0では左辺4、右辺14で異なり、全てのu,vの恒等式にはしません。
よくある間違い
- 一つの代入で一致しただけで、文字についての恒等式だとする。
- 条件x+y=sを使った結論を、条件を外した全てのx,yへ広げる。
- 0になり得る因数を割って、成り立つ場合や反例を落とす。
- 新しい分母が0にならない条件を、元の比例式の条件だけから決める。
- 証明したい等式を途中の根拠に使い、同じ式を言い換えるだけで終える。
- 有限個の確認は常に十分、またはどんな制限があっても常に不十分だと決める。
考え方を説明する
準備14問は値・係数・条件と主張の範囲の確認です。主課題では生徒の全項の展開・係数比較・条件を使う箇所・0でない条件・場合分けと結論を手動確認します。T1は全係数からの恒等式、T2は二方法の実際の証明、T3は条件による置き換え、T4は比例式と新しい分母、T5は三次の全項と条件、T6は恒等式と方程式の成立範囲、T7は二つの根拠のない証明の修正、T8は割る因数が0の場合を残すこと、T9は一次という制限と異なる式の比較、T10は生徒が選んだ具体例と一般の条件付き証明を見ます。正しい別の順序・別証明を認め、準備の点数や作例の転記だけで達成を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の式全体、条件と成立範囲、全ての証明・場合分け・反例は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい数式採点器・自動証明器・高次方程式や不等式の全範囲を扱う教材とはしません。生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の証明・全ての条件・場合分け・反例は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
A(x−1)²+Bx+C=3x²+2x+5が、実数xについての恒等式です。定数Bを求めてください。
答えと解説
8
x²の係数からA=3。xの係数は−2A+B=2なのでB=8です。定数項からC=2とも確かめられます。
a(x+2)²+b(x−1)+c=2x²−3x+4が、実数xについての恒等式です。定数cを求めてください。
答えと解説
−15
a=2、4a+b=−3からb=−11。定数項4a−b+c=4より8+11+c=4、c=−15です。
実数x,yはx+y=5、xy=3を満たします。x²+y²の値を求めてください。
答えと解説
19
x²+y²=(x+y)²−2xy=25−6=19です。
実数x,yはx−2y=3、y=−1/2を満たします。x²−4y²の値を求めてください。
答えと解説
3
x=2で、x²−4y²=4−1=3。因数分解でも(x−2y)(x+2y)=3×1=3です。
a/b=c/d=−2/3、b=9、d=3です。(a+c)/(b+d)の値を求めてください。
答えと解説
−
a=−6,c=−2で、分母b+d=12は0ではありません。(−6−2)/12=−2/3です。
等式(x−1)(x+2)=x²+2について、x=0での「左辺−右辺」の値を求めてください。
答えと解説
−4
左辺は−2、右辺は2なので、差は−4。この値では一致せず、この等式は実数xについての恒等式ではありません。
x=1,y=2,t=3/2のとき、(x+ty)²−(x−ty)²の値を求めてください。
答えと解説
12
ty=3なので4²−(−2)²=16−4=12。展開して得る4txyでも12です。
全ての実数xで成り立つ恒等式はどれですか。
- (2x−1)²=4x²−2x+1
- (2x−1)²=4x²−4x+1
- (2x−1)²=4x²+4x+1
- (2x−1)²=4x²−4x−1
答えと解説
(2x−1)²=4x²−4x+1
全項を展開すると4x²−4x+1です。他の三式は中間の係数か定数項が異なります。
x+y=4からx²−y²=4(x−y)を導いた説明の範囲として、適切なのはどれですか。
- 条件を外した全ての実数の組で成り立つ
- 条件に加えx≠yを満たす組だけで成り立つ
- 条件x+y=4を満たす全ての組で成り立つ
- 条件x+y=4を満たす一組だけで成り立つ
答えと解説
条件x+y=4を満たす全ての組で成り立つ
(x−y)(x+y)=4(x−y)は条件を満たす全ての場合で成り立ち、x=yの場合も含みます。条件を外した全ての実数対の主張にはしません。
二つの多項式の等式を、全ての実数xで成り立つと示す根拠として十分なのはどれですか。
- 両辺の差を全項へ展開・整理し、全ての係数が0になると示す
- x=0での両辺の値だけを比べ、一致することを示す
- 両辺の最高次の項だけを比べ、係数が一致すると示す
- 証明したい等式をそのまま使い、両辺の差が0だとする
答えと解説
両辺の差を全項へ展開・整理し、全ての係数が0になると示す
全ての係数が0なら差は0という多項式です。一例や最高次だけの一致は、一般の多項式に十分ではありません。証明したい等式を無根拠に使うことも避けます。
実数x,yについて、x²−y²=4(x−y)と同値な条件はどれですか。
- x+y=4だけ
- x=yかつx+y=4
- x−y=4だけ
- x=yまたはx+y=4
答えと解説
x=yまたはx+y=4
差を取ると(x−y)(x+y−4)=0。実数の積が0になるので、x=yまたはx+y=4です。x−yで無条件に割りません。
a/b=c/d、b≠0,d≠0です。(a−2c)/(b−2d)=a/bという結論の両辺を定義するため、新しく必要な分母の条件はどれですか。
- a−2c≠0
- b−2d≠0
- a≠0かつc≠0
- b+2d≠0
答えと解説
b−2d≠0
新しい分母b−2dが0でない条件が必要です。分子が0でも、分母が0でなければ式を定義できます。
x³−x=0はx=−1,0,1で成り立ちます。この確認から何を言えますか。
- 三つの一致から、全ての実数xで成り立つといえる
- 三つの一致から、左辺は一次以下の多項式だといえる
- 三つの一致だけでは、全ての実数xでの成立は決まらない
- 三つの一致から、x=2での左辺も0になるといえる
答えと解説
三つの一致だけでは、全ての実数xでの成立は決まらない
実際にx=2では8−2=6で0ではありません。三つで合う事実から、無条件に全ての実数へ広げることはできません。
P(x)=ax+bで、P(0)=2、P(1)=5です。全ての実数xでP(x)=3x+2と示す説明はどれですか。
- b=2、a+b=5よりa=3となり、与えられた一次以下の式に戻す
- 二つの代入で合うので、Pがどんな式でも同じ多項式だとする
- P(0)=2だけを使い、xの係数も必ず3だと決める
- どのような式の制限があっても、二つの値から式と計算過程は決まらない
答えと解説
b=2、a+b=5よりa=3となり、与えられた一次以下の式に戻す
与えられた形ax+bの二つの係数を決め、その式へ戻しています。制限のない別の式にも十分だという主張とは分けます。
考え方を説明する
A(x−2)²+B(x+1)+C=2x²−3x+7が、実数xについての恒等式になるように、実数の定数A,B,Cを求めてください。全項を展開し、全ての次数の係数を比べて決めます。得た三数を式に戻す確認と、x=0の代入による追加の確認を分けて書いてください。
答えと解説
左辺=A x²+(−4A+B)x+(4A+B+C)。A=2、−8+B=−3よりB=5、8+5+C=7よりC=−6。2(x−2)²+5(x+1)−6=2x²−8x+8+5x+5−6=2x²−3x+7なので全ての実数xで成り立つ。x=0では8+5−6=7も合うが、一例だけを一般の理由にしない。
生徒の全係数の三式・三数と式と計算過程の展開、任意のxについての理由と一例の確認の区別を見ます。
全ての実数x,yについて、(x+2y)²+(2x−y)²=5(x²+y²)を、二つの方法で証明してください。一つは左辺の展開、もう一つは左辺−右辺を計算します。各方法の全項を示し、x=1,y=3の確認も、一般の証明とは別に行ってください。
答えと解説
左辺=(x²+4xy+4y²)+(4x²−4xy+y²)=5x²+5y²=5(x²+y²)。差の方法では同じ二つの展開から5x²+5y²を引き、x²,xy,y²の全ての係数が0になる。どちらも任意の実数x,yで使える計算法則による。x=1,y=3では7²+(−1)²=50、右辺5(1+9)=50。二方法は使う展開が共通でもよい。
生徒が実際に書いた二つの全計算、消える交差項・全ての値での成立と追加の数値例を見る。二方法に独立した数学的道具までは要求しない。
実数x,yがx+y=6を満たすとき、(x−y)²=36−4xyを証明してください。条件を使う箇所を明示し、展開または差の方法で式と計算過程を書きます。条件を外したx=1,y=1では両辺を比べ、なぜ全ての実数対の恒等式とはしないかも説明してください。
答えと解説
(x−y)²=(x+y)²−4xy=6²−4xy=36−4xy。最初の等号は展開、次で条件x+y=6を使う。別解は差を計算して(x+y)²−36=0とする。条件のないx=1,y=1では左辺0、右辺32で異なる。この反例は条件付きの結論を否定せず、条件を外した主張を否定する。
生徒の全展開または差、条件を代入する箇所、条件外の反例の二値と主張の範囲を見ます。
a/b=c/d、b≠0,d≠0、b+2d≠0とします。(a+2c)/(b+2d)=a/bを、元の条件とad=bcから証明してください。aやcが0の場合も排除しません。さらにb=2,d=−1,a=4,c=−2を使い、最後の分母の条件を落とせない理由を実際の値で説明します。
答えと解説
b,dが0でないのでad=bc。b(a+2c)−a(b+2d)=2bc−2ad=0。bとb+2dが0でない条件のもとで、両辺を定義でき、交差する積の一致から結論を得る。a=c=0も許され、両辺0。指定例ではa/b=2、c/d=2で元の比例式は成立するが、b+2d=0、a+2c=0なので新しい比は0/0で未定義。
生徒の全0でない条件と積の差、0の分子を許す説明、指定例の元の二比と新しい分母・未定義を見ます。
実数x,y,zがx+2y+z=0を満たすとき、x³+8y³+z³=6xyzを証明してください。(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を使えます。条件から一文字を置き換え、中間の項を含む全展開と元の条件への対応を書きます。x=1,y=2,z=−5で両辺も確かめてください。
答えと解説
z=−x−2yより、左辺=x³+8y³−(x+2y)³=x³+8y³−x³−6x²y−12xy²−8y³=−6xy(x+2y)=6xyz。最後にz=−(x+2y)を使う。指定例は条件1+4−5=0、左辺1+64−125=−60、右辺6×1×2×(−5)=−60。これは条件を満たす全ての実数での証明で、例だけで結論を決めない。
生徒の文字の置き換え・三乗の全ての項・因数分解と条件への戻し、例の条件と両辺の実際の値を見ます。
二つの等式I：(x+1)²−(x−1)²=4x、II：(x+1)²−(x−1)²=x+6を実数xで比べます。共通の左辺を全項へ展開し、Iが恒等式である理由とIIを満たすxを求めてください。IIが合うxと合わないxを一つずつ示し、一つの一致と全ての値での成立を区別します。
答えと解説
共通の左辺=(x²+2x+1)−(x²−2x+1)=4x。Iは全ての実数xで成り立つ。IIは4x=x+6、3x=6よりx=2だけで成立し、このとき左辺8、右辺8。例えばx=0では左辺0、右辺6で不成立。IIの一例の一致から恒等式とはしない。
生徒の全項と符号、Iの任意の値での理由、IIの解と二つの具体的な比較を見ます。
友達Iは(x−1)(x+3)=x²+2x−2をx=0で「左辺−3、右辺−2だが、どちらも負なので恒等式」としました。友達IIは(x+2)²=x²+4x+4の証明で「証明したい等式が正しいので、両辺の差は0」とだけ書きました。IとIIの説明を別々に直してください。Iは正しい展開と反例、IIは全項の展開から等号の理由を実際に書きます。
答えと解説
Iの左辺はx²+2x−3で、右辺との差は−1。x=0では−3≠−2であり、同じ符号でも同じ値とは言えず、恒等式ではない。IIの主張自体は正しいが、結論を根拠にしている。左辺=x²+2x+2x+4=x²+4x+4と分配法則で示せば、全ての実数xでの証明になる。
生徒がIの不成立とIIの正しい主張に対する不足した根拠を分け、反例・全展開・任意の値での理由を直したか見ます。
実数x,yについてx²−y²=5(x−y)が成り立つ場合を全て表してください。友達はx−yで割って「x+y=5だけ」としました。差を因数分解し、積が0になる条件から直します。x=y=1とx=3,y=2を元の等式で比べ、x−yで割る方法を使える場合と使えない場合も説明してください。
答えと解説
(x−y)(x+y−5)=0なので、x=yまたはx+y=5。x=y=1では左辺0、右辺0で成り立つが和は2で、友達が落とした場合。x=3,y=2では左辺5、右辺5、x≠yかつ和5。x≠yならx−yで割って和5を導けるが、x=yの場合は0で割れず、元の等式に戻すと全て成立する。両条件の重なりも許す。
生徒の全因数と「または」、0の因数のすべての場合、二つの具体例と割れる条件を見る。「または」を排他的な意味にはしない。
P(x)=ax+bがP(1)=3、P(3)=7を満たすとします。a,bを決め、全ての実数xでのPの式を理由付きで示してください。続いてG(x)=2x+1+(x−1)(x−3)をx=1,3,2で実際に計算し、二つの一致があってもPと同じ多項式ではない理由を比べます。二つの値が十分だった条件と、Gで異なる点を説明します。
答えと解説
a+b=3、3a+b=7よりa=2,b=1なので、与えられた多項式P(x)=2x+1。G(1)=3、G(3)=7だが、G(2)=5−1=4、P(2)=5で異なる。Pは最初からax+bという一次以下の式で、その二つの係数を決めた。Gは展開するとx²−2x+4という二次式で同じ形の制限を満たさない。二値がどんな式にも十分、または常に不十分とはしない。
生徒の二つの係数の連立と式と計算過程、Gの三値とP(2)、一次以下という条件と二次の違いを見る。根の個数の一般定理は必須にしない。
sを3,5,7から一つ、tを1,2から一つ、y₀を1,2から一つ選びます。条件x+ty=sの下でx²−t²y²=s(x−ty)が成り立つことを、自分で選んだs,tの具体的な式と計算過程で証明してください。y=y₀として対応するxと両辺を計算し、条件外のx=1,y=0でも両辺を比較します。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例s=5,t=2,y₀=1なら条件x+2y=5で、x²−4y²=(x−2y)(x+2y)=5(x−2y)。x=5−2×1=3で左辺9−4=5、右辺5×1=5。条件外のx=1,y=0では左辺1、右辺5で異なる。一般に差は(x−ty)(x+ty−s)で、条件から第2因数が0になる。許された生徒の別の一例と正しい式と計算過程・比較も認め、x−tyで割らない。
生徒が選んだ三数・具体的な条件と全証明・条件を満たす実際の対と両辺・条件外の両辺を見る。一般形や作例の転記だけで生徒の別例作成とはしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)イ(イ)、冊子54・56/PDF66・68の等式を論理的に考察して証明する部分を踏まえた独自課題です。PDF68の複数の証明方法の比較と、関連する恒等式の未定係数法も確認しました。不等式の証明全体・高次方程式全体・数学Ⅱ全体・固定学年の履修は主張せず、出典の問題や図版も写していません。 · 2026-11-04
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
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準備14問は値・係数・条件と主張の範囲の確認です。主課題では生徒の全項の展開・係数比較・条件を使う箇所・0でない条件・場合分けと結論を手動確認します。T1は全係数からの恒等式、T2は二方法の実際の証明、T3は条件による置き換え、T4は比例式と新しい分母、T5は三次の全項と条件、T6は恒等式と方程式の成立範囲、T7は二つの根拠のない証明の修正、T8は割る因数が0の場合を残すこと、T9は一次という制限と異なる式の比較、T10は生徒が選んだ具体例と一般の条件付き証明を見ます。正しい別の順序・別証明を認め、準備の点数や作例の転記だけで達成を判定しません。
A(x−1)²+Bx+C=3x²+2x+5が、実数xについての恒等式です。定数Bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a(x+2)²+b(x−1)+c=2x²−3x+4が、実数xについての恒等式です。定数cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x,yはx+y=5、xy=3を満たします。x²+y²の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x,yはx−2y=3、y=−1/2を満たします。x²−4y²の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a/b=c/d=−2/3、b=9、d=3です。(a+c)/(b+d)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等式(x−1)(x+2)=x²+2について、x=0での「左辺−右辺」の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x=1,y=2,t=3/2のとき、(x+ty)²−(x−ty)²の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全ての実数xで成り立つ恒等式はどれですか。
- (2x−1)²=4x²−2x+1
- (2x−1)²=4x²−4x+1
- (2x−1)²=4x²+4x+1
- (2x−1)²=4x²−4x−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x+y=4からx²−y²=4(x−y)を導いた説明の範囲として、適切なのはどれですか。
- 条件を外した全ての実数の組で成り立つ
- 条件に加えx≠yを満たす組だけで成り立つ
- 条件x+y=4を満たす全ての組で成り立つ
- 条件x+y=4を満たす一組だけで成り立つ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの多項式の等式を、全ての実数xで成り立つと示す根拠として十分なのはどれですか。
- 両辺の差を全項へ展開・整理し、全ての係数が0になると示す
- x=0での両辺の値だけを比べ、一致することを示す
- 両辺の最高次の項だけを比べ、係数が一致すると示す
- 証明したい等式をそのまま使い、両辺の差が0だとする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x,yについて、x²−y²=4(x−y)と同値な条件はどれですか。
- x+y=4だけ
- x=yかつx+y=4
- x−y=4だけ
- x=yまたはx+y=4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a/b=c/d、b≠0,d≠0です。(a−2c)/(b−2d)=a/bという結論の両辺を定義するため、新しく必要な分母の条件はどれですか。
- a−2c≠0
- b−2d≠0
- a≠0かつc≠0
- b+2d≠0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x³−x=0はx=−1,0,1で成り立ちます。この確認から何を言えますか。
- 三つの一致から、全ての実数xで成り立つといえる
- 三つの一致から、左辺は一次以下の多項式だといえる
- 三つの一致だけでは、全ての実数xでの成立は決まらない
- 三つの一致から、x=2での左辺も0になるといえる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=ax+bで、P(0)=2、P(1)=5です。全ての実数xでP(x)=3x+2と示す説明はどれですか。
- b=2、a+b=5よりa=3となり、与えられた一次以下の式に戻す
- 二つの代入で合うので、Pがどんな式でも同じ多項式だとする
- P(0)=2だけを使い、xの係数も必ず3だと決める
- どのような式の制限があっても、二つの値から式と計算過程は決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
A(x−2)²+B(x+1)+C=2x²−3x+7が、実数xについての恒等式になるように、実数の定数A,B,Cを求めてください。全項を展開し、全ての次数の係数を比べて決めます。得た三数を式に戻す確認と、x=0の代入による追加の確認を分けて書いてください。
全ての実数x,yについて、(x+2y)²+(2x−y)²=5(x²+y²)を、二つの方法で証明してください。一つは左辺の展開、もう一つは左辺−右辺を計算します。各方法の全項を示し、x=1,y=3の確認も、一般の証明とは別に行ってください。
実数x,yがx+y=6を満たすとき、(x−y)²=36−4xyを証明してください。条件を使う箇所を明示し、展開または差の方法で式と計算過程を書きます。条件を外したx=1,y=1では両辺を比べ、なぜ全ての実数対の恒等式とはしないかも説明してください。
a/b=c/d、b≠0,d≠0、b+2d≠0とします。(a+2c)/(b+2d)=a/bを、元の条件とad=bcから証明してください。aやcが0の場合も排除しません。さらにb=2,d=−1,a=4,c=−2を使い、最後の分母の条件を落とせない理由を実際の値で説明します。
実数x,y,zがx+2y+z=0を満たすとき、x³+8y³+z³=6xyzを証明してください。(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を使えます。条件から一文字を置き換え、中間の項を含む全展開と元の条件への対応を書きます。x=1,y=2,z=−5で両辺も確かめてください。
二つの等式I：(x+1)²−(x−1)²=4x、II：(x+1)²−(x−1)²=x+6を実数xで比べます。共通の左辺を全項へ展開し、Iが恒等式である理由とIIを満たすxを求めてください。IIが合うxと合わないxを一つずつ示し、一つの一致と全ての値での成立を区別します。
友達Iは(x−1)(x+3)=x²+2x−2をx=0で「左辺−3、右辺−2だが、どちらも負なので恒等式」としました。友達IIは(x+2)²=x²+4x+4の証明で「証明したい等式が正しいので、両辺の差は0」とだけ書きました。IとIIの説明を別々に直してください。Iは正しい展開と反例、IIは全項の展開から等号の理由を実際に書きます。
実数x,yについてx²−y²=5(x−y)が成り立つ場合を全て表してください。友達はx−yで割って「x+y=5だけ」としました。差を因数分解し、積が0になる条件から直します。x=y=1とx=3,y=2を元の等式で比べ、x−yで割る方法を使える場合と使えない場合も説明してください。
P(x)=ax+bがP(1)=3、P(3)=7を満たすとします。a,bを決め、全ての実数xでのPの式を理由付きで示してください。続いてG(x)=2x+1+(x−1)(x−3)をx=1,3,2で実際に計算し、二つの一致があってもPと同じ多項式ではない理由を比べます。二つの値が十分だった条件と、Gで異なる点を説明します。
sを3,5,7から一つ、tを1,2から一つ、y₀を1,2から一つ選びます。条件x+ty=sの下でx²−t²y²=s(x−ty)が成り立つことを、自分で選んだs,tの具体的な式と計算過程で証明してください。y=y₀として対応するxと両辺を計算し、条件外のx=1,y=0でも両辺を比較します。全12条件を解く必要はありません。
解答: 恒等式と条件付きの等式を、理由を残して証明する
8
x²の係数からA=3。xの係数は−2A+B=2なのでB=8です。定数項からC=2とも確かめられます。
−15
a=2、4a+b=−3からb=−11。定数項4a−b+c=4より8+11+c=4、c=−15です。
19
x²+y²=(x+y)²−2xy=25−6=19です。
3
x=2で、x²−4y²=4−1=3。因数分解でも(x−2y)(x+2y)=3×1=3です。
−
a=−6,c=−2で、分母b+d=12は0ではありません。(−6−2)/12=−2/3です。
−4
左辺は−2、右辺は2なので、差は−4。この値では一致せず、この等式は実数xについての恒等式ではありません。
12
ty=3なので4²−(−2)²=16−4=12。展開して得る4txyでも12です。
(2x−1)²=4x²−4x+1
全項を展開すると4x²−4x+1です。他の三式は中間の係数か定数項が異なります。
条件x+y=4を満たす全ての組で成り立つ
(x−y)(x+y)=4(x−y)は条件を満たす全ての場合で成り立ち、x=yの場合も含みます。条件を外した全ての実数対の主張にはしません。
両辺の差を全項へ展開・整理し、全ての係数が0になると示す
全ての係数が0なら差は0という多項式です。一例や最高次だけの一致は、一般の多項式に十分ではありません。証明したい等式を無根拠に使うことも避けます。
x=yまたはx+y=4
差を取ると(x−y)(x+y−4)=0。実数の積が0になるので、x=yまたはx+y=4です。x−yで無条件に割りません。
b−2d≠0
新しい分母b−2dが0でない条件が必要です。分子が0でも、分母が0でなければ式を定義できます。
三つの一致だけでは、全ての実数xでの成立は決まらない
実際にx=2では8−2=6で0ではありません。三つで合う事実から、無条件に全ての実数へ広げることはできません。
b=2、a+b=5よりa=3となり、与えられた一次以下の式に戻す
与えられた形ax+bの二つの係数を決め、その式へ戻しています。制限のない別の式にも十分だという主張とは分けます。
記述問題の解答・確認の観点
A(x−2)²+B(x+1)+C=2x²−3x+7が、実数xについての恒等式になるように、実数の定数A,B,Cを求めてください。全項を展開し、全ての次数の係数を比べて決めます。得た三数を式に戻す確認と、x=0の代入による追加の確認を分けて書いてください。
左辺=A x²+(−4A+B)x+(4A+B+C)。A=2、−8+B=−3よりB=5、8+5+C=7よりC=−6。2(x−2)²+5(x+1)−6=2x²−8x+8+5x+5−6=2x²−3x+7なので全ての実数xで成り立つ。x=0では8+5−6=7も合うが、一例だけを一般の理由にしない。
生徒の全係数の三式・三数と式と計算過程の展開、任意のxについての理由と一例の確認の区別を見ます。
全ての実数x,yについて、(x+2y)²+(2x−y)²=5(x²+y²)を、二つの方法で証明してください。一つは左辺の展開、もう一つは左辺−右辺を計算します。各方法の全項を示し、x=1,y=3の確認も、一般の証明とは別に行ってください。
左辺=(x²+4xy+4y²)+(4x²−4xy+y²)=5x²+5y²=5(x²+y²)。差の方法では同じ二つの展開から5x²+5y²を引き、x²,xy,y²の全ての係数が0になる。どちらも任意の実数x,yで使える計算法則による。x=1,y=3では7²+(−1)²=50、右辺5(1+9)=50。二方法は使う展開が共通でもよい。
生徒が実際に書いた二つの全計算、消える交差項・全ての値での成立と追加の数値例を見る。二方法に独立した数学的道具までは要求しない。
実数x,yがx+y=6を満たすとき、(x−y)²=36−4xyを証明してください。条件を使う箇所を明示し、展開または差の方法で式と計算過程を書きます。条件を外したx=1,y=1では両辺を比べ、なぜ全ての実数対の恒等式とはしないかも説明してください。
(x−y)²=(x+y)²−4xy=6²−4xy=36−4xy。最初の等号は展開、次で条件x+y=6を使う。別解は差を計算して(x+y)²−36=0とする。条件のないx=1,y=1では左辺0、右辺32で異なる。この反例は条件付きの結論を否定せず、条件を外した主張を否定する。
生徒の全展開または差、条件を代入する箇所、条件外の反例の二値と主張の範囲を見ます。
a/b=c/d、b≠0,d≠0、b+2d≠0とします。(a+2c)/(b+2d)=a/bを、元の条件とad=bcから証明してください。aやcが0の場合も排除しません。さらにb=2,d=−1,a=4,c=−2を使い、最後の分母の条件を落とせない理由を実際の値で説明します。
b,dが0でないのでad=bc。b(a+2c)−a(b+2d)=2bc−2ad=0。bとb+2dが0でない条件のもとで、両辺を定義でき、交差する積の一致から結論を得る。a=c=0も許され、両辺0。指定例ではa/b=2、c/d=2で元の比例式は成立するが、b+2d=0、a+2c=0なので新しい比は0/0で未定義。
生徒の全0でない条件と積の差、0の分子を許す説明、指定例の元の二比と新しい分母・未定義を見ます。
実数x,y,zがx+2y+z=0を満たすとき、x³+8y³+z³=6xyzを証明してください。(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を使えます。条件から一文字を置き換え、中間の項を含む全展開と元の条件への対応を書きます。x=1,y=2,z=−5で両辺も確かめてください。
z=−x−2yより、左辺=x³+8y³−(x+2y)³=x³+8y³−x³−6x²y−12xy²−8y³=−6xy(x+2y)=6xyz。最後にz=−(x+2y)を使う。指定例は条件1+4−5=0、左辺1+64−125=−60、右辺6×1×2×(−5)=−60。これは条件を満たす全ての実数での証明で、例だけで結論を決めない。
生徒の文字の置き換え・三乗の全ての項・因数分解と条件への戻し、例の条件と両辺の実際の値を見ます。
二つの等式I：(x+1)²−(x−1)²=4x、II：(x+1)²−(x−1)²=x+6を実数xで比べます。共通の左辺を全項へ展開し、Iが恒等式である理由とIIを満たすxを求めてください。IIが合うxと合わないxを一つずつ示し、一つの一致と全ての値での成立を区別します。
共通の左辺=(x²+2x+1)−(x²−2x+1)=4x。Iは全ての実数xで成り立つ。IIは4x=x+6、3x=6よりx=2だけで成立し、このとき左辺8、右辺8。例えばx=0では左辺0、右辺6で不成立。IIの一例の一致から恒等式とはしない。
生徒の全項と符号、Iの任意の値での理由、IIの解と二つの具体的な比較を見ます。
友達Iは(x−1)(x+3)=x²+2x−2をx=0で「左辺−3、右辺−2だが、どちらも負なので恒等式」としました。友達IIは(x+2)²=x²+4x+4の証明で「証明したい等式が正しいので、両辺の差は0」とだけ書きました。IとIIの説明を別々に直してください。Iは正しい展開と反例、IIは全項の展開から等号の理由を実際に書きます。
Iの左辺はx²+2x−3で、右辺との差は−1。x=0では−3≠−2であり、同じ符号でも同じ値とは言えず、恒等式ではない。IIの主張自体は正しいが、結論を根拠にしている。左辺=x²+2x+2x+4=x²+4x+4と分配法則で示せば、全ての実数xでの証明になる。
生徒がIの不成立とIIの正しい主張に対する不足した根拠を分け、反例・全展開・任意の値での理由を直したか見ます。
実数x,yについてx²−y²=5(x−y)が成り立つ場合を全て表してください。友達はx−yで割って「x+y=5だけ」としました。差を因数分解し、積が0になる条件から直します。x=y=1とx=3,y=2を元の等式で比べ、x−yで割る方法を使える場合と使えない場合も説明してください。
(x−y)(x+y−5)=0なので、x=yまたはx+y=5。x=y=1では左辺0、右辺0で成り立つが和は2で、友達が落とした場合。x=3,y=2では左辺5、右辺5、x≠yかつ和5。x≠yならx−yで割って和5を導けるが、x=yの場合は0で割れず、元の等式に戻すと全て成立する。両条件の重なりも許す。
生徒の全因数と「または」、0の因数のすべての場合、二つの具体例と割れる条件を見る。「または」を排他的な意味にはしない。
P(x)=ax+bがP(1)=3、P(3)=7を満たすとします。a,bを決め、全ての実数xでのPの式を理由付きで示してください。続いてG(x)=2x+1+(x−1)(x−3)をx=1,3,2で実際に計算し、二つの一致があってもPと同じ多項式ではない理由を比べます。二つの値が十分だった条件と、Gで異なる点を説明します。
a+b=3、3a+b=7よりa=2,b=1なので、与えられた多項式P(x)=2x+1。G(1)=3、G(3)=7だが、G(2)=5−1=4、P(2)=5で異なる。Pは最初からax+bという一次以下の式で、その二つの係数を決めた。Gは展開するとx²−2x+4という二次式で同じ形の制限を満たさない。二値がどんな式にも十分、または常に不十分とはしない。
生徒の二つの係数の連立と式と計算過程、Gの三値とP(2)、一次以下という条件と二次の違いを見る。根の個数の一般定理は必須にしない。
sを3,5,7から一つ、tを1,2から一つ、y₀を1,2から一つ選びます。条件x+ty=sの下でx²−t²y²=s(x−ty)が成り立つことを、自分で選んだs,tの具体的な式と計算過程で証明してください。y=y₀として対応するxと両辺を計算し、条件外のx=1,y=0でも両辺を比較します。全12条件を解く必要はありません。
作例s=5,t=2,y₀=1なら条件x+2y=5で、x²−4y²=(x−2y)(x+2y)=5(x−2y)。x=5−2×1=3で左辺9−4=5、右辺5×1=5。条件外のx=1,y=0では左辺1、右辺5で異なる。一般に差は(x−ty)(x+ty−s)で、条件から第2因数が0になる。許された生徒の別の一例と正しい式と計算過程・比較も認め、x−tyで割らない。
生徒が選んだ三数・具体的な条件と全証明・条件を満たす実際の対と両辺・条件外の両辺を見る。一般形や作例の転記だけで生徒の別例作成とはしない。