独立の条件と、反復する試行の成功位置を確かめる
独立という仮定と同じ成功確率を区別します。準備14問と、生徒が条件前後の表・結果の列や成功位置を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(2)ア(エ)(オ)・イ(イ)、冊子91〜94/PDF103〜106の独立な試行と確率の乗法定理を踏まえた独自課題です。小さい回数の反復は独立な試行の応用として構成し、数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。元の問題・図版を写していません。
解説を読む
確率を掛ける前に、前の結果を知っても次の確率が変わらないモデルかを確かめます。同じ成功確率の反復では、一つの結果の列と、成功する位置を変えた全ての列を分けて数えます。
必要な予備知識
分数の積、余事象、順序を区別しない選び方と組合せnCk、条件付き確率と、条件とする事象の確率が正であること。独立なモデルという明記された仮定を使い、実測から独立を認定しません。各回は成功Sか失敗Fで、表・列と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- 二事象A,Bの独立はP(A∩B)=P(A)P(B)で確かめます。P(B)>0ならP(A|B)=P(A)と対応します。確率がたまたま同じ一例だけで、別のモデルまで独立としません。
- 独立と排反は別です。排反では共通部分の確率が0です。二事象の確率がどちらも正なら、その積は正なので排反な二事象は独立ではありません。
- 独立な二試行の結果の確率は各試行の確率の積です。成功確率が異なっていても独立なモデルは作れます。独立だから同じ成功確率だとは限りません。
- 札や球を戻す場合も、戻す時点と次の選び方を確認します。全体を戻し、過去の結果によらず各対象を公平に選ぶモデルなら、次の成功確率は変わりません。戻すという一語だけで実物の独立を決めません。
- 戻さない抽出では既知の結果で残る対象と人数が変わります。無条件の次の成功確率と、前の結果を知った後の確率を区別し、積を使う条件を確かめます。
- 各回が独立で成功確率pが同じn回の反復を考えます。指定した一列で成功k回なら、確率はpのk乗×(1−p)のn−k乗です。回数0の因数は1で、0回成功の列も一つあります。
- 成功する位置をn個からk個選ぶとnCk通りです。成功する位置の集合を決めればSとFの列がただ一つに決まり、位置の集合が異なれば列も異なります。一列の確率と列の総数を分けます。
- 独立で同じpの反復では、ちょうどk回成功の確率はnCk×pのk乗×(1−p)のn−k乗です。単なるn回分の足し算や、順列nPkにはしません。
- 成功回数0,1,…,nは重ならず全ての列を尽くします。各回数の確率の和は1です。少なくとも一回は、一度も成功しない場合の余事象として1−(1−p)のn乗でも求められます。
- 各回で成功確率が異なる独立なモデルでは、各列でその回の確率を掛け、求める互いに重ならない列を足します。同じpの反復公式に、根拠なく一つの値を入れません。
解き方の例
独立と仮定した二装置の成功確率が2/7と4/5なら、両方成功は(2/7)×(4/5)=8/35です。成功確率が異なっていても、このモデルでは独立と仮定されています。
独立な同じ試行を二回、成功確率3/8で行います。ちょうど一回成功の列はSFとFSで、各(3/8)×(5/8)=15/64。二列は重ならないので計15/32です。2C1=2は成功位置の数で、一列の確率とは別です。
よくある間違い
- 独立と排反を同じ意味にする。
- 独立な試行なら成功確率も同じと決める。
- 戻す時点・選び方を落とし、条件後の確率を確かめず掛ける。
- 一つの結果の列を、成功回数が同じ全ての列の確率にする。
- 成功位置の組合せnCkと、一列の確率を混ぜる。
- 各回の成功確率が違うのに一つのpの反復公式を使う。
考え方を説明する
準備14問は独立の条件・短い積と成功回数の確認です。主課題では生徒のモデルの仮定、条件前後の確率、列・成功位置の対応と重ならない和を手動確認します。T1二装置の四つの結果全て、T2与えた二表の比較、T3正の確率の排反、T4同じ袋の戻す/戻さない規則、T5特定の列と成功二回、T6四回の成功位置、T7全ての成功回数、T8余事象と直接の和、T9異なる成功確率の全文修正、T10生徒の小さい反復モデルを見ます。正しい別解を認め、最終数だけで生徒の仮定や対応を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の表・列・成功位置とモデルの仮定は紙や既存ボードで講師が手動確認します。実測からの独立性判定、長い確率過程、検定、新シミュレータ、二項分布の推測統計、生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択を自動採点します。自分のモデルの仮定・列と位置の説明は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
二装置は独立に動くモデルで、成功確率はそれぞれ2/5と3/7です。両方が成功する確率を求めてください。
答えと解説
独立の仮定から(2/5)×(3/7)=6/35です。
独立な事象A,BでP(A)=3/8、P(B)=2/3です。P(A|B)を求めてください。
答えと解説
P(B)>0で独立なので、Bを知った後もP(A|B)=P(A)=3/8です。
各回独立で成功確率1/4の同じ試行を三回行います。一度も成功しない確率を求めてください。
答えと解説
失敗確率3/4を三回掛け、(3/4)の3乗=27/64です。
各回独立で成功確率2/3の同じ試行を三回行います。ちょうど二回成功する確率を求めてください。
答えと解説
成功位置は3C2=3通りで、各列(2/3)の2乗×(1/3)=4/27。計4/9です。
各回独立で成功確率1/3の同じ試行を四回行います。ちょうど一回成功する確率を求めてください。
答えと解説
成功位置4C1=4通り。4×(1/3)×(2/3)の3乗=32/81です。
各回独立で成功確率1/5の同じ試行を三回行います。少なくとも一回成功する確率を求めてください。
答えと解説
一度も成功しない確率(4/5)の3乗=64/125の余事象で、1−64/125=61/125です。
独立な二試行の成功確率は、一回目1/2、二回目1/3です。ちょうど一回成功する確率を求めてください。
答えと解説
SFは(1/2)×(2/3)=1/3、FSは(1/2)×(1/3)=1/6で、計1/2です。
二事象A,Bが独立であることを表す式はどれですか。
- P(A∩B)=0
- P(A)=P(B)
- P(A∩B)=P(A)P(B)
- P(A∪B)=P(A)+P(B)
答えと解説
P(A∩B)=P(A)P(B)
独立は共通部分の確率が各確率の積になることです。排反や同じ確率とは区別します。
P(A)>0、P(B)>0でA,Bが排反です。独立かどうかの説明として正しいものはどれですか。
- 共通部分は0、積は正なので独立ではない
- 排反なら条件が違うので必ず独立である
- 共通部分も積も正なので独立である
- 二つの確率が等しいときだけ独立である
答えと解説
共通部分は0、積は正なので独立ではない
正の二確率の積は正ですが、排反ではP(A∩B)=0なので積と一致しません。
nCk×pのk乗×(1−p)のn−k乗を通常の反復モデルで使う条件はどれですか。
- 各回の成功確率が同じなら十分
- 各回が独立であれば確率は違ってよい
- 結果の列の数が分かれば仮定は不要
- 各回が独立で成功確率も同じp
答えと解説
各回が独立で成功確率も同じp
各回が独立なので、一列の確率は各回の確率の積です。どの回も成功確率が同じpなら、成功の回数が同じ列どうしは、成功する位置が違っても確率が等しくなります。
四回の試行で成功がちょうど二回の列を作ります。成功する位置の正しい数え方と通り数はどれですか。
- 4P2=12通り
- 4C2=6通り
- 2の4乗=16通り
- 4+2=6通りなので組合せは不要
答えと解説
4C2=6通り
成功する位置の集合{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}の六つです。4+2と偶然同じ値でも導出にはなりません。
各回は独立ですが成功確率が異なります。指定した成功・失敗の列の確率を求める方針はどれですか。
- 成功確率の平均を各回へ代入する
- 各回の成功確率をそのまま足す
- 各回の結果に応じた確率を掛ける
- 列の確率は常に結果の列の総数の逆数にする
答えと解説
各回の結果に応じた確率を掛ける
独立なら各回で実際に指定した成功か失敗の確率を掛けます。同じpに置き換えません。
同じ袋へ毎回球を戻すモデルです。次の赤の確率を前の結果によらず同じと扱うため、選び方について確認する条件はどれですか。
- 戻した後も過去によらず各球を公平に選ぶ
- 赤が出た後だけ別の球を優先して選ぶ
- 同じ確率になった一回の観測があればよい
- 戻したという記録だけで選び方は問わない
答えと解説
戻した後も過去によらず各球を公平に選ぶ
同じ構成へ戻し、過去の結果に応じて選び方を変えない公平なモデルという条件を使います。
独立で同じ成功確率のn回の反復で、成功回数0,1,…,nの分類について正しいものはどれですか。
- 0回成功は結果がないので分類に入らない
- 異なる成功回数の列は必ず重なっている
- 全回数の確率の和はnである
- 回数ごとは重ならずすべての結果の列を尽くし、確率の和は1
答えと解説
回数ごとは重ならずすべての結果の列を尽くし、確率の和は1
どの列も成功回数を一つだけ持ち、0回からn回までのどれかへ入ります。
考え方を説明する
二装置L,Mは独立に動くモデルで、成功確率はLが1/3、Mが3/5です。成功・失敗の全四結果と各確率の表を作り、各装置の成功確率へ足し戻してください。両方成功の積と、M成功を知った条件でのL成功の確率も求め、どの仮定を使ったか説明します。
答えと解説
(L成功,M成功)=1/5、(成功,失敗)=2/15、(失敗,成功)=2/5、(失敗,失敗)=4/15。和1、L成功1/3、M成功3/5へ戻る。P(L成功|M成功)=(1/5)/(3/5)=1/3。
四つの結果が重ならないこと、表の確率の積と和、条件とする事象の確率が正でありその確率で割ること、独立と仮定したモデルであることを確認します。実物で独立を測定した証拠にはしません。
公平に一枚選ぶ区別できる20枚の札で、A,Bの有無の表を二つ比べます。モデルIは両方6・Aだけ9・Bだけ2・なし3、モデルIIは両方7・Aだけ8・Bだけ1・なし4です。それぞれの表を完成させ、行ごと・列ごとの合計とP(A)、P(B)、P(A∩B)、P(A|B)を示し、事象A,Bが独立かを二つの確率の積と照合して説明してください。
答えと解説
どちらもP(A)=15/20=3/4、P(B)=8/20=2/5で積3/10。Iは共通6/20=3/10、条件6/8=3/4で独立。IIは共通7/20、条件7/8で独立ではない。
同じ周辺確率でも共通部分が違う二表を区別し、IとIIで別々の判断・条件前後の比較を見る。単に成功確率が同じという理由にはしない。
1〜12の整数から公平に一つ選び、Aは{1,2,3}、Bは{4,5,6,7}とします。友達は「AとBは一緒に起きないから独立」としました。全体と二集合、共通部分の確率・二確率の積、P(A|B)を示し、正の確率であることを確かめて理由を含む全文へ直してください。
答えと解説
P(A)=1/4、P(B)=1/3、P(A∩B)=0だが積1/12は正なので独立ではない。P(A|B)=0≠1/4。排反は独立と別である。
具体的な空の共通部分と正の二確率、独立の式や条件前後の不一致からの全文修正を見ます。
同じ袋に区別できる赤2個・青4個を入れます。どの段階も、残っている各球を過去の結果によらず公平に選ぶモデルです。Iは一回目の球を戻してから二回目、IIは戻さず二回目を選びます。一回目赤と分かった後の残りの内訳と二回目赤の確率を比べ、無条件の二回目赤、両方赤の確率と照合し、「一回目赤」と「二回目赤」が独立かを説明してください。
答えと解説
Iは赤2青4のままで条件後1/3、無条件も1/3、両方赤1/9で独立。IIは赤1青4となり条件後1/5、無条件二回目赤は1/3、両方赤(2/6)(1/5)=1/15で独立ではない。
Iの全36同確率順序対/条件12/両赤4、IIの全30対/条件10/両赤2からも確認できる。生徒の残りの表と仮定を見る。全66対の列挙は必須でない。
各回独立で成功確率2/5の同じ試行を三回行い、成功S・失敗Fと書きます。「一回目成功・二回目成功・三回目失敗」という一列と、「ちょうど二回成功」のすべての結果の列を実際に示し、各列の確率と求める和を区別してください。成功位置と列が一対一になる理由も残します。
答えと解説
指定列SSFの確率は(2/5)²(3/5)=12/125。二回成功の列はSSF,SFS,FSSで各12/125、合計36/125。成功位置は{1,2},{1,3},{2,3}。
実際の三つの列と、それぞれに対応する成功する位置の集合、同じ積になる仮定と重ならない和を確認します。一つの列の確率を、条件に合うすべての列の確率の和と混同しません。
各回独立で成功確率1/4の同じ試行を四回行います。ちょうど二回成功する位置の全ての選び方と対応するS,Fの列を示し、一列の確率から総確率を導いてください。位置を入れ替えただけの同じ集合を二度数えない理由と、元の四回・二回成功という条件を照合します。
答えと解説
位置は{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}の4C2=6通り。列はSSFF,SFSF,SFFS,FSSF,FSFS,FFSS。一列(1/4)²(3/4)²=9/256、計54/256=27/128。
全六列・成功する位置の集合と往復の対応、独立・同じpの積と重ならない和を見ます。
各回独立で成功確率1/3の同じ試行を三回行います。成功回数0,1,2,3の表全体を、成功位置の数・一列の確率・その回数の確率に分けて作ってください。四分類が重ならずすべての結果の列を尽くす理由と、確率の和1を確かめます。
答えと解説
k=0,1,2,3の列数は1,3,3,1。一列の確率は8/27,4/27,2/27,1/27。回数ごとの確率は8/27,12/27,6/27,1/27で和1。
列数の和8と確率の和1を混ぜず、各列に成功回数が一意という分類の理由を見ます。
各回独立で成功確率1/2の同じ試行を四回行います。少なくとも一回成功する確率を、一度も成功しない列の余事象から求め、成功回数1〜4の直接の和とも照合してください。同じ全16列の中で何を除き、何を足したか示します。
答えと解説
余事象はFFFF一列で1/16、求める確率15/16。成功回数1,2,3,4は4/16,6/16,4/16,1/16で合計15/16。
同じ全体で一度も成功しない一列と残る15列を対応させ、少なくともを全回成功と混ぜない。
独立な二試行で、一回目の成功確率1/3、二回目3/4です。友達は「独立だから同じ成功確率で、ちょうど一回成功は2×(1/3)×(2/3)=4/9」としました。四つの列全ての確率とその和、ちょうど一回成功の和を示し、独立と同じ確率を区別して理由を含む全文に直してください。
答えと解説
SS=1/4、SF=1/12、FS=1/2、FF=1/6で和1。ちょうど一回はSF+FS=7/12。独立でも各回の成功確率は異なり、各列でその回の実際の確率を掛ける。
四つの列全ての別々の積、二つの該当列の重ならない和と二つの誤った主張の全文修正を見ます。
回数nを2,3,4から、同じ成功確率pを1/3か2/5から、求める成功回数kを1か2から選び、各回独立な反復モデルの問題を一つ作ってください。成功位置の全組と列、位置の数と一列の確率・総確率を残し、元の仮定と指定回数へ戻します。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例n=3,p=2/5,k=1。位置{1},{2},{3}、列SFF,FSF,FFSで各(2/5)(3/5)²=18/125、総確率54/125。許された12条件の生徒の一例と正しい別解を認める。
独立と同じp、0≤k≤n、成功する位置の集合と一列の対応、正しい確率の積・重ならない和を見る。生徒が示した条件と未確認の条件を分ける。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(2)ア(エ)(オ)・イ(イ)、冊子91〜94/PDF103〜106の独立な試行と確率の乗法定理を踏まえた独自課題です。小さい回数の反復は独立な試行の応用として構成し、数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。元の問題・図版を写していません。 · 2026-11-03
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準備14問は独立の条件・短い積と成功回数の確認です。主課題では生徒のモデルの仮定、条件前後の確率、列・成功位置の対応と重ならない和を手動確認します。T1二装置の四つの結果全て、T2与えた二表の比較、T3正の確率の排反、T4同じ袋の戻す/戻さない規則、T5特定の列と成功二回、T6四回の成功位置、T7全ての成功回数、T8余事象と直接の和、T9異なる成功確率の全文修正、T10生徒の小さい反復モデルを見ます。正しい別解を認め、最終数だけで生徒の仮定や対応を判定しません。
二装置は独立に動くモデルで、成功確率はそれぞれ2/5と3/7です。両方が成功する確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な事象A,BでP(A)=3/8、P(B)=2/3です。P(A|B)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
各回独立で成功確率1/4の同じ試行を三回行います。一度も成功しない確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
各回独立で成功確率2/3の同じ試行を三回行います。ちょうど二回成功する確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
各回独立で成功確率1/3の同じ試行を四回行います。ちょうど一回成功する確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
各回独立で成功確率1/5の同じ試行を三回行います。少なくとも一回成功する確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な二試行の成功確率は、一回目1/2、二回目1/3です。ちょうど一回成功する確率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二事象A,Bが独立であることを表す式はどれですか。
- P(A∩B)=0
- P(A)=P(B)
- P(A∩B)=P(A)P(B)
- P(A∪B)=P(A)+P(B)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(A)>0、P(B)>0でA,Bが排反です。独立かどうかの説明として正しいものはどれですか。
- 共通部分は0、積は正なので独立ではない
- 排反なら条件が違うので必ず独立である
- 共通部分も積も正なので独立である
- 二つの確率が等しいときだけ独立である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nCk×pのk乗×(1−p)のn−k乗を通常の反復モデルで使う条件はどれですか。
- 各回の成功確率が同じなら十分
- 各回が独立であれば確率は違ってよい
- 結果の列の数が分かれば仮定は不要
- 各回が独立で成功確率も同じp
途中の計算・単位・理由・確認答え:
四回の試行で成功がちょうど二回の列を作ります。成功する位置の正しい数え方と通り数はどれですか。
- 4P2=12通り
- 4C2=6通り
- 2の4乗=16通り
- 4+2=6通りなので組合せは不要
途中の計算・単位・理由・確認答え:
各回は独立ですが成功確率が異なります。指定した成功・失敗の列の確率を求める方針はどれですか。
- 成功確率の平均を各回へ代入する
- 各回の成功確率をそのまま足す
- 各回の結果に応じた確率を掛ける
- 列の確率は常に結果の列の総数の逆数にする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ袋へ毎回球を戻すモデルです。次の赤の確率を前の結果によらず同じと扱うため、選び方について確認する条件はどれですか。
- 戻した後も過去によらず各球を公平に選ぶ
- 赤が出た後だけ別の球を優先して選ぶ
- 同じ確率になった一回の観測があればよい
- 戻したという記録だけで選び方は問わない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立で同じ成功確率のn回の反復で、成功回数0,1,…,nの分類について正しいものはどれですか。
- 0回成功は結果がないので分類に入らない
- 異なる成功回数の列は必ず重なっている
- 全回数の確率の和はnである
- 回数ごとは重ならずすべての結果の列を尽くし、確率の和は1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
二装置L,Mは独立に動くモデルで、成功確率はLが1/3、Mが3/5です。成功・失敗の全四結果と各確率の表を作り、各装置の成功確率へ足し戻してください。両方成功の積と、M成功を知った条件でのL成功の確率も求め、どの仮定を使ったか説明します。
公平に一枚選ぶ区別できる20枚の札で、A,Bの有無の表を二つ比べます。モデルIは両方6・Aだけ9・Bだけ2・なし3、モデルIIは両方7・Aだけ8・Bだけ1・なし4です。それぞれの表を完成させ、行ごと・列ごとの合計とP(A)、P(B)、P(A∩B)、P(A|B)を示し、事象A,Bが独立かを二つの確率の積と照合して説明してください。
1〜12の整数から公平に一つ選び、Aは{1,2,3}、Bは{4,5,6,7}とします。友達は「AとBは一緒に起きないから独立」としました。全体と二集合、共通部分の確率・二確率の積、P(A|B)を示し、正の確率であることを確かめて理由を含む全文へ直してください。
同じ袋に区別できる赤2個・青4個を入れます。どの段階も、残っている各球を過去の結果によらず公平に選ぶモデルです。Iは一回目の球を戻してから二回目、IIは戻さず二回目を選びます。一回目赤と分かった後の残りの内訳と二回目赤の確率を比べ、無条件の二回目赤、両方赤の確率と照合し、「一回目赤」と「二回目赤」が独立かを説明してください。
各回独立で成功確率2/5の同じ試行を三回行い、成功S・失敗Fと書きます。「一回目成功・二回目成功・三回目失敗」という一列と、「ちょうど二回成功」のすべての結果の列を実際に示し、各列の確率と求める和を区別してください。成功位置と列が一対一になる理由も残します。
各回独立で成功確率1/4の同じ試行を四回行います。ちょうど二回成功する位置の全ての選び方と対応するS,Fの列を示し、一列の確率から総確率を導いてください。位置を入れ替えただけの同じ集合を二度数えない理由と、元の四回・二回成功という条件を照合します。
各回独立で成功確率1/3の同じ試行を三回行います。成功回数0,1,2,3の表全体を、成功位置の数・一列の確率・その回数の確率に分けて作ってください。四分類が重ならずすべての結果の列を尽くす理由と、確率の和1を確かめます。
各回独立で成功確率1/2の同じ試行を四回行います。少なくとも一回成功する確率を、一度も成功しない列の余事象から求め、成功回数1〜4の直接の和とも照合してください。同じ全16列の中で何を除き、何を足したか示します。
独立な二試行で、一回目の成功確率1/3、二回目3/4です。友達は「独立だから同じ成功確率で、ちょうど一回成功は2×(1/3)×(2/3)=4/9」としました。四つの列全ての確率とその和、ちょうど一回成功の和を示し、独立と同じ確率を区別して理由を含む全文に直してください。
回数nを2,3,4から、同じ成功確率pを1/3か2/5から、求める成功回数kを1か2から選び、各回独立な反復モデルの問題を一つ作ってください。成功位置の全組と列、位置の数と一列の確率・総確率を残し、元の仮定と指定回数へ戻します。全12条件を解く必要はありません。
解答: 独立の条件と、反復する試行の成功位置を確かめる
独立の仮定から(2/5)×(3/7)=6/35です。
P(B)>0で独立なので、Bを知った後もP(A|B)=P(A)=3/8です。
失敗確率3/4を三回掛け、(3/4)の3乗=27/64です。
成功位置は3C2=3通りで、各列(2/3)の2乗×(1/3)=4/27。計4/9です。
成功位置4C1=4通り。4×(1/3)×(2/3)の3乗=32/81です。
一度も成功しない確率(4/5)の3乗=64/125の余事象で、1−64/125=61/125です。
SFは(1/2)×(2/3)=1/3、FSは(1/2)×(1/3)=1/6で、計1/2です。
P(A∩B)=P(A)P(B)
独立は共通部分の確率が各確率の積になることです。排反や同じ確率とは区別します。
共通部分は0、積は正なので独立ではない
正の二確率の積は正ですが、排反ではP(A∩B)=0なので積と一致しません。
各回が独立で成功確率も同じp
各回が独立なので、一列の確率は各回の確率の積です。どの回も成功確率が同じpなら、成功の回数が同じ列どうしは、成功する位置が違っても確率が等しくなります。
4C2=6通り
成功する位置の集合{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}の六つです。4+2と偶然同じ値でも導出にはなりません。
各回の結果に応じた確率を掛ける
独立なら各回で実際に指定した成功か失敗の確率を掛けます。同じpに置き換えません。
戻した後も過去によらず各球を公平に選ぶ
同じ構成へ戻し、過去の結果に応じて選び方を変えない公平なモデルという条件を使います。
回数ごとは重ならずすべての結果の列を尽くし、確率の和は1
どの列も成功回数を一つだけ持ち、0回からn回までのどれかへ入ります。
記述問題の解答・確認の観点
二装置L,Mは独立に動くモデルで、成功確率はLが1/3、Mが3/5です。成功・失敗の全四結果と各確率の表を作り、各装置の成功確率へ足し戻してください。両方成功の積と、M成功を知った条件でのL成功の確率も求め、どの仮定を使ったか説明します。
(L成功,M成功)=1/5、(成功,失敗)=2/15、(失敗,成功)=2/5、(失敗,失敗)=4/15。和1、L成功1/3、M成功3/5へ戻る。P(L成功|M成功)=(1/5)/(3/5)=1/3。
四つの結果が重ならないこと、表の確率の積と和、条件とする事象の確率が正でありその確率で割ること、独立と仮定したモデルであることを確認します。実物で独立を測定した証拠にはしません。
公平に一枚選ぶ区別できる20枚の札で、A,Bの有無の表を二つ比べます。モデルIは両方6・Aだけ9・Bだけ2・なし3、モデルIIは両方7・Aだけ8・Bだけ1・なし4です。それぞれの表を完成させ、行ごと・列ごとの合計とP(A)、P(B)、P(A∩B)、P(A|B)を示し、事象A,Bが独立かを二つの確率の積と照合して説明してください。
どちらもP(A)=15/20=3/4、P(B)=8/20=2/5で積3/10。Iは共通6/20=3/10、条件6/8=3/4で独立。IIは共通7/20、条件7/8で独立ではない。
同じ周辺確率でも共通部分が違う二表を区別し、IとIIで別々の判断・条件前後の比較を見る。単に成功確率が同じという理由にはしない。
1〜12の整数から公平に一つ選び、Aは{1,2,3}、Bは{4,5,6,7}とします。友達は「AとBは一緒に起きないから独立」としました。全体と二集合、共通部分の確率・二確率の積、P(A|B)を示し、正の確率であることを確かめて理由を含む全文へ直してください。
P(A)=1/4、P(B)=1/3、P(A∩B)=0だが積1/12は正なので独立ではない。P(A|B)=0≠1/4。排反は独立と別である。
具体的な空の共通部分と正の二確率、独立の式や条件前後の不一致からの全文修正を見ます。
同じ袋に区別できる赤2個・青4個を入れます。どの段階も、残っている各球を過去の結果によらず公平に選ぶモデルです。Iは一回目の球を戻してから二回目、IIは戻さず二回目を選びます。一回目赤と分かった後の残りの内訳と二回目赤の確率を比べ、無条件の二回目赤、両方赤の確率と照合し、「一回目赤」と「二回目赤」が独立かを説明してください。
Iは赤2青4のままで条件後1/3、無条件も1/3、両方赤1/9で独立。IIは赤1青4となり条件後1/5、無条件二回目赤は1/3、両方赤(2/6)(1/5)=1/15で独立ではない。
Iの全36同確率順序対/条件12/両赤4、IIの全30対/条件10/両赤2からも確認できる。生徒の残りの表と仮定を見る。全66対の列挙は必須でない。
各回独立で成功確率2/5の同じ試行を三回行い、成功S・失敗Fと書きます。「一回目成功・二回目成功・三回目失敗」という一列と、「ちょうど二回成功」のすべての結果の列を実際に示し、各列の確率と求める和を区別してください。成功位置と列が一対一になる理由も残します。
指定列SSFの確率は(2/5)²(3/5)=12/125。二回成功の列はSSF,SFS,FSSで各12/125、合計36/125。成功位置は{1,2},{1,3},{2,3}。
実際の三つの列と、それぞれに対応する成功する位置の集合、同じ積になる仮定と重ならない和を確認します。一つの列の確率を、条件に合うすべての列の確率の和と混同しません。
各回独立で成功確率1/4の同じ試行を四回行います。ちょうど二回成功する位置の全ての選び方と対応するS,Fの列を示し、一列の確率から総確率を導いてください。位置を入れ替えただけの同じ集合を二度数えない理由と、元の四回・二回成功という条件を照合します。
位置は{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}の4C2=6通り。列はSSFF,SFSF,SFFS,FSSF,FSFS,FFSS。一列(1/4)²(3/4)²=9/256、計54/256=27/128。
全六列・成功する位置の集合と往復の対応、独立・同じpの積と重ならない和を見ます。
各回独立で成功確率1/3の同じ試行を三回行います。成功回数0,1,2,3の表全体を、成功位置の数・一列の確率・その回数の確率に分けて作ってください。四分類が重ならずすべての結果の列を尽くす理由と、確率の和1を確かめます。
k=0,1,2,3の列数は1,3,3,1。一列の確率は8/27,4/27,2/27,1/27。回数ごとの確率は8/27,12/27,6/27,1/27で和1。
列数の和8と確率の和1を混ぜず、各列に成功回数が一意という分類の理由を見ます。
各回独立で成功確率1/2の同じ試行を四回行います。少なくとも一回成功する確率を、一度も成功しない列の余事象から求め、成功回数1〜4の直接の和とも照合してください。同じ全16列の中で何を除き、何を足したか示します。
余事象はFFFF一列で1/16、求める確率15/16。成功回数1,2,3,4は4/16,6/16,4/16,1/16で合計15/16。
同じ全体で一度も成功しない一列と残る15列を対応させ、少なくともを全回成功と混ぜない。
独立な二試行で、一回目の成功確率1/3、二回目3/4です。友達は「独立だから同じ成功確率で、ちょうど一回成功は2×(1/3)×(2/3)=4/9」としました。四つの列全ての確率とその和、ちょうど一回成功の和を示し、独立と同じ確率を区別して理由を含む全文に直してください。
SS=1/4、SF=1/12、FS=1/2、FF=1/6で和1。ちょうど一回はSF+FS=7/12。独立でも各回の成功確率は異なり、各列でその回の実際の確率を掛ける。
四つの列全ての別々の積、二つの該当列の重ならない和と二つの誤った主張の全文修正を見ます。
回数nを2,3,4から、同じ成功確率pを1/3か2/5から、求める成功回数kを1か2から選び、各回独立な反復モデルの問題を一つ作ってください。成功位置の全組と列、位置の数と一列の確率・総確率を残し、元の仮定と指定回数へ戻します。全12条件を解く必要はありません。
作例n=3,p=2/5,k=1。位置{1},{2},{3}、列SFF,FSF,FFSで各(2/5)(3/5)²=18/125、総確率54/125。許された12条件の生徒の一例と正しい別解を認める。
独立と同じp、0≤k≤n、成功する位置の集合と一列の対応、正しい確率の積・重ならない和を見る。生徒が示した条件と未確認の条件を分ける。