組合せを対応で導き、条件と重複を確かめる
役割を付けずに選ぶ組合せで、同じ組を重複して数えない方法と、一つの組に対応する並び方を調べます。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子91〜93/PDF103〜105の具体的な表・樹形図や一対一対応から組合せを導く考察を踏まえた独自課題です。数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。重複を許す組合せや無名の同人数グループ分けの全分類を新たな必須条件とせず、元の問題・図版は写していません。
解説を読む
同じ対象でも、並べるのか、役割を付けず選ぶのかで一つの結果が変わります。一つの組に何通りの並びが対応するかから組合せを導き、必ず含む・除く・カテゴリの人数などの条件を具体的な集合へ戻します。
必要な予備知識
小中学の系統的な列挙、異なる対象の区別、和と積の法則と、重複なしの順列nPr・階乗。無順序の選択で0≦r≦nの小さい整数を扱い、0!=1です。自分の全組・対応と導出は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
- 役割のない選択では、同じ対象の入れ替えは同じ一つの組です。ABCとACBなどを別の組にせず、何を同じ結果とするかを先に決めます。役割や位置が違う順列とは区別します。
- 異なるn個から異なるr個を選ぶ一つの組には、そのr個を順に並べたr!通りが対応します。どの組も同じr!通りなので、組合せの総数はnCr=nPr/r!=n!/{r!(n−r)!}です。rで一度だけ割るのではありません。
- 全組を決まった順に整理すれば重複を防げます。文字を辞書順へそろえて書くのは同じ組を照合する一つの方法であり、正しい別の整理も認めます。
- r=0なら何も選ばない空の選択が一つ、r=nなら全てを選ぶ一つです。nC0=nCn=1で、何も選ばないことを0通りとはしません。
- 特定の一人を必ず含むなら、その一人を先に固定し、残るn−1人からr−1人を選びます。固定した一人を残りの候補にも入れません。
- 特定の一人を除くなら残るn−1人からr人を選べます。同じr人の全選択から、その一人を含む選択を引く方法とも照合できます。
- 区別された二カテゴリから指定人数ずつ選ぶなら、それぞれの組合せを掛けます。完成した組から各カテゴリの選択へ一つに戻せることを確認し、役割のない組の内部順序は掛けません。
- 「少なくとも一人」は、同じ全選択から「一人もいない」を引いて求められます。人数ごとの場合分けでも、重ならず全てを尽くす各場合を足せます。
- 同じn個で、選んだr個を残るn−r個に対応させると一対一です。どちらか一方が決まれば他方も決まるのでnCr=nC(n−r)です。
- 人数や式だけでなく、全組・重複を除く対応・元の条件を確かめます。長い全リストだけを強制せず、必要な情報を保つ表や場合分けと正しい別解も認めます。
解き方の例
異なる6枚A,B,C,D,E,Fから役割なく2枚を選びます。一つの組ABには並びABとBAの2!=2通りが対応します。全順列6P2=30を2で割り、6C2=15通り。文字の順をそろえたAB,AC,…という表で同じ二枚を重ねて数えないことも確認できます。
赤の区別できる3枚と青の区別できる4枚から、一枚ずつ役割なく選びます。赤3C1=3と青4C1=4の選択が一つの組へ対応するので12通り。赤青を並べる順番は条件にないので、さらに2倍しません。
よくある間違い
- 役割のないABCとACBを、順序が違うからと別の組にする。
- 同じr個の並びをまとめるのにr!でなくrだけで割る。
- 必ず含む一人を、残りの候補から除かず再び選べることにする。
- カテゴリごとの人数の条件を落として、全員から同じ人数を選ぶ数だけを答える。
- 少なくともとちょうどを混ぜ、同じ全体でない選択を引く。
- 空の選択を0通りとし、選ぶ側と残す側の一対一対応を確かめない。
考え方を説明する
準備14問は短い組合せ計算と、順序・人数条件の確認です。主課題では生徒の同じ組の基準、全組または漏れ重複のない場合分け、一つの組にr!通りが対応する理由、元の条件と式への検算を手動確認します。T1全組、T2順列を同じ組へまとめる対応、T3必ず含む、T4除く二方法、T5カテゴリ別の積、T6少なくとも、T7人数のすべての場合、T8補集合の一対一対応、T9二つの誤った数え方の全文修正、T10生徒の選択条件を見ます。正しい別解・整理した表を認め、最終の数だけで生徒の導出を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の全組・表と対応の証明は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい組合せソルバーや自由な図の自動採点、重複を許す組合せ・無名グループ分けの全分類、実際の生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択を自動採点します。自分の全組・場合分けと重複を除く対応は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
異なる7人から役割のない3人組を選びます。通り数を答えてください。
答えと解説
35
7C3=(7×6×5)/(3×2×1)=35通りです。
異なる8枚から役割なく2枚を選び、同じ二枚の交換は同じ組とします。通り数を答えてください。
答えと解説
28
8C2=8×7/2=28通りです。
異なる9個から役割なく4個を選びます。9C4の値を答えてください。
答えと解説
126
9×8×7×6÷(4×3×2×1)=126通りです。
異なる6人から役割のない3人組を選び、Aを必ず含めます。通り数を答えてください。
答えと解説
10
Aを固定し、残る5人から2人を選ぶ5C2=10通りです。
異なる7人から役割のない3人組を選び、Bを含めません。通り数を答えてください。
答えと解説
20
Bを除く6人から3人を選ぶ6C3=20通りです。
区別できる赤3枚と緑6枚から、赤1枚・緑2枚を役割なく選びます。通り数を答えてください。
答えと解説
45
3C1×6C2=3×15=45通りで、組の内部順序を掛けません。
異なる8人から役割のない4人組を選び、指定したA,B,Cの少なくとも一人を含めます。通り数を答えてください。
答えと解説
65
全8C4=70からA,B,Cを一人も含まない5C4=5を引き、65通りです。
役割なく三人A,B,Cを選んだ同じ組として、正しく扱っているものはどれですか。
- ABCとACBは必ず別の組とする
- 選んだ順番を記録しない場合も必ず6通りに分ける
- ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAを同じ一つの三人組へまとめる
- 同じ組を表記する順番だけで選んだ人数が変わる
答えと解説
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAを同じ一つの三人組へまとめる
選択に役割や位置がなければ、六つの内部順序は同じ組です。
異なるn個からr個を順に並べた結果を、役割のない同じr個の組へまとめます。各組に対応する並びから正しく導く式はどれですか。
- nCr=nPr/r!
- nCr=nPr/r
- nCr=nPr×r!
- nCr=nPr/(n−r)!
答えと解説
nCr=nPr/r!
一つの組にr!通りが一様に対応するので、その数で割ります。
赤の区別できる5枚と青の区別できる6枚から、赤2枚・青1枚を役割なく選ぶ正しい数え方はどれですか。
- 5+6=11
- 5×6=30
- 11C3=165
- 5C2×6C1=60
答えと解説
5C2×6C1=60
カテゴリの指定人数を保ち、赤の組と青の組を一つずつ対応させます。
異なる8人から役割のない3人組を選び、Aを必ず含めるとき、残りを選ぶ正しい式はどれですか。
- 8C3
- 7C2
- 7C3
- 8P2
答えと解説
7C2
固定したA以外の7人から残り2人を選びます。
異なる6個から0個を選ぶ場合と、6個全部を役割なく選ぶ場合の通り数はどれですか。
- 0通りと720通り
- 1通りと720通り
- 1通りと1通り
- 6通りと6通り
答えと解説
1通りと1通り
空の選択も、全てを選ぶ選択も一つです。内部の並びは数えません。
同じn個から選ぶr個と、選ばず残るn−r個の対応から正しく言えることはどれですか。
- 一方の選択から他方は決まらない
- 役割がなくても残る個数の階乗を必ず掛ける
- いつもnCr=nPrである
- nCr=nC(n−r)で、選ぶ組と残る組が一対一に対応する
答えと解説
nCr=nC(n−r)で、選ぶ組と残る組が一対一に対応する
選んだ側が決まれば同じ全体で残る側も一意に決まり、逆も同じです。
異なる6人から2人を役割なく選び、A,Bの少なくとも一人を含める場合の正しい式はどれですか。
- 6C2−4C2
- 6C2+4C2
- 6C2−2C2
- 6C2×4C2
答えと解説
6C2−4C2
同じ2人組の全体から、A,Bを両方とも含まない4人からの2人組を引きます。
考え方を説明する
異なる6人A,B,C,D,E,Fから役割のない3人組を選びます。全ての組を、同じ三人を重ねて数えない表や一覧へ整理してください。通り数と6C3を導き、ABCとACBを同じ組にする基準、漏れ・重複がない理由を説明します。
答えと解説
全組はABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEFの20。6C3=6P3/3!=120/6=20。生徒の全20組または同じ情報の圧縮した表と、同じ三人を一度にする基準・全候補の網羅を確認する。
役割や位置がないため、内部の順序を変えただけの表記を重ねない。
異なる5枚P,Q,R,S,Tから役割なく3枚を選ぶ場合と、3枚を順に並べる場合を対応表で比べてください。全ての無順序の組を示し、一つの組の内部の全並びを実際に書いて、どの組も同じ数の並びに対応する理由と、5C3の導出を残します。全60行の列挙は必要ありません。
答えと解説
無順序の組はPQR,PQS,PQT,PRS,PRT,PST,QRS,QRT,QST,RSTの10。一つPQRの内部はPQR,PRQ,QPR,QRP,RPQ,RQPの3!=6並び。どの組も異なる三枚なので同様に6通り、異なる組の並びは重ならない。全順列5P3=60より5C3=60/6=10。生徒の十組と実際の六並び・一般の対応を見る。
r!で割る理由を、一つの実際の組の全並びと残りの組への同じ対応で説明する。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない4人組を選び、Aを必ず含めます。残りの候補と選ぶ人数を決め、元の4人組と残りからの選択の一対一対応を具体例と理由で示して通り数を求めてください。固定したAを二度使いません。
答えと解説
A以外の7人から3人を選び7C3=35。残りの三人にAを加えれば元の4人組へ戻り、元の4人組からAを外せば一意に戻る。例BCF↔ABCF。生徒の条件・往復の対応と式を見る。
必ず含む一人を固定し、残りでr−1人を選ぶ意味を元の組に戻す。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない3人組を選び、Dを含めません。Dを除いて直接選ぶ方法と、全ての3人組からDを含む場合を引く方法を比べ、同じ全体を使う理由と元の条件への検算を残してください。
答えと解説
直接はD以外の7人から3人で7C3=35。全体8C3=56からDを含む7C2=21を引いても35。含む組と含まない組が同じ三人組の全体を重ならず分ける。生徒の二つの候補・人数の条件と二式を見る。
4人組や順列を引かず、同じ三人組の全体と部分をそろえる。
赤の区別できる4枚R1〜R4と、青の区別できる5枚B1〜B5から、赤2枚・青1枚を役割なく選びます。赤の全組と青の候補の表から総数を求め、完成した選択から二カテゴリの元の選択へ戻せることと、余分な内部順序を掛けない理由を説明してください。
答えと解説
赤の二枚組はR1R2,R1R3,R1R4,R2R3,R2R4,R3R4の6、青は5。6×5=30。赤の組と青一枚から一つの三枚選択へ戻り、完成した選択の色で二つを一意に復元できる。三枚の内部順序は選択条件にないので3!などを掛けない。生徒の六組・五候補と対応を見る。
同じ色の対象も区別し、指定人数を保って各カテゴリの選択を掛ける。
異なる7人A,B,C,D,E,F,Gから役割のない3人組を選び、A,Bの少なくとも一人を含めます。一人も含まない場合を引く方法と、ちょうど一人・二人に分ける方法の二つを表や図と式で示し、漏れ・重複と元の条件を確かめてください。
答えと解説
全体7C3=35からA,Bを一人も含まない5C3=10を引いて25。ちょうど一人は2C1×5C2=20、両方は2C2×5C1=5で25。二場合はA,Bの人数が異なり重ならず、少なくとも一人を尽くす。生徒の二方法・カテゴリ人数と同じ全体への照合を見る。
少なくともをちょうど一人に狭めず、A,B両方を含む五組も数える。
赤の区別できる3枚R1〜R3と、青の区別できる5枚B1〜B5から、役割なく4枚を選びます。選ぶ赤の人数のすべての場合で表を作り、各場合の赤・青の組合せと小計、合計を求めてください。二色を合わせて全体から選ぶ値とも照合し、各場合が重ならず尽くされる理由を説明します。
答えと解説
赤人数k=0,1,2,3に対し青は4−k枚。小計は3C0×5C4=5、3C1×5C3=30、3C2×5C2=30、3C3×5C1=5で計70。全8C4=70と一致。赤は最大3枚ですべての場合はこの四つ、赤人数が違う場合は重ならない。生徒の全四行と実際の色の人数を見る。
対象の個数で可能な人数のすべての場合を決め、同じ大きさの無順序の選択を足す。
異なる8枚A,B,C,D,E,F,G,Hから役割なく3枚を選ぶ組と、選ばず残る5枚の組を対応させてください。具体的な一組の往復と、どの組でも一意に戻る理由を示し、8C3=8C5を導いて両方の値も求めます。全56行の列挙は必要ありません。
答えと解説
例ACF↔BDEGH。固定した全八枚で、三枚を決めれば残り五枚が一意、残り五枚からその補集合の三枚も一意。よって一対一で8C3=8C5=56。生徒の具体的な補集合・往復と一般の理由、元の八枚を尽くす確認を見る。
並べる順序を付けず、同じ全体の選ぶ側と残す側を対応させる。
友達は異なる7人から役割のない4人組について、「順に選ぶ7P4=840通りだ」とし、別の友達は「同じ組の重複を4で割れば840÷4=210通りだ」としました。一つの四人組の内部の並びとの対応で二つの主張を調べ、正しい割る数・通り数と理由を含む全文へ直してください。
答えと解説
一つの四人組の内部の全ての並びは4!=24通りで、どの四人組も同じ24通りへ対応する。7P4=840は順序を区別し過大、4で一度割るだけでも内部24通りをまとめ切れない。正しくは7C4=840/24=35。生徒の一つの組の位置ごとの4×3×2×1と、組が違えば並びも重ならない理由・二つの全文修正を見る。全840行を強制しない。
人数4と内部の並び24を区別し、役割なしの同じ組に何通りが対応するかに戻す。
集合D1={A,B,C,D,E}、D2={J,K,L,M,N,P}、D3={R,S,T,U,V,W,X}から一つ、選ぶ人数を2か3から選びます。条件は各集合の最初の一人（A,J,R）を必ず含むか、含まないかのどちらかで、役割は付けません。自分で問題を作り、候補と人数・全組または漏れのない対応と式、無条件の同じ人数の全体との比較を残してください。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例D2・3人・Jを含まないならJ以外の五人から3人で5C3=10。無条件6C3=20、Jを含む5C2=10と合わせ20。許された12条件と正しい別解を認め、生徒の集合・最初の一人・選ぶ人数・条件と、同じ組の区別・全候補への戻しを確認する。
生徒が選んだ実際の条件と対応を示し、講師の作例だけを生徒の数え方としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子91〜93/PDF103〜105の具体的な表・樹形図や一対一対応から組合せを導く考察を踏まえた独自課題です。数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。重複を許す組合せや無名の同人数グループ分けの全分類を新たな必須条件とせず、元の問題・図版は写していません。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/derive-unordered-combinations-and-avoid-duplicate-selections/
準備14問は短い組合せ計算と、順序・人数条件の確認です。主課題では生徒の同じ組の基準、全組または漏れ重複のない場合分け、一つの組にr!通りが対応する理由、元の条件と式への検算を手動確認します。T1全組、T2順列を同じ組へまとめる対応、T3必ず含む、T4除く二方法、T5カテゴリ別の積、T6少なくとも、T7人数のすべての場合、T8補集合の一対一対応、T9二つの誤った数え方の全文修正、T10生徒の選択条件を見ます。正しい別解・整理した表を認め、最終の数だけで生徒の導出を判定しません。
異なる7人から役割のない3人組を選びます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる8枚から役割なく2枚を選び、同じ二枚の交換は同じ組とします。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる9個から役割なく4個を選びます。9C4の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる6人から役割のない3人組を選び、Aを必ず含めます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる7人から役割のない3人組を選び、Bを含めません。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
区別できる赤3枚と緑6枚から、赤1枚・緑2枚を役割なく選びます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる8人から役割のない4人組を選び、指定したA,B,Cの少なくとも一人を含めます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
役割なく三人A,B,Cを選んだ同じ組として、正しく扱っているものはどれですか。
- ABCとACBは必ず別の組とする
- 選んだ順番を記録しない場合も必ず6通りに分ける
- ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAを同じ一つの三人組へまとめる
- 同じ組を表記する順番だけで選んだ人数が変わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なるn個からr個を順に並べた結果を、役割のない同じr個の組へまとめます。各組に対応する並びから正しく導く式はどれですか。
- nCr=nPr/r!
- nCr=nPr/r
- nCr=nPr×r!
- nCr=nPr/(n−r)!
途中の計算・単位・理由・確認答え:
赤の区別できる5枚と青の区別できる6枚から、赤2枚・青1枚を役割なく選ぶ正しい数え方はどれですか。
- 5+6=11
- 5×6=30
- 11C3=165
- 5C2×6C1=60
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる8人から役割のない3人組を選び、Aを必ず含めるとき、残りを選ぶ正しい式はどれですか。
- 8C3
- 7C2
- 7C3
- 8P2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる6個から0個を選ぶ場合と、6個全部を役割なく選ぶ場合の通り数はどれですか。
- 0通りと720通り
- 1通りと720通り
- 1通りと1通り
- 6通りと6通り
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じn個から選ぶr個と、選ばず残るn−r個の対応から正しく言えることはどれですか。
- 一方の選択から他方は決まらない
- 役割がなくても残る個数の階乗を必ず掛ける
- いつもnCr=nPrである
- nCr=nC(n−r)で、選ぶ組と残る組が一対一に対応する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる6人から2人を役割なく選び、A,Bの少なくとも一人を含める場合の正しい式はどれですか。
- 6C2−4C2
- 6C2+4C2
- 6C2−2C2
- 6C2×4C2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
異なる6人A,B,C,D,E,Fから役割のない3人組を選びます。全ての組を、同じ三人を重ねて数えない表や一覧へ整理してください。通り数と6C3を導き、ABCとACBを同じ組にする基準、漏れ・重複がない理由を説明します。
異なる5枚P,Q,R,S,Tから役割なく3枚を選ぶ場合と、3枚を順に並べる場合を対応表で比べてください。全ての無順序の組を示し、一つの組の内部の全並びを実際に書いて、どの組も同じ数の並びに対応する理由と、5C3の導出を残します。全60行の列挙は必要ありません。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない4人組を選び、Aを必ず含めます。残りの候補と選ぶ人数を決め、元の4人組と残りからの選択の一対一対応を具体例と理由で示して通り数を求めてください。固定したAを二度使いません。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない3人組を選び、Dを含めません。Dを除いて直接選ぶ方法と、全ての3人組からDを含む場合を引く方法を比べ、同じ全体を使う理由と元の条件への検算を残してください。
赤の区別できる4枚R1〜R4と、青の区別できる5枚B1〜B5から、赤2枚・青1枚を役割なく選びます。赤の全組と青の候補の表から総数を求め、完成した選択から二カテゴリの元の選択へ戻せることと、余分な内部順序を掛けない理由を説明してください。
異なる7人A,B,C,D,E,F,Gから役割のない3人組を選び、A,Bの少なくとも一人を含めます。一人も含まない場合を引く方法と、ちょうど一人・二人に分ける方法の二つを表や図と式で示し、漏れ・重複と元の条件を確かめてください。
赤の区別できる3枚R1〜R3と、青の区別できる5枚B1〜B5から、役割なく4枚を選びます。選ぶ赤の人数のすべての場合で表を作り、各場合の赤・青の組合せと小計、合計を求めてください。二色を合わせて全体から選ぶ値とも照合し、各場合が重ならず尽くされる理由を説明します。
異なる8枚A,B,C,D,E,F,G,Hから役割なく3枚を選ぶ組と、選ばず残る5枚の組を対応させてください。具体的な一組の往復と、どの組でも一意に戻る理由を示し、8C3=8C5を導いて両方の値も求めます。全56行の列挙は必要ありません。
友達は異なる7人から役割のない4人組について、「順に選ぶ7P4=840通りだ」とし、別の友達は「同じ組の重複を4で割れば840÷4=210通りだ」としました。一つの四人組の内部の並びとの対応で二つの主張を調べ、正しい割る数・通り数と理由を含む全文へ直してください。
集合D1={A,B,C,D,E}、D2={J,K,L,M,N,P}、D3={R,S,T,U,V,W,X}から一つ、選ぶ人数を2か3から選びます。条件は各集合の最初の一人（A,J,R）を必ず含むか、含まないかのどちらかで、役割は付けません。自分で問題を作り、候補と人数・全組または漏れのない対応と式、無条件の同じ人数の全体との比較を残してください。全12条件を解く必要はありません。
解答: 組合せを対応で導き、条件と重複を確かめる
35
7C3=(7×6×5)/(3×2×1)=35通りです。
28
8C2=8×7/2=28通りです。
126
9×8×7×6÷(4×3×2×1)=126通りです。
10
Aを固定し、残る5人から2人を選ぶ5C2=10通りです。
20
Bを除く6人から3人を選ぶ6C3=20通りです。
45
3C1×6C2=3×15=45通りで、組の内部順序を掛けません。
65
全8C4=70からA,B,Cを一人も含まない5C4=5を引き、65通りです。
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAを同じ一つの三人組へまとめる
選択に役割や位置がなければ、六つの内部順序は同じ組です。
nCr=nPr/r!
一つの組にr!通りが一様に対応するので、その数で割ります。
5C2×6C1=60
カテゴリの指定人数を保ち、赤の組と青の組を一つずつ対応させます。
7C2
固定したA以外の7人から残り2人を選びます。
1通りと1通り
空の選択も、全てを選ぶ選択も一つです。内部の並びは数えません。
nCr=nC(n−r)で、選ぶ組と残る組が一対一に対応する
選んだ側が決まれば同じ全体で残る側も一意に決まり、逆も同じです。
6C2−4C2
同じ2人組の全体から、A,Bを両方とも含まない4人からの2人組を引きます。
記述問題の解答・確認の観点
異なる6人A,B,C,D,E,Fから役割のない3人組を選びます。全ての組を、同じ三人を重ねて数えない表や一覧へ整理してください。通り数と6C3を導き、ABCとACBを同じ組にする基準、漏れ・重複がない理由を説明します。
全組はABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEFの20。6C3=6P3/3!=120/6=20。生徒の全20組または同じ情報の圧縮した表と、同じ三人を一度にする基準・全候補の網羅を確認する。
役割や位置がないため、内部の順序を変えただけの表記を重ねない。
異なる5枚P,Q,R,S,Tから役割なく3枚を選ぶ場合と、3枚を順に並べる場合を対応表で比べてください。全ての無順序の組を示し、一つの組の内部の全並びを実際に書いて、どの組も同じ数の並びに対応する理由と、5C3の導出を残します。全60行の列挙は必要ありません。
無順序の組はPQR,PQS,PQT,PRS,PRT,PST,QRS,QRT,QST,RSTの10。一つPQRの内部はPQR,PRQ,QPR,QRP,RPQ,RQPの3!=6並び。どの組も異なる三枚なので同様に6通り、異なる組の並びは重ならない。全順列5P3=60より5C3=60/6=10。生徒の十組と実際の六並び・一般の対応を見る。
r!で割る理由を、一つの実際の組の全並びと残りの組への同じ対応で説明する。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない4人組を選び、Aを必ず含めます。残りの候補と選ぶ人数を決め、元の4人組と残りからの選択の一対一対応を具体例と理由で示して通り数を求めてください。固定したAを二度使いません。
A以外の7人から3人を選び7C3=35。残りの三人にAを加えれば元の4人組へ戻り、元の4人組からAを外せば一意に戻る。例BCF↔ABCF。生徒の条件・往復の対応と式を見る。
必ず含む一人を固定し、残りでr−1人を選ぶ意味を元の組に戻す。
異なる8人A,B,C,D,E,F,G,Hから役割のない3人組を選び、Dを含めません。Dを除いて直接選ぶ方法と、全ての3人組からDを含む場合を引く方法を比べ、同じ全体を使う理由と元の条件への検算を残してください。
直接はD以外の7人から3人で7C3=35。全体8C3=56からDを含む7C2=21を引いても35。含む組と含まない組が同じ三人組の全体を重ならず分ける。生徒の二つの候補・人数の条件と二式を見る。
4人組や順列を引かず、同じ三人組の全体と部分をそろえる。
赤の区別できる4枚R1〜R4と、青の区別できる5枚B1〜B5から、赤2枚・青1枚を役割なく選びます。赤の全組と青の候補の表から総数を求め、完成した選択から二カテゴリの元の選択へ戻せることと、余分な内部順序を掛けない理由を説明してください。
赤の二枚組はR1R2,R1R3,R1R4,R2R3,R2R4,R3R4の6、青は5。6×5=30。赤の組と青一枚から一つの三枚選択へ戻り、完成した選択の色で二つを一意に復元できる。三枚の内部順序は選択条件にないので3!などを掛けない。生徒の六組・五候補と対応を見る。
同じ色の対象も区別し、指定人数を保って各カテゴリの選択を掛ける。
異なる7人A,B,C,D,E,F,Gから役割のない3人組を選び、A,Bの少なくとも一人を含めます。一人も含まない場合を引く方法と、ちょうど一人・二人に分ける方法の二つを表や図と式で示し、漏れ・重複と元の条件を確かめてください。
全体7C3=35からA,Bを一人も含まない5C3=10を引いて25。ちょうど一人は2C1×5C2=20、両方は2C2×5C1=5で25。二場合はA,Bの人数が異なり重ならず、少なくとも一人を尽くす。生徒の二方法・カテゴリ人数と同じ全体への照合を見る。
少なくともをちょうど一人に狭めず、A,B両方を含む五組も数える。
赤の区別できる3枚R1〜R3と、青の区別できる5枚B1〜B5から、役割なく4枚を選びます。選ぶ赤の人数のすべての場合で表を作り、各場合の赤・青の組合せと小計、合計を求めてください。二色を合わせて全体から選ぶ値とも照合し、各場合が重ならず尽くされる理由を説明します。
赤人数k=0,1,2,3に対し青は4−k枚。小計は3C0×5C4=5、3C1×5C3=30、3C2×5C2=30、3C3×5C1=5で計70。全8C4=70と一致。赤は最大3枚ですべての場合はこの四つ、赤人数が違う場合は重ならない。生徒の全四行と実際の色の人数を見る。
対象の個数で可能な人数のすべての場合を決め、同じ大きさの無順序の選択を足す。
異なる8枚A,B,C,D,E,F,G,Hから役割なく3枚を選ぶ組と、選ばず残る5枚の組を対応させてください。具体的な一組の往復と、どの組でも一意に戻る理由を示し、8C3=8C5を導いて両方の値も求めます。全56行の列挙は必要ありません。
例ACF↔BDEGH。固定した全八枚で、三枚を決めれば残り五枚が一意、残り五枚からその補集合の三枚も一意。よって一対一で8C3=8C5=56。生徒の具体的な補集合・往復と一般の理由、元の八枚を尽くす確認を見る。
並べる順序を付けず、同じ全体の選ぶ側と残す側を対応させる。
友達は異なる7人から役割のない4人組について、「順に選ぶ7P4=840通りだ」とし、別の友達は「同じ組の重複を4で割れば840÷4=210通りだ」としました。一つの四人組の内部の並びとの対応で二つの主張を調べ、正しい割る数・通り数と理由を含む全文へ直してください。
一つの四人組の内部の全ての並びは4!=24通りで、どの四人組も同じ24通りへ対応する。7P4=840は順序を区別し過大、4で一度割るだけでも内部24通りをまとめ切れない。正しくは7C4=840/24=35。生徒の一つの組の位置ごとの4×3×2×1と、組が違えば並びも重ならない理由・二つの全文修正を見る。全840行を強制しない。
人数4と内部の並び24を区別し、役割なしの同じ組に何通りが対応するかに戻す。
集合D1={A,B,C,D,E}、D2={J,K,L,M,N,P}、D3={R,S,T,U,V,W,X}から一つ、選ぶ人数を2か3から選びます。条件は各集合の最初の一人（A,J,R）を必ず含むか、含まないかのどちらかで、役割は付けません。自分で問題を作り、候補と人数・全組または漏れのない対応と式、無条件の同じ人数の全体との比較を残してください。全12条件を解く必要はありません。
作例D2・3人・Jを含まないならJ以外の五人から3人で5C3=10。無条件6C3=20、Jを含む5C2=10と合わせ20。許された12条件と正しい別解を認め、生徒の集合・最初の一人・選ぶ人数・条件と、同じ組の区別・全候補への戻しを確認する。
生徒が選んだ実際の条件と対応を示し、講師の作例だけを生徒の数え方としない。