互除法の余りをたどり、最大公約数と整数係数の関係を求める
除法の各段階と公約数が変わらない理由を結びます。準備14問と、生徒が連鎖・図・逆代入や不可能の根拠を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(3)ア(ア)・イ(ア)、内容の取扱い(4)、冊子96〜97/PDF108〜109の互除法と数学的活動を踏まえた独自課題です。互除法を公約量を求めるアルゴリズムとして捉え、整数係数の逆代入は考えられる活動として扱います。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、旧課程の独立した必修単元とは称しません。固定学年・試験全範囲への対応や元の問題・図版の転載を主張しません。
解説を読む
割られる数を「除数×商+余り」に分け、前の除数と新しい余りへ移ります。各段の余りの範囲と公約数を保つ理由を確かめ、最後の正の数を元の二数へ戻します。逆にたどって整数係数の一組を作り、元の式へ実際に代入します。
必要な予備知識
正整数の除法a=bq+rと0≤r<b、最大公約数、整数の倍数と整数係数の和。初期のa,bは正整数で、最初のa<bも許します。最後の0の余りそのものを最大公約数とはしません。自分の全連鎖・図・両方向の説明や自由な整数係数は紙や既存の授業用ボードで手動確認します。
- 初期の二数a,bは正整数です。a=bq+r、0≤r<bを満たす整数の商qと余りrを使います。a<bなら最初のq=0,r=aも正しい一段です。
- a=bq+rで、正整数dがa,b両方を割り切るなら、r=a−bqも割り切ります。逆にdがb,rを割り切るならa=bq+rも割り切ります。従って(a,b)と(b,r)の公約数は同じです。
- rが正なら次は(b,r)で同じ除法をします。正の余りは前の除数より小さくなるため、いつか余り0で終わります。各段の等式と余りの範囲を残します。
- ある段でa=bq+0になったら、そのbが最後の正の数で、元の二数の最大公約数です。0を答えにするのではありません。最初から割り切れる場合も同じです。
- 同じ単位の二つのモデルの長さなら、長い方から短い方を整数回引いた残りを次へ引き継げます。図の余りと除法の段を対応させ、実際に測っていなければモデルの計算として記録します。
- 元の二数を同じ正整数k倍すると、各除法をk倍した連鎖が作れ、最大公約数もk倍になります。生徒の具体的な全段と最後の正の数で確かめます。
- 最後の正の数gを、それまでの余りの式へ逆に代入するとg=ax+byという整数係数の一組を作れます。x,yは負や0でもよく、実際のa,bへ代入して検算します。
- g=ax+byなら、その整数倍kg=a(kx)+b(ky)も表せます。一組を見付けたことと全ての整数解を求めたことを区別します。ここでは全ての一般解の分類を新たな完了条件にしません。
- 最大公約数gはa,bを割り切るので、任意の整数x,yでax+byはgの倍数です。従って右辺cがgの倍数でなければ整数解はありません。
- 少数の試行で係数が見付からないことを不可能の証明にはしません。公約数と整数倍の根拠へ戻し、正しい別の係数の組や別証明も認めます。
解き方の例
説明用の322,196では322=196+126、196=126+70、126=70+56、70=56+14、56=4×14+0です。各余りは前の除数未満で、最後の正の数14が最大公約数。元の322と196も14で割り切れます。
別の95,60では余り35,25,10,5,0となり最大公約数5です。逆代入で5=25−2×10=3×25−2×35=8×60−5×95。元の式でも95×(−5)+60×8=5で、負の係数も整数の一組です。
よくある間違い
- 等式が合えばよいとして、余りが除数以上の段を使う。
- 公約数が同じ理由を片方向だけで済ませる。
- 余り0になったから最大公約数も0とする。
- 初めの二数の順序が逆なら互除法が使えないとする。
- 逆代入の負号や係数を変えた後、元の二数へ検算しない。
- 何組かの係数で見付からないだけで、整数解がないとする。
考え方を説明する
準備14問は商・余り・最大公約数と短い係数の確認です。主課題は生徒の各除法・余りの範囲・終わり方、元の二数への検算、公約数を保つ両方向の整数表示を手動確認します。T1全連鎖、T2不変の両方向、T3逆順と割切れ、T4模型の長さと公約量、T5同じ倍率、T6逆代入、T7一つの右辺への二組の検算、T8不可能の根拠、T9誤った段と0の修正、T10生徒の二数と全段・一組の整数係数を見ます。全一般解の分類を求めず、正しい別解を認めます。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の互除法の全ての段階・モデルの図・公約数の両方向の証明・自由な係数・不可能の理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい整数方程式ソルバー、全一般解の自動採点、実際の測量や数学史の暗記・生徒の達成・学習効果は主張しません。
練習する
準備の数値・選択を自動採点します。自分の互除法の全ての段階・図・整数係数や証明は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
277を104で割り、277=104q+r、0≤r<104と表します。整数の商qを答えてください。
答えと解説
2
277=104×2+69で、0≤69<104です。
277を104で割り、277=104q+r、0≤r<104と表します。余りrを答えてください。
答えと解説
69
277−104×2=69で、除数104未満です。
126と84の最大公約数を答えてください。
答えと解説
42
126=84+42、84=2×42+0なので42です。
195=117+78、117=78+39、78=2×39+0です。195と117の最大公約数を答えてください。
答えと解説
39
最後の正の数39です。0を答えにはしません。
正の除数32による整数の除法で、余りが取り得る最大の整数を答えてください。
答えと解説
31
0≤r<32なので最大は31です。
77×6+49y=21を満たす整数yを答えてください。
答えと解説
−9
462+49y=21より49y=−441、y=−9です。
模型の長さ48cmと30cmを、どちらも余りなく同じ長さの区間へ分けます。最大の共通の区間は何cmですか。数値だけ答えてください。
答えと解説
6
48=30+18、30=18+12、18=12+6、12=2×6+0より6cmです。実測ではない模型の計算です。
a=bq+rの一段で、(a,b)と(b,r)の公約数が同じである理由はどれですか。
- a,bを割るならr=a−bqも割り、b,rを割るならa=bq+rも割る
- aとbの公約数は必ず1だから
- a>bなら余りの値に関係なく全ての約数が同じだから
- a,bを割る数はrも割るが、b,rを割る数からaを割れるとは言えない
答えと解説
a,bを割るならr=a−bqも割り、b,rを割るならa=bq+rも割る
同じ正整数dについて両方向を示します。
正整数a=b>0のときa=b×1+0です。最大公約数はどれですか。
- 0
- 1とは限らず、bである
- aとbが等しいので、二つを足したa+bが最大公約数になる
- 余りが0なので、除数ではなく商1を最大公約数とする
答えと解説
1とは限らず、bである
最後の正の除数bが最大公約数です。
123=20×5+23は等式として正しいですが、20による整数の除法の段として使えない理由はどれですか。
- 商5では積が123に届かず、正の余りが出る除法は使えないから
- 123が奇数だから
- 余り23が除数20未満でないから
- 余りが正だから
答えと解説
余り23が除数20未満でないから
余りは0≤r<20でなければなりません。正しくは123=20×6+3です。
a,bの最大公約数が14です。整数係数の式ax+by=35について必ず言えることはどれですか。
- 35を14で割った余りを無視し、右辺を商2として整数解を求められる
- a,bの最大公約数が14でも、右辺が正の整数なら、35を作る整数係数の組がある
- 何組か試して見付からなければ解がないと証明できる
- 左辺は14の倍数だが35はそうでないので整数解はない
答えと解説
左辺は14の倍数だが35はそうでないので整数解はない
a,bは14の倍数なので左辺も必ず14の倍数です。
g=ax+byの整数係数の一組を求めたときの確認として適切なのはどれですか。
- x,yを正にしなければ整数解とは言えない
- 負や0の係数も認め、元のa,bへ代入してgに一致するか確かめる
- 途中の除数と余りで等式が成り立てば、元の二数に戻って確かめなくてもよい
- 一組あれば全ての整数解を分類したことになる
答えと解説
負や0の係数も認め、元のa,bへ代入してgに一致するか確かめる
整数係数は負や0も含み、一組と全ての一般解を区別します。
二つの正整数の最大公約数が5です。二数をどちらも4倍したときの最大公約数はどれですか。
- 5
- 9
- 20
- 1
答えと解説
20
各除法を4倍した連鎖になるので最後の正の数も4×5=20です。
互除法の終わり方について正しいものはどれですか。
- 正の余りは前の除数より小さくなり、余り0で終わった段の正の除数を答える
- 余りは毎回同じ値なので終わらない
- 余り0になったら最大公約数は0である
- 最初のaがbより小さければ商0を使えず、実行できない
答えと解説
正の余りは前の除数より小さくなり、余り0で終わった段の正の除数を答える
正整数の余りが減ることと、最後の正の数を答えることを結びます。
考え方を説明する
正整数391,299について、互除法の全段を表へ書き、各等式と余りの範囲を確かめて最大公約数を求めてください。最後の0と正の数を区別し、元の二数が答えで割り切れることを検算します。
答えと解説
391=299+92、299=3×92+23、92=4×23+0で最大公約数23。余り92<299、23<92、0<23を確かめ、391=17×23、299=13×23。生徒の全段と元の検算を見る。
最後の正の数を、各段と元の二数に対応させる。
正整数a,bの除法a=bq+r、0≤r<bについて、(a,b)と(b,r)の公約数が同じであることを、任意の正の公約数dの整数倍表示で両方向に証明してください。具体的な一段221=3×65+26にも対応させ、実際に共通の約数を一つ確かめます。
答えと解説
dがa,bを割ればa=ds,b=dtでr=a−bq=d(s−tq)。逆にb=dt,r=duならa=bq+r=d(tq+u)。各括弧内は整数。具体例では13が221,65を割り、65,26も割る。生徒の別の正の公約数や両方向の具体行も可。
公約数集合の一致を片方向だけにしない。
まず30,78の順で互除法を始めて全段を示し、78,30の順と同じ最大公約数になることを確かめてください。別に96,24のように最初から割り切れる場合も計算し、商0や余り0、最後の正の数をどう扱うか説明します。
答えと解説
30=0×78+30、78=2×30+18、30=18+12、18=12+6、12=2×6+0で最大公約数6。初めの一段を除けば78,30と同じ連鎖。96=4×24+0では最大公約数24。生徒の全段・各余りの範囲と、0を答えにしない説明を見る。
最初の順序・商0と、終わるときの余り0を別々に扱う。
実測ではないモデルの長さ290cmと174cmを、どちらも余りなく同じ長さの区間へ分けます。長い方から短い方を整数回引いた残りを引き継ぐ図と、互除法の全段を対応させ、最大の共通区間と単位を求めてください。元の二つをいくつ分に分けたかと、最大と言える根拠も説明します。
答えと解説
290=174+116、174=116+58、116=2×58+0で共通区間58cm。元は5区間と3区間。各段で共通に割り切れる区間が変わらず、最後の58cm自身も共通。どの正の共通区間も58cmを整数回分けるので58cmを超えない。生徒の残りを保つ図・全段・単位と模型の説明を見る。
図と除法、最後の区間と元の二長さを対応させ、実測の結果とはしない。
正整数119,77と、両方を4倍した476,308について、二つの互除法の全段を並べ、商・余り・最大公約数を比べてください。各段がどのように4倍されるかを式で確かめ、なぜ最大公約数も4倍か説明します。
答えと解説
元は119=77+42、77=42+35、42=35+7、35=5×7+0で最大公約数7。後は476=308+168、308=168+140、168=140+28、140=5×28+0で28。商は同じで全余り・除数が4倍、最後の正の数も4倍。生徒の各対応行と元の数への検算を見る。
答えの倍率だけでなく、全連鎖と正の倍率を対応させる。
正整数187,119について、互除法の全段から最大公約数を求め、余りの式へ逆に代入してg=187x+119yとなる整数係数の一組を作ってください。負号と整数性を確かめ、元の187,119へ実際に代入して検算します。全ての一般解を求めることは要求しません。
答えと解説
187=119+68、119=68+51、68=51+17、51=3×17+0でg=17。逆に17=68−51=2×68−119=2×187−3×119。従って(x,y)=(2,−3)で374−357=17。生徒の別の正しい係数の組も認め、全逆代入と元の式への検算を見る。
最後の余りから元の二整数へ戻る全段と、実際の一組の検算を見ます。
187,119の最大公約数は17で、17=2×187−3×119と表せます。この関係を使って187x+119y=51の整数解一組を作り、さらに異なるもう一組も見付けて、二組を元の式へ実際に代入してください。一組を得たことと全ての解を求めたことを区別します。
答えと解説
3倍して(x,y)=(6,−9)、1122−1071=51。別の一組は(13,−20)で2431−2380=51。例えばxへ7を足しyから11を引くと187×7−119×11=0で値が変わらない。生徒の別の異なる正しい二組も可。全一般解の分類を要求しない。
指定した右辺への倍率と、二組それぞれの元の代入を確かめる。
正整数154,98の最大公約数を互除法で求めてください。154x+98y=35には整数解がないことを、任意の整数x,yで左辺が何の倍数になるかを使って証明します。係数を何組か試しただけの理由と区別してください。
答えと解説
154=98+56、98=56+42、56=42+14、42=3×14+0でg=14。154x+98y=14(11x+7y)は必ず14の倍数だが35=14×2+7でそうではない。従って整数解なし。生徒の全段と整数係数の一般の根拠、別の正しい不可能の説明を認める。
有限の試行でなく、左辺の全整数係数に共通する条件を示す。
友達は「221=85×1+136も等式が正しいので互除法の最初の段としてよい。最後に余り0になるので最大公約数は0」と言いました。余りの範囲から最初の段を直し、221,85の正しい互除法の全ての段階・最大公約数と元の二数への検算を示して、二つの説明を全文へ書き直してください。
答えと解説
136≥85なので除法の余りの条件を満たさない。正しくは221=2×85+51、85=51+34、51=34+17、34=2×17+0でg=17。221=13×17、85=5×17。終わりの0は停止の印で、最後の正の除数17を答える。生徒の全段と二つの修正理由を見る。
等式の真偽と除法の条件、停止の0と答えの正の数を分ける。
dを3,4,7から、互いに素な組(A,B)を(8,5),(11,7),(13,8)から選び、正整数a=dA,b=dBを作ります。自分の全除法と余りの範囲、公約数が変わらない両方向の理由、最大公約数とg=ax+byの一組を逆代入で求め、元のa,bへ検算してください。全ての一般解は要求しません。
答えと解説
作例d=4,(A,B)=(13,8)ならa=52,b=32。52=32+20、32=20+12、20=12+8、12=8+4、8=2×4+0でg=4。逆代入で4=−3×52+5×32=−156+160。各段で公約数集合を両方向の整数表示で保つ。許された9通りと別の正しい係数を認め、生徒の条件・全連鎖・逆代入と検算を見る。
作った正の二数と具体的な全段、一つの整数係数を一般公式名だけで済ませない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(3)ア(ア)・イ(ア)、内容の取扱い(4)、冊子96〜97/PDF108〜109の互除法と数学的活動を踏まえた独自課題です。互除法を公約量を求めるアルゴリズムとして捉え、整数係数の逆代入は考えられる活動として扱います。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、旧課程の独立した必修単元とは称しません。固定学年・試験全範囲への対応や元の問題・図版の転載を主張しません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/use-euclidean-remainders-to-derive-integer-relations/
準備14問は商・余り・最大公約数と短い係数の確認です。主課題は生徒の各除法・余りの範囲・終わり方、元の二数への検算、公約数を保つ両方向の整数表示を手動確認します。T1全連鎖、T2不変の両方向、T3逆順と割切れ、T4模型の長さと公約量、T5同じ倍率、T6逆代入、T7一つの右辺への二組の検算、T8不可能の根拠、T9誤った段と0の修正、T10生徒の二数と全段・一組の整数係数を見ます。全一般解の分類を求めず、正しい別解を認めます。
277を104で割り、277=104q+r、0≤r<104と表します。整数の商qを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
277を104で割り、277=104q+r、0≤r<104と表します。余りrを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
126と84の最大公約数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
195=117+78、117=78+39、78=2×39+0です。195と117の最大公約数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正の除数32による整数の除法で、余りが取り得る最大の整数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
77×6+49y=21を満たす整数yを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
模型の長さ48cmと30cmを、どちらも余りなく同じ長さの区間へ分けます。最大の共通の区間は何cmですか。数値だけ答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=bq+rの一段で、(a,b)と(b,r)の公約数が同じである理由はどれですか。
- a,bを割るならr=a−bqも割り、b,rを割るならa=bq+rも割る
- aとbの公約数は必ず1だから
- a>bなら余りの値に関係なく全ての約数が同じだから
- a,bを割る数はrも割るが、b,rを割る数からaを割れるとは言えない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正整数a=b>0のときa=b×1+0です。最大公約数はどれですか。
- 0
- 1とは限らず、bである
- aとbが等しいので、二つを足したa+bが最大公約数になる
- 余りが0なので、除数ではなく商1を最大公約数とする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
123=20×5+23は等式として正しいですが、20による整数の除法の段として使えない理由はどれですか。
- 商5では積が123に届かず、正の余りが出る除法は使えないから
- 123が奇数だから
- 余り23が除数20未満でないから
- 余りが正だから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a,bの最大公約数が14です。整数係数の式ax+by=35について必ず言えることはどれですか。
- 35を14で割った余りを無視し、右辺を商2として整数解を求められる
- a,bの最大公約数が14でも、右辺が正の整数なら、35を作る整数係数の組がある
- 何組か試して見付からなければ解がないと証明できる
- 左辺は14の倍数だが35はそうでないので整数解はない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
g=ax+byの整数係数の一組を求めたときの確認として適切なのはどれですか。
- x,yを正にしなければ整数解とは言えない
- 負や0の係数も認め、元のa,bへ代入してgに一致するか確かめる
- 途中の除数と余りで等式が成り立てば、元の二数に戻って確かめなくてもよい
- 一組あれば全ての整数解を分類したことになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの正整数の最大公約数が5です。二数をどちらも4倍したときの最大公約数はどれですか。
- 5
- 9
- 20
- 1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
互除法の終わり方について正しいものはどれですか。
- 正の余りは前の除数より小さくなり、余り0で終わった段の正の除数を答える
- 余りは毎回同じ値なので終わらない
- 余り0になったら最大公約数は0である
- 最初のaがbより小さければ商0を使えず、実行できない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
正整数391,299について、互除法の全段を表へ書き、各等式と余りの範囲を確かめて最大公約数を求めてください。最後の0と正の数を区別し、元の二数が答えで割り切れることを検算します。
正整数a,bの除法a=bq+r、0≤r<bについて、(a,b)と(b,r)の公約数が同じであることを、任意の正の公約数dの整数倍表示で両方向に証明してください。具体的な一段221=3×65+26にも対応させ、実際に共通の約数を一つ確かめます。
まず30,78の順で互除法を始めて全段を示し、78,30の順と同じ最大公約数になることを確かめてください。別に96,24のように最初から割り切れる場合も計算し、商0や余り0、最後の正の数をどう扱うか説明します。
実測ではないモデルの長さ290cmと174cmを、どちらも余りなく同じ長さの区間へ分けます。長い方から短い方を整数回引いた残りを引き継ぐ図と、互除法の全段を対応させ、最大の共通区間と単位を求めてください。元の二つをいくつ分に分けたかと、最大と言える根拠も説明します。
正整数119,77と、両方を4倍した476,308について、二つの互除法の全段を並べ、商・余り・最大公約数を比べてください。各段がどのように4倍されるかを式で確かめ、なぜ最大公約数も4倍か説明します。
正整数187,119について、互除法の全段から最大公約数を求め、余りの式へ逆に代入してg=187x+119yとなる整数係数の一組を作ってください。負号と整数性を確かめ、元の187,119へ実際に代入して検算します。全ての一般解を求めることは要求しません。
187,119の最大公約数は17で、17=2×187−3×119と表せます。この関係を使って187x+119y=51の整数解一組を作り、さらに異なるもう一組も見付けて、二組を元の式へ実際に代入してください。一組を得たことと全ての解を求めたことを区別します。
正整数154,98の最大公約数を互除法で求めてください。154x+98y=35には整数解がないことを、任意の整数x,yで左辺が何の倍数になるかを使って証明します。係数を何組か試しただけの理由と区別してください。
友達は「221=85×1+136も等式が正しいので互除法の最初の段としてよい。最後に余り0になるので最大公約数は0」と言いました。余りの範囲から最初の段を直し、221,85の正しい互除法の全ての段階・最大公約数と元の二数への検算を示して、二つの説明を全文へ書き直してください。
dを3,4,7から、互いに素な組(A,B)を(8,5),(11,7),(13,8)から選び、正整数a=dA,b=dBを作ります。自分の全除法と余りの範囲、公約数が変わらない両方向の理由、最大公約数とg=ax+byの一組を逆代入で求め、元のa,bへ検算してください。全ての一般解は要求しません。
解答: 互除法の余りをたどり、最大公約数と整数係数の関係を求める
2
277=104×2+69で、0≤69<104です。
69
277−104×2=69で、除数104未満です。
42
126=84+42、84=2×42+0なので42です。
39
最後の正の数39です。0を答えにはしません。
31
0≤r<32なので最大は31です。
−9
462+49y=21より49y=−441、y=−9です。
6
48=30+18、30=18+12、18=12+6、12=2×6+0より6cmです。実測ではない模型の計算です。
a,bを割るならr=a−bqも割り、b,rを割るならa=bq+rも割る
同じ正整数dについて両方向を示します。
1とは限らず、bである
最後の正の除数bが最大公約数です。
余り23が除数20未満でないから
余りは0≤r<20でなければなりません。正しくは123=20×6+3です。
左辺は14の倍数だが35はそうでないので整数解はない
a,bは14の倍数なので左辺も必ず14の倍数です。
負や0の係数も認め、元のa,bへ代入してgに一致するか確かめる
整数係数は負や0も含み、一組と全ての一般解を区別します。
20
各除法を4倍した連鎖になるので最後の正の数も4×5=20です。
正の余りは前の除数より小さくなり、余り0で終わった段の正の除数を答える
正整数の余りが減ることと、最後の正の数を答えることを結びます。
記述問題の解答・確認の観点
正整数391,299について、互除法の全段を表へ書き、各等式と余りの範囲を確かめて最大公約数を求めてください。最後の0と正の数を区別し、元の二数が答えで割り切れることを検算します。
391=299+92、299=3×92+23、92=4×23+0で最大公約数23。余り92<299、23<92、0<23を確かめ、391=17×23、299=13×23。生徒の全段と元の検算を見る。
最後の正の数を、各段と元の二数に対応させる。
正整数a,bの除法a=bq+r、0≤r<bについて、(a,b)と(b,r)の公約数が同じであることを、任意の正の公約数dの整数倍表示で両方向に証明してください。具体的な一段221=3×65+26にも対応させ、実際に共通の約数を一つ確かめます。
dがa,bを割ればa=ds,b=dtでr=a−bq=d(s−tq)。逆にb=dt,r=duならa=bq+r=d(tq+u)。各括弧内は整数。具体例では13が221,65を割り、65,26も割る。生徒の別の正の公約数や両方向の具体行も可。
公約数集合の一致を片方向だけにしない。
まず30,78の順で互除法を始めて全段を示し、78,30の順と同じ最大公約数になることを確かめてください。別に96,24のように最初から割り切れる場合も計算し、商0や余り0、最後の正の数をどう扱うか説明します。
30=0×78+30、78=2×30+18、30=18+12、18=12+6、12=2×6+0で最大公約数6。初めの一段を除けば78,30と同じ連鎖。96=4×24+0では最大公約数24。生徒の全段・各余りの範囲と、0を答えにしない説明を見る。
最初の順序・商0と、終わるときの余り0を別々に扱う。
実測ではないモデルの長さ290cmと174cmを、どちらも余りなく同じ長さの区間へ分けます。長い方から短い方を整数回引いた残りを引き継ぐ図と、互除法の全段を対応させ、最大の共通区間と単位を求めてください。元の二つをいくつ分に分けたかと、最大と言える根拠も説明します。
290=174+116、174=116+58、116=2×58+0で共通区間58cm。元は5区間と3区間。各段で共通に割り切れる区間が変わらず、最後の58cm自身も共通。どの正の共通区間も58cmを整数回分けるので58cmを超えない。生徒の残りを保つ図・全段・単位と模型の説明を見る。
図と除法、最後の区間と元の二長さを対応させ、実測の結果とはしない。
正整数119,77と、両方を4倍した476,308について、二つの互除法の全段を並べ、商・余り・最大公約数を比べてください。各段がどのように4倍されるかを式で確かめ、なぜ最大公約数も4倍か説明します。
元は119=77+42、77=42+35、42=35+7、35=5×7+0で最大公約数7。後は476=308+168、308=168+140、168=140+28、140=5×28+0で28。商は同じで全余り・除数が4倍、最後の正の数も4倍。生徒の各対応行と元の数への検算を見る。
答えの倍率だけでなく、全連鎖と正の倍率を対応させる。
正整数187,119について、互除法の全段から最大公約数を求め、余りの式へ逆に代入してg=187x+119yとなる整数係数の一組を作ってください。負号と整数性を確かめ、元の187,119へ実際に代入して検算します。全ての一般解を求めることは要求しません。
187=119+68、119=68+51、68=51+17、51=3×17+0でg=17。逆に17=68−51=2×68−119=2×187−3×119。従って(x,y)=(2,−3)で374−357=17。生徒の別の正しい係数の組も認め、全逆代入と元の式への検算を見る。
最後の余りから元の二整数へ戻る全段と、実際の一組の検算を見ます。
187,119の最大公約数は17で、17=2×187−3×119と表せます。この関係を使って187x+119y=51の整数解一組を作り、さらに異なるもう一組も見付けて、二組を元の式へ実際に代入してください。一組を得たことと全ての解を求めたことを区別します。
3倍して(x,y)=(6,−9)、1122−1071=51。別の一組は(13,−20)で2431−2380=51。例えばxへ7を足しyから11を引くと187×7−119×11=0で値が変わらない。生徒の別の異なる正しい二組も可。全一般解の分類を要求しない。
指定した右辺への倍率と、二組それぞれの元の代入を確かめる。
正整数154,98の最大公約数を互除法で求めてください。154x+98y=35には整数解がないことを、任意の整数x,yで左辺が何の倍数になるかを使って証明します。係数を何組か試しただけの理由と区別してください。
154=98+56、98=56+42、56=42+14、42=3×14+0でg=14。154x+98y=14(11x+7y)は必ず14の倍数だが35=14×2+7でそうではない。従って整数解なし。生徒の全段と整数係数の一般の根拠、別の正しい不可能の説明を認める。
有限の試行でなく、左辺の全整数係数に共通する条件を示す。
友達は「221=85×1+136も等式が正しいので互除法の最初の段としてよい。最後に余り0になるので最大公約数は0」と言いました。余りの範囲から最初の段を直し、221,85の正しい互除法の全ての段階・最大公約数と元の二数への検算を示して、二つの説明を全文へ書き直してください。
136≥85なので除法の余りの条件を満たさない。正しくは221=2×85+51、85=51+34、51=34+17、34=2×17+0でg=17。221=13×17、85=5×17。終わりの0は停止の印で、最後の正の除数17を答える。生徒の全段と二つの修正理由を見る。
等式の真偽と除法の条件、停止の0と答えの正の数を分ける。
dを3,4,7から、互いに素な組(A,B)を(8,5),(11,7),(13,8)から選び、正整数a=dA,b=dBを作ります。自分の全除法と余りの範囲、公約数が変わらない両方向の理由、最大公約数とg=ax+byの一組を逆代入で求め、元のa,bへ検算してください。全ての一般解は要求しません。
作例d=4,(A,B)=(13,8)ならa=52,b=32。52=32+20、32=20+12、20=12+8、12=8+4、8=2×4+0でg=4。逆代入で4=−3×52+5×32=−156+160。各段で公約数集合を両方向の整数表示で保つ。許された9通りと別の正しい係数を認め、生徒の条件・全連鎖・逆代入と検算を見る。
作った正の二数と具体的な全段、一つの整数係数を一般公式名だけで済ませない。