順列を位置ごとの選択で導き、0・隣接や端の条件を数える
順序と重複使用の条件を、表・樹形図と配置へ戻します。準備14問と、生徒が場合分け・対応と検算を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子91〜93/PDF103〜105の具体的な分類・表・樹形図からの順列と構造の考察を踏まえた独自課題です。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、固定学年や試験全範囲への対応を主張しません。円順列や同じものを含む順列の全分類を新たな必須課題とせず、元の問題や図版を写していません。
解説を読む
同じ対象を選んでも、役割や位置が変われば別の配置になる場面を調べます。位置を一つ決めるごとに候補が減る理由から順列を導き、0を含む整数、隣り合う二人、端の指定などの条件を先に整理します。
必要な予備知識
小中学の系統的な列挙、和と積の法則、順序対、異なる対象と重複使用しない条件、十進整数の最高位に0を置かないこと。有限の自然数n,rで1≤r≤nを使い、n個から異なるr個を順に並べます。自分の表・樹形図・配置と対応の理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
- 役割や位置が異なれば、同じ二対象でもABとBAを別に数える場面があります。順序を問わない二人組とは最初に区別し、何を同じ一つの結果とするかを決めます。
- 異なるn個から重複使用せずr個を順に並べると、位置ごとの候補はn,n−1,…,n−r+1個です。積の法則でnPr=n(n−1)…(n−r+1)となります。
- 異なるn個を全て一列に並べるとn!=n(n−1)…1通りです。0!=1と定めればnPr=n!/(n−r)!とも表せます。公式名だけでなく、各位置の候補数へ戻します。
- 指定された一位置を固定したら、残る対象と位置を数えます。同じ対象をもう一度使って候補数を減らさない数え方とは区別します。
- 0を含むカードから十進整数を作るときは、最高位は0にできません。番号や文字列を並べるだけの場面と混ぜず、使ったカードを後の候補から除きます。
- 偶数を作る場合、一の位0と0でない偶数を分けると最高位の候補を保てます。二つは重ならず、許された偶数を全て含むことを確かめます。奇数なら一の位の奇数と残りの位置を対応させます。
- 指定された二対象が隣り合うときは、一つのブロックと考えられます。ただしABとBAの両方を許すなら内部の2通りを数え、実際の配置と一対一に対応することを示します。
- 全体の配置を、隣り合う配置と隣り合わない配置へ分ければ、片方は全体から他方を引いて求められます。全体と引く集合の条件をそろえます。
- 二対象を両端へ置くなら、端の交換の2通りと、中の異なる対象の並べ方を別に数えます。端を固定した後で同じ人を中にも使いません。
- 小さい表や樹形図・別の数え方で、漏れと重複、0や各位置の条件を確かめます。全配置の長いリストだけを必須にせず、正しく圧縮した枝数や対応の説明も認めます。
解き方の例
異なる4人A,B,C,Dから、委員長・副委員長・記録係を一人ずつ、兼任なしで決めます。候補は順に4,3,2人なので4P3=4×3×2=24通り。誰がどの役かを結果として区別します。
0,1,2,3,4,5のカードから、同じカードを二度使わず2桁の整数を作ります。十の位は1〜5の5通り、一の位は使ったカード以外の5通りで25通りです。後の候補には0も入り、最高位へ0を置いた列は整数の数え上げに入れません。
よくある間違い
- 役割の異なるABとBAを同じ二人組として数える。
- 重複使用しないのに、全位置で候補をn個のままにする。
- 最高位0の列を、指定した桁数の整数へ含める。
- 一の位0の場合と0でない偶数の場合の最高位候補を同じものとする。
- 隣接ブロックの内部の2通りを落とす、または順序固定でも余分に2倍する。
- 条件をそろえず全体から引き、漏れや二重計数を確かめない。
考え方を説明する
準備14問は短い順列計算・位置条件と数え方の確認です。主課題は生徒の対象・結果の同一性、位置ごとの候補と減る理由、すべての場合を尽くす表や樹形図・一対一対応と検算を手動確認します。T1役割と順列の導出、T2順序の有無、T3全順列と固定位置、T4先頭0、T5偶数の排反な場合分け、T6隣接ブロック、T7余事象と別の検算、T8両端、T9誤った二つの数え方の全文修正、T10生徒のカード・桁と位置条件を見ます。最終数だけでなく根拠を確かめ、正しい別解・圧縮した表も認めます。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の列挙・樹形図・配置や対応の証明は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい順列ソルバーや自由な図の自動採点、円順列・重複順列の全分類、実際の確率の測定・生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択を自動採点します。自分の配置・表や樹形図と漏れ重複の説明は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
異なる6人から、委員長と副委員長を一人ずつ兼任なしで決めます。通り数を答えてください。
答えと解説
30
役割が異なるので6×5=30通りです。
異なる7個から、重複使用せず3個を順に並べます。7P3の値を答えてください。
答えと解説
210
7×6×5=210通りです。
異なる4冊を全て一列に並べます。通り数を答えてください。
答えと解説
24
4!=4×3×2×1=24通りです。
異なる5冊を全て一列に並べ、指定した1冊を一番左に固定します。通り数を答えてください。
答えと解説
24
残る4冊を残る4位置へ並べ、4!=24通りです。
0,1,4,8のカードから、同じカードを二度使わず2桁の整数を作ります。通り数を答えてください。
答えと解説
9
十の位は0以外の3通り、一の位は残る3通りで9通りです。
異なる5人A,B,C,D,Eを一列に並べます。Aのすぐ右にBが来る場合だけを数えます（ABは可、BAは不可）。通り数を答えてください。
答えと解説
24
ABという順序固定のブロックと他の3人の4単位を並べ、4!=24通りです。内部を2倍しません。
異なる5人を一列に並べ、指定した一人を左端または右端へ置きます。通り数を答えてください。
答えと解説
48
端の2通りと残る4人の4!通りで、2×24=48通りです。
異なる二人A,Bを委員長・副委員長へ割り当てる場面で正しい区別はどれですか。
- ABとBAは同じ二人なので必ず同じ結果とする
- 役割が違うのでA委員長/B副委員長とB委員長/A副委員長は別の結果である
- 一人が両方を兼任しなければならない
- 誰がどの役かを記録しても結果の区別は変わらない
答えと解説
役割が違うのでA委員長/B副委員長とB委員長/A副委員長は別の結果である
役割の違いを結果の違いとして数えます。
0を含むカードから、同じカードを二度使わず3桁の整数を作るとき、いつも守る条件はどれですか。
- 最高位へ0を置いても必ず3桁の整数になる
- 使ったカードを次の位置でも使える
- 最高位を0以外から選び、そのカードを後の候補から除く
- 一の位は必ず0にする
答えと解説
最高位を0以外から選び、そのカードを後の候補から除く
3桁という条件と重複使用しない条件の両方を保ちます。
異なるn個から重複使用せずr個を順に並べる場合、位置ごとの候補数の正しい並びはどれですか。
- n,n−1,…,n−r+1
- 全位置でn個のまま
- n,n+1,…,n+r−1
- 初めから全位置でr個ずつ
答えと解説
n,n−1,…,n−r+1
一つ使うごとに候補が一つ減るので、積はnPrです。
隣り合うA,Bを一つのブロックにし、ABとBAの両方を許すとき、内部の並べ方はどう数えますか。
- A,Bは同じブロックなので内部は必ず1通り
- 全体の人数に関係なく内部だけでn!通り
- ブロックを置く位置の数と内部の数は同じである
- 内部はABとBAの2通りで、ブロック全体の並べ方に対応させる
答えと解説
内部はABとBAの2通りで、ブロック全体の並べ方に対応させる
内部2通りと、ブロックを一つの単位にした配置を区別します。
0と0でない偶数を含むカードから、指定桁の偶数を重複使用なしで作るとき、有効な場合分けはどれですか。
- 最高位0の場合と0以外の場合を足し、どちらも同じ桁数に含める
- 一の位0と、一の位が0でない偶数の場合に分け、各最高位候補を確かめる
- 一の位が0の配置を二度数える
- 一の位の条件を無視し、全順列を答えとする
答えと解説
一の位0と、一の位が0でない偶数の場合に分け、各最高位候補を確かめる
二場合は重ならず、可能な偶数を尽くし、最高位0不可の扱いも明確になります。
同じ全体の配置で「A,Bが隣り合う」と「隣り合わない」が全てを分けるとき、正しい関係はどれですか。
- 隣り合わない数は全体と隣り合う数を掛ける
- 隣り合う数が分かれば全体の条件を確かめる必要はない
- 隣り合わない数=全体の数−隣り合う数
- 二つの条件には同じ配置が必ず含まれる
答えと解説
隣り合わない数=全体の数−隣り合う数
同じ全体の中で重ならない二集合へ分かれるので、差で求められます。
異なる二人A,Bを一列の両端へ置き、どちらが左でもよいとき、端の割当ては何通りですか。
- A左/B右とB左/A右の2通り
- A,Bは同じ二人組なので1通り
- A,Bをどちらも左端に置く1通り
- 中の人数に関係なく必ず全体のn!通り
答えと解説
A左/B右とB左/A右の2通り
二つの端の役割を区別し、その後で中を並べます。
考え方を説明する
異なる5人A,B,C,D,Eから、委員長と副委員長を一人ずつ兼任なしで決めます。全ての順序対を表や樹形図に整理し、役割ごとの候補数がどう減るかを示してください。積と5P2を導き、漏れや重複がない理由を説明します。
答えと解説
委員長5通り、それぞれ副委員長4通りで20通り。Aから始まるAB,AC,AD,AEなど、各先頭4組の5行に整理できる。各順序対は委員長の行に一度だけ属し、同一人物の二役を除く。生徒の全20組または同じ情報を示す枝と5×4、役割の対応を見る。
人数と式だけでなく、生徒の位置・役割の表で減る候補を確かめる。
異なる4人A,B,C,Dから二人を扱います。「委員長と副委員長を兼任なしで決める」と「役割のない二人組を選ぶ」を別々の小さい表へ整理し、それぞれを数えてください。同じ二人の入れ替えが別の結果になる場合とならない場合を、具体的な対応で説明します。組合せの一般公式は要求しません。
答えと解説
役割ありは4×3=12順序対。役割なしはAB,AC,AD,BC,BD,CDの6組。各二人組に役割ありABとBAなどの2組が対応するので12=2×6。生徒の表と同じ結果の定め方を見る。
同じ二人でも、役割という結果の定義を変えると数が変わることを説明する。
異なる6冊P,Q,R,S,T,Uを全て一列に並べます。位置ごとの候補の積から全体の通り数を導き、別にRを左から3番目へ固定した場合を数えてください。固定した冊子を他の位置へ再使用しないこと、各配置が一度だけ数えられることを説明します。720配置の長い全列挙は要求しません。
答えと解説
全体6!=720。Rを3番目へ固定すると残る5冊を5位置へ並べ、5!=120。全体は6,5,4,3,2,1、固定後は5,4,3,2,1という候補に対応させる。生徒の圧縮した位置表や樹形図と、冊子の重複がない理由を見る。
全順列と固定位置を、残る対象と位置に戻す。
0,1,3,5,7のカードから、同じカードを二度使わず3桁の整数を作ります。最高位の候補ごとに枝数が分かる表や樹形図を作り、各位置の候補と総数を求めてください。0で始まる列を入れず、漏れ・重複がない理由も説明します。
答えと解説
百の位は1,3,5,7の4通り、それぞれ十の位4通り（0を含む残り）、一の位3通り。各先頭12個で合計4×4×3=48。生徒の各位置で使ったカードを除く対応と、最高位の4場合が重ならず尽くすことを見る。
最高位0不可と、後の位置では0を使えることを混ぜない。
0,1,2,4,7,9のカードから、同じカードを二度使わず3桁の偶数を作ります。一の位0と0でない偶数の場合を分け、各最高位・十の位の候補を表や樹形図で示してください。二場合が重ならず全てを含む理由と、合計の通り数を説明します。
答えと解説
一の位0なら百の位5通り、十の位4通りで20。一の位2または4なら2通り、百の位は0と使用した一の位を除く4通り、十の位4通りで32。合計52。各一の位で20,16,16とも検算できる。生徒の排反な三つの末尾と候補減少を見る。
0でない偶数を先に使うと最高位候補が減ることを具体的に示す。
異なる5人K,L,M,N,Pを一列に並べ、KとLが隣り合う場合を数えます。二人を一つのブロックにする数え方と、実際の配置の一対一対応を示してください。KLとLKの扱いを明記し、漏れと重複がない理由を説明します。
答えと解説
ブロック(KLまたはLK)とM,N,Pの4単位で4!、内部2通りなので2×4!=48。各許された実配置から隣接二人を縮めるとブロック配置と内部順が一意に戻り、逆も一意。生徒の少数の具体例と全体への対応を確認する。
内部の2通りを、ブロック位置の数へ重ねて数えない。
同じ5人K,L,M,N,Pについて、KとLが隣り合わない場合を数えてください。全体と隣り合う配置の条件をそろえて差を求め、さらに別の小さい表や隙間の数え方で検算します。二つの方法の各配置への対応を説明します。
答えと解説
全体5!=120から隣接48を引いて72。別にM,N,Pを3!通りに並べ、前・間・後の4隙間の異なる二つへK,Lを役割を区別して入れると4×3=12、3!×12=72。各隙間に一人ずつなので隣接せず、戻すと一意。生徒の同等な別の検算も認める。
同じ全体の余事象と、別の構成の対応で漏れ重複を確かめる。
異なる6人A,B,C,D,E,Fを一列に並べ、A,Bを両端へ置きます。どちらが左でもよいとします。端の割当てと中の4人を表や位置図へ分け、総数を求めてください。各配置が二度数えられていないことと、固定した二人を中へ使っていないことを説明します。
答えと解説
端はA左/B右またはB左/A右の2通り、中C,D,E,Fは4!=24通りで48。二つの端の場合は重ならず、残る4位置へ残る4人が一度ずつ入る。生徒の位置図・候補の積と一意な対応を見る。
端の役割と、中の順列を別に対応させる。
友達は「0,2,3,6から重複使用なしの3桁の整数は4P3=24通り」「異なる4人R,S,T,UでR,Sが隣り合う並びは、ブロックと他の二人の3!だけで6通り」としました。二つを別々の表や配置で確かめ、条件を落とした場所と正しい数え方を含む全文へ直してください。
答えと解説
前者は先頭0の列を含むので、最高位3通り、次3通り、最後2通りで18。全24から先頭0の3×2=6を引いても18。後者はRS/SRの内部2通りがあるので2×3!=12。生徒の二つの図・対応と、0の条件/内部順をそれぞれ含む全文修正を見る。
公式名だけでなく、対象の条件に戻して二つの別の誤りを直す。
カード集合D1={0,1,2,4,6}、D2={0,2,3,5,8}、D3={0,1,4,7,9}から一つ、桁数を2または3、条件を偶数または奇数から選び、自分の整数を作る問題にしてください。同じカードは二度使わず、最高位0不可とします。各位置・末尾による場合分けが分かる表や樹形図、通り数、全ての条件への検算を残します。全12条件を解くことは要求しません。
答えと解説
作例D2/3桁/偶数なら一の位0は百の位4×十の位3=12、一の位2または8は各3×3=9、合計30。全3桁は48、奇数は18で30+18=48。許された別の12条件と正しい別解も認め、生徒の実際の集合・桁・末尾と、最高位0や重複の除外、場合分けの漏れ・重複を確認する。
生徒が選んだ実際の条件と表を示し、一般公式や講師の作例だけを生徒の数え方としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(2)ア(ア)(イ)・イ(ア)、冊子91〜93/PDF103〜105の具体的な分類・表・樹形図からの順列と構造の考察を踏まえた独自課題です。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、固定学年や試験全範囲への対応を主張しません。円順列や同じものを含む順列の全分類を新たな必須課題とせず、元の問題や図版を写していません。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/count-ordered-arrangements-with-position-constraints/
準備14問は短い順列計算・位置条件と数え方の確認です。主課題は生徒の対象・結果の同一性、位置ごとの候補と減る理由、すべての場合を尽くす表や樹形図・一対一対応と検算を手動確認します。T1役割と順列の導出、T2順序の有無、T3全順列と固定位置、T4先頭0、T5偶数の排反な場合分け、T6隣接ブロック、T7余事象と別の検算、T8両端、T9誤った二つの数え方の全文修正、T10生徒のカード・桁と位置条件を見ます。最終数だけでなく根拠を確かめ、正しい別解・圧縮した表も認めます。
異なる6人から、委員長と副委員長を一人ずつ兼任なしで決めます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる7個から、重複使用せず3個を順に並べます。7P3の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる4冊を全て一列に並べます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる5冊を全て一列に並べ、指定した1冊を一番左に固定します。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0,1,4,8のカードから、同じカードを二度使わず2桁の整数を作ります。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる5人A,B,C,D,Eを一列に並べます。Aのすぐ右にBが来る場合だけを数えます（ABは可、BAは不可）。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる5人を一列に並べ、指定した一人を左端または右端へ置きます。通り数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる二人A,Bを委員長・副委員長へ割り当てる場面で正しい区別はどれですか。
- ABとBAは同じ二人なので必ず同じ結果とする
- 役割が違うのでA委員長/B副委員長とB委員長/A副委員長は別の結果である
- 一人が両方を兼任しなければならない
- 誰がどの役かを記録しても結果の区別は変わらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0を含むカードから、同じカードを二度使わず3桁の整数を作るとき、いつも守る条件はどれですか。
- 最高位へ0を置いても必ず3桁の整数になる
- 使ったカードを次の位置でも使える
- 最高位を0以外から選び、そのカードを後の候補から除く
- 一の位は必ず0にする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なるn個から重複使用せずr個を順に並べる場合、位置ごとの候補数の正しい並びはどれですか。
- n,n−1,…,n−r+1
- 全位置でn個のまま
- n,n+1,…,n+r−1
- 初めから全位置でr個ずつ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
隣り合うA,Bを一つのブロックにし、ABとBAの両方を許すとき、内部の並べ方はどう数えますか。
- A,Bは同じブロックなので内部は必ず1通り
- 全体の人数に関係なく内部だけでn!通り
- ブロックを置く位置の数と内部の数は同じである
- 内部はABとBAの2通りで、ブロック全体の並べ方に対応させる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0と0でない偶数を含むカードから、指定桁の偶数を重複使用なしで作るとき、有効な場合分けはどれですか。
- 最高位0の場合と0以外の場合を足し、どちらも同じ桁数に含める
- 一の位0と、一の位が0でない偶数の場合に分け、各最高位候補を確かめる
- 一の位が0の配置を二度数える
- 一の位の条件を無視し、全順列を答えとする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ全体の配置で「A,Bが隣り合う」と「隣り合わない」が全てを分けるとき、正しい関係はどれですか。
- 隣り合わない数は全体と隣り合う数を掛ける
- 隣り合う数が分かれば全体の条件を確かめる必要はない
- 隣り合わない数=全体の数−隣り合う数
- 二つの条件には同じ配置が必ず含まれる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる二人A,Bを一列の両端へ置き、どちらが左でもよいとき、端の割当ては何通りですか。
- A左/B右とB左/A右の2通り
- A,Bは同じ二人組なので1通り
- A,Bをどちらも左端に置く1通り
- 中の人数に関係なく必ず全体のn!通り
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
異なる5人A,B,C,D,Eから、委員長と副委員長を一人ずつ兼任なしで決めます。全ての順序対を表や樹形図に整理し、役割ごとの候補数がどう減るかを示してください。積と5P2を導き、漏れや重複がない理由を説明します。
異なる4人A,B,C,Dから二人を扱います。「委員長と副委員長を兼任なしで決める」と「役割のない二人組を選ぶ」を別々の小さい表へ整理し、それぞれを数えてください。同じ二人の入れ替えが別の結果になる場合とならない場合を、具体的な対応で説明します。組合せの一般公式は要求しません。
異なる6冊P,Q,R,S,T,Uを全て一列に並べます。位置ごとの候補の積から全体の通り数を導き、別にRを左から3番目へ固定した場合を数えてください。固定した冊子を他の位置へ再使用しないこと、各配置が一度だけ数えられることを説明します。720配置の長い全列挙は要求しません。
0,1,3,5,7のカードから、同じカードを二度使わず3桁の整数を作ります。最高位の候補ごとに枝数が分かる表や樹形図を作り、各位置の候補と総数を求めてください。0で始まる列を入れず、漏れ・重複がない理由も説明します。
0,1,2,4,7,9のカードから、同じカードを二度使わず3桁の偶数を作ります。一の位0と0でない偶数の場合を分け、各最高位・十の位の候補を表や樹形図で示してください。二場合が重ならず全てを含む理由と、合計の通り数を説明します。
異なる5人K,L,M,N,Pを一列に並べ、KとLが隣り合う場合を数えます。二人を一つのブロックにする数え方と、実際の配置の一対一対応を示してください。KLとLKの扱いを明記し、漏れと重複がない理由を説明します。
同じ5人K,L,M,N,Pについて、KとLが隣り合わない場合を数えてください。全体と隣り合う配置の条件をそろえて差を求め、さらに別の小さい表や隙間の数え方で検算します。二つの方法の各配置への対応を説明します。
異なる6人A,B,C,D,E,Fを一列に並べ、A,Bを両端へ置きます。どちらが左でもよいとします。端の割当てと中の4人を表や位置図へ分け、総数を求めてください。各配置が二度数えられていないことと、固定した二人を中へ使っていないことを説明します。
友達は「0,2,3,6から重複使用なしの3桁の整数は4P3=24通り」「異なる4人R,S,T,UでR,Sが隣り合う並びは、ブロックと他の二人の3!だけで6通り」としました。二つを別々の表や配置で確かめ、条件を落とした場所と正しい数え方を含む全文へ直してください。
カード集合D1={0,1,2,4,6}、D2={0,2,3,5,8}、D3={0,1,4,7,9}から一つ、桁数を2または3、条件を偶数または奇数から選び、自分の整数を作る問題にしてください。同じカードは二度使わず、最高位0不可とします。各位置・末尾による場合分けが分かる表や樹形図、通り数、全ての条件への検算を残します。全12条件を解くことは要求しません。
解答: 順列を位置ごとの選択で導き、0・隣接や端の条件を数える
30
役割が異なるので6×5=30通りです。
210
7×6×5=210通りです。
24
4!=4×3×2×1=24通りです。
24
残る4冊を残る4位置へ並べ、4!=24通りです。
9
十の位は0以外の3通り、一の位は残る3通りで9通りです。
24
ABという順序固定のブロックと他の3人の4単位を並べ、4!=24通りです。内部を2倍しません。
48
端の2通りと残る4人の4!通りで、2×24=48通りです。
役割が違うのでA委員長/B副委員長とB委員長/A副委員長は別の結果である
役割の違いを結果の違いとして数えます。
最高位を0以外から選び、そのカードを後の候補から除く
3桁という条件と重複使用しない条件の両方を保ちます。
n,n−1,…,n−r+1
一つ使うごとに候補が一つ減るので、積はnPrです。
内部はABとBAの2通りで、ブロック全体の並べ方に対応させる
内部2通りと、ブロックを一つの単位にした配置を区別します。
一の位0と、一の位が0でない偶数の場合に分け、各最高位候補を確かめる
二場合は重ならず、可能な偶数を尽くし、最高位0不可の扱いも明確になります。
隣り合わない数=全体の数−隣り合う数
同じ全体の中で重ならない二集合へ分かれるので、差で求められます。
A左/B右とB左/A右の2通り
二つの端の役割を区別し、その後で中を並べます。
記述問題の解答・確認の観点
異なる5人A,B,C,D,Eから、委員長と副委員長を一人ずつ兼任なしで決めます。全ての順序対を表や樹形図に整理し、役割ごとの候補数がどう減るかを示してください。積と5P2を導き、漏れや重複がない理由を説明します。
委員長5通り、それぞれ副委員長4通りで20通り。Aから始まるAB,AC,AD,AEなど、各先頭4組の5行に整理できる。各順序対は委員長の行に一度だけ属し、同一人物の二役を除く。生徒の全20組または同じ情報を示す枝と5×4、役割の対応を見る。
人数と式だけでなく、生徒の位置・役割の表で減る候補を確かめる。
異なる4人A,B,C,Dから二人を扱います。「委員長と副委員長を兼任なしで決める」と「役割のない二人組を選ぶ」を別々の小さい表へ整理し、それぞれを数えてください。同じ二人の入れ替えが別の結果になる場合とならない場合を、具体的な対応で説明します。組合せの一般公式は要求しません。
役割ありは4×3=12順序対。役割なしはAB,AC,AD,BC,BD,CDの6組。各二人組に役割ありABとBAなどの2組が対応するので12=2×6。生徒の表と同じ結果の定め方を見る。
同じ二人でも、役割という結果の定義を変えると数が変わることを説明する。
異なる6冊P,Q,R,S,T,Uを全て一列に並べます。位置ごとの候補の積から全体の通り数を導き、別にRを左から3番目へ固定した場合を数えてください。固定した冊子を他の位置へ再使用しないこと、各配置が一度だけ数えられることを説明します。720配置の長い全列挙は要求しません。
全体6!=720。Rを3番目へ固定すると残る5冊を5位置へ並べ、5!=120。全体は6,5,4,3,2,1、固定後は5,4,3,2,1という候補に対応させる。生徒の圧縮した位置表や樹形図と、冊子の重複がない理由を見る。
全順列と固定位置を、残る対象と位置に戻す。
0,1,3,5,7のカードから、同じカードを二度使わず3桁の整数を作ります。最高位の候補ごとに枝数が分かる表や樹形図を作り、各位置の候補と総数を求めてください。0で始まる列を入れず、漏れ・重複がない理由も説明します。
百の位は1,3,5,7の4通り、それぞれ十の位4通り（0を含む残り）、一の位3通り。各先頭12個で合計4×4×3=48。生徒の各位置で使ったカードを除く対応と、最高位の4場合が重ならず尽くすことを見る。
最高位0不可と、後の位置では0を使えることを混ぜない。
0,1,2,4,7,9のカードから、同じカードを二度使わず3桁の偶数を作ります。一の位0と0でない偶数の場合を分け、各最高位・十の位の候補を表や樹形図で示してください。二場合が重ならず全てを含む理由と、合計の通り数を説明します。
一の位0なら百の位5通り、十の位4通りで20。一の位2または4なら2通り、百の位は0と使用した一の位を除く4通り、十の位4通りで32。合計52。各一の位で20,16,16とも検算できる。生徒の排反な三つの末尾と候補減少を見る。
0でない偶数を先に使うと最高位候補が減ることを具体的に示す。
異なる5人K,L,M,N,Pを一列に並べ、KとLが隣り合う場合を数えます。二人を一つのブロックにする数え方と、実際の配置の一対一対応を示してください。KLとLKの扱いを明記し、漏れと重複がない理由を説明します。
ブロック(KLまたはLK)とM,N,Pの4単位で4!、内部2通りなので2×4!=48。各許された実配置から隣接二人を縮めるとブロック配置と内部順が一意に戻り、逆も一意。生徒の少数の具体例と全体への対応を確認する。
内部の2通りを、ブロック位置の数へ重ねて数えない。
同じ5人K,L,M,N,Pについて、KとLが隣り合わない場合を数えてください。全体と隣り合う配置の条件をそろえて差を求め、さらに別の小さい表や隙間の数え方で検算します。二つの方法の各配置への対応を説明します。
全体5!=120から隣接48を引いて72。別にM,N,Pを3!通りに並べ、前・間・後の4隙間の異なる二つへK,Lを役割を区別して入れると4×3=12、3!×12=72。各隙間に一人ずつなので隣接せず、戻すと一意。生徒の同等な別の検算も認める。
同じ全体の余事象と、別の構成の対応で漏れ重複を確かめる。
異なる6人A,B,C,D,E,Fを一列に並べ、A,Bを両端へ置きます。どちらが左でもよいとします。端の割当てと中の4人を表や位置図へ分け、総数を求めてください。各配置が二度数えられていないことと、固定した二人を中へ使っていないことを説明します。
端はA左/B右またはB左/A右の2通り、中C,D,E,Fは4!=24通りで48。二つの端の場合は重ならず、残る4位置へ残る4人が一度ずつ入る。生徒の位置図・候補の積と一意な対応を見る。
端の役割と、中の順列を別に対応させる。
友達は「0,2,3,6から重複使用なしの3桁の整数は4P3=24通り」「異なる4人R,S,T,UでR,Sが隣り合う並びは、ブロックと他の二人の3!だけで6通り」としました。二つを別々の表や配置で確かめ、条件を落とした場所と正しい数え方を含む全文へ直してください。
前者は先頭0の列を含むので、最高位3通り、次3通り、最後2通りで18。全24から先頭0の3×2=6を引いても18。後者はRS/SRの内部2通りがあるので2×3!=12。生徒の二つの図・対応と、0の条件/内部順をそれぞれ含む全文修正を見る。
公式名だけでなく、対象の条件に戻して二つの別の誤りを直す。
カード集合D1={0,1,2,4,6}、D2={0,2,3,5,8}、D3={0,1,4,7,9}から一つ、桁数を2または3、条件を偶数または奇数から選び、自分の整数を作る問題にしてください。同じカードは二度使わず、最高位0不可とします。各位置・末尾による場合分けが分かる表や樹形図、通り数、全ての条件への検算を残します。全12条件を解くことは要求しません。
作例D2/3桁/偶数なら一の位0は百の位4×十の位3=12、一の位2または8は各3×3=9、合計30。全3桁は48、奇数は18で30+18=48。許された別の12条件と正しい別解も認め、生徒の実際の集合・桁・末尾と、最高位0や重複の除外、場合分けの漏れ・重複を確認する。
生徒が選んだ実際の条件と表を示し、一般公式や講師の作例だけを生徒の数え方としない。