頂点・軸・通る点から二次関数の式を定める

頂点が(3,−4)で点(5,8)を通る二次関数を定めます。平方完成した形を選び、aを求めて一般形にも直してください。頂点と通過点の全ての条件を検算し、x=1,2,3,4,5の表と、軸・頂点・通過点が分かるグラフを作ります。a≠0も確かめます。

y=a(x−3)²−4に代入して8=4a−4、a=3。y=3(x−3)²−4=3x²−18x+23。軸x=3、頂点(3,−4)、y(5)=8。表のyは8,−1,−4,−1,8。a=3≠0で下に凸。条件で指定された点と表の点を実際の放物線に示す。

生徒の式選択・aの計算・展開・全ての条件の検算・表の五つの関数値とグラフを確認する。

頂点が(−2,5)で点(1,−13)を通る二次関数を定めます。未知係数を求めて二つの形で書き、全ての条件を検算してください。x=−4,−3,−2,−1,0,1の表と軸・頂点・通過点を含むグラフを作り、aの符号が通過点の位置と合う理由も説明します。

y=a(x+2)²+5、−13=9a+5よりa=−2。y=−2(x+2)²+5=−2x²−8x−3。軸x=−2、頂点(−2,5)、y(1)=−13。表は−3,3,5,3,−3,−13。頂点以外では正の平方に負のaを掛けるのでy<5となり、通過点が頂点より下にあることと合う。上に凸の放物線を描く。

生徒の負のa・全六値・二つの条件・符号の理由とグラフを確認する。

軸がx=1で、点(−1,9),(2,0)を通る二次関数を定めます。軸を使った式を置き、aと頂点のy座標qを連立式で求めてください。軸と両通過点を全て検算し、x=−1,0,1,2,3の表とグラフを示します。二点が軸から異なる距離であることも確認します。

y=a(x−1)²+q。4a+q=9、a+q=0を引くと3a=9、a=3、q=−3。y=3(x−1)²−3=3x²−6x。軸x=1、両点はそれぞれ距離2と1で、代入値は9と0。表は9,0,−3,0,9、頂点(1,−3)。a≠0、下に凸の曲線に全ての条件を示す。

生徒の二本の式と消去・異なる距離・軸と両点の検算・表の五つの関数値とグラフを確認する。

三点(0,−3),(1,−2),(3,12)を通る二次関数を定めます。一般形へ三条件を代入し、具体的な消去でa,b,cを求めてください。三点全ての検算、平方完成による軸と頂点、x=0,1,2,3の表とグラフを残します。

c=−3、a+b=1、9a+3b=15。後式を3で割って3a+b=5、引くと2a=4でa=2,b=−1。y=2x²−x−3=2(x−1/4)²−25/8。代入値y(0)=−3,y(1)=−2,y(3)=12で全三点に合う。軸x=1/4、頂点(1/4,−25/8)、指定表のyは−3,−2,3,12。a≠0で、表の点と頂点から下に凸の曲線を描く。

生徒の三条件・具体的消去・三係数・全三点・分数の頂点・表とグラフを確認する。

三点(−2,13),(1,−2),(3,18)を通る二次関数を定めます。x=0の点がないのでcを先に点から読み取りません。三本の式を立て、一つの係数を消して残りを求めます。全三点を代入し、軸・頂点、x=−1,0,1,2,3の表とグラフも作ってください。

4a−2b+c=13、a+b+c=−2、9a+3b+c=18。第二式を引いてa−b=5、4a+b=10、足すと5a=15でa=3,b=−2,c=−3。y=3x²−2x−3=3(x−1/3)²−10/3。元の三点で13,−2,18。軸x=1/3、頂点(1/3,−10/3)。指定表は2,−3,−2,5,18。a≠0で下に凸の放物線に全三点と頂点を示す。

生徒のcを含む三式・消去過程・全ての条件・分数の頂点・表の五つの関数値とグラフを確認する。

x切片が−3と2で、点(1,−8)を通る二次関数を定めます。切片を使う形を選び、係数を決定して一般形・平方完成した形へ直してください。切片二点と通過点を全て検算し、x=−3,−2,−1,0,1,2の表と軸・頂点を含むグラフを作ります。

y=a(x+3)⁠(x−2)。−8=−4aからa=2。y=2(x+3)⁠(x−2)=2x²+2x−12=2(x+1/2)²−25/2。切片のx=−3,2で0、x=1で−8。表は0,−8,−12,−12,−8,0。軸x=−1/2、頂点(−1/2,−25/2)、a≠0。表にない頂点も示して下に凸の放物線を描く。

生徒の因数形・三条件の検算・三つの同値な形・六値と頂点のグラフを確認する。

二次の係数aが−2で、点(0,−1),(3,5)を通る二次関数を定めます。平方完成した形 y=−2(x−p)²+qを置いて二点を代入し、差を取ってp,qを求めてください。一般形にも直して全ての条件を検算し、x=0,1,2,3,4の表とグラフを作ります。

−1=−2p²+q、5=−2(3−p)²+q。差は6=−2{(3−p)²−p²}=−18+12pなのでp=2、q=7。y=−2(x−2)²+7=−2x²+8x−1。二次係数は−2、二点の値は−1,5。軸x=2、頂点(2,7)、表は−1,5,7,5,−1。全ての条件を上に凸の放物線で確かめる。

生徒の二点の代入・差の展開・p,q・既知係数も含む全ての条件・表の五つの関数値とグラフを確認する。

軸がx=−1で、点(−3,6),(1,6)を通るという条件だけで、二次関数が一つに決まるか調べます。条件式を作り、一意でないなら実際に異なる二次関数を二つ示して全ての条件を検算してください。各関数でx=−3,−2,−1,0,1の表を作り、同じ座標平面へ二曲線を描いて違いを説明します。

y=a(x+1)²+qでは二点とも4a+q=6だけになり、一意に決まらない。例f=(x+1)²+2とg=−2(x+1)²+14はa=1,−2でいずれも0でない。両方の軸はx=−1、両点の値は6。fの表は6,3,2,3,6、gは6,12,14,12,6。頂点は(−1,2),(−1,14)で違い、二曲線は同じ条件点を通る。

生徒の同じ一本の条件式・実際の二式とa≠0・軸と両点の検算・二表と二曲線を確認する。単に条件不足と言うだけでは完了にしない。

三点(−1,−1),(1,5),(3,11)を通る二次関数があるか調べます。三点からa,b,cを求め、a≠0の条件と照合してください。もし二次関数がなければ、条件に合う一次関数はあるかも具体式と全三点の代入で示し、三点とその直線を描きます。「関数が一つもない」とは限らない理由を書きます。

a−b+c=−1、a+b+c=5よりb=3,a+c=2。第三式は9a+9+c=11で9a+c=2、差から8a=0なのでa=0,c=2。唯一得られる次数2以下の式はy=3x+2で、a≠0を満たす二次関数はない。ただし直線は三点の値−1,5,11に合う。異なる三つのxに対応する三点はこの直線上で、放物線が得られたとはしない。

生徒の消去とa=0・二次関数の不存在・実際の一次式と全三点の値・直線図を確認する。関数全般が存在しないという結論は認めない。

aを−2,1,3から一つ、pを−2,3から一つ、qを−3,2から一つ選び、y=a(x−p)²+qを作ります。x=p−1,p+1,p+2の三点の具体的な座標を条件として書いてください。次に元の式を見ずにこの三点から一般形の係数を求め直し、元の式と比べます。全三点とa≠0を検算し、x=p−2,p−1,p,p+1,p+2の表・軸と頂点を含むグラフを残してください。

作例a=1,p=−2,q=2、元の式はy=(x+2)²+2。条件三点は(−3,3),(−1,3),(0,6)。一般形では9A−3B+C=3、A−B+C=3、C=6。前二式の差から8A−2B=0でB=4A、第二式からA−B=−3、よってA=1,B=4,C=6。y=x²+4x+6は元の式と同値。三点の値3,3,6を全て確認する。軸x=−2、頂点(−2,2)、x=−4,−3,−2,−1,0の表は6,3,2,3,6。三つのxは異なりa≠0。生徒の別の許された数も認め、選んだ点からの再構成と元の式の照合を必要とする。

生徒の三数・異なる三つのxの具体点条件・点条件からの再構成・元の式との一致・全ての条件と表の五つの関数値・グラフを確認する。作成者に未知だった証拠や別の生徒の試用は主張しない。