座標で線分・直線・距離の条件を表す
内分・外分する点と直線の式を、位置と条件へ戻して確かめます。準備14問と、生徒が座標図・計算過程・距離の理由を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子57–58/PDF69–70の内分・外分・二点間の距離と直線の方程式を踏まえた独自課題です。点と直線の距離はPDF70で挙げられた考察例として扱います。円・軌跡・不等式の領域や数学Ⅱ全体、固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。
解説を読む
座標を読むだけで終わらず、図の条件を点の座標や直線の式に表します。比をどちらの点から測るか、y軸と同じ向きの直線も表せるか、距離が非負になるかを、自分の図と元の条件への代入から確かめます。
必要な予備知識
直交座標、実数・分数・平方根の計算、三平方の定理、一次関数の傾きと連立一次方程式。二点は異なるものとし、自由な座標図・直線の式と計算過程・理由は講師が手動確認します。ベクトルの既習は前提にしません。
- ここではx軸とy軸が直交し、両軸の1目盛りは同じ長さです。A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)の距離は√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)で、非負の平方根を取ります。二乗の和だけを距離としません。
- 異なる二点A,Bに対し、m,nは正の実数とします。線分ABをAP:PB=m:nに内分する点Pは((nx₁+mx₂)/(m+n),(ny₁+my₂)/(m+n))です。Aの係数はn、Bの係数はm。比の順を図へ戻して確かめます。
- 同じ比AP:PB=m:nに外分する点Pは、m≠nのとき((mx₂−nx₁)/(m−n),(my₂−ny₁)/(m−n))です。m>nならBの外側、m<nならAの外側にあります。異なるA,Bの直線AB上で、1:1に外分する有限の点は存在しません。
- 二点A,Bが異なるとき、その二点を通る直線は(y₂−y₁)(x−x₁)−(x₂−x₁)(y−y₁)=0と表せます。両方の点を代入して確かめます。x₂−x₁が0でもこの式は使えますが、傾きをその差で割っては求められません。
- 直線はAx+By+C=0で表せます。ただしA,Bは同時に0ではありません。B=0ならy軸に平行、またはy軸と一致する直線x=−C/A、A=0なら水平な直線y=−C/Bです。全ての直線をy=ax+bという一つの関数の形だけにはできません。
- 直線の方程式の全係数を同じ0でない数で倍しても同じ直線です。一部の係数だけを倍すると一般に別の直線になります。通る点や、元の条件を満たす点の集合へ戻します。
- 二直線A₁x+B₁y+C₁=0とA₂x+B₂y+C₂=0では、A₁B₂−A₂B₁=0なら同じ方向です。全係数まで同じ0でない倍率なら一致し、そうでなければ交わらない平行な二直線です。ここでは「平行で異なる」と「一致」を分けて書きます。
- 二直線が垂直となる条件はA₁A₂+B₁B₂=0です。両方の傾きが定義できる場合は傾きの積が−1になることと対応します。y軸と同じ向きの直線と水平な直線の組は、傾きを0で割らず別に確かめます。
- 点P(x₀,y₀)と直線Ax+By+C=0の距離は|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)です。分子の絶対値と正の分母を残します。垂線の足Hを、元の直線上かつPHがその直線に垂直となる点として求め、PHの長さからも確かめられます。Pが直線上なら距離は0です。
- 図は位置と式の条件を確かめる手掛かりで、見た目の長さだけを計算の根拠にしません。自動採点は準備の指定数値と選択のみ。生徒が描いた座標図、内分・外分の全座標、直線の同値な式、垂線の足と距離の理由は手動確認します。
解き方の例
A(−1,2),B(5,−2)をAP:PB=1:2に分けると、内分点は((2×(−1)+5)/3,(2×2−2)/3)=(1,2/3)、外分点は((5−2×(−1))/(1−2),(−2−2×2)/(1−2))=(−7,6)です。外分点はAの外側で、比の順を保ちます。
点P(2,−1)と直線3x+4y−7=0では、距離は|6−4−7|/5=1です。垂線の足H(13/5,−1/5)は3×13/5+4×(−1/5)−7=0を満たし、PH=√((3/5)²+(4/5)²)=1へ戻ります。
よくある間違い
- 内分の比AP:PBと、式でA・Bに掛ける重みの順を逆にする。
- 外分点を線分の内部へ置いたり、m=nでも分母0の式を使ったりする。
- 二点のx座標が等しいのに差で割り、y軸と同じ向きの直線をy=ax+bへ押し込む。
- 直線の一部の係数だけを倍し、同じ直線だとする。
- 傾きが等しいことだけで一致とし、定数項や通る点を確かめない。
- 点と直線の距離から絶対値を落とすか、直線上にない点を垂線の足として使う。
考え方を説明する
準備14問は指定した距離・座標の一成分・直線の係数や条件の選択です。主課題は生徒の座標図と比の向き、全座標・式と計算過程と元の点への代入、y軸と同じ向きの直線・水平な直線の場合、垂線の足と非負の距離を手動確認します。T1は二点と距離・中点、T2は同じ比の内分と外分、T3は重みの逆の修正、T4は一般の二点式とy軸と同じ向きの直線、T5は全係数の同じ倍率、T6は平行と一致、T7は二直線が垂直となる条件とy軸と同じ向きの直線・水平な直線の組、T8は垂線の足と二つの距離計算、T9はy軸と同じ向きの直線・水平な直線・距離0と直線でない退化式、T10は生徒の一例を見ます。0でない定数倍の式、正しい同値な分数や根号、初等幾何による正しい別解も認めます。準備点だけを主課題の達成にしません。
準備の指定した数値と選択のみを自動採点します。生徒が描く点・直線・補助線、自分で書いた式と計算過程と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。表示する三つの座標図は与えられた二点と線分で、作図を自動採点しません。新しい描画器・座標作図採点器・ベクトル前提は追加せず、生徒の達成や授業効果も主張しません。
練習する
準備の指定数値と選択だけを自動採点します。自分の座標図・式と計算過程・条件と理由は手動確認し、準備点だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
直交座標平面のA(−2,−1),B(4,7)の距離ABを求めてください。両軸の1目盛りは同じ長さです。
図を準備しています。
答えと解説
10
横の差6、縦の差8なのでAB=√(6²+8²)=√100=10です。二乗の和100と距離10を分けます。
A(−5,1),B(7,7)をAP:PB=2:1に内分する点Pのx座標を求めてください。
答えと解説
3
P=((1×(−5)+2×7)/3,(1×1+2×7)/3)=(3,5)なのでx座標は3です。
A(1,−2),B(5,4)をAP:PB=3:1に外分する点Pのy座標を求めてください。
答えと解説
7
外分点P=((3×5−1×1)/2,(3×4−1×(−2))/2)=(7,7)で、Bの外側です。
点P(1,−2)と直線3x−4y−1=0の距離を求めてください。
答えと解説
2
|3×1−4×(−2)−1|/√(3²+(−4)²)=10/5=2です。
A(−2,1),B(4,4)を通る直線をx−2y+C=0と表します。定数Cを求めてください。
答えと解説
4
Aから−2−2+C=0なのでC=4。Bでも4−8+4=0となり、異なる二点を通ります。
直線2x−3y+5=0に平行で異なり、点(1,4)を通る直線を2x−3y+C=0と表します。Cを求めてください。
答えと解説
10
2−12+C=0よりC=10。定数項5とは異なるので元の直線とは一致しません。
A(−2,3),B(5,3)の距離ABを求めてください。両軸の1目盛りは同じ長さです。
図を準備しています。
答えと解説
7
y座標が同じなのでAB=|5−(−2)|=7。平方根の公式でも√(7²+0²)=7です。
A(−3,−2),B(−3,5)の二点を通る直線はどれですか。
図を準備しています。
- y=−3
- x=−3
- y=3
- x=3
答えと解説
x=−3
二点のx座標がともに−3で、y軸に平行な直線x=−3です。yは一つの値に固定されません。
異なる二点A,Bについて、直線AB上でAP:PB=1:1に外分する有限の点Pを考えます。正しい説明はどれですか。
- 外分点は中点となり、公式の分母は2になる
- 外分点はAとなり、公式の分母は1になる
- 外分点は存在せず、公式の分母は0になる
- 外分点はBとなり、公式の分母は−1になる
答えと解説
外分点は存在せず、公式の分母は0になる
外側ではAからの距離とBからの距離が等しくならず、外分の分母m−nも0です。中点は内分点です。
Ax+By+C=0がy軸に平行、またはy軸と一致する直線を表す係数の条件はどれですか。
- A=0かつB≠0
- A=0かつB=0
- A=BかつA≠0
- B=0かつA≠0
答えと解説
B=0かつA≠0
B=0,A≠0ならx=−C/Aです。A=B=0は直線の条件を満たしません。
二直線2x−3y+4=0と4x−6y+9=0の位置関係はどれですか。
- 平行で異なる
- 同じ直線である
- 垂直に交わる
- 垂直でなく交わる
答えと解説
平行で異なる
x,yの係数は2倍ですが、定数項は8でなく9です。同じ方向で一致せず、平行な二直線です。
y軸に平行な直線x−4=0に垂直で、点(2,3)を通る直線はどれですか。
- x=2
- y=−3
- y=3
- x=−2
答えと解説
y=3
y軸に平行な直線に垂直な直線は、水平です。(2,3)を通るのでy=3です。
直線3x−4y+1=0の全係数を−2倍し、−6x+8y−2=0とします。同じ点からの距離を公式で計算したときの正しい説明はどれですか。
- 距離は2倍。分子だけが2倍になる
- 距離は半分。分母だけが2倍になる
- 距離は負。分子だけの符号が変わる
- 距離は同じ。分子と分母がともに2倍になる
答えと解説
距離は同じ。分子と分母がともに2倍になる
分子は絶対値で2倍、分母も√4=2倍になるので比は同じです。元の直線自体も変わりません。
点P(2,4)から直線x+y−2=0へ下ろした垂線の足Hはどれですか。
- H(1,1)
- H(0,2)
- H(2,0)
- H(−1,3)
答えと解説
H(0,2)
H(0,2)は直線上で、PHの傾きは1、直線の傾き−1との積が−1です。他の三点も直線上ですが、PHが垂直ではありません。
考え方を説明する
A(−3,2),B(5,8)を、同じ単位の直交座標平面へ描いてください。二点間の横・縦の差を補助線で表し、ABの長さと中点Mの全座標を求めます。Mから両端までの長さでも中点を確かめ、見た目だけを根拠にしません。
答えと解説
差は8と6なのでAB=√(64+36)=10。中点M=((−3+5)/2,(2+8)/2)=(1,5)。AM=BM=√(4²+3²)=5。生徒の直交する軸・同じ単位・三点の位置と補助線を確認する。
生徒の座標図、二乗の和と非負の平方根、全座標と両距離を手動で見る。線分の見た目の長さだけでは達成にしない。
A(−2,1),B(7,7)について、AP:PB=2:1に内分する点Pと、AR:RB=2:1に外分する点Rの全座標を求めてください。同じ座標図へ四点を描き、二つの点の位置と実際の距離の比から、比の順が同じでも位置が違う理由を説明します。
答えと解説
P=((−2+14)/3,(1+14)/3)=(4,5)。R=((14−(−2))/(2−1),(14−1)/(2−1))=(16,13)。AB=3√13、AP=2√13,PB=√13、AR=6√13,RB=3√13。Pは内部、RはBの外側で、どちらも指定した順の比は2:1。
生徒の両方の全座標、A・P・B・Rの順序と共線性、各距離と比の向きを見る。公式の数字だけや内外の取り違えを認めない。
A(0,−2),B(9,4)をAP:PB=1:2に内分する問題で、友達はAに1、Bに2を掛けてP(6,2)としました。正しい内分点の全座標を求め、正しい点と友達の点の両方についてAP:PBを実際の距離から比べてください。座標図と比の向きから、重みを取り違えた箇所を説明します。
答えと解説
正しくはP=(3,0)。AP=√13,PB=2√13で1:2。友達の点S(6,2)ではAS=2√13,SB=√13で2:1。内分点は線分の内部にあるだけでは足りず、Aの重みは2、Bの重みは1となる。
生徒の正しい全座標と両方の距離比、図の位置・比の向きを見る。友達の点も内部・直線上にあることまで誤りとはしない。
A(−2,3),B(4,−1)を通る直線と、C(5,−2),D(5,6)を通る直線の方程式をそれぞれ求め、各二点を代入して確かめてください。二点の差を使う一般の式も示し、後の二点で傾きを求める割り算ができない理由と、それでも直線を表せる理由を説明します。
答えと解説
前者は−4(x+2)−6(y−3)=0、同値な式2x+3y−5=0。Aでは−4+9−5=0、Bでは8−3−5=0。後者は8(x−5)−0(y+2)=0、すなわちx=5。C,Dともx=5。一般式は(y₂−y₁)(x−x₁)−(x₂−x₁)(y−y₁)=0。後者はxの差0なので傾きの商は定義できないが、yの差8は0でなくy軸に平行な直線を表せる。
生徒の二つの式と全四代入、二点が異なる条件、0で割らない説明を手動で見る。0でない定数倍や正しい別の導出も認める。
A(2,−1),B(6,5)を通る直線を求めてください。友達は正しい式3x−2y−8=0から「2倍だから6x−4y−8=0も同じ」としました。全係数の倍率と二点の代入から、友達の式を直し、どの条件を失ったか説明します。
答えと解説
傾き6/4=3/2から3x−2y−8=0。2倍は6x−4y−16=0。元の式はAで6+2−8=0、Bで18−10−8=0。友達の式ではAで12+4−8=8、Bで36−20−8=8となり、二点を通らない。定数項も同じ倍率が必要。
生徒の直線の導出と全係数、二点の実際の残差を見る。見た目や傾きが同じだけで同一直線とはしない。
直線l:2x−y+1=0に対し、m:4x−2y+5=0とn:−6x+3y−3=0の位置関係を、平行で異なる場合と一致する場合に分けて説明してください。さらにP(3,1)を通りlに平行で異なる直線を求め、元の点と係数の条件へ戻します。
答えと解説
mはlのx,y係数の2倍だが定数は2でなく5なので平行で異なる。nは全係数が−3倍で一致する。Pを通るものは2x−y−5=0で、6−1−5=0。定数が1でなく−5だからlとは異なる。y=2x+1とmのy=2x+5/2で、同じ傾き・異なる切片も確かめられる。
生徒が全係数まで比べたか、平行と一致を別に述べたか、求めた式と計算過程とPの実際の代入を見ます。
直線l:3x+2y−7=0に垂直でP(1,−1)を通る直線を、求めてください。係数の条件と、定義できる傾きの積からも確かめます。さらに直線x=−2に垂直で同じPを通る直線を求め、y軸に平行な直線と水平な直線の組では傾きを無理に計算しない理由を説明してください。
答えと解説
最初は2x−3y−5=0でPでは2+3−5=0。係数は3×2+2×(−3)=0、傾きは−3/2と2/3で積−1。後者は水平なy=−1。x=−2は傾きの商で分母0となるので、傾きの積を直接計算しない。y軸に平行な方向と水平な方向または係数(1,0),(0,1)で確かめる。
生徒の両式と計算過程・Pの代入・係数の条件と傾きの有効範囲を見る。傾きを単に符号反転するだけの説明にはしない。
点P(3,1)と直線l:3x+4y−3=0について、垂線の足Hの全座標を、Pを通る垂直な直線との連立から求めてください。Hがl上でPHが垂直であること、二点間の距離PHと点・直線の距離の公式が同じ値になることを、自分の座標図と全計算で示します。
答えと解説
垂直な直線は4x−3y−9=0。連立でH(9/5,−3/5)。lへの代入は27/5−12/5−3=0。PHの差は−6/5,−8/5で、PH=√(36/25+64/25)=2。距離公式も|9+4−3|/5=2。lの傾き−3/4とPHの傾き4/3の積は−1。
生徒の連立・全座標・元の直線への代入・垂直の根拠・二つの非負の距離を見る。直線上にあるだけの別の点を足とは認めない。
P(−1,4)から直線x=3と直線y=−2への垂線の足と距離を、それぞれ座標図と式で示してください。Q(3,4)からx=3への距離も求めます。さらに0x+0y+5=0と0x+0y=0が直線ではない理由を説明し、なぜ距離公式へそのまま代入できないかを示します。
答えと解説
x=3への足は(3,4)、距離|−1−3|=4。y=−2への足は(−1,−2)、距離|4−(−2)|=6。Qはx=3上なので距離0。0x+0y+5=0は満たす点なし、0x+0y=0は全平面で、どちらも直線ではない。A=B=0で距離公式の分母も0となる。
生徒の三つの位置と非負の距離、足の全座標、二つの退化式の異なる点集合と分母0の理由を見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、tを1,2から一つずつ選びます。A(a,b),B(a+3t,b+4t)を座標図へ描き、ABの長さと二点を通る直線を求めてください。AP:PB=1:2の内分点P、AR:RB=1:2の外分点Rの全座標も求め、位置を確かめます。さらにC(a+4,b−3)からその直線への距離を求め、足がAとなることとCAの長さでも確認してください。12条件全てを解く必要はありません。
答えと解説
作例a=1,b=2,t=2ならA(1,2),B(7,10)、AB=10、直線4x−3y+2=0。P(3,14/3)、R(−5,−6)でRはAの外側。C(5,−1)からの距離は|20+3+2|/5=5。CAの差は−4,3で長さ5、CAの傾き−3/4とABの傾き4/3の積は−1。一般にAB=5t、直線4x−3y+3b−4a=0、P(a+t,b+4t/3)、R(a−3t,b−4t)、Cからの距離は25/5=5。t>0でA,Bは異なる。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・同じ単位の座標図・全座標・直線と元の点の確認、内外の位置、Cからの垂直と距離を手動で見る。全12例や作例の転記は必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子57–58/PDF69–70の内分・外分・二点間の距離と直線の方程式を踏まえた独自課題です。点と直線の距離はPDF70で挙げられた考察例として扱います。円・軌跡・不等式の領域や数学Ⅱ全体、固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。 · 2026-11-04
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準備14問は指定した距離・座標の一成分・直線の係数や条件の選択です。主課題は生徒の座標図と比の向き、全座標・式と計算過程と元の点への代入、y軸と同じ向きの直線・水平な直線の場合、垂線の足と非負の距離を手動確認します。T1は二点と距離・中点、T2は同じ比の内分と外分、T3は重みの逆の修正、T4は一般の二点式とy軸と同じ向きの直線、T5は全係数の同じ倍率、T6は平行と一致、T7は二直線が垂直となる条件とy軸と同じ向きの直線・水平な直線の組、T8は垂線の足と二つの距離計算、T9はy軸と同じ向きの直線・水平な直線・距離0と直線でない退化式、T10は生徒の一例を見ます。0でない定数倍の式、正しい同値な分数や根号、初等幾何による正しい別解も認めます。準備点だけを主課題の達成にしません。
直交座標平面のA(−2,−1),B(4,7)の距離ABを求めてください。両軸の1目盛りは同じ長さです。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(−5,1),B(7,7)をAP:PB=2:1に内分する点Pのx座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(1,−2),B(5,4)をAP:PB=3:1に外分する点Pのy座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
点P(1,−2)と直線3x−4y−1=0の距離を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(−2,1),B(4,4)を通る直線をx−2y+C=0と表します。定数Cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直線2x−3y+5=0に平行で異なり、点(1,4)を通る直線を2x−3y+C=0と表します。Cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(−2,3),B(5,3)の距離ABを求めてください。両軸の1目盛りは同じ長さです。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(−3,−2),B(−3,5)の二点を通る直線はどれですか。
図を準備しています。
- y=−3
- x=−3
- y=3
- x=3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる二点A,Bについて、直線AB上でAP:PB=1:1に外分する有限の点Pを考えます。正しい説明はどれですか。
- 外分点は中点となり、公式の分母は2になる
- 外分点はAとなり、公式の分母は1になる
- 外分点は存在せず、公式の分母は0になる
- 外分点はBとなり、公式の分母は−1になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Ax+By+C=0がy軸に平行、またはy軸と一致する直線を表す係数の条件はどれですか。
- A=0かつB≠0
- A=0かつB=0
- A=BかつA≠0
- B=0かつA≠0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二直線2x−3y+4=0と4x−6y+9=0の位置関係はどれですか。
- 平行で異なる
- 同じ直線である
- 垂直に交わる
- 垂直でなく交わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y軸に平行な直線x−4=0に垂直で、点(2,3)を通る直線はどれですか。
- x=2
- y=−3
- y=3
- x=−2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直線3x−4y+1=0の全係数を−2倍し、−6x+8y−2=0とします。同じ点からの距離を公式で計算したときの正しい説明はどれですか。
- 距離は2倍。分子だけが2倍になる
- 距離は半分。分母だけが2倍になる
- 距離は負。分子だけの符号が変わる
- 距離は同じ。分子と分母がともに2倍になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
点P(2,4)から直線x+y−2=0へ下ろした垂線の足Hはどれですか。
- H(1,1)
- H(0,2)
- H(2,0)
- H(−1,3)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
A(−3,2),B(5,8)を、同じ単位の直交座標平面へ描いてください。二点間の横・縦の差を補助線で表し、ABの長さと中点Mの全座標を求めます。Mから両端までの長さでも中点を確かめ、見た目だけを根拠にしません。
A(−2,1),B(7,7)について、AP:PB=2:1に内分する点Pと、AR:RB=2:1に外分する点Rの全座標を求めてください。同じ座標図へ四点を描き、二つの点の位置と実際の距離の比から、比の順が同じでも位置が違う理由を説明します。
A(0,−2),B(9,4)をAP:PB=1:2に内分する問題で、友達はAに1、Bに2を掛けてP(6,2)としました。正しい内分点の全座標を求め、正しい点と友達の点の両方についてAP:PBを実際の距離から比べてください。座標図と比の向きから、重みを取り違えた箇所を説明します。
A(−2,3),B(4,−1)を通る直線と、C(5,−2),D(5,6)を通る直線の方程式をそれぞれ求め、各二点を代入して確かめてください。二点の差を使う一般の式も示し、後の二点で傾きを求める割り算ができない理由と、それでも直線を表せる理由を説明します。
A(2,−1),B(6,5)を通る直線を求めてください。友達は正しい式3x−2y−8=0から「2倍だから6x−4y−8=0も同じ」としました。全係数の倍率と二点の代入から、友達の式を直し、どの条件を失ったか説明します。
直線l:2x−y+1=0に対し、m:4x−2y+5=0とn:−6x+3y−3=0の位置関係を、平行で異なる場合と一致する場合に分けて説明してください。さらにP(3,1)を通りlに平行で異なる直線を求め、元の点と係数の条件へ戻します。
直線l:3x+2y−7=0に垂直でP(1,−1)を通る直線を、求めてください。係数の条件と、定義できる傾きの積からも確かめます。さらに直線x=−2に垂直で同じPを通る直線を求め、y軸に平行な直線と水平な直線の組では傾きを無理に計算しない理由を説明してください。
点P(3,1)と直線l:3x+4y−3=0について、垂線の足Hの全座標を、Pを通る垂直な直線との連立から求めてください。Hがl上でPHが垂直であること、二点間の距離PHと点・直線の距離の公式が同じ値になることを、自分の座標図と全計算で示します。
P(−1,4)から直線x=3と直線y=−2への垂線の足と距離を、それぞれ座標図と式で示してください。Q(3,4)からx=3への距離も求めます。さらに0x+0y+5=0と0x+0y=0が直線ではない理由を説明し、なぜ距離公式へそのまま代入できないかを示します。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、tを1,2から一つずつ選びます。A(a,b),B(a+3t,b+4t)を座標図へ描き、ABの長さと二点を通る直線を求めてください。AP:PB=1:2の内分点P、AR:RB=1:2の外分点Rの全座標も求め、位置を確かめます。さらにC(a+4,b−3)からその直線への距離を求め、足がAとなることとCAの長さでも確認してください。12条件全てを解く必要はありません。
解答: 座標で線分・直線・距離の条件を表す
10
横の差6、縦の差8なのでAB=√(6²+8²)=√100=10です。二乗の和100と距離10を分けます。
3
P=((1×(−5)+2×7)/3,(1×1+2×7)/3)=(3,5)なのでx座標は3です。
7
外分点P=((3×5−1×1)/2,(3×4−1×(−2))/2)=(7,7)で、Bの外側です。
2
|3×1−4×(−2)−1|/√(3²+(−4)²)=10/5=2です。
4
Aから−2−2+C=0なのでC=4。Bでも4−8+4=0となり、異なる二点を通ります。
10
2−12+C=0よりC=10。定数項5とは異なるので元の直線とは一致しません。
7
y座標が同じなのでAB=|5−(−2)|=7。平方根の公式でも√(7²+0²)=7です。
x=−3
二点のx座標がともに−3で、y軸に平行な直線x=−3です。yは一つの値に固定されません。
外分点は存在せず、公式の分母は0になる
外側ではAからの距離とBからの距離が等しくならず、外分の分母m−nも0です。中点は内分点です。
B=0かつA≠0
B=0,A≠0ならx=−C/Aです。A=B=0は直線の条件を満たしません。
平行で異なる
x,yの係数は2倍ですが、定数項は8でなく9です。同じ方向で一致せず、平行な二直線です。
y=3
y軸に平行な直線に垂直な直線は、水平です。(2,3)を通るのでy=3です。
距離は同じ。分子と分母がともに2倍になる
分子は絶対値で2倍、分母も√4=2倍になるので比は同じです。元の直線自体も変わりません。
H(0,2)
H(0,2)は直線上で、PHの傾きは1、直線の傾き−1との積が−1です。他の三点も直線上ですが、PHが垂直ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
A(−3,2),B(5,8)を、同じ単位の直交座標平面へ描いてください。二点間の横・縦の差を補助線で表し、ABの長さと中点Mの全座標を求めます。Mから両端までの長さでも中点を確かめ、見た目だけを根拠にしません。
差は8と6なのでAB=√(64+36)=10。中点M=((−3+5)/2,(2+8)/2)=(1,5)。AM=BM=√(4²+3²)=5。生徒の直交する軸・同じ単位・三点の位置と補助線を確認する。
生徒の座標図、二乗の和と非負の平方根、全座標と両距離を手動で見る。線分の見た目の長さだけでは達成にしない。
A(−2,1),B(7,7)について、AP:PB=2:1に内分する点Pと、AR:RB=2:1に外分する点Rの全座標を求めてください。同じ座標図へ四点を描き、二つの点の位置と実際の距離の比から、比の順が同じでも位置が違う理由を説明します。
P=((−2+14)/3,(1+14)/3)=(4,5)。R=((14−(−2))/(2−1),(14−1)/(2−1))=(16,13)。AB=3√13、AP=2√13,PB=√13、AR=6√13,RB=3√13。Pは内部、RはBの外側で、どちらも指定した順の比は2:1。
生徒の両方の全座標、A・P・B・Rの順序と共線性、各距離と比の向きを見る。公式の数字だけや内外の取り違えを認めない。
A(0,−2),B(9,4)をAP:PB=1:2に内分する問題で、友達はAに1、Bに2を掛けてP(6,2)としました。正しい内分点の全座標を求め、正しい点と友達の点の両方についてAP:PBを実際の距離から比べてください。座標図と比の向きから、重みを取り違えた箇所を説明します。
正しくはP=(3,0)。AP=√13,PB=2√13で1:2。友達の点S(6,2)ではAS=2√13,SB=√13で2:1。内分点は線分の内部にあるだけでは足りず、Aの重みは2、Bの重みは1となる。
生徒の正しい全座標と両方の距離比、図の位置・比の向きを見る。友達の点も内部・直線上にあることまで誤りとはしない。
A(−2,3),B(4,−1)を通る直線と、C(5,−2),D(5,6)を通る直線の方程式をそれぞれ求め、各二点を代入して確かめてください。二点の差を使う一般の式も示し、後の二点で傾きを求める割り算ができない理由と、それでも直線を表せる理由を説明します。
前者は−4(x+2)−6(y−3)=0、同値な式2x+3y−5=0。Aでは−4+9−5=0、Bでは8−3−5=0。後者は8(x−5)−0(y+2)=0、すなわちx=5。C,Dともx=5。一般式は(y₂−y₁)(x−x₁)−(x₂−x₁)(y−y₁)=0。後者はxの差0なので傾きの商は定義できないが、yの差8は0でなくy軸に平行な直線を表せる。
生徒の二つの式と全四代入、二点が異なる条件、0で割らない説明を手動で見る。0でない定数倍や正しい別の導出も認める。
A(2,−1),B(6,5)を通る直線を求めてください。友達は正しい式3x−2y−8=0から「2倍だから6x−4y−8=0も同じ」としました。全係数の倍率と二点の代入から、友達の式を直し、どの条件を失ったか説明します。
傾き6/4=3/2から3x−2y−8=0。2倍は6x−4y−16=0。元の式はAで6+2−8=0、Bで18−10−8=0。友達の式ではAで12+4−8=8、Bで36−20−8=8となり、二点を通らない。定数項も同じ倍率が必要。
生徒の直線の導出と全係数、二点の実際の残差を見る。見た目や傾きが同じだけで同一直線とはしない。
直線l:2x−y+1=0に対し、m:4x−2y+5=0とn:−6x+3y−3=0の位置関係を、平行で異なる場合と一致する場合に分けて説明してください。さらにP(3,1)を通りlに平行で異なる直線を求め、元の点と係数の条件へ戻します。
mはlのx,y係数の2倍だが定数は2でなく5なので平行で異なる。nは全係数が−3倍で一致する。Pを通るものは2x−y−5=0で、6−1−5=0。定数が1でなく−5だからlとは異なる。y=2x+1とmのy=2x+5/2で、同じ傾き・異なる切片も確かめられる。
生徒が全係数まで比べたか、平行と一致を別に述べたか、求めた式と計算過程とPの実際の代入を見ます。
直線l:3x+2y−7=0に垂直でP(1,−1)を通る直線を、求めてください。係数の条件と、定義できる傾きの積からも確かめます。さらに直線x=−2に垂直で同じPを通る直線を求め、y軸に平行な直線と水平な直線の組では傾きを無理に計算しない理由を説明してください。
最初は2x−3y−5=0でPでは2+3−5=0。係数は3×2+2×(−3)=0、傾きは−3/2と2/3で積−1。後者は水平なy=−1。x=−2は傾きの商で分母0となるので、傾きの積を直接計算しない。y軸に平行な方向と水平な方向または係数(1,0),(0,1)で確かめる。
生徒の両式と計算過程・Pの代入・係数の条件と傾きの有効範囲を見る。傾きを単に符号反転するだけの説明にはしない。
点P(3,1)と直線l:3x+4y−3=0について、垂線の足Hの全座標を、Pを通る垂直な直線との連立から求めてください。Hがl上でPHが垂直であること、二点間の距離PHと点・直線の距離の公式が同じ値になることを、自分の座標図と全計算で示します。
垂直な直線は4x−3y−9=0。連立でH(9/5,−3/5)。lへの代入は27/5−12/5−3=0。PHの差は−6/5,−8/5で、PH=√(36/25+64/25)=2。距離公式も|9+4−3|/5=2。lの傾き−3/4とPHの傾き4/3の積は−1。
生徒の連立・全座標・元の直線への代入・垂直の根拠・二つの非負の距離を見る。直線上にあるだけの別の点を足とは認めない。
P(−1,4)から直線x=3と直線y=−2への垂線の足と距離を、それぞれ座標図と式で示してください。Q(3,4)からx=3への距離も求めます。さらに0x+0y+5=0と0x+0y=0が直線ではない理由を説明し、なぜ距離公式へそのまま代入できないかを示します。
x=3への足は(3,4)、距離|−1−3|=4。y=−2への足は(−1,−2)、距離|4−(−2)|=6。Qはx=3上なので距離0。0x+0y+5=0は満たす点なし、0x+0y=0は全平面で、どちらも直線ではない。A=B=0で距離公式の分母も0となる。
生徒の三つの位置と非負の距離、足の全座標、二つの退化式の異なる点集合と分母0の理由を見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、tを1,2から一つずつ選びます。A(a,b),B(a+3t,b+4t)を座標図へ描き、ABの長さと二点を通る直線を求めてください。AP:PB=1:2の内分点P、AR:RB=1:2の外分点Rの全座標も求め、位置を確かめます。さらにC(a+4,b−3)からその直線への距離を求め、足がAとなることとCAの長さでも確認してください。12条件全てを解く必要はありません。
作例a=1,b=2,t=2ならA(1,2),B(7,10)、AB=10、直線4x−3y+2=0。P(3,14/3)、R(−5,−6)でRはAの外側。C(5,−1)からの距離は|20+3+2|/5=5。CAの差は−4,3で長さ5、CAの傾き−3/4とABの傾き4/3の積は−1。一般にAB=5t、直線4x−3y+3b−4a=0、P(a+t,b+4t/3)、R(a−3t,b−4t)、Cからの距離は25/5=5。t>0でA,Bは異なる。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・同じ単位の座標図・全座標・直線と元の点の確認、内外の位置、Cからの垂直と距離を手動で見る。全12例や作例の転記は必須にしない。