条件付き確率の分母と向きを、集団と重みで確かめる

練習問題と解答

1. 表の札を一枚選び、Bの印があると分かりました。Aの印もある条件付き確率を答えてください。

   各札一枚ずつを区別し、16枚から公平に一枚選ぶモデル

   	Bの印あり	Bの印なし	計
   Aの印あり	4	3	7
   Aの印なし	2	7	9
   計	6	10	16

   答えと解説

   $\frac{\text{2}}{\text{3}}$

   条件側はBのある6枚、共通部分は4枚なので4/6=2/3です。

2. 表の札を一枚選び、Aの印があると分かりました。Bの印もある条件付き確率を答えてください。

   各札一枚ずつを区別し、16枚から公平に一枚選ぶモデル

   	Bの印あり	Bの印なし	計
   Aの印あり	4	3	7
   Aの印なし	2	7	9
   計	6	10	16

   答えと解説

   $\frac{\text{4}}{\text{7}}$

   今の条件側はAのある7枚で、共通部分4枚より4/7です。

3. 1〜20の整数を公平に一つ選び、5の倍数だったと分かりました。その数が偶数である条件付き確率を答えてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{1}}{\text{2}}$

   条件側5,10,15,20の4個のうち偶数は10,20の2個です。

4. 赤R1〜R4と青B1,B2の6個から、その時点の各個を公平に一個ずつ、戻さず二回引きます。一回目が赤だった条件で二回目も赤の確率を答えてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{3}}{\text{5}}$

   一回目の赤一個を除く5個のうち赤3個なので3/5です。

5. u,v,wの確率は1/6,1/3,1/2です。A={u,w}、B={u,v}としてP(A|B)を答えてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{1}}{\text{3}}$

   Bの重みは1/2、共通部分{u}は1/6なので(1/6)/(1/2)=1/3です。

6. P(B)=3/4、P(A|B)=2/5です。P(A∩B)を答えてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{3}}{\text{10}}$

   条件側の確率と条件付き確率を掛け、3/4×2/5=3/10です。

7. 1〜12の整数を公平に一つ選び、4の倍数だったと分かりました。その数が偶数である条件付き確率を答えてください。

   答えと解説

   1

   条件側4,8,12は全て偶数なので3/3=1です。

8. P(B)>0のとき、P(A|B)の定義の分母として正しいものはどれですか。

   • いつも元の全結果の個数だけ
   • 条件Bが起きる確率P(B)
   • 常にP(A)
   • A,Bの名前の数2
   答えと解説

   条件Bが起きる確率P(B)

   縦線の右側のBを条件にし、共通部分の確率をP(B)で割ります。

9. P(A)>0、P(B)>0で、P(A|B)とP(B|A)について正しい説明はどれですか。

   • どんな事象でも必ず同じ値になる
   • 共通部分が違うので分子は必ず別の事象になる
   • 二つはどんな事象でも必ず違う値になる
   • 条件側が違い、値は等しいとは限らない
   答えと解説

   条件側が違い、値は等しいとは限らない

   向きを変えると条件の集団が変わります。偶然等しい場合もあります。

10. 根元事象の起こる確率が等しくないとき、条件付き確率で必要な扱いはどれですか。

    • 共通部分の重みを条件側の重みで割る
    • 全てを同じ一個と数えればいつも正しい
    • 条件の中の最大の重みだけを答えにする
    • 結果の名前を並べ替えれば全て等確率になる
    答えと解説

    共通部分の重みを条件側の重みで割る

    重みが違えば単なる個数比にせず、定義の確率の比へ戻します。

11. P(B)=0のとき、この教材のP(A|B)=P(A∩B)/P(B)という定義で正しい判断はどれですか。

    • どんなAでも必ず0にする
    • どんなAでも必ず1にする
    • 分母が0なのでこの定義では定義できない
    • 分母を勝手に1へ置き換える
    答えと解説

    分母が0なのでこの定義では定義できない

    この定義では、条件となる事象Bの確率P(B)が正である必要があります。

12. P(B)>0で、共通部分の確率に戻す正しい恒等式はどれですか。

    • P(A∩B)=P(A)+P(B)
    • P(A∩B)=P(B)P(A|B)
    • P(A∩B)=P(B)/P(A|B)がいつも成り立つ
    • 追加条件なしにP(A∩B)=P(A)P(B)とする
    答えと解説

    P(A∩B)=P(B)P(A|B)

    定義P(A|B)=P(A∩B)/P(B)の両辺へP(B)を掛けます。

13. P(B)>0でP(A∩B)=0のとき、正しいP(A|B)はどれですか。

    • 0
    • 1
    • 分母が0だから定義できない
    • 必ずP(B)の逆数
    答えと解説

    0

    分母が正で分子0なら0です。分母も0の場合とは異なります。

14. P(A∩B)とP(A|B)を区別した正しい説明はどれですか。

    • 二つは記号が違うだけでいつも同じ値
    • P(A∩B)も必ずBの中だけを分母にする
    • P(A|B)はいつも元の全体を分母にした個数比である
    • 元の全体の共通部分の確率と、Bの下のAの確率
    答えと解説

    元の全体の共通部分の確率と、Bの下のAの確率

    同じ共通部分を見ても、比較する基準の全体を分けます。

考え方を説明する

20枚の区別できる札を公平に一枚選びます。A,B両印8枚、Aだけ4枚、Bだけ2枚、どちらもなし6枚です。2×2の表を作り、行ごと・列ごとの合計を記入して、P(A),P(B),P(A∩B),P(A|B)を求めてください。元の全体・条件側・共通部分の三つの合計と、分母が変わる理由を説明します。

24枚の区別できる札を公平に一枚選ぶモデルで、A,B両印5枚、Aだけ7枚、Bだけ3枚、どちらもなし9枚です。表を作ってP(A|B)とP(B|A)を両方求め、同じ共通部分と違う分母の集団を具体的に示してください。共通部分の無条件の確率とも比べます。

1〜18の整数を公平に一つ選びます。Aは3の倍数、Bは8より大きい数です。元の全結果とBの全結果、共通部分を示し、P(A)とP(A|B)を求めて条件前後を比較してください。分母と同様に確からしいことの根拠を説明します。

赤R1,R2,R3と青B1,B2から、その時点の各個を公平に一個ずつ、戻さず二回引きます。順序を区別した全結果の表を作り、一回目が赤という条件Bと、二回目が赤という事象Aを印で示してください。P(A|B)と無条件のP(A)を求め、残る候補と分母の違いを説明します。

別のモデルで赤R1,R2と青B1,B2を一個ずつ二回引き、一回目の直後に元の四個を全て戻します。各段階は、その時点の各個を公平に選ぶ条件です。全ての結果をまとめた自分の表から、一回目が赤という条件Bで二回目が赤というAの確率と、無条件のP(A)を求めて比べてください。

区別した結果a,b,c,dの確率は順に1/10,2/10,3/10,4/10です。A={a,c}、B={a,b,d}とします。全重みと条件内の重みを表へ整理し、P(A|B)を求めてください。Bの三結果のうち一結果だから1/3という説明を、実際の重みから確かめて直します。

1〜8の整数を公平に一つ選ぶモデルで、Aは偶数です。条件Bを9以上、別の条件Cを奇数とします。条件側と共通部分を実際に示し、P(A|B)とP(A|C)の扱いを比べてください。定義できない場合と値0を、分母・分子へ戻して説明します。

30枚の区別できる札を公平に一枚選び、A,B両印9枚、Aだけ3枚、Bだけ6枚、どちらもなし12枚です。表からP(B),P(A|B),P(A∩B)を求め、P(B)P(A|B)へ戻して確かめてください。P(A)P(B)をそのまま使った値とも比べ、なぜ同じとはできないか説明します。

1〜15の整数を公平に一つ選び、Aを3の倍数、Bを10以上とします。友達はP(A|B)=2/15とし、別の友達はP(A|B)とP(B|A)はどちらも2/6だとしました。元の全体・条件側・共通部分を一覧や表で示し、二つの文章を正しい向きと分母を含む全文へ直してください。

二次元表D1:(R,X)=3,(R,Y)=1,(S,X)=2,(S,Y)=4、D2:(R,X)=6,(R,Y)=2,(S,X)=3,(S,Y)=5、D3:(R,X)=4,(R,Y)=5,(S,X)=2,(S,Y)=7から一つ選びます。各個を区別して全体から公平に一個選ぶモデルです。Aは行RかS、条件Bは列XかYから選び、表の全合計・条件合計・共通部分からP(A|B),P(B|A),P(A∩B)を求めてください。乗法定理と元の条件へ戻して確かめます。全12条件を解く必要はありません。