期待値の重み・比較の目的と、一回の結果を分ける
有限の架空の得点モデルで期待値を比べます。準備14問と、生徒が確率の重み・点数の表や判断の範囲を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(2)ア(ウ)・イ(ウ)、冊子91〜95/PDF103〜107の確率・期待値と意思決定の考察を踏まえた独自課題です。PDF104では期待値を従前の数学Ｂから数学Ａへ移したと説明しています。数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。元の問題・図版を写していません。
解説を読む
得点の単純な平均と、確率の重みを掛けた期待値を区別します。同じ期待値でも出方や目標点に届く確率は違い、一回の結果が期待値になるとは限りません。比べたい目的と与えたモデルへ戻します。
必要な予備知識
有限の場合の確率、分数の積と和、平均、負の数と同じ単位の点数の比較。確率は非負で全結果の合計1とします。全て架空のポイントで、実際のお金・収益や賭け事の判断ではありません。自分の重み付き表と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- 結果が有限個のモデルでは、起こり得る得点と各確率をそろえます。確率は0以上で、全結果の合計が1であることを先に確かめます。点数は同じ単位で扱います。
- 期待値は各得点にその確率を掛けた値を全て足します。得点x1,x2,…に確率p1,p2,…が対応するならx1p1+x2p2+…です。積の一つ一つと、元の表の対応を残します。
- 全ての結果が同様に確からしい場合だけ、期待値は各結果の得点の算術平均で求められます。結果名が同じ一個でも、確率の重みが違えば単純な個数の平均にはしません。
- 期待値は与えた確率モデルからの値です。数回の観測例の算術平均は、その実際の記録から求める別の値で、有限の記録でいつも期待値と一致するとは限りません。
- 期待値は一回の得点を保証しません。期待値と同じ値が、起こり得る得点の一覧に含まれない場合もあります。実際の結果とモデルの平均的な値を分けます。
- 全ての得点に同じ定数cを足すと、期待値もcだけ増えます。各確率を掛けたcの合計はc×1だからです。得点表を変えた計算とも照合できます。
- 架空の固定参加コストを点数から引くモデルなら、各結果の純ポイントを先に定めます。常に同じコストcなら、純ポイントの期待値は元の期待値からcを引いた値です。実際の金銭の判断へ広げません。
- 二つのモデルの期待値が同じでも、得点の分布や目標点以上になる確率まで同じとは限りません。同じ平均的な得点と、個々の出方や目的の違いを分けます。
- 期待値を比べることと、指定した目標点に届く確率を比べることは別の基準です。目的を明記して与えたモデルの中で判断し、全ての人や実際の結果に最良だとはしません。
- 得点や確率の仮定を変えたら、元の表と期待値を計算し直します。確率合計が1でない表をそのまま確率モデルとせず、どの仮定を直したか明記します。
解き方の例
架空の得点が0,5,11点で、確率が1/2,1/4,1/4なら期待値は0×1/2+5×1/4+11×1/4=4点です。得点の単純平均16/3とは異なり、実際の一回に4点が出るモデルでもありません。
架空のモデルPは毎回3点、モデルQは0点か6点がそれぞれ1/2です。両方の期待値は3点ですが、5点以上はPでは確率0、Qでは1/2。平均点だけでなく比べる目的を先に定めます。
よくある間違い
- 確率の重みが違うのに、得点だけの単純平均を取る。
- 確率の合計1と、単なる正の重みを区別しない。
- 期待値を一回の必ず出る得点や観測例の平均にする。
- 同じ期待値なら分布も目標到達の確率も同じとする。
- 固定の架空ポイントコストを一部の結果からしか引かない。
- 比較の目的や確率の仮定を示さず、期待値の大きい方が常に最良とする。
考え方を説明する
準備14問は確率の重み・短い期待値と限界の確認です。主課題では生徒の全得点・確率合計1、各積と和、同じ点数単位とモデルの仮定、比較の目的と一回の結果との区別を手動確認します。T1重み付きの表全体、T2非一様と個数平均、T3定数の加算、T4架空の固定コスト、T5同じ期待値と違う分布、T6架空の記録の平均と保証の誤り、T7確率の仮定変更、T8平均点と目標到達という二基準、T9不正な確率表と断定の全文修正、T10生徒の得点モデルを見ます。正しい別解を認め、最終数だけで生徒の判断を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の表全体・重みの積と比較の目的や理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。全て架空の得点を扱う確率モデルで、実際の金銭・賭け事・投資助言ではありません。効用やリスクの最適化、実際の収益・測定、無作為シミュレータ、統計的検定、生徒の達成や学習効果を主張しません。
練習する
準備の数値・選択を自動採点します。自分の重み付き表・比較の目的と限界は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
架空の得点0,4,10点が、それぞれ確率1/2,1/3,1/6で出るモデルです。得点の期待値を求めてください。
答えと解説
3
0×1/2+4×1/3+10×1/6=4/3+5/3=3点です。
架空の得点2,5,8点が、それぞれ確率1/3で出るモデルです。得点の期待値を求めてください。
答えと解説
5
同じ確率なので(2+5+8)/3=5点です。
架空の得点0点が確率1/4、6点が確率3/4で出ます。得点の期待値を求めてください。
答えと解説
0×1/4+6×3/4=18/4=9/2点です。
架空の得点−2,3,7点が、それぞれ確率1/5,2/5,2/5で出ます。得点の期待値を求めてください。
答えと解説
−2/5+6/5+14/5=18/5点です。
架空の得点Xの期待値は7/3点です。全結果の得点へ4点ずつ足したときの期待値を求めてください。
答えと解説
確率合計1より期待値も4点増え、7/3+4=19/3点です。
架空の報酬ポイントは0か12で各確率1/2です。毎回、固定コスト2ポイントを差し引くモデルで、純ポイントの期待値を求めてください。
答えと解説
4
報酬の期待値6から固定2を引いて4ポイント。純ポイント−2,10の各1/2でも4です。
架空のモデルPは1点が確率3/4・5点が1/4、Qは0点と8点が各1/2です。期待値の差「Q−P」を求めてください。
答えと解説
2
Pは3/4+5/4=2点、Qは4点なので差は2点です。
有限の得点モデルの期待値を求める基本の計算はどれですか。
- 各得点を確率によらず足す
- 各得点と対応する確率の積を足す
- 得点の最大値と最小値だけを足す
- 起こりやすい一つの得点だけを選ぶ
答えと解説
各得点と対応する確率の積を足す
全結果の得点に対応する確率を掛け、その積を全て足します。
有限の結果の一覧を確率モデルとして使うとき、確率について先に確かめる条件はどれですか。
- 全て正であれば合計は問わない
- 合計1なら負の確率も許してよい
- 全ての結果の確率が同じでなければならない
- 全て非負で、全結果の確率の合計が1
答えと解説
全て非負で、全結果の確率の合計が1
確率は非負で全合計1です。全て同じ確率である必要はありません。
得点の期待値が4点というモデルについて、正しい説明はどれですか。
- 一回の得点が4点とは限らない
- 次の得点は必ず4点になる
- 四回の合計は必ず16点になる
- どの有限の記録の平均も4点になる
答えと解説
一回の得点が4点とは限らない
期待値は確率の重み付きの値で、個々の結果や有限の観測平均を保証しません。
二つの架空の得点モデルの期待値が等しいとき、そこから必ず言えることはどれですか。
- 起こり得る得点は全て同じ
- 目標点以上になる確率も同じ
- 確率で重み付けした得点の平均が同じ
- 一回の得点は必ず同じになる
答えと解説
確率で重み付けした得点の平均が同じ
同じなのは期待値で、分布や目標到達の確率まで等しいとは限りません。
与えた二つのモデルを期待値で比較するとき、その判断の範囲として適切なのはどれですか。
- 全ての人にとっての最良を決める
- このモデルの平均的な得点を比べる
- 次の一回の勝つ側を確定する
- 目標点へ届く確率と常に同じ順位を決める
答えと解説
このモデルの平均的な得点を比べる
比較しているのは与えた確率モデルでの平均的な得点です。目的や別の基準と分けます。
四回の架空の観測記録の平均と、確率モデルの期待値の関係について正しい説明はどれですか。
- 有限の記録では一致しない場合もある
- 四回あれば必ず期待値と一致する
- 記録の平均が期待値を定義し直す
- 期待値にない得点は記録できない
答えと解説
有限の記録では一致しない場合もある
記録からの平均とモデルからの期待値は別の値で、有限の記録で必ず一致するとは限りません。
全ての得点から同じ固定コストcポイントを引くとき、純ポイントの期待値はどうなりますか。
- 常に元の期待値のc倍になる
- コストが出る確率を新たに1/2とする
- 最大の得点からだけcを引いて決める
- 元の期待値からcを引く
答えと解説
元の期待値からcを引く
確率合計1よりコストの重み付きの和はcなので、元の期待値からcを引きます。
考え方を説明する
架空の得点−1,2,8点が、それぞれ確率1/4,1/2,1/4で出ます。全結果・確率・得点との積の表を作り、確率の合計と期待値を求めてください。期待値が一回の得点として一覧にあるかも、元のモデルへ戻して確かめます。
答えと解説
確率合計1。各積は−1/4,1,2で、期待値11/4点。一回の得点は−1,2,8のいずれかで11/4は一覧にない。
全三行の重みと積・和、同じ点数単位と一回の結果の区別を見ます。
四結果A,B,C,Dの架空の得点は0,4,8,12点で、確率は順に1/2,1/4,1/8,1/8です。表全体から期待値と、四つの得点だけの算術平均を別々に求め、どちらがこのモデルの期待値かを重みの違いから説明してください。
答えと解説
期待値0+1+1+3/2=7/2点。四得点の単純平均は24/4=6点で異なる。四結果の確率は等しくないので単純なラベル数の平均を使わない。
全四行・確率合計1、各積と二つの値を分け、単純平均の前提を確かめる生徒の理由を見ます。
架空の得点−3,3,9点に確率1/6,1/2,1/3が対応します。全ての得点へ5点ずつ足す前後を、二つの表全体と各期待値で比較してください。元の期待値へ5を足す方法とも照合し、なぜ同じ定数だけ増えるかを確率合計から説明します。
答えと解説
元の各積−1/2,3/2,3で期待値4点。加算後の得点2,8,14の各積1/3,4,14/3で計9点。増加分5×(1/6+1/2+1/3)=5で4+5=9。
前後の同じ確率と全三行、増えた重み付きの和を生徒の式に戻す。
架空の報酬ポイント0,9,15が、確率1/3,1/2,1/6で出ます。毎回固定3ポイントを差し引くモデルです。全ての純ポイントと各積の表を作り、その期待値を求めてください。報酬の期待値から3を引く方法と照合し、固定コストを全結果へ適用したことを確かめます。
答えと解説
報酬の期待値7。純ポイントは−3,6,12で、各積−1,3,2を足して4。7−3=4と一致する。
全三行の固定コストと同じポイント単位、実際のお金の判断でないモデルの範囲を見ます。
架空のモデルPは常に4点、モデルQは0点か8点が各確率1/2です。二つの表全体と期待値を求め、起こり得る得点と6点以上になる確率を比較してください。「期待値が等しいから出方も目標達成も同じ」と言えるか、元の条件で説明します。
答えと解説
Pは4点・確率1で期待値4、Qも期待値4。一回の得点はPの{4}とQの{0,8}で異なる。6点以上はP0、Q1/2で異なり、期待値の一致だけでは言えない。
期待値が同じという事実と、二つの具体的な分布・目標の違いを区別する生徒の表を見ます。
架空のモデルRでは0点が確率2/3、9点が1/3です。例として与えた四回の架空の記録は0,0,0,9点でした。モデルの期待値と、この記録の算術平均を別々に求めてください。友達の「期待値だから次は必ずその点になる」という主張も、実際に起こり得る得点から理由を含む全文に直します。
答えと解説
期待値3点、記録の平均9/4点で一致しない。次の一回の得点は0か9で、3を保証しない。期待値は確率モデルの重み付きの値、記録の平均は与えた四つの値からの別の値である。
モデルの確率と有限の架空記録、期待値と一回の保証の区別を見る。実測結果や標本数による収束の証明にしない。
架空の同じ三得点−2,4,10点を使います。モデルIの確率は1/2,1/4,1/4、モデルIIは1/4,1/4,1/2です。前後の表全体・各積と期待値を比較し、変えた仮定と期待値の差を説明してください。これは実際の観測比較ではなく、与えた二つの確率モデルです。
答えと解説
Iは−1+1+5/2=5/2点、IIは−1/2+1+5=11/2点、差3点。得点は同じでも確率の重みの仮定が変わったので期待値も変わる。
二表とも確率合計1、得点を保った重みの変更と差を生徒の行・式に戻す。
架空のモデルAは0点と12点が各確率1/2、モデルBは0点が1/5・5点が4/5です。表全体・期待値・5点以上になる確率を求めてください。「モデルの平均点を大きくする」と「5点以上の確率を大きくする」という二つの目的を別々に示し、それぞれどちらを選ぶかと判断の範囲を説明します。
答えと解説
期待値はA6点、B4点で平均点の基準ならA。5点以上の確率はA1/2、B4/5で目標到達の基準ならB。目的で比較が異なり、全ての人や次の一回の最良を決めない。
二つの目的と同じ表の重み・対象得点へ戻し、平均点と目標確率の順位を混ぜない。
友達は架空の得点0,6,12点に確率1/2,1/3,1/3を付け、「期待値6点だから次は必ず6点」としました。確率表としての問題を示し、0点の1/2と6点の1/3を保って12点の確率を直してください。修正後の表全体・期待値と実際の一回の得点を示し、二つの誤りを理由付きの全文へ直します。
答えと解説
元の確率合計7/6で確率表ではない。指定を保つと12点の確率1−1/2−1/3=1/6。修正後期待値0+2+2=4点で、一回は0,6,12のいずれか。期待値4点も必ず出るとは言えず、確率合計1と保証の誤りを直す。
無断で全ての重みを比例変更せず、保つと指定された二確率と残りの重み、二つの全文修正を見ます。
得点の組D1=(0,3,9)、D2=(−2,4,10)、D3=(1,5,13)から一つ、対応する確率の組W1=(1/2,1/3,1/6)、W2=(1/4,1/2,1/4)から一つ選びます。架空の固定コストを0か2ポイントとしたモデルを作り、表全体・各積・報酬と純ポイントの期待値を求めてください。実際に起こり得る純ポイントと、期待値が一回の保証かを元の仮定へ戻して説明します。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例D3,W2,コスト2。報酬の各積1/4,5/2,13/4で期待値6、純ポイント−1,3,11の各積−1/4,3/2,11/4で期待値4。一回の一覧に4はなく保証しない。許された12条件の生徒の一例と正しい別解を認める。
確率合計1・非負と同じポイント単位、固定コストを全行へ適用する生徒の表・目的と限界を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(2)ア(ウ)・イ(ウ)、冊子91〜95/PDF103〜107の確率・期待値と意思決定の考察を踏まえた独自課題です。PDF104では期待値を従前の数学Ｂから数学Ａへ移したと説明しています。数学Ａの選択的履修（PDF98）を踏まえ、固定学年・全試験範囲を主張しません。元の問題・図版を写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 期待値の重み・比較の目的と、一回の結果を分ける
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/compare-expected-values-and-explain-their-limits/
準備14問は確率の重み・短い期待値と限界の確認です。主課題では生徒の全得点・確率合計1、各積と和、同じ点数単位とモデルの仮定、比較の目的と一回の結果との区別を手動確認します。T1重み付きの表全体、T2非一様と個数平均、T3定数の加算、T4架空の固定コスト、T5同じ期待値と違う分布、T6架空の記録の平均と保証の誤り、T7確率の仮定変更、T8平均点と目標到達という二基準、T9不正な確率表と断定の全文修正、T10生徒の得点モデルを見ます。正しい別解を認め、最終数だけで生徒の判断を判定しません。
架空の得点0,4,10点が、それぞれ確率1/2,1/3,1/6で出るモデルです。得点の期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の得点2,5,8点が、それぞれ確率1/3で出るモデルです。得点の期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の得点0点が確率1/4、6点が確率3/4で出ます。得点の期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の得点−2,3,7点が、それぞれ確率1/5,2/5,2/5で出ます。得点の期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の得点Xの期待値は7/3点です。全結果の得点へ4点ずつ足したときの期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空の報酬ポイントは0か12で各確率1/2です。毎回、固定コスト2ポイントを差し引くモデルで、純ポイントの期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
架空のモデルPは1点が確率3/4・5点が1/4、Qは0点と8点が各1/2です。期待値の差「Q−P」を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
有限の得点モデルの期待値を求める基本の計算はどれですか。
- 各得点を確率によらず足す
- 各得点と対応する確率の積を足す
- 得点の最大値と最小値だけを足す
- 起こりやすい一つの得点だけを選ぶ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
有限の結果の一覧を確率モデルとして使うとき、確率について先に確かめる条件はどれですか。
- 全て正であれば合計は問わない
- 合計1なら負の確率も許してよい
- 全ての結果の確率が同じでなければならない
- 全て非負で、全結果の確率の合計が1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
得点の期待値が4点というモデルについて、正しい説明はどれですか。
- 一回の得点が4点とは限らない
- 次の得点は必ず4点になる
- 四回の合計は必ず16点になる
- どの有限の記録の平均も4点になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの架空の得点モデルの期待値が等しいとき、そこから必ず言えることはどれですか。
- 起こり得る得点は全て同じ
- 目標点以上になる確率も同じ
- 確率で重み付けした得点の平均が同じ
- 一回の得点は必ず同じになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
与えた二つのモデルを期待値で比較するとき、その判断の範囲として適切なのはどれですか。
- 全ての人にとっての最良を決める
- このモデルの平均的な得点を比べる
- 次の一回の勝つ側を確定する
- 目標点へ届く確率と常に同じ順位を決める
途中の計算・単位・理由・確認答え:
四回の架空の観測記録の平均と、確率モデルの期待値の関係について正しい説明はどれですか。
- 有限の記録では一致しない場合もある
- 四回あれば必ず期待値と一致する
- 記録の平均が期待値を定義し直す
- 期待値にない得点は記録できない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全ての得点から同じ固定コストcポイントを引くとき、純ポイントの期待値はどうなりますか。
- 常に元の期待値のc倍になる
- コストが出る確率を新たに1/2とする
- 最大の得点からだけcを引いて決める
- 元の期待値からcを引く
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
架空の得点−1,2,8点が、それぞれ確率1/4,1/2,1/4で出ます。全結果・確率・得点との積の表を作り、確率の合計と期待値を求めてください。期待値が一回の得点として一覧にあるかも、元のモデルへ戻して確かめます。
四結果A,B,C,Dの架空の得点は0,4,8,12点で、確率は順に1/2,1/4,1/8,1/8です。表全体から期待値と、四つの得点だけの算術平均を別々に求め、どちらがこのモデルの期待値かを重みの違いから説明してください。
架空の得点−3,3,9点に確率1/6,1/2,1/3が対応します。全ての得点へ5点ずつ足す前後を、二つの表全体と各期待値で比較してください。元の期待値へ5を足す方法とも照合し、なぜ同じ定数だけ増えるかを確率合計から説明します。
架空の報酬ポイント0,9,15が、確率1/3,1/2,1/6で出ます。毎回固定3ポイントを差し引くモデルです。全ての純ポイントと各積の表を作り、その期待値を求めてください。報酬の期待値から3を引く方法と照合し、固定コストを全結果へ適用したことを確かめます。
架空のモデルPは常に4点、モデルQは0点か8点が各確率1/2です。二つの表全体と期待値を求め、起こり得る得点と6点以上になる確率を比較してください。「期待値が等しいから出方も目標達成も同じ」と言えるか、元の条件で説明します。
架空のモデルRでは0点が確率2/3、9点が1/3です。例として与えた四回の架空の記録は0,0,0,9点でした。モデルの期待値と、この記録の算術平均を別々に求めてください。友達の「期待値だから次は必ずその点になる」という主張も、実際に起こり得る得点から理由を含む全文に直します。
架空の同じ三得点−2,4,10点を使います。モデルIの確率は1/2,1/4,1/4、モデルIIは1/4,1/4,1/2です。前後の表全体・各積と期待値を比較し、変えた仮定と期待値の差を説明してください。これは実際の観測比較ではなく、与えた二つの確率モデルです。
架空のモデルAは0点と12点が各確率1/2、モデルBは0点が1/5・5点が4/5です。表全体・期待値・5点以上になる確率を求めてください。「モデルの平均点を大きくする」と「5点以上の確率を大きくする」という二つの目的を別々に示し、それぞれどちらを選ぶかと判断の範囲を説明します。
友達は架空の得点0,6,12点に確率1/2,1/3,1/3を付け、「期待値6点だから次は必ず6点」としました。確率表としての問題を示し、0点の1/2と6点の1/3を保って12点の確率を直してください。修正後の表全体・期待値と実際の一回の得点を示し、二つの誤りを理由付きの全文へ直します。
得点の組D1=(0,3,9)、D2=(−2,4,10)、D3=(1,5,13)から一つ、対応する確率の組W1=(1/2,1/3,1/6)、W2=(1/4,1/2,1/4)から一つ選びます。架空の固定コストを0か2ポイントとしたモデルを作り、表全体・各積・報酬と純ポイントの期待値を求めてください。実際に起こり得る純ポイントと、期待値が一回の保証かを元の仮定へ戻して説明します。全12条件を解く必要はありません。
解答: 期待値の重み・比較の目的と、一回の結果を分ける
3
0×1/2+4×1/3+10×1/6=4/3+5/3=3点です。
5
同じ確率なので(2+5+8)/3=5点です。
0×1/4+6×3/4=18/4=9/2点です。
−2/5+6/5+14/5=18/5点です。
確率合計1より期待値も4点増え、7/3+4=19/3点です。
4
報酬の期待値6から固定2を引いて4ポイント。純ポイント−2,10の各1/2でも4です。
2
Pは3/4+5/4=2点、Qは4点なので差は2点です。
各得点と対応する確率の積を足す
全結果の得点に対応する確率を掛け、その積を全て足します。
全て非負で、全結果の確率の合計が1
確率は非負で全合計1です。全て同じ確率である必要はありません。
一回の得点が4点とは限らない
期待値は確率の重み付きの値で、個々の結果や有限の観測平均を保証しません。
確率で重み付けした得点の平均が同じ
同じなのは期待値で、分布や目標到達の確率まで等しいとは限りません。
このモデルの平均的な得点を比べる
比較しているのは与えた確率モデルでの平均的な得点です。目的や別の基準と分けます。
有限の記録では一致しない場合もある
記録からの平均とモデルからの期待値は別の値で、有限の記録で必ず一致するとは限りません。
元の期待値からcを引く
確率合計1よりコストの重み付きの和はcなので、元の期待値からcを引きます。
記述問題の解答・確認の観点
架空の得点−1,2,8点が、それぞれ確率1/4,1/2,1/4で出ます。全結果・確率・得点との積の表を作り、確率の合計と期待値を求めてください。期待値が一回の得点として一覧にあるかも、元のモデルへ戻して確かめます。
確率合計1。各積は−1/4,1,2で、期待値11/4点。一回の得点は−1,2,8のいずれかで11/4は一覧にない。
全三行の重みと積・和、同じ点数単位と一回の結果の区別を見ます。
四結果A,B,C,Dの架空の得点は0,4,8,12点で、確率は順に1/2,1/4,1/8,1/8です。表全体から期待値と、四つの得点だけの算術平均を別々に求め、どちらがこのモデルの期待値かを重みの違いから説明してください。
期待値0+1+1+3/2=7/2点。四得点の単純平均は24/4=6点で異なる。四結果の確率は等しくないので単純なラベル数の平均を使わない。
全四行・確率合計1、各積と二つの値を分け、単純平均の前提を確かめる生徒の理由を見ます。
架空の得点−3,3,9点に確率1/6,1/2,1/3が対応します。全ての得点へ5点ずつ足す前後を、二つの表全体と各期待値で比較してください。元の期待値へ5を足す方法とも照合し、なぜ同じ定数だけ増えるかを確率合計から説明します。
元の各積−1/2,3/2,3で期待値4点。加算後の得点2,8,14の各積1/3,4,14/3で計9点。増加分5×(1/6+1/2+1/3)=5で4+5=9。
前後の同じ確率と全三行、増えた重み付きの和を生徒の式に戻す。
架空の報酬ポイント0,9,15が、確率1/3,1/2,1/6で出ます。毎回固定3ポイントを差し引くモデルです。全ての純ポイントと各積の表を作り、その期待値を求めてください。報酬の期待値から3を引く方法と照合し、固定コストを全結果へ適用したことを確かめます。
報酬の期待値7。純ポイントは−3,6,12で、各積−1,3,2を足して4。7−3=4と一致する。
全三行の固定コストと同じポイント単位、実際のお金の判断でないモデルの範囲を見ます。
架空のモデルPは常に4点、モデルQは0点か8点が各確率1/2です。二つの表全体と期待値を求め、起こり得る得点と6点以上になる確率を比較してください。「期待値が等しいから出方も目標達成も同じ」と言えるか、元の条件で説明します。
Pは4点・確率1で期待値4、Qも期待値4。一回の得点はPの{4}とQの{0,8}で異なる。6点以上はP0、Q1/2で異なり、期待値の一致だけでは言えない。
期待値が同じという事実と、二つの具体的な分布・目標の違いを区別する生徒の表を見ます。
架空のモデルRでは0点が確率2/3、9点が1/3です。例として与えた四回の架空の記録は0,0,0,9点でした。モデルの期待値と、この記録の算術平均を別々に求めてください。友達の「期待値だから次は必ずその点になる」という主張も、実際に起こり得る得点から理由を含む全文に直します。
期待値3点、記録の平均9/4点で一致しない。次の一回の得点は0か9で、3を保証しない。期待値は確率モデルの重み付きの値、記録の平均は与えた四つの値からの別の値である。
モデルの確率と有限の架空記録、期待値と一回の保証の区別を見る。実測結果や標本数による収束の証明にしない。
架空の同じ三得点−2,4,10点を使います。モデルIの確率は1/2,1/4,1/4、モデルIIは1/4,1/4,1/2です。前後の表全体・各積と期待値を比較し、変えた仮定と期待値の差を説明してください。これは実際の観測比較ではなく、与えた二つの確率モデルです。
Iは−1+1+5/2=5/2点、IIは−1/2+1+5=11/2点、差3点。得点は同じでも確率の重みの仮定が変わったので期待値も変わる。
二表とも確率合計1、得点を保った重みの変更と差を生徒の行・式に戻す。
架空のモデルAは0点と12点が各確率1/2、モデルBは0点が1/5・5点が4/5です。表全体・期待値・5点以上になる確率を求めてください。「モデルの平均点を大きくする」と「5点以上の確率を大きくする」という二つの目的を別々に示し、それぞれどちらを選ぶかと判断の範囲を説明します。
期待値はA6点、B4点で平均点の基準ならA。5点以上の確率はA1/2、B4/5で目標到達の基準ならB。目的で比較が異なり、全ての人や次の一回の最良を決めない。
二つの目的と同じ表の重み・対象得点へ戻し、平均点と目標確率の順位を混ぜない。
友達は架空の得点0,6,12点に確率1/2,1/3,1/3を付け、「期待値6点だから次は必ず6点」としました。確率表としての問題を示し、0点の1/2と6点の1/3を保って12点の確率を直してください。修正後の表全体・期待値と実際の一回の得点を示し、二つの誤りを理由付きの全文へ直します。
元の確率合計7/6で確率表ではない。指定を保つと12点の確率1−1/2−1/3=1/6。修正後期待値0+2+2=4点で、一回は0,6,12のいずれか。期待値4点も必ず出るとは言えず、確率合計1と保証の誤りを直す。
無断で全ての重みを比例変更せず、保つと指定された二確率と残りの重み、二つの全文修正を見ます。
得点の組D1=(0,3,9)、D2=(−2,4,10)、D3=(1,5,13)から一つ、対応する確率の組W1=(1/2,1/3,1/6)、W2=(1/4,1/2,1/4)から一つ選びます。架空の固定コストを0か2ポイントとしたモデルを作り、表全体・各積・報酬と純ポイントの期待値を求めてください。実際に起こり得る純ポイントと、期待値が一回の保証かを元の仮定へ戻して説明します。全12条件を解く必要はありません。
作例D3,W2,コスト2。報酬の各積1/4,5/2,13/4で期待値6、純ポイント−1,3,11の各積−1/4,3/2,11/4で期待値4。一回の一覧に4はなく保証しない。許された12条件の生徒の一例と正しい別解を認める。
確率合計1・非負と同じポイント単位、固定コストを全行へ適用する生徒の表・目的と限界を見ます。