整数の倍数の条件を、整数表示・全場合と反例で証明する
少数の代入と全ての整数の証明を区別します。準備14問と、生徒が整数係数・余りのすべての場合・反例を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(3)ア(ア)・イ(ア)、内容の取扱い(4)、冊子96〜97/PDF108〜109の約数・倍数と数学的活動を踏まえた独自の条件・証明課題です。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、旧課程の独立単元「整数の性質」を現行必修の固定単元とは称しません。固定学年・試験全範囲への対応を主張せず、元の問題や図版を写していません。
解説を読む
「いくつかの数で確かめた」と「任意の整数で成り立つ」を分けます。倍数を整数の積として表し、余りのすべての場合や因数を使って説明します。逆向きの主張が成り立たないときは、すべての条件を満たす具体的な反例を作ります。
必要な予備知識
中学の文字式・整数の偶奇・因数分解と反例。正整数dに対しdが整数nを割り切るとは、整数kでn=dkと書けることです。nは0や負も含み、除数0は扱いません。任意の整数を3で割るとn=3q+r、qは整数、rは0,1,2のいずれかです。自分の一般証明・すべての場合・反例は紙や既存の授業用ボードで手動確認します。
- 正整数dについてn=dkを満たす整数kがあれば、nはdの倍数です。kに分数を認めてしまうと、整数の倍数という条件を失います。
- 0=d×0、−dk=d×(−k)なので、0と負の倍数もこの定義に入ります。ここでの除数dは正とし、0で割ることは扱いません。
- u=dp,v=dq、p,qが整数なら、整数係数a,bによるau+bv=d(ap+bq)もdの倍数です。括弧内が整数であることまで示します。
- 逆向きは自動的に成り立ちません。au+bvがdの倍数でも、uやvがそれぞれdの倍数だとは限らず、実際の反例で条件を確認します。
- 偶数は2k、奇数は2k+1と表せます。kは全ての整数を動くので、負の奇数も含みます。kを正や0以上だけに勝手に制限しません。
- 余りを使う場合は全てを尽くします。3で割るなら0,1,2の三つです。負の整数でも商を整数として、この範囲の余りで表せます。
- 積が合成数の倍数でも、一方の因数がその合成数の倍数とは限りません。また二つの因数を見付けたとき、それだけでそれらの積の倍数だとせず、整数の係数や共通因数を確かめます。
- 3桁の十進数は100a+10b+cで、aは1〜9、b,cは0〜9の整数です。末尾や数字の和の判定は、元の数との差が何の整数倍になるかへ戻します。
- 一般の主張が偽なら一つの反例で否定できます。成り立つことの証明には、少数の代入だけで終えず、任意の整数表示・すべての場合や整数の因数を示します。
- 正しい別証明も認めます。合同式の記号・素数一般の定理・新しい計算ソルバーを前提にせず、指定された整数の条件と具体式で確認します。
解き方の例
整数u=7p,v=7qなら、2u+5v=7(2p+5q)です。p,qが整数なので2p+5qも整数。従って2u+5vは7の倍数です。特定のu,vだけを代入した確認とは区別します。
任意の整数a,bについて(a+b)²−(a−b)²=4abです。abも整数なので、この差は4の倍数です。例えばa=−2,b=3なら1−25=−24=4×(−6)で、負の例も式と一致します。
よくある間違い
- 倍数の係数kを分数にして、整数である条件を落とす。
- 0や負の整数を、説明なしに任意の整数から除く。
- 余りの場合分けを一つだけ調べ、すべての場合とする。
- 二つの倍数なら必ずその積の倍数として、共通因数を重ねて数える。
- 合成数の倍数である積から、一方も同じ合成数の倍数だとする。
- いくつかの代入結果だけを、全ての整数についての証明とする。
考え方を説明する
準備14問は整数表示・短い計算と反例の読み方の確認です。主課題は生徒が対象とする任意の整数、整数の係数、すべての場合を尽くす理由、因数分解と元の条件への検算を手動確認します。T1整数係数の和、T2連続二整数、T3連続三整数と6、T4奇数と8、T5十進表示と3・9、T6末尾二桁と4、T7二条件と12、T8積と合成数・3の場合分け、T9代入だけの文章の修正、T10生徒の条件命題と逆の反例を見ます。一般証明を閉問の点数だけで代用せず、正しい別解を認めます。
数値と選択だけを自動採点します。生徒の一般の整数表示、すべての場合、証明や逆の反例は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。自由証明の自動採点、合同式のソルバー、素数に関する一般の定理（フェルマーの定理など）や実測・生徒の達成・学習効果は主張しません。
練習する
準備は短い計算と選択です。自分の任意の整数への証明・すべての場合・反例は手動確認し、少数の代入や準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
−17を5で割り、−17=5q+r、qは整数、0≤r<5と表します。余りrを答えてください。
答えと解説
3
−17=5×(−4)+3で、0≤3<5です。
u=7p,v=7qのとき4u−3v=7(4p+□q)です。□へ入る整数を答えてください。
答えと解説
−3
4×7p−3×7q=7(4p−3q)なので−3です。
奇数9について9²−1を8の倍数として9²−1=8kと表します。整数kを答えてください。
答えと解説
10
81−1=80=8×10です。この一例だけで全ての奇数の証明としたりはしません。
3桁の数468と数字の和4+6+8との差を9kと表します。整数kを答えてください。
答えと解説
50
468−18=450=9×50です。
整数n=3q+2の平方を3で割った余りを答えてください。
答えと解説
1
n²=9q²+12q+4=3(3q²+4q+1)+1です。
整数742を4で割った余りを答えてください。
答えと解説
2
742=4×185+2です。700が4の倍数なので、末尾42の余り2とも一致します。
3の倍数u=−12,v=9について2u−v=3kと表します。整数kを答えてください。
答えと解説
−11
2×(−12)−9=−33=3×(−11)です。
−21が7の倍数であることを、整数の係数を使って正しく示す式はどれですか。
- −21=7×(−3)
- −21=7×3
- −21=7×(−21)
- −21=7×(−1/3)
答えと解説
−21=7×(−3)
係数−3は整数で、積は−21になります。
負の奇数も含め、全ての奇数を表す条件はどれですか。
- n=2k、kは整数
- n=2k+1、kは0以上の整数だけ
- n=2k+1、kは整数
- n=k+1/2、kは整数
答えと解説
n=2k+1、kは整数
kは全ての整数です。例えばk=−2ならn=−3です。
正整数dの倍数について、いつも正しいものはどれですか。
- 0はどの正整数の倍数でもない
- 0と負の倍数も、整数kによるdkで表せる
- dkのkには整数でない分数だけを使う
- d=0で割る場合も同じ定義の計算を必ず行う
答えと解説
0と負の倍数も、整数kによるdkで表せる
0=d×0、負の倍数もd×負の整数で表せます。ここでは除数dは正です。
「abが6の倍数なら、aまたはbは6の倍数」という全整数の主張を否定する反例はどれですか。
- a=6,b=1
- a=−6,b=2
- a=0,b=5
- a=2,b=3
答えと解説
a=2,b=3
2×3=6は6の倍数ですが、2も3も6の倍数ではありません。
全ての整数についての主張を、三つの整数を代入しただけで証明した文章への説明として正しいものはどれですか。
- 三例で成り立てば必ず全整数で成り立つ
- 正の例なら負の整数の証明も不要になる
- 三例の確認と一般の証明は違い、整数表示やすべての場合の根拠が必要
- 一例でも成り立てば反例は存在しない
答えと解説
三例の確認と一般の証明は違い、整数表示やすべての場合の根拠が必要
少数の代入だけでは、まだ調べていない整数も含む根拠になりません。
3桁の十進数N=100a+10b+cと、末尾二桁の値L=10b+cについて、4の倍数判定を支える式はどれですか。
- N−L=100a=4×25a
- N−L=10a
- N−L=a+b+c
- NとLはいつも同じ整数である
答えと解説
N−L=100a=4×25a
差100aが4の整数倍なので、NとLの4で割った余りは同じです。
任意の整数nが4の倍数のとき、必ず成り立つ説明はどれですか。
- nは必ず8の倍数である
- nは正の整数である
- nは必ず3の倍数でもある
- n=4k=2(2k)、2kは整数なので2の倍数である
答えと解説
n=4k=2(2k)、2kは整数なので2の倍数である
4の整数倍は2の整数倍でもあります。逆の主張と混同しません。
考え方を説明する
正整数dと整数u,vについて、u,vがともにdの倍数なら−4u+3vもdの倍数であることを、任意の整数の係数を使って証明してください。括弧内が整数である理由と、0や負のu,vも含むことを示し、自分の具体例一組で式を確かめます。
答えと解説
u=dp,v=dq、p,qは整数とすると−4u+3v=d(−4p+3q)。括弧内も整数なのでdの倍数。p,qに0や負も使え、全整数の条件を保つ。例d=6,u=−12,v=18なら−4u+3v=102=6×17。生徒の一般式と別の正しい具体例も認める。
係数が整数であることと、一般証明・一例の検算を分ける。
任意の整数nについて、連続する二整数n,n+1の積が偶数であることを、偶奇のすべての場合または同じ内容を尽くす整数表示で証明してください。各場合の積を2の整数倍で表し、負のnも条件に入ることを説明します。
答えと解説
n=2kならn(n+1)=2{k(2k+1)}、n=2k+1ならn(n+1)=2{(2k+1)(k+1)}。kは任意の整数で、両括弧内は整数。全整数は偶数か奇数で尽くされ、負も含む。生徒の同じ根拠を持つ別証明を認める。
少数の積を計算するだけでなく、任意の整数と場合の尽くし方を見ます。
任意の整数nについてn(n+1)(n+2)が6の倍数であることを、2と3の因数、3で割った余りのすべての場合と整数の係数を使って説明してください。2の倍数かつ3の倍数というだけの未説明の飛躍で終えず、6の整数倍になる根拠を示します。
答えと解説
連続二整数のどちらかは偶数で積全体は2の倍数。n=3q,3q+1,3q+2の各場合で三つの中に3の倍数がある。積を3hとすると、それが偶数であることからhも偶数（h=2k+1なら3hは奇数）なのでh=2k、積=6k。負や0もすべての場合に入り、生徒の同等な因数の説明も可。
2と3の因数を6へまとめる整数の根拠まで見ます。
任意の奇数nについてn²−1が8の倍数であることを、整数表示と連続二整数の積を使って証明してください。因数分解した後の係数が整数である理由と、負の奇数も含むことを説明し、任意に選んだ負の奇数一つで検算します。
答えと解説
n=2k+1、kは整数ならn²−1=4k(k+1)。連続二整数の積k(k+1)は偶数なので2hと書け、全体=8h。kが負でも同じ。例n=−7なら49−1=48=8×6。生徒の別の正しい負の例と一般証明を認める。
4の因数だけで8の倍数とせず、残る2の因数と整数性を示す。
3桁の十進数N=100a+10b+c、aは1〜9、b,cは0〜9の整数です。数字の和S=a+b+cとの差から、Nが3の倍数であることとSが3の倍数であること、Nが9の倍数であることとSが9の倍数であることを、それぞれ両方向に説明してください。自分の3桁の数で両判定を確かめます。
答えと解説
N−S=99a+9b=9(11a+b)=3(33a+3b)。差は9と3の整数倍なので、Nが各d=3,9の倍数ならS=N−差も倍数、逆にSが倍数ならN=S+差も倍数。例729では和18、3にも9にも割り切れる。生徒の別の数、両方向と整数の係数を見る。
数字の和の規則名だけでなく、元の数との差と両方向を示す。
3桁の十進数N=100a+10b+cについて、末尾二桁L=10b+cとの差から、4の倍数かどうかをLで判定できる理由を両方向に証明してください。さらに数字の和が4の倍数でもNは4の倍数でない3桁の数を自分で作り、各計算で違いを確かめます。
答えと解説
N−L=100a=4×25aなので両方向に4の倍数が保たれる。反例作例103は数字の和4が4の倍数だが、末尾03=3、103=4×25+3で4の倍数でない。生徒の別の反例も認め、3桁・数字の和・元の余りと全ての条件を見る。
3や9の数字の和の判定を、4へ機械的に広げない。
二つの主張「整数nが3と4の倍数なら12の倍数」「整数nが2と6の倍数なら12の倍数」を調べてください。前者は整数係数を使って一般に証明し、後者は自分の反例で否定します。共通因数の重なりを区別し、負や0を含む範囲で何を示したか説明します。
答えと解説
前者でn=3u=4v、u,vは整数ならn=4n−3n=12u−12v=12(u−v)、係数も整数。後者は例えばn=6なら2と6の倍数だが12の倍数でない。2と6は因数2が重なるので、単に2×6を掛けられない。生徒の別の反例・正しい一般証明も認める。
前者の証明と後者の反例を、各条件と整数性に戻して分ける。
「整数a,bの積が6の倍数なら、一方が6の倍数」を自分で作った反例で否定してください。一方「積が3の倍数なら、一方が3の倍数」はどうか、3で割った余りのすべての場合と整数表示で説明します。6の主張と何が違うか、具体的な因数と余りを示します。
答えと解説
6の反例はa=2,b=3など。3ではa=3p+r,b=3q+sでr,s∈{0,1,2}。片方の余り0なら既に3の倍数。両方の余りが1,2ならab=3(3pq+ps+qr)+rsで、rs=1,2,2,4の余りは1,2,2,1、0にならない。従って積が3の倍数なら片方の余り0。6は2と3が別々の因数に分かれ得る。生徒のすべての場合と別の反例も可。
素数一般の定理名だけで済ませず、この3の全余りを具体的に確かめる。
友達は「n=1,2,3でn³−nを計算すると0,6,24で全て3の倍数。だから任意の整数で証明できた」と言いました。何を確認でき、何が未証明かを指摘し、n³−nが全ての整数で3の倍数になる根拠を、整数表示・すべての場合または同等な因数の根拠を含む全文へ書き直してください。
答えと解説
三例はその値での確認だけ。一般にはn³−n=(n−1)n(n+1)で、nを3で割った余り0,1,2のいずれでも三つの連続整数に3の倍数がある。残りも整数なので全体が3の整数倍。負や0も尽くされる。生徒の三つの余りへの対応や正しい直接展開の証明を認める。
真の結論でも代入だけでは一般証明にならないことを、全文の根拠で直す。
正整数dを4,5,7から、整数係数aを−3,2から、bを−2,1から選びます。pを−1,2から、qを0,3から選んでu=dp,v=dqを作り、「u,vがdの倍数ならau+bvもdの倍数」を一般の整数係数で証明し、自分の値で検算してください。さらに逆「au+bvがdの倍数ならu,vもそれぞれdの倍数」が偽になる自分の整数u,vを別に作り、組合せの値と各条件を確かめます。
答えと解説
作例d=5,a=−3,b=1,p=2,q=0ならu=10,v=0、au+bv=−30=5×(−6)。一般にはu=dP,v=dQ、P,Qは整数でau+bv=d(aP+bQ)、括弧内も整数。逆の反例は同じd,a,bでu=6,v=3なら−18+3=−15は5の倍数だが6も3も5の倍数でない。許された48通りの元の条件や別の反例も認め、生徒の各条件・一般証明と検算を見る。
元の二つの倍数の具体例、一般命題の証明、逆の別の反例を混ぜずに確かめる。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(3)ア(ア)・イ(ア)、内容の取扱い(4)、冊子96〜97/PDF108〜109の約数・倍数と数学的活動を踏まえた独自の条件・証明課題です。数学Ａの選択的な履修（PDF98）を踏まえ、旧課程の独立単元「整数の性質」を現行必修の固定単元とは称しません。固定学年・試験全範囲への対応を主張せず、元の問題や図版を写していません。 · 2026-11-03
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/prove-integer-divisibility-conditions-with-complete-cases/
準備14問は整数表示・短い計算と反例の読み方の確認です。主課題は生徒が対象とする任意の整数、整数の係数、すべての場合を尽くす理由、因数分解と元の条件への検算を手動確認します。T1整数係数の和、T2連続二整数、T3連続三整数と6、T4奇数と8、T5十進表示と3・9、T6末尾二桁と4、T7二条件と12、T8積と合成数・3の場合分け、T9代入だけの文章の修正、T10生徒の条件命題と逆の反例を見ます。一般証明を閉問の点数だけで代用せず、正しい別解を認めます。
−17を5で割り、−17=5q+r、qは整数、0≤r<5と表します。余りrを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u=7p,v=7qのとき4u−3v=7(4p+□q)です。□へ入る整数を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
奇数9について9²−1を8の倍数として9²−1=8kと表します。整数kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3桁の数468と数字の和4+6+8との差を9kと表します。整数kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
整数n=3q+2の平方を3で割った余りを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
整数742を4で割った余りを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3の倍数u=−12,v=9について2u−v=3kと表します。整数kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−21が7の倍数であることを、整数の係数を使って正しく示す式はどれですか。
- −21=7×(−3)
- −21=7×3
- −21=7×(−21)
- −21=7×(−1/3)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
負の奇数も含め、全ての奇数を表す条件はどれですか。
- n=2k、kは整数
- n=2k+1、kは0以上の整数だけ
- n=2k+1、kは整数
- n=k+1/2、kは整数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正整数dの倍数について、いつも正しいものはどれですか。
- 0はどの正整数の倍数でもない
- 0と負の倍数も、整数kによるdkで表せる
- dkのkには整数でない分数だけを使う
- d=0で割る場合も同じ定義の計算を必ず行う
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「abが6の倍数なら、aまたはbは6の倍数」という全整数の主張を否定する反例はどれですか。
- a=6,b=1
- a=−6,b=2
- a=0,b=5
- a=2,b=3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全ての整数についての主張を、三つの整数を代入しただけで証明した文章への説明として正しいものはどれですか。
- 三例で成り立てば必ず全整数で成り立つ
- 正の例なら負の整数の証明も不要になる
- 三例の確認と一般の証明は違い、整数表示やすべての場合の根拠が必要
- 一例でも成り立てば反例は存在しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3桁の十進数N=100a+10b+cと、末尾二桁の値L=10b+cについて、4の倍数判定を支える式はどれですか。
- N−L=100a=4×25a
- N−L=10a
- N−L=a+b+c
- NとLはいつも同じ整数である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
任意の整数nが4の倍数のとき、必ず成り立つ説明はどれですか。
- nは必ず8の倍数である
- nは正の整数である
- nは必ず3の倍数でもある
- n=4k=2(2k)、2kは整数なので2の倍数である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
正整数dと整数u,vについて、u,vがともにdの倍数なら−4u+3vもdの倍数であることを、任意の整数の係数を使って証明してください。括弧内が整数である理由と、0や負のu,vも含むことを示し、自分の具体例一組で式を確かめます。
任意の整数nについて、連続する二整数n,n+1の積が偶数であることを、偶奇のすべての場合または同じ内容を尽くす整数表示で証明してください。各場合の積を2の整数倍で表し、負のnも条件に入ることを説明します。
任意の整数nについてn(n+1)(n+2)が6の倍数であることを、2と3の因数、3で割った余りのすべての場合と整数の係数を使って説明してください。2の倍数かつ3の倍数というだけの未説明の飛躍で終えず、6の整数倍になる根拠を示します。
任意の奇数nについてn²−1が8の倍数であることを、整数表示と連続二整数の積を使って証明してください。因数分解した後の係数が整数である理由と、負の奇数も含むことを説明し、任意に選んだ負の奇数一つで検算します。
3桁の十進数N=100a+10b+c、aは1〜9、b,cは0〜9の整数です。数字の和S=a+b+cとの差から、Nが3の倍数であることとSが3の倍数であること、Nが9の倍数であることとSが9の倍数であることを、それぞれ両方向に説明してください。自分の3桁の数で両判定を確かめます。
3桁の十進数N=100a+10b+cについて、末尾二桁L=10b+cとの差から、4の倍数かどうかをLで判定できる理由を両方向に証明してください。さらに数字の和が4の倍数でもNは4の倍数でない3桁の数を自分で作り、各計算で違いを確かめます。
二つの主張「整数nが3と4の倍数なら12の倍数」「整数nが2と6の倍数なら12の倍数」を調べてください。前者は整数係数を使って一般に証明し、後者は自分の反例で否定します。共通因数の重なりを区別し、負や0を含む範囲で何を示したか説明します。
「整数a,bの積が6の倍数なら、一方が6の倍数」を自分で作った反例で否定してください。一方「積が3の倍数なら、一方が3の倍数」はどうか、3で割った余りのすべての場合と整数表示で説明します。6の主張と何が違うか、具体的な因数と余りを示します。
友達は「n=1,2,3でn³−nを計算すると0,6,24で全て3の倍数。だから任意の整数で証明できた」と言いました。何を確認でき、何が未証明かを指摘し、n³−nが全ての整数で3の倍数になる根拠を、整数表示・すべての場合または同等な因数の根拠を含む全文へ書き直してください。
正整数dを4,5,7から、整数係数aを−3,2から、bを−2,1から選びます。pを−1,2から、qを0,3から選んでu=dp,v=dqを作り、「u,vがdの倍数ならau+bvもdの倍数」を一般の整数係数で証明し、自分の値で検算してください。さらに逆「au+bvがdの倍数ならu,vもそれぞれdの倍数」が偽になる自分の整数u,vを別に作り、組合せの値と各条件を確かめます。
解答: 整数の倍数の条件を、整数表示・全場合と反例で証明する
3
−17=5×(−4)+3で、0≤3<5です。
−3
4×7p−3×7q=7(4p−3q)なので−3です。
10
81−1=80=8×10です。この一例だけで全ての奇数の証明としたりはしません。
50
468−18=450=9×50です。
1
n²=9q²+12q+4=3(3q²+4q+1)+1です。
2
742=4×185+2です。700が4の倍数なので、末尾42の余り2とも一致します。
−11
2×(−12)−9=−33=3×(−11)です。
−21=7×(−3)
係数−3は整数で、積は−21になります。
n=2k+1、kは整数
kは全ての整数です。例えばk=−2ならn=−3です。
0と負の倍数も、整数kによるdkで表せる
0=d×0、負の倍数もd×負の整数で表せます。ここでは除数dは正です。
a=2,b=3
2×3=6は6の倍数ですが、2も3も6の倍数ではありません。
三例の確認と一般の証明は違い、整数表示やすべての場合の根拠が必要
少数の代入だけでは、まだ調べていない整数も含む根拠になりません。
N−L=100a=4×25a
差100aが4の整数倍なので、NとLの4で割った余りは同じです。
n=4k=2(2k)、2kは整数なので2の倍数である
4の整数倍は2の整数倍でもあります。逆の主張と混同しません。
記述問題の解答・確認の観点
正整数dと整数u,vについて、u,vがともにdの倍数なら−4u+3vもdの倍数であることを、任意の整数の係数を使って証明してください。括弧内が整数である理由と、0や負のu,vも含むことを示し、自分の具体例一組で式を確かめます。
u=dp,v=dq、p,qは整数とすると−4u+3v=d(−4p+3q)。括弧内も整数なのでdの倍数。p,qに0や負も使え、全整数の条件を保つ。例d=6,u=−12,v=18なら−4u+3v=102=6×17。生徒の一般式と別の正しい具体例も認める。
係数が整数であることと、一般証明・一例の検算を分ける。
任意の整数nについて、連続する二整数n,n+1の積が偶数であることを、偶奇のすべての場合または同じ内容を尽くす整数表示で証明してください。各場合の積を2の整数倍で表し、負のnも条件に入ることを説明します。
n=2kならn(n+1)=2{k(2k+1)}、n=2k+1ならn(n+1)=2{(2k+1)(k+1)}。kは任意の整数で、両括弧内は整数。全整数は偶数か奇数で尽くされ、負も含む。生徒の同じ根拠を持つ別証明を認める。
少数の積を計算するだけでなく、任意の整数と場合の尽くし方を見ます。
任意の整数nについてn(n+1)(n+2)が6の倍数であることを、2と3の因数、3で割った余りのすべての場合と整数の係数を使って説明してください。2の倍数かつ3の倍数というだけの未説明の飛躍で終えず、6の整数倍になる根拠を示します。
連続二整数のどちらかは偶数で積全体は2の倍数。n=3q,3q+1,3q+2の各場合で三つの中に3の倍数がある。積を3hとすると、それが偶数であることからhも偶数（h=2k+1なら3hは奇数）なのでh=2k、積=6k。負や0もすべての場合に入り、生徒の同等な因数の説明も可。
2と3の因数を6へまとめる整数の根拠まで見ます。
任意の奇数nについてn²−1が8の倍数であることを、整数表示と連続二整数の積を使って証明してください。因数分解した後の係数が整数である理由と、負の奇数も含むことを説明し、任意に選んだ負の奇数一つで検算します。
n=2k+1、kは整数ならn²−1=4k(k+1)。連続二整数の積k(k+1)は偶数なので2hと書け、全体=8h。kが負でも同じ。例n=−7なら49−1=48=8×6。生徒の別の正しい負の例と一般証明を認める。
4の因数だけで8の倍数とせず、残る2の因数と整数性を示す。
3桁の十進数N=100a+10b+c、aは1〜9、b,cは0〜9の整数です。数字の和S=a+b+cとの差から、Nが3の倍数であることとSが3の倍数であること、Nが9の倍数であることとSが9の倍数であることを、それぞれ両方向に説明してください。自分の3桁の数で両判定を確かめます。
N−S=99a+9b=9(11a+b)=3(33a+3b)。差は9と3の整数倍なので、Nが各d=3,9の倍数ならS=N−差も倍数、逆にSが倍数ならN=S+差も倍数。例729では和18、3にも9にも割り切れる。生徒の別の数、両方向と整数の係数を見る。
数字の和の規則名だけでなく、元の数との差と両方向を示す。
3桁の十進数N=100a+10b+cについて、末尾二桁L=10b+cとの差から、4の倍数かどうかをLで判定できる理由を両方向に証明してください。さらに数字の和が4の倍数でもNは4の倍数でない3桁の数を自分で作り、各計算で違いを確かめます。
N−L=100a=4×25aなので両方向に4の倍数が保たれる。反例作例103は数字の和4が4の倍数だが、末尾03=3、103=4×25+3で4の倍数でない。生徒の別の反例も認め、3桁・数字の和・元の余りと全ての条件を見る。
3や9の数字の和の判定を、4へ機械的に広げない。
二つの主張「整数nが3と4の倍数なら12の倍数」「整数nが2と6の倍数なら12の倍数」を調べてください。前者は整数係数を使って一般に証明し、後者は自分の反例で否定します。共通因数の重なりを区別し、負や0を含む範囲で何を示したか説明します。
前者でn=3u=4v、u,vは整数ならn=4n−3n=12u−12v=12(u−v)、係数も整数。後者は例えばn=6なら2と6の倍数だが12の倍数でない。2と6は因数2が重なるので、単に2×6を掛けられない。生徒の別の反例・正しい一般証明も認める。
前者の証明と後者の反例を、各条件と整数性に戻して分ける。
「整数a,bの積が6の倍数なら、一方が6の倍数」を自分で作った反例で否定してください。一方「積が3の倍数なら、一方が3の倍数」はどうか、3で割った余りのすべての場合と整数表示で説明します。6の主張と何が違うか、具体的な因数と余りを示します。
6の反例はa=2,b=3など。3ではa=3p+r,b=3q+sでr,s∈{0,1,2}。片方の余り0なら既に3の倍数。両方の余りが1,2ならab=3(3pq+ps+qr)+rsで、rs=1,2,2,4の余りは1,2,2,1、0にならない。従って積が3の倍数なら片方の余り0。6は2と3が別々の因数に分かれ得る。生徒のすべての場合と別の反例も可。
素数一般の定理名だけで済ませず、この3の全余りを具体的に確かめる。
友達は「n=1,2,3でn³−nを計算すると0,6,24で全て3の倍数。だから任意の整数で証明できた」と言いました。何を確認でき、何が未証明かを指摘し、n³−nが全ての整数で3の倍数になる根拠を、整数表示・すべての場合または同等な因数の根拠を含む全文へ書き直してください。
三例はその値での確認だけ。一般にはn³−n=(n−1)n(n+1)で、nを3で割った余り0,1,2のいずれでも三つの連続整数に3の倍数がある。残りも整数なので全体が3の整数倍。負や0も尽くされる。生徒の三つの余りへの対応や正しい直接展開の証明を認める。
真の結論でも代入だけでは一般証明にならないことを、全文の根拠で直す。
正整数dを4,5,7から、整数係数aを−3,2から、bを−2,1から選びます。pを−1,2から、qを0,3から選んでu=dp,v=dqを作り、「u,vがdの倍数ならau+bvもdの倍数」を一般の整数係数で証明し、自分の値で検算してください。さらに逆「au+bvがdの倍数ならu,vもそれぞれdの倍数」が偽になる自分の整数u,vを別に作り、組合せの値と各条件を確かめます。
作例d=5,a=−3,b=1,p=2,q=0ならu=10,v=0、au+bv=−30=5×(−6)。一般にはu=dP,v=dQ、P,Qは整数でau+bv=d(aP+bQ)、括弧内も整数。逆の反例は同じd,a,bでu=6,v=3なら−18+3=−15は5の倍数だが6も3も5の倍数でない。許された48通りの元の条件や別の反例も認め、生徒の各条件・一般証明と検算を見る。
元の二つの倍数の具体例、一般命題の証明、逆の別の反例を混ぜずに確かめる。