中2 数学：2回取り出す場合の数の練習問題
取り出す物を一個ずつ区別し、戻す時点と二回目に残る物を自分の樹形図や表に表します。準備14問と、具体的なすべての結果・修正・規則の説明を残す主課題10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2D(2)、冊子123–124/PDF127–128の、規則を明らかにしてすべての場合を樹形図・二次元の表で整理する範囲に沿う独自課題です。ここでは二回の取り出し方による全結果の違いを主に確かめます。一般的な樹形図だけの課題、確率の直接計算、起こらない確率を1から引く解法、複合条件の計算とは主課題を分けます。
解説を読む
二回の取り出しを一つの試行とし、結果は(一回目の物,二回目の物)で表します。一回目の直後に戻すなら、その同じ物を二回目にも取り出せます。二回目の後に初めて戻す場合は、二回目まで戻さない場合と同じです。戻さないときにも、同じ色や同じ数字の別の物が残ることがあります。色や数字だけにまとめる前に、一個ずつに別の名前を付け、規則に合うすべての結果を描きます。
必要な予備知識
二段階の樹形図・二次元の表、順序を区別した組、漏れ・重複の確認、整数の和と大小。数式だけで個数を出すのでなく、自分の枝・表の各組へ戻します。公平に取り出すとは、その時点である一個一個が同じ確からしさで選ばれる数学的な仮定です。条件付き確率・積の確率・順列や組合せの公式は要求しません。
- 最初にある物、一回目の後に戻すか、いつ戻すか、結果の順序を記録するかを先に書きます。二回の取り出し全体を一回の試行とします。
- 色や数字が同じ物にも別の名前を付けます。赤1と赤2、数字2を記した札2aと2bなどは別の物です。
- 一回目の物ごとに、二回目に実際にある物を枝や表へ書きます。一回目の直後に戻す場合は元の全て、戻さない場合はその物一個を除いたものです。
- 結果は(一回目,二回目)です。別の物A,Bなら(A,B)と(B,A)は二つの別の結果です。図の配置を変えただけで同じ結果をもう一度足しません。
- 同じ物を二度引いた(A,A)は、一回目の直後に戻せば可能、二回目まで戻さなければ不可能です。「同じ色が二度」と「同じ物を二度」を分けます。
- 色名だけの組へまとめると、一つの色の組に入る個々の結果数が違うことがあります。色の名前の組を、そのまま等しい重みのすべての場合にしません。
- 個数が合っていても、各組が規則に合うか、全ての枝やマスが一度ずつあるかを確認します。実際に何回か引いて出なかった組も、規則で許されれば起こり得る結果です。
解き方の例
区別できる札M,N,Pから一枚ずつ二回引きます。一回目の直後に戻すなら(M,M),(M,N),(M,P),(N,M),(N,N),(N,P),(P,M),(P,N),(P,P)の9組。戻さなければ同じ物を二度の3組を除く6組です。数え方の違いを、各一回目の後にある札へ戻して説明します。
円の印を持つ円a・円bと、星cの三つを、戻さず一個ずつ二回引きます。全結果は(円a,円b),(円a,星c),(円b,円a),(円b,星c),(星c,円a),(星c,円b)です。同じ物は二度ありませんが、別の円二個を引く2組は可能です。
よくある間違い
- 「戻す」とだけ読み、二回目の後なのに一回目の直後へ規則を変える。
- 戻さないときに、一回目と同じ色の物を全て消す。
- 違う物に同じ数字がある場合に、数字が等しい二回の結果まで禁止する。
- (A,B)と(B,A)を、順番を記録する試行で一つにまとめる。
- 同じ色名の組へ入る結果数を確認せず、それらは同様に確からしいとする。
- 少数回の観察に現れなかった組を、規則でも不可能だと決める。
考え方を説明する
準備14問は、二回目に残る物・すべての場合の数・同じ物と同じ属性・戻す時点の確認です。主課題10題では、生徒の全結果の樹形図・表・一覧、各物の区別、(一回目,二回目)の対応、二回目にある物、規則による枝の違い、漏れ・重複の確認、修正の理由を講師が見ます。T2,T5,T7は同じ色・図柄・数字と同じ物の区別、T4は戻す時点、T8は規則不足、T9は仮の観察と可能な全結果、T10は生徒の新しい取り出しの意味を必須にします。単独の個数や公式だけでは完了にしません。別の正しい図の配置や物の名前を認めます。
準備で正答しても、生徒が取り出し方を具体的な枝や表に表し、全結果を描いた証拠にはなりません。主課題の生徒の図・表・規則と修正理由を講師が手動で確認します。
練習する
準備では取り出し方と場合の数を確認します。主課題は自分の完全な樹形図・表・一覧と、戻す時点・残る物・順序の説明を講師が手動で見ます。個数の正答だけでは作図・説明を確認したことになりません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
札A,B,Cから二回引き、一回目の直後にその札を戻します。一回目がBのとき、二回目に引ける札は何通りですか。
答えと解説
3
Bも戻っているのでA,B,Cの3通りです。
区別できる四つの札を戻さず二回引きます。一回目の一枚を引いた後、二回目に引ける札は何通りですか。
答えと解説
3
一回目の物一枚だけを除いた3枚が残ります。
札K,L,Mから一回目の直後に戻して二回引き、順番も記録します。全結果は何通りですか。
答えと解説
9
一回目K,L,Mの各枝に二回目K,L,Mの3通りがあり、全部で9組です。
札A,B,C,Dから戻さず二回引き、順番も記録します。全結果は何通りですか。
答えと解説
12
各一回目の後に、その札以外の3枚が残り、4つの枝に各3組で12組です。
A,B,Cの札が一枚ずつあります。二回目まで戻さずに二回引くとき、不可能な結果はどれですか。
- (A,B)
- (B,A)
- (B,B)
- (C,A)
答えと解説
(B,B)
Bは一個しかなく、一回目にBを引くと二回目にはありません。
赤1,赤2,青の三個を、戻さず二回引きます。二回とも赤になる、可能な結果はどれですか。
- (赤1,赤1)
- (赤2,赤2)
- (青,青)
- (赤1,赤2)
答えと解説
(赤1,赤2)
赤1と赤2は別の物なので続けて引けます。同じ一個を二度引くことはできません。
三枚の札を一枚ずつ二回引き、「二回とも引き終わった後に戻す」と決めました。二回目の直前にある札はどうなっていますか。
- 元の三枚全部がある
- 一回目に引いた一枚を除いた二枚がある
- 一回目の札だけがある
- 札が一枚もない
答えと解説
一回目に引いた一枚を除いた二枚がある
戻すのは二回目の後なので、一回目の札は二回目の直前にはまだ戻っていません。
札P,Q,Rから戻さず二回引く樹形図で、一回目Qから続く枝の正しい札はどれですか。
- Qだけ
- P,Q,R
- P,R
- P,Q
答えと解説
P,R
Qを除いたP,Rの二枚が残ります。
数字1,4,7が一枚ずつ書かれた三枚の札を、一回目の直後に戻して二回引きます。一回目を十の位、二回目を一の位にします。同じ数字が二つ並ぶ二桁の数は何個できますか。
答えと解説
3
11,44,77の3個です。同じ札も戻せば二度使えます。
数字2の札2aと2b、数字5の札5cの三枚を、戻さず二回引きます。二回の数字が等しい、順番を記録した結果は何通りですか。
答えと解説
2
(2a,2b),(2b,2a)の2組です。5cは一枚だけなので5と5はできません。
赤1,赤2,青の三個から、一回目の直後に戻して二回引きます。二回の色が異なる、物を区別した順序付きの結果は何通りですか。
答えと解説
4
(赤1,青),(赤2,青),(青,赤1),(青,赤2)の4組です。
赤1,赤2,青の三個から、戻さず二回引きます。二回の色が異なる、物を区別した順序付きの結果は何通りですか。
答えと解説
4
異色の4組は全て別の物どうしなので、戻さなくても同じ4組が可能です。すべての場合の数は戻す場合と異なります。
赤1,赤2,青の三個を、一回目の直後に戻して二回引くとき、すべての場合を数える方法はどれですか。
- 色の組四つを同じ確からしさの四結果とする
- 一回目・二回目の物を区別した九組を数える
- 同じ色の結果を全て除く
- 順番を逆にした二組を必ず一組にまとめる
答えと解説
一回目・二回目の物を区別した九組を数える
物を区別した全9組を使います。色の組の内訳は赤赤4・赤青2・青赤2・青青1で等しくありません。
一回目の直後に戻す規則の三枚の札で、仮に数回引いた記録に同じ札二度の結果がありませんでした。正しい判断はどれですか。
- 同じ札二度は規則でも不可能
- 記録にない組はすべての場合から消す
- 次は必ず同じ札が二度出る
- 記録にないだけでは不可能といえず、戻す規則では同じ札二度も可能
答えと解説
記録にないだけでは不可能といえず、戻す規則では同じ札二度も可能
少数の観察記録と、規則で許される全結果は分けます。次の結果も決まりません。
考え方を説明する
区別できる札U,V,Wを一枚ずつ二回引き、順番を記録します。一回目の直後に戻す場合と、二回目まで戻さない場合について、完全な樹形図か表をそれぞれ作ってください。両方の全組と個数を示し、変わる枝を、二回目にある札の違いから説明します。
答えと解説
戻す場合は(U,U),(U,V),(U,W),(V,U),(V,V),(V,W),(W,U),(W,V),(W,W)の9組。戻さない場合は(U,V),(U,W),(V,U),(V,W),(W,U),(W,V)の6組。戻す場合だけ(U,U),(V,V),(W,W)が加わる。各一回目の後の札が三枚か、その札以外の二枚かを生徒の両図で説明する。
生徒の二つの完全な図と9組・6組、対応する三つの差と規則の説明を確認する。個数だけや二つの式だけでは完了にしない。
赤1,赤2,青1の三個を一個ずつ二回取り出します。一回目の直後に戻す場合と戻さない場合の全結果の表を作り、各組に色の組も添えてください。赤赤・赤青・青赤・青青の各まとまりへ何組入るかを両方で数え、色の組だけをすべての場合にしてよいか説明します。
答えと解説
戻す全9組は(赤1,赤1),(赤1,赤2),(赤1,青1),(赤2,赤1),(赤2,赤2),(赤2,青1),(青1,赤1),(青1,赤2),(青1,青1)。色別4,2,2,1組。戻さない全6組は(赤1,赤2),(赤1,青1),(赤2,赤1),(赤2,青1),(青1,赤1),(青1,赤2)。色別2,2,2,0組。戻す場合は四つの色の組の重みが等しくなく、戻さない場合には青青自体が不可能。同じ色でも物を一つずつ区別して全結果を確かめる。
生徒の全9組と6組、同じ色の別の物の区別、色別個数4,2,2,1と2,2,2,0を照合する。可能な三色組が戻さない場合には各2組なのを否定しないが、元の個々の6組との対応を残す。
数字2,4,5,9の札を一枚ずつ、戻さず二回引きます。全ての結果をまとめた自分の表の、和が10より大きい組に印を付け、すべての場合と印の個数を示してください。規則を一回目の直後に戻すものへ変えたら、新しく加わる組と、そのうち印が付く組を具体的に書き、個数を比べます。
答えと解説
戻さない全12組は(2,4),(2,5),(2,9),(4,2),(4,5),(4,9),(5,2),(5,4),(5,9),(9,2),(9,4),(9,5)。印は(2,9),(4,9),(5,9),(9,2),(9,4),(9,5)の6組。戻せば(2,2),(4,4),(5,5),(9,9)の4組が加わり全16組。和が10より大きい新しい印は(9,9)だけで合計7組。(5,5)は和10なので印に含まない。
生徒の12組・6印、規則変更で加わる四つの組と新しい一印、16と7を図へ戻して見る。和10の境界を保ち、全16組のうち個々の対応も明らかにする。
札H,J,Kから一枚ずつ二回引き、「二枚とも引いた後で二枚を戻す」と定めます。ある人は「戻すので全9組」としました。完全な樹形図か表を作って説明を直してください。二回目の直前にある札を各枝へ書き、一回目の直後に戻す別の規則との違いも示します。
答えと解説
二回目の直前は一回目の札がまだ戻っていない。全結果は(H,J),(H,K),(J,H),(J,K),(K,H),(K,J)の6組。各一回目の後に残る二枚が二回目の候補。一回目の直後に戻す規則へ変えれば(H,H),(J,J),(K,K)も可能で9組。語の「戻す」だけでなく時点が違う。
生徒の六つの組・各枝の二枚と時点、誤った9組の理由と別規則の具体的な差を見る。問題の規則を勝手に一回目の直後へ変更して元の答えを9にしない。
○a,○b,△cと名付けた三個を、戻さず二回引きます。一回目が○aの枝で「○はもう引けない」として二回目を△cだけにした図があります。全結果の図を描いて修正し、○aの後にある物と、二回とも○となる全ての組を示してください。戻す規則なら○aの後の枝がどう変わるかも説明します。
答えと解説
戻さない全6組は(○a,○b),(○a,△c),(○b,○a),(○b,△c),(△c,○a),(△c,○b)。○aの後にも別の物○bは残るので、二回目は○bと△cの二枝。二回とも○は(○a,○b),(○b,○a)の2組。戻せば○aの後には○a自身も戻り、○a,○b,△cの三枝になる。同じ図柄と同じ一個を分ける。
生徒の全6組、修正した枝の○b、二つの○○の組、戻す場合に加わる○a自身を確認する。「同じ図柄を全て除く」を個数だけでなく物の区別から直す。
数字1,5,8の札から二回引き、一回目を十の位、二回目を一の位にします。一回目の直後に戻す規則と戻さない規則でできる二桁の数の表をそれぞれ作ってください。全ての数と個数、順番を逆にした数の扱い、同じ数字が並ぶ数の違いを説明します。
答えと解説
戻す場合は11,15,18,51,55,58,81,85,88の9個。戻さない場合は15,18,51,58,81,85の6個。15と51などは十と一の位が違う別の数。同じ札を二回使う11,55,88だけが戻す場合に加わる。生徒の表で各数と二回の札を対応させる。
生徒の完全な二表と9・6、三つの同数字数、位と順番の対応が必要。順番を記録しない二枚の組へ変えて15と51をまとめない。
数字2の札2a・2bと、数字7の札7cを一枚ずつ持ち、戻さず二回引きます。ある人は「戻さないから二回の数字は必ず違う」と言いました。全結果の表を作り、数字が等しい組へ印を付けて検討してください。物の名前と数字の二列を対応させ、同じ物二度との違いを説明します。
答えと解説
全6組は(2a,2b),(2a,7c),(2b,2a),(2b,7c),(7c,2a),(7c,2b)。数字が等しいのは(2a,2b),(2b,2a)の2組で、ともに(2,2)に対応。2aと2bは別の札なので可能。同じ物二度の(2a,2a),(2b,2b),(7c,7c)は不可能で、7の札は一枚だけなので(7,7)はできない。
生徒の六組と二印、物の名前から数字への対応、言い過ぎを具体的な二組から修正した説明を見る。二つの(2,2)の元の物の結果を消さない。
「三枚の区別できる札A,B,Cを一枚ずつ二回引き、順番を記録する」とだけ書いた問題があります。戻す時点は書かれていません。不足する規則を指摘し、一回目の直後に戻す場合と二回目まで戻さない場合を自分の全結果の図で示してください。すべての場合の個数が一つに決められない理由を説明します。
答えと解説
不足は一回目の札を二回目より前に戻すかどうか。戻すと(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)の9組。戻さないと(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)の6組。両規則とも元の文を満たし個数が異なるので、追加規則なしには一つへ決められない。
生徒が足りない時点を言葉にし、二つの完全な図と違う9・6を示したかを見る。「分からない」だけや好みの一規則を勝手に選んだ答えで完了にしない。
札D,E,Fから一回目の直後に戻して二回引く規則です。説明用に作った仮の記録には(D,E),(E,F),(F,D)の三組だけがありました。ある人は「同じ札二度が記録にないのですべての場合は6組」としました。規則に合う全結果の表を作って説明を直し、仮の記録にないが可能な組を全て示してください。実際に試した結果とは扱いません。
答えと解説
規則で可能な全9組は(D,D),(D,E),(D,F),(E,D),(E,E),(E,F),(F,D),(F,E),(F,F)。仮の三記録にないのは(D,D),(D,F),(E,D),(E,E),(F,E),(F,F)の6組で、それらも可能。同じ札二度の三組も戻す規則で許される。少数回の仮の記録から、可能な全結果を6組へ減らせない。次の結果も決まらない。
生徒の全9組、仮の記録との対応と未記録六組、可能性と仮の観察の区別が必要。架空の記録を実測として書かず、未記録の個数6とすべての場合6を混同しない。
同じ属性を持つ別の物を少なくとも二個含む、合計三個の物を使った新しい二回の取り出しを考えます。一個ずつに別の名前を付け、一回目の直後に戻す規則と二回目まで戻さない規則の完全な図・表を作ってください。全組と個数、同じ物二度と同じ属性二度の違いを自分で作った具体的な組で説明します。
答えと解説
作例は音の印が高a・高b・低cの三つの区別できる札。戻す全9組は(高a,高a),(高a,高b),(高a,低c),(高b,高a),(高b,高b),(高b,低c),(低c,高a),(低c,高b),(低c,低c)。戻さない全6組は(高a,高b),(高a,低c),(高b,高a),(高b,低c),(低c,高a),(低c,高b)。(高a,高b)は別の物でも同じ属性で両規則で可能。(高a,高a)は同じ物二度で戻す場合だけ。生徒の別の意味・物・属性と有効な二図も認める。
生徒が決めた新しい三個と属性、各物の区別、二つの完全な9組・6組、具体的な同属性の別物と同一物の比較が必要。見本の名前を書き換えただけの式でなく、生徒が各枝と規則を説明する。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2D(2)、冊子123–124/PDF127–128の、規則を明らかにしてすべての場合を樹形図・二次元の表で整理する範囲に沿う独自課題です。ここでは二回の取り出し方による全結果の違いを主に確かめます。一般的な樹形図だけの課題、確率の直接計算、起こらない確率を1から引く解法、複合条件の計算とは主課題を分けます。 · 2026-11-02
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この練習問題を保存ワークシート: 戻す・戻さないの規則に合わせて、二回の全結果を描く
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/count-two-draw-outcomes-with-and-without-replacement/
準備14問は、二回目に残る物・すべての場合の数・同じ物と同じ属性・戻す時点の確認です。主課題10題では、生徒の全結果の樹形図・表・一覧、各物の区別、(一回目,二回目)の対応、二回目にある物、規則による枝の違い、漏れ・重複の確認、修正の理由を講師が見ます。T2,T5,T7は同じ色・図柄・数字と同じ物の区別、T4は戻す時点、T8は規則不足、T9は仮の観察と可能な全結果、T10は生徒の新しい取り出しの意味を必須にします。単独の個数や公式だけでは完了にしません。別の正しい図の配置や物の名前を認めます。
札A,B,Cから二回引き、一回目の直後にその札を戻します。一回目がBのとき、二回目に引ける札は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
区別できる四つの札を戻さず二回引きます。一回目の一枚を引いた後、二回目に引ける札は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
札K,L,Mから一回目の直後に戻して二回引き、順番も記録します。全結果は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
札A,B,C,Dから戻さず二回引き、順番も記録します。全結果は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,B,Cの札が一枚ずつあります。二回目まで戻さずに二回引くとき、不可能な結果はどれですか。
- (A,B)
- (B,A)
- (B,B)
- (C,A)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
赤1,赤2,青の三個を、戻さず二回引きます。二回とも赤になる、可能な結果はどれですか。
- (赤1,赤1)
- (赤2,赤2)
- (青,青)
- (赤1,赤2)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三枚の札を一枚ずつ二回引き、「二回とも引き終わった後に戻す」と決めました。二回目の直前にある札はどうなっていますか。
- 元の三枚全部がある
- 一回目に引いた一枚を除いた二枚がある
- 一回目の札だけがある
- 札が一枚もない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
札P,Q,Rから戻さず二回引く樹形図で、一回目Qから続く枝の正しい札はどれですか。
- Qだけ
- P,Q,R
- P,R
- P,Q
途中の計算・単位・理由・確認答え:
数字1,4,7が一枚ずつ書かれた三枚の札を、一回目の直後に戻して二回引きます。一回目を十の位、二回目を一の位にします。同じ数字が二つ並ぶ二桁の数は何個できますか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
数字2の札2aと2b、数字5の札5cの三枚を、戻さず二回引きます。二回の数字が等しい、順番を記録した結果は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
赤1,赤2,青の三個から、一回目の直後に戻して二回引きます。二回の色が異なる、物を区別した順序付きの結果は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
赤1,赤2,青の三個から、戻さず二回引きます。二回の色が異なる、物を区別した順序付きの結果は何通りですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
赤1,赤2,青の三個を、一回目の直後に戻して二回引くとき、すべての場合を数える方法はどれですか。
- 色の組四つを同じ確からしさの四結果とする
- 一回目・二回目の物を区別した九組を数える
- 同じ色の結果を全て除く
- 順番を逆にした二組を必ず一組にまとめる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一回目の直後に戻す規則の三枚の札で、仮に数回引いた記録に同じ札二度の結果がありませんでした。正しい判断はどれですか。
- 同じ札二度は規則でも不可能
- 記録にない組はすべての場合から消す
- 次は必ず同じ札が二度出る
- 記録にないだけでは不可能といえず、戻す規則では同じ札二度も可能
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
区別できる札U,V,Wを一枚ずつ二回引き、順番を記録します。一回目の直後に戻す場合と、二回目まで戻さない場合について、完全な樹形図か表をそれぞれ作ってください。両方の全組と個数を示し、変わる枝を、二回目にある札の違いから説明します。
赤1,赤2,青1の三個を一個ずつ二回取り出します。一回目の直後に戻す場合と戻さない場合の全結果の表を作り、各組に色の組も添えてください。赤赤・赤青・青赤・青青の各まとまりへ何組入るかを両方で数え、色の組だけをすべての場合にしてよいか説明します。
数字2,4,5,9の札を一枚ずつ、戻さず二回引きます。全ての結果をまとめた自分の表の、和が10より大きい組に印を付け、すべての場合と印の個数を示してください。規則を一回目の直後に戻すものへ変えたら、新しく加わる組と、そのうち印が付く組を具体的に書き、個数を比べます。
札H,J,Kから一枚ずつ二回引き、「二枚とも引いた後で二枚を戻す」と定めます。ある人は「戻すので全9組」としました。完全な樹形図か表を作って説明を直してください。二回目の直前にある札を各枝へ書き、一回目の直後に戻す別の規則との違いも示します。
○a,○b,△cと名付けた三個を、戻さず二回引きます。一回目が○aの枝で「○はもう引けない」として二回目を△cだけにした図があります。全結果の図を描いて修正し、○aの後にある物と、二回とも○となる全ての組を示してください。戻す規則なら○aの後の枝がどう変わるかも説明します。
数字1,5,8の札から二回引き、一回目を十の位、二回目を一の位にします。一回目の直後に戻す規則と戻さない規則でできる二桁の数の表をそれぞれ作ってください。全ての数と個数、順番を逆にした数の扱い、同じ数字が並ぶ数の違いを説明します。
数字2の札2a・2bと、数字7の札7cを一枚ずつ持ち、戻さず二回引きます。ある人は「戻さないから二回の数字は必ず違う」と言いました。全結果の表を作り、数字が等しい組へ印を付けて検討してください。物の名前と数字の二列を対応させ、同じ物二度との違いを説明します。
「三枚の区別できる札A,B,Cを一枚ずつ二回引き、順番を記録する」とだけ書いた問題があります。戻す時点は書かれていません。不足する規則を指摘し、一回目の直後に戻す場合と二回目まで戻さない場合を自分の全結果の図で示してください。すべての場合の個数が一つに決められない理由を説明します。
札D,E,Fから一回目の直後に戻して二回引く規則です。説明用に作った仮の記録には(D,E),(E,F),(F,D)の三組だけがありました。ある人は「同じ札二度が記録にないのですべての場合は6組」としました。規則に合う全結果の表を作って説明を直し、仮の記録にないが可能な組を全て示してください。実際に試した結果とは扱いません。
同じ属性を持つ別の物を少なくとも二個含む、合計三個の物を使った新しい二回の取り出しを考えます。一個ずつに別の名前を付け、一回目の直後に戻す規則と二回目まで戻さない規則の完全な図・表を作ってください。全組と個数、同じ物二度と同じ属性二度の違いを自分で作った具体的な組で説明します。
解答: 戻す・戻さないの規則に合わせて、二回の全結果を描く
3
Bも戻っているのでA,B,Cの3通りです。
3
一回目の物一枚だけを除いた3枚が残ります。
9
一回目K,L,Mの各枝に二回目K,L,Mの3通りがあり、全部で9組です。
12
各一回目の後に、その札以外の3枚が残り、4つの枝に各3組で12組です。
(B,B)
Bは一個しかなく、一回目にBを引くと二回目にはありません。
(赤1,赤2)
赤1と赤2は別の物なので続けて引けます。同じ一個を二度引くことはできません。
一回目に引いた一枚を除いた二枚がある
戻すのは二回目の後なので、一回目の札は二回目の直前にはまだ戻っていません。
P,R
Qを除いたP,Rの二枚が残ります。
3
11,44,77の3個です。同じ札も戻せば二度使えます。
2
(2a,2b),(2b,2a)の2組です。5cは一枚だけなので5と5はできません。
4
(赤1,青),(赤2,青),(青,赤1),(青,赤2)の4組です。
4
異色の4組は全て別の物どうしなので、戻さなくても同じ4組が可能です。すべての場合の数は戻す場合と異なります。
一回目・二回目の物を区別した九組を数える
物を区別した全9組を使います。色の組の内訳は赤赤4・赤青2・青赤2・青青1で等しくありません。
記録にないだけでは不可能といえず、戻す規則では同じ札二度も可能
少数の観察記録と、規則で許される全結果は分けます。次の結果も決まりません。
記述問題の解答・確認の観点
区別できる札U,V,Wを一枚ずつ二回引き、順番を記録します。一回目の直後に戻す場合と、二回目まで戻さない場合について、完全な樹形図か表をそれぞれ作ってください。両方の全組と個数を示し、変わる枝を、二回目にある札の違いから説明します。
戻す場合は(U,U),(U,V),(U,W),(V,U),(V,V),(V,W),(W,U),(W,V),(W,W)の9組。戻さない場合は(U,V),(U,W),(V,U),(V,W),(W,U),(W,V)の6組。戻す場合だけ(U,U),(V,V),(W,W)が加わる。各一回目の後の札が三枚か、その札以外の二枚かを生徒の両図で説明する。
生徒の二つの完全な図と9組・6組、対応する三つの差と規則の説明を確認する。個数だけや二つの式だけでは完了にしない。
赤1,赤2,青1の三個を一個ずつ二回取り出します。一回目の直後に戻す場合と戻さない場合の全結果の表を作り、各組に色の組も添えてください。赤赤・赤青・青赤・青青の各まとまりへ何組入るかを両方で数え、色の組だけをすべての場合にしてよいか説明します。
戻す全9組は(赤1,赤1),(赤1,赤2),(赤1,青1),(赤2,赤1),(赤2,赤2),(赤2,青1),(青1,赤1),(青1,赤2),(青1,青1)。色別4,2,2,1組。戻さない全6組は(赤1,赤2),(赤1,青1),(赤2,赤1),(赤2,青1),(青1,赤1),(青1,赤2)。色別2,2,2,0組。戻す場合は四つの色の組の重みが等しくなく、戻さない場合には青青自体が不可能。同じ色でも物を一つずつ区別して全結果を確かめる。
生徒の全9組と6組、同じ色の別の物の区別、色別個数4,2,2,1と2,2,2,0を照合する。可能な三色組が戻さない場合には各2組なのを否定しないが、元の個々の6組との対応を残す。
数字2,4,5,9の札を一枚ずつ、戻さず二回引きます。全ての結果をまとめた自分の表の、和が10より大きい組に印を付け、すべての場合と印の個数を示してください。規則を一回目の直後に戻すものへ変えたら、新しく加わる組と、そのうち印が付く組を具体的に書き、個数を比べます。
戻さない全12組は(2,4),(2,5),(2,9),(4,2),(4,5),(4,9),(5,2),(5,4),(5,9),(9,2),(9,4),(9,5)。印は(2,9),(4,9),(5,9),(9,2),(9,4),(9,5)の6組。戻せば(2,2),(4,4),(5,5),(9,9)の4組が加わり全16組。和が10より大きい新しい印は(9,9)だけで合計7組。(5,5)は和10なので印に含まない。
生徒の12組・6印、規則変更で加わる四つの組と新しい一印、16と7を図へ戻して見る。和10の境界を保ち、全16組のうち個々の対応も明らかにする。
札H,J,Kから一枚ずつ二回引き、「二枚とも引いた後で二枚を戻す」と定めます。ある人は「戻すので全9組」としました。完全な樹形図か表を作って説明を直してください。二回目の直前にある札を各枝へ書き、一回目の直後に戻す別の規則との違いも示します。
二回目の直前は一回目の札がまだ戻っていない。全結果は(H,J),(H,K),(J,H),(J,K),(K,H),(K,J)の6組。各一回目の後に残る二枚が二回目の候補。一回目の直後に戻す規則へ変えれば(H,H),(J,J),(K,K)も可能で9組。語の「戻す」だけでなく時点が違う。
生徒の六つの組・各枝の二枚と時点、誤った9組の理由と別規則の具体的な差を見る。問題の規則を勝手に一回目の直後へ変更して元の答えを9にしない。
○a,○b,△cと名付けた三個を、戻さず二回引きます。一回目が○aの枝で「○はもう引けない」として二回目を△cだけにした図があります。全結果の図を描いて修正し、○aの後にある物と、二回とも○となる全ての組を示してください。戻す規則なら○aの後の枝がどう変わるかも説明します。
戻さない全6組は(○a,○b),(○a,△c),(○b,○a),(○b,△c),(△c,○a),(△c,○b)。○aの後にも別の物○bは残るので、二回目は○bと△cの二枝。二回とも○は(○a,○b),(○b,○a)の2組。戻せば○aの後には○a自身も戻り、○a,○b,△cの三枝になる。同じ図柄と同じ一個を分ける。
生徒の全6組、修正した枝の○b、二つの○○の組、戻す場合に加わる○a自身を確認する。「同じ図柄を全て除く」を個数だけでなく物の区別から直す。
数字1,5,8の札から二回引き、一回目を十の位、二回目を一の位にします。一回目の直後に戻す規則と戻さない規則でできる二桁の数の表をそれぞれ作ってください。全ての数と個数、順番を逆にした数の扱い、同じ数字が並ぶ数の違いを説明します。
戻す場合は11,15,18,51,55,58,81,85,88の9個。戻さない場合は15,18,51,58,81,85の6個。15と51などは十と一の位が違う別の数。同じ札を二回使う11,55,88だけが戻す場合に加わる。生徒の表で各数と二回の札を対応させる。
生徒の完全な二表と9・6、三つの同数字数、位と順番の対応が必要。順番を記録しない二枚の組へ変えて15と51をまとめない。
数字2の札2a・2bと、数字7の札7cを一枚ずつ持ち、戻さず二回引きます。ある人は「戻さないから二回の数字は必ず違う」と言いました。全結果の表を作り、数字が等しい組へ印を付けて検討してください。物の名前と数字の二列を対応させ、同じ物二度との違いを説明します。
全6組は(2a,2b),(2a,7c),(2b,2a),(2b,7c),(7c,2a),(7c,2b)。数字が等しいのは(2a,2b),(2b,2a)の2組で、ともに(2,2)に対応。2aと2bは別の札なので可能。同じ物二度の(2a,2a),(2b,2b),(7c,7c)は不可能で、7の札は一枚だけなので(7,7)はできない。
生徒の六組と二印、物の名前から数字への対応、言い過ぎを具体的な二組から修正した説明を見る。二つの(2,2)の元の物の結果を消さない。
「三枚の区別できる札A,B,Cを一枚ずつ二回引き、順番を記録する」とだけ書いた問題があります。戻す時点は書かれていません。不足する規則を指摘し、一回目の直後に戻す場合と二回目まで戻さない場合を自分の全結果の図で示してください。すべての場合の個数が一つに決められない理由を説明します。
不足は一回目の札を二回目より前に戻すかどうか。戻すと(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)の9組。戻さないと(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)の6組。両規則とも元の文を満たし個数が異なるので、追加規則なしには一つへ決められない。
生徒が足りない時点を言葉にし、二つの完全な図と違う9・6を示したかを見る。「分からない」だけや好みの一規則を勝手に選んだ答えで完了にしない。
札D,E,Fから一回目の直後に戻して二回引く規則です。説明用に作った仮の記録には(D,E),(E,F),(F,D)の三組だけがありました。ある人は「同じ札二度が記録にないのですべての場合は6組」としました。規則に合う全結果の表を作って説明を直し、仮の記録にないが可能な組を全て示してください。実際に試した結果とは扱いません。
規則で可能な全9組は(D,D),(D,E),(D,F),(E,D),(E,E),(E,F),(F,D),(F,E),(F,F)。仮の三記録にないのは(D,D),(D,F),(E,D),(E,E),(F,E),(F,F)の6組で、それらも可能。同じ札二度の三組も戻す規則で許される。少数回の仮の記録から、可能な全結果を6組へ減らせない。次の結果も決まらない。
生徒の全9組、仮の記録との対応と未記録六組、可能性と仮の観察の区別が必要。架空の記録を実測として書かず、未記録の個数6とすべての場合6を混同しない。
同じ属性を持つ別の物を少なくとも二個含む、合計三個の物を使った新しい二回の取り出しを考えます。一個ずつに別の名前を付け、一回目の直後に戻す規則と二回目まで戻さない規則の完全な図・表を作ってください。全組と個数、同じ物二度と同じ属性二度の違いを自分で作った具体的な組で説明します。
作例は音の印が高a・高b・低cの三つの区別できる札。戻す全9組は(高a,高a),(高a,高b),(高a,低c),(高b,高a),(高b,高b),(高b,低c),(低c,高a),(低c,高b),(低c,低c)。戻さない全6組は(高a,高b),(高a,低c),(高b,高a),(高b,低c),(低c,高a),(低c,高b)。(高a,高b)は別の物でも同じ属性で両規則で可能。(高a,高a)は同じ物二度で戻す場合だけ。生徒の別の意味・物・属性と有効な二図も認める。
生徒が決めた新しい三個と属性、各物の区別、二つの完全な9組・6組、具体的な同属性の別物と同一物の比較が必要。見本の名前を書き換えただけの式でなく、生徒が各枝と規則を説明する。