中3 数学：二次方程式の文章題と立式の練習問題
生徒が未知数と単位・範囲、関係する量の式、等しい数量を示して二次方程式を作ります。準備14問と、自分の図・表・立式の理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(3)イ(イ)、冊子142/PDF146の、求める数量を文字で表し、関係する量を式にして等号で結ぶ活動を踏まえた独自課題です。現行出版社の利用の手順も参照しました。問題の数値や並びや図版を写さず、図の配置と条件は文章で明示します。解の許容範囲への吟味を主に扱う090とは分けます。
解説を読む
文章に出る数をすぐ公式へ入れる前に、何をxとするか、単位と取れる範囲を決めます。関係する量をxで表し、同じ数量について二通りに表した式や与えられた値を等号で結びます。作った二次方程式の各項が、元のどの量に対応するかを説明します。この教材の主課題は立式までで、方程式を解くことを必須にはしません。
必要な予備知識
等式の変形、文字式・展開、長方形や正方形の面積、距離・速さ・時間と単位、整数と偶数の意味。088までの二次方程式の学習と関連付けますが、主課題では数量関係を自分で表す過程を確認します。
- 何を求めたいかを読み、xが表す数量と単位を定めます。正の長さ、整数の個数、端点を含むかなど、場面で許される範囲も書きます。
- 関係する量をxの式で表します。「5長い」はx+5、「全体からxを除く」は全体−xですが、両側から幅xを除くときは全体−2xです。図と条件を対応させます。
- 長方形の面積は縦と横の積、正方形の面積は一辺の平方です。長さの和と面積、cmとcm²など、異なる種類の量をそのまま等号で結びません。
- 連続する二整数なら小さい方xとx+1、連続する二偶数なら小さい方xとx+2です。「整数」と「正の整数」を区別し、書かれていない正の条件を足しません。
- 距離が同じでも速さと時間は別の量です。距離÷速さで時間を表し、遅い方の時間から速い方の時間を引くなど、文章の差の向きを保ちます。
- 同じ数量について、式で表したものと与えられた値、または二通りの式を等号で結びます。なぜ等しいかを元の文や図へ戻して説明します。
- 展開して右辺を0へ整理するときも、元の関係式を残します。分母を払う場合は、分母となる量が0でないことを未知数の範囲から確認します。
- 立式した後、各量・単位・係数と文章や図を照らします。別の未知数で作った式も対応を示せば使えます。解くことと、解が場面に適するかを吟味することは次の段階として分けます。
解き方の例
短い辺をxcm、長い辺が4cm長い長方形の面積を60cm²とすると、辺はxとx+4、x>0。面積を二通りに表してx(x+4)=60、展開してx²+4x−60=0です。辺の差と面積を混同せず、自分の図の各辺へ式と単位を書きます。
連続する二整数の平方の和が25なら、小さい方を整数x、大きい方をx+1としてx²+(x+1)²=25、整理してx²+x−12=0です。「整数」なので、立式の段階でx>0を勝手に加えません。ここでは未知数と関係を定めるまでを確認します。
よくある間違い
- xの意味や単位を定めずに式だけを書く。
- 辺の差と面積、速さと時間など異なる量を同じものにする。
- 両側から取り除く幅を一回だけ引く。
- 連続整数と連続偶数を同じ差で表す。
- 時間差の向きを逆にしたり、距離を速さで割る条件を落としたりする。
- 図や表を求められても、一般的な手順や完成した式だけを写す。
- 立式が正しいかを確かめず、求めた解の値だけで終える。
考え方を説明する
準備14問の選択と数値は足場です。主課題では生徒の未知数の意味・単位・範囲、図や表などの具体的な表現、関係する量の式、同じ量を結ぶ等式と二次方程式、その関係を選ぶ理由を手動確認します。T1は辺の差、T2は二方向の変化、T3は連続整数、T4は連続偶数、T5は同距離の時間差、T6は線分の分割、T7は折った断面、T8は行と列の個数、T9は四辺の内側の道、T10は生徒の具体的な場面です。未知数の置き方が違っても、定義・範囲・関係が対応する正しい立式を認めます。完成した式や一般的な手順だけを生徒の過程にはしません。
生徒の図・表・ことばの式と立式の理由を、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。主課題は立式までで、解を求めることや不適解の判別だけで達成を判定しません。新しい式や図の自動採点機能、実際の生徒の成果や試験の出題頻度は主張しません。
練習する
準備は量の式と係数を確かめる足場です。主課題は自分の図・表・未知数の定義・数量関係・立式の理由を、紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。式の選択だけで立式過程の達成にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
短い辺xcm、長い辺はそれより5cm長い長方形の面積が84cm²です。面積を表す等式はどれですか。
- x+(x+5)=84
- x(x−5)=84
- x(x+5)=84
- 5x²=84
答えと解説
x(x+5)=84
長い辺はx+5cmで、面積は二辺の積x(x+5)cm²です。
x(x+5)=84をx²+5x+c=0と整理します。定数cを答えてください。
答えと解説
−84
左辺を展開し、84を左辺へ移すのでc=−84です。
一辺xcmの正方形から、一方向を3cm短く、他方向を2cm長くした長方形の面積は88cm²です。等式はどれですか。
- (x−3)(x+2)=88
- (x+3)(x−2)=88
- x²−3+2=88
- (x−3)+(x+2)=88
答えと解説
(x−3)(x+2)=88
変えた二辺はx−3とx+2で、面積はその積です。
連続する二整数の小さい方をxとします。大きい方を表す式はどれですか。
- x+1
- x+2
- 2x
- x−1
答えと解説
x+1
整数を一つ進むので大きい方はx+1です。
連続する二整数の小さい方がx、平方の和が61です。等式はどれですか。
- x(x+1)=61
- x²+(x+1)²=61
- x²+(x+1)=61
- (2x+1)²=61
答えと解説
x²+(x+1)²=61
各整数を二乗してから加えるのでx²+(x+1)²です。
連続する二つの正の偶数の小さい方をxとし、積が168です。x(x+k)=168のkを答えてください。
答えと解説
2
連続する偶数の差は2なので大きい方はx+2です。
24kmを速さxkm/hと(x+2)km/hで進む二つの場合の時間差は1時間です。24/x−24/(x+2)=1からx(x+2)=kと直すとき、kはいくつですか。
答えと解説
48
x>0なので分母を払えます。24(x+2)−24x=48よりk=48です。
長さ14cmの線分ABの内側に点Pがあり、AP=xcmです。PBを表す式はどれですか。
- 14+x
- 14−x
- x−14
- 14x
答えと解説
14−x
AP+PB=14なのでPB=14−xです。
x²+(14−x)²=100を2x²+bx+96=0へ整理します。bを答えてください。
答えと解説
−28
(14−x)²=196−28x+x²よりb=−28です。
幅22cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、断面を上が開いた長方形にします。断面積48cm²の等式はどれですか。
- x(22−x)=48
- x(22−2x)=48
- x²(22−2x)=48
- 2x+22=48
答えと解説
x(22−2x)=48
底の幅は22−2x、高さはxなので断面積はx(22−2x)です。
カードを縦x枚、横は縦より4枚多い長方形に並べ、全部で77枚です。x²+bx−77=0のbを答えてください。
答えと解説
4
枚数の関係はx(x+4)=77なのでb=4です。
縦18cm・横12cmの長方形の四辺すべての内側に幅xcmの道を作ります。中央の横の長さを12−kx cmと表すとき、kはいくつですか。
答えと解説
2
横方向でも左右からそれぞれxを除くので12−2xです。
(18−2x)(12−2x)=160を4x²−60x+c=0へ整理します。cを答えてください。
答えと解説
56
18×12−160=216−160=56で、c=56です。
短い辺xcm、長い辺x+5cm、面積84cm²の長方形で、同じ数量として等号で結ぶものはどれですか。
- 辺の和2x+5cmと84cm²
- 面積x(x+5)cm²と84cm²
- 短い辺xcmと84cm²
- 辺の差5cmと84cm²
答えと解説
面積x(x+5)cm²と84cm²
面積を式で表したものと、与えられた面積を結びます。単位だけでなく数量の種類も対応させます。
考え方を説明する
長方形の長い辺は短い辺より6cm長く、面積は91cm²です。短い辺をxcmとし、辺の式を入れた自分の図、xの範囲、面積のことばの式と等式を書きます。展開して右辺0の二次方程式も示し、なぜ等号で結ぶか説明してください。解くことは必須ではありません。
答えと解説
短い辺xcm、長い辺(x+6)cm、x>0。生徒の長方形の図へ二辺と単位を書く。面積=短い辺×長い辺なのでx(x+6)=91、x²+6x−91=0。積と91は同じ面積をcm²で表しているため等号で結ぶ。
生徒の実際の図・二辺・単位とx>0、面積の関係、元の等式と展開した方程式、同じ面積という説明を見ます。
一辺xcmの正方形から、一方向を2cm短く、他方向を4cm長くした長方形の面積が72cm²になりました。変化前と後の自分の図を描き、各辺の式・単位とxの範囲を示します。面積から二次方程式を作り、各因数と各変化の対応を説明してください。
答えと解説
元の二辺はx,x、変更後はx−2,x+4 cm。短くした辺も正なのでx>2。生徒の二つの図へ辺と変化を書き、(x−2)(x+4)=72。展開してx²+2x−8=72、x²+2x−80=0。二方向の変化後の辺の積が72cm²を表す。
生徒の変化前後の図、二つの符号と辺、x>2、同じ面積を結ぶ元の関係式と二次方程式を見ます。
連続する二整数の平方の和が41です。小さい方を整数xとして、二数と各平方を並べた自分の表、xの範囲、和を表す式を書いて二次方程式を作ります。「整数」という条件から勝手に正に限定してよいかも説明してください。
答えと解説
小さい方x、大きい方x+1でxは整数。生徒の表にx,x+1とx²,(x+1)²を書く。平方の和からx²+(x+1)²=41、2x²+2x−40=0、両辺2で割ってx²+x−20=0。「整数」だけでは正とは限らずx>0を追加しない。
生徒の二数・平方の表、整数という範囲、和と等しい41の対応、元の等式と整理、書かれていない正の条件を足さない理由を見ます。
連続する二つの正の偶数の積が120です。小さい方をxとして、二数を表す自分の図か表、xの範囲と積のことばの式を示します。二次方程式を作り、二数の差を1とする立式との違いを説明してください。
答えと解説
小さい方xは正の偶数、大きい方x+2。生徒の図か表へ差2と二数を書く。積の関係はx(x+2)=120、x²+2x−120=0。連続する偶数の差は2で、xとx+1なら整数として連続していても片方は偶数ではない。
生徒の実際の図か表、正の偶数という条件、差2と積、元の等式と二次方程式、連続整数との差を見ます。
同じ36kmの道を、速さxkm/hで進む場合と、それより3km/h速く進む場合を比べます。速い場合は遅い場合より1時間短くなります。速さ・距離・時間の自分の表を作り、xの範囲と時間差から等式を立て、分母を払って二次方程式へ直します。差の向きと分母を払える理由も説明します。
答えと解説
表の距離は両方36km、速さはxとx+3 km/h、時間は36/xと36/(x+3)時間。x>0なので二つの分母は0でない。遅い方の時間−速い方の時間=1より36/x−36/(x+3)=1。x(x+3)を両辺へ掛けて36(x+3)−36x=x(x+3)、108=x²+3x、x²+3x−108=0。
生徒の単位付きの表、距離÷速さの時間、x>0と0でない分母、正しい差の向き、元の関係と分母を払った各式を見ます。
長さ16cmの線分ABの両端を除く部分に点Pがあります。APとPBをそれぞれ一辺とする二つの正方形の面積の和は160cm²です。AP=xcmとして線分と二つの正方形の自分の図を描き、PBの式、単位とxの範囲を書きます。面積の和から二次方程式を作り、各項の意味を説明してください。
答えと解説
生徒の図にAP=x、PB=16−x cmと二つの正方形を書き、0<x<16。二面積はx²と(16−x)² cm²なのでx²+(16−x)²=160、2x²−32x+96=0、整理してx²−16x+48=0。各平方は対応する正方形の面積、和は与えられた160cm²。
生徒の線分と二正方形の図、二辺と単位・範囲、面積の和の等式、展開した方程式と各項の対応を見ます。
幅30cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。断面の底の幅と高さは正で、断面積は108cm²です。断面の自分の図を描き、底と高さの式、単位、xの範囲を書きます。面積から二次方程式を作り、底からxを二回引く理由を説明してください。
答えと解説
生徒の断面図へ高さx、底30−2x cmを記入。x>0かつ30−2x>0より0<x<15。断面積=底×高さからx(30−2x)=108、2x²−30x+108=0、x²−15x+54=0。左右それぞれに幅xを使うので底から2xを引く。
生徒の断面図・二長さ・単位と0<x<15、両側の幅の対応、面積の元の等式と二次方程式を見る。体積の式と混同しない。
同じカードを、すき間のない長方形に縦x枚、横は縦より3枚多く並べると、全部で70枚になりました。行と列を示す自分の図か表を作り、xの範囲、二方向の枚数と総枚数のことばの式を示します。二次方程式を作り、二方向の枚数を足す式ではない理由を説明してください。
答えと解説
縦x枚、横x+3枚で、xは正の整数。生徒の図か表へ二方向の個数と一行の枚数を書く。全体は縦の枚数×横の枚数なのでx(x+3)=70、x²+3x−70=0。和2x+3は二方向の個数を足した数で、全てのカードの枚数ではない。
生徒の実際の行列図か表、正の整数という範囲、二方向と総数の積の対応、元の等式と二次方程式を見ます。
縦20cm・横14cmの長方形の四辺すべての内側に、同じ正の幅xcmの道を作ります。中央には縦横とも正の長方形が残り、その面積は216cm²です。道と中央部分の自分の図を描き、中央の各辺と単位、xの範囲を示します。二次方程式を作り、四辺の幅が各長さへどう入るか説明してください。
答えと解説
生徒の図へ四辺の道と中央の縦20−2x、横14−2x cmを書く。x>0、20−2x>0、14−2x>0より0<x<7。中央の面積から(20−2x)(14−2x)=216、4x²−68x+64=0、x²−17x+16=0。縦も横も両端からxを除くので両方の長さから2xを引く。
生徒の四辺の道を区別した図、中央の二辺・単位と範囲、中央面積の等式と整理、二方向とも2xを引く理由を見ます。
3以上8以下の整数rと2以上5以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を考えます。「辺の差と面積から短い辺を求める」という問題文を自分の数で作ってください。自分の図、実際の面積の計算、未知数xの意味・範囲、数量関係からの二次方程式を示します。一般式だけではなく、具体的な場面と数を残します。
答えと解説
作例r=4,d=5なら辺4cmと9cm、面積4×9=36cm²。問題文は「長い辺は短い辺より5cm長く、面積36cm²の長方形の短い辺を求める」。生徒の図へ短い辺xcm、長い辺(x+5)cm、x>0と書き、x(x+5)=36、x²+5x−36=0。生徒が別の条件内のr,dを選び、面積と差に対応する具体的な問題・式も認める。
生徒の条件内のr,d、実際の図・面積計算と問題文、未知数・単位・範囲、元の関係と具体的な二次方程式を見る。一般の雛形だけを作例の完了にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(3)イ(イ)、冊子142/PDF146の、求める数量を文字で表し、関係する量を式にして等号で結ぶ活動を踏まえた独自課題です。現行出版社の利用の手順も参照しました。問題の数値や並びや図版を写さず、図の配置と条件は文章で明示します。解の許容範囲への吟味を主に扱う090とは分けます。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 数量と単位を定め、関係から二次方程式を作る
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/define-quantities-and-build-quadratic-models-from-context/
準備14問の選択と数値は足場です。主課題では生徒の未知数の意味・単位・範囲、図や表などの具体的な表現、関係する量の式、同じ量を結ぶ等式と二次方程式、その関係を選ぶ理由を手動確認します。T1は辺の差、T2は二方向の変化、T3は連続整数、T4は連続偶数、T5は同距離の時間差、T6は線分の分割、T7は折った断面、T8は行と列の個数、T9は四辺の内側の道、T10は生徒の具体的な場面です。未知数の置き方が違っても、定義・範囲・関係が対応する正しい立式を認めます。完成した式や一般的な手順だけを生徒の過程にはしません。
短い辺xcm、長い辺はそれより5cm長い長方形の面積が84cm²です。面積を表す等式はどれですか。
- x+(x+5)=84
- x(x−5)=84
- x(x+5)=84
- 5x²=84
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x(x+5)=84をx²+5x+c=0と整理します。定数cを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一辺xcmの正方形から、一方向を3cm短く、他方向を2cm長くした長方形の面積は88cm²です。等式はどれですか。
- (x−3)(x+2)=88
- (x+3)(x−2)=88
- x²−3+2=88
- (x−3)+(x+2)=88
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する二整数の小さい方をxとします。大きい方を表す式はどれですか。
- x+1
- x+2
- 2x
- x−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する二整数の小さい方がx、平方の和が61です。等式はどれですか。
- x(x+1)=61
- x²+(x+1)²=61
- x²+(x+1)=61
- (2x+1)²=61
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する二つの正の偶数の小さい方をxとし、積が168です。x(x+k)=168のkを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
24kmを速さxkm/hと(x+2)km/hで進む二つの場合の時間差は1時間です。24/x−24/(x+2)=1からx(x+2)=kと直すとき、kはいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長さ14cmの線分ABの内側に点Pがあり、AP=xcmです。PBを表す式はどれですか。
- 14+x
- 14−x
- x−14
- 14x
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+(14−x)²=100を2x²+bx+96=0へ整理します。bを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
幅22cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、断面を上が開いた長方形にします。断面積48cm²の等式はどれですか。
- x(22−x)=48
- x(22−2x)=48
- x²(22−2x)=48
- 2x+22=48
途中の計算・単位・理由・確認答え:
カードを縦x枚、横は縦より4枚多い長方形に並べ、全部で77枚です。x²+bx−77=0のbを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
縦18cm・横12cmの長方形の四辺すべての内側に幅xcmの道を作ります。中央の横の長さを12−kx cmと表すとき、kはいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(18−2x)(12−2x)=160を4x²−60x+c=0へ整理します。cを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
短い辺xcm、長い辺x+5cm、面積84cm²の長方形で、同じ数量として等号で結ぶものはどれですか。
- 辺の和2x+5cmと84cm²
- 面積x(x+5)cm²と84cm²
- 短い辺xcmと84cm²
- 辺の差5cmと84cm²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
長方形の長い辺は短い辺より6cm長く、面積は91cm²です。短い辺をxcmとし、辺の式を入れた自分の図、xの範囲、面積のことばの式と等式を書きます。展開して右辺0の二次方程式も示し、なぜ等号で結ぶか説明してください。解くことは必須ではありません。
一辺xcmの正方形から、一方向を2cm短く、他方向を4cm長くした長方形の面積が72cm²になりました。変化前と後の自分の図を描き、各辺の式・単位とxの範囲を示します。面積から二次方程式を作り、各因数と各変化の対応を説明してください。
連続する二整数の平方の和が41です。小さい方を整数xとして、二数と各平方を並べた自分の表、xの範囲、和を表す式を書いて二次方程式を作ります。「整数」という条件から勝手に正に限定してよいかも説明してください。
連続する二つの正の偶数の積が120です。小さい方をxとして、二数を表す自分の図か表、xの範囲と積のことばの式を示します。二次方程式を作り、二数の差を1とする立式との違いを説明してください。
同じ36kmの道を、速さxkm/hで進む場合と、それより3km/h速く進む場合を比べます。速い場合は遅い場合より1時間短くなります。速さ・距離・時間の自分の表を作り、xの範囲と時間差から等式を立て、分母を払って二次方程式へ直します。差の向きと分母を払える理由も説明します。
長さ16cmの線分ABの両端を除く部分に点Pがあります。APとPBをそれぞれ一辺とする二つの正方形の面積の和は160cm²です。AP=xcmとして線分と二つの正方形の自分の図を描き、PBの式、単位とxの範囲を書きます。面積の和から二次方程式を作り、各項の意味を説明してください。
幅30cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。断面の底の幅と高さは正で、断面積は108cm²です。断面の自分の図を描き、底と高さの式、単位、xの範囲を書きます。面積から二次方程式を作り、底からxを二回引く理由を説明してください。
同じカードを、すき間のない長方形に縦x枚、横は縦より3枚多く並べると、全部で70枚になりました。行と列を示す自分の図か表を作り、xの範囲、二方向の枚数と総枚数のことばの式を示します。二次方程式を作り、二方向の枚数を足す式ではない理由を説明してください。
縦20cm・横14cmの長方形の四辺すべての内側に、同じ正の幅xcmの道を作ります。中央には縦横とも正の長方形が残り、その面積は216cm²です。道と中央部分の自分の図を描き、中央の各辺と単位、xの範囲を示します。二次方程式を作り、四辺の幅が各長さへどう入るか説明してください。
3以上8以下の整数rと2以上5以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を考えます。「辺の差と面積から短い辺を求める」という問題文を自分の数で作ってください。自分の図、実際の面積の計算、未知数xの意味・範囲、数量関係からの二次方程式を示します。一般式だけではなく、具体的な場面と数を残します。
解答: 数量と単位を定め、関係から二次方程式を作る
x(x+5)=84
長い辺はx+5cmで、面積は二辺の積x(x+5)cm²です。
−84
左辺を展開し、84を左辺へ移すのでc=−84です。
(x−3)(x+2)=88
変えた二辺はx−3とx+2で、面積はその積です。
x+1
整数を一つ進むので大きい方はx+1です。
x²+(x+1)²=61
各整数を二乗してから加えるのでx²+(x+1)²です。
2
連続する偶数の差は2なので大きい方はx+2です。
48
x>0なので分母を払えます。24(x+2)−24x=48よりk=48です。
14−x
AP+PB=14なのでPB=14−xです。
−28
(14−x)²=196−28x+x²よりb=−28です。
x(22−2x)=48
底の幅は22−2x、高さはxなので断面積はx(22−2x)です。
4
枚数の関係はx(x+4)=77なのでb=4です。
2
横方向でも左右からそれぞれxを除くので12−2xです。
56
18×12−160=216−160=56で、c=56です。
面積x(x+5)cm²と84cm²
面積を式で表したものと、与えられた面積を結びます。単位だけでなく数量の種類も対応させます。
記述問題の解答・確認の観点
長方形の長い辺は短い辺より6cm長く、面積は91cm²です。短い辺をxcmとし、辺の式を入れた自分の図、xの範囲、面積のことばの式と等式を書きます。展開して右辺0の二次方程式も示し、なぜ等号で結ぶか説明してください。解くことは必須ではありません。
短い辺xcm、長い辺(x+6)cm、x>0。生徒の長方形の図へ二辺と単位を書く。面積=短い辺×長い辺なのでx(x+6)=91、x²+6x−91=0。積と91は同じ面積をcm²で表しているため等号で結ぶ。
生徒の実際の図・二辺・単位とx>0、面積の関係、元の等式と展開した方程式、同じ面積という説明を見ます。
一辺xcmの正方形から、一方向を2cm短く、他方向を4cm長くした長方形の面積が72cm²になりました。変化前と後の自分の図を描き、各辺の式・単位とxの範囲を示します。面積から二次方程式を作り、各因数と各変化の対応を説明してください。
元の二辺はx,x、変更後はx−2,x+4 cm。短くした辺も正なのでx>2。生徒の二つの図へ辺と変化を書き、(x−2)(x+4)=72。展開してx²+2x−8=72、x²+2x−80=0。二方向の変化後の辺の積が72cm²を表す。
生徒の変化前後の図、二つの符号と辺、x>2、同じ面積を結ぶ元の関係式と二次方程式を見ます。
連続する二整数の平方の和が41です。小さい方を整数xとして、二数と各平方を並べた自分の表、xの範囲、和を表す式を書いて二次方程式を作ります。「整数」という条件から勝手に正に限定してよいかも説明してください。
小さい方x、大きい方x+1でxは整数。生徒の表にx,x+1とx²,(x+1)²を書く。平方の和からx²+(x+1)²=41、2x²+2x−40=0、両辺2で割ってx²+x−20=0。「整数」だけでは正とは限らずx>0を追加しない。
生徒の二数・平方の表、整数という範囲、和と等しい41の対応、元の等式と整理、書かれていない正の条件を足さない理由を見ます。
連続する二つの正の偶数の積が120です。小さい方をxとして、二数を表す自分の図か表、xの範囲と積のことばの式を示します。二次方程式を作り、二数の差を1とする立式との違いを説明してください。
小さい方xは正の偶数、大きい方x+2。生徒の図か表へ差2と二数を書く。積の関係はx(x+2)=120、x²+2x−120=0。連続する偶数の差は2で、xとx+1なら整数として連続していても片方は偶数ではない。
生徒の実際の図か表、正の偶数という条件、差2と積、元の等式と二次方程式、連続整数との差を見ます。
同じ36kmの道を、速さxkm/hで進む場合と、それより3km/h速く進む場合を比べます。速い場合は遅い場合より1時間短くなります。速さ・距離・時間の自分の表を作り、xの範囲と時間差から等式を立て、分母を払って二次方程式へ直します。差の向きと分母を払える理由も説明します。
表の距離は両方36km、速さはxとx+3 km/h、時間は36/xと36/(x+3)時間。x>0なので二つの分母は0でない。遅い方の時間−速い方の時間=1より36/x−36/(x+3)=1。x(x+3)を両辺へ掛けて36(x+3)−36x=x(x+3)、108=x²+3x、x²+3x−108=0。
生徒の単位付きの表、距離÷速さの時間、x>0と0でない分母、正しい差の向き、元の関係と分母を払った各式を見ます。
長さ16cmの線分ABの両端を除く部分に点Pがあります。APとPBをそれぞれ一辺とする二つの正方形の面積の和は160cm²です。AP=xcmとして線分と二つの正方形の自分の図を描き、PBの式、単位とxの範囲を書きます。面積の和から二次方程式を作り、各項の意味を説明してください。
生徒の図にAP=x、PB=16−x cmと二つの正方形を書き、0<x<16。二面積はx²と(16−x)² cm²なのでx²+(16−x)²=160、2x²−32x+96=0、整理してx²−16x+48=0。各平方は対応する正方形の面積、和は与えられた160cm²。
生徒の線分と二正方形の図、二辺と単位・範囲、面積の和の等式、展開した方程式と各項の対応を見ます。
幅30cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。断面の底の幅と高さは正で、断面積は108cm²です。断面の自分の図を描き、底と高さの式、単位、xの範囲を書きます。面積から二次方程式を作り、底からxを二回引く理由を説明してください。
生徒の断面図へ高さx、底30−2x cmを記入。x>0かつ30−2x>0より0<x<15。断面積=底×高さからx(30−2x)=108、2x²−30x+108=0、x²−15x+54=0。左右それぞれに幅xを使うので底から2xを引く。
生徒の断面図・二長さ・単位と0<x<15、両側の幅の対応、面積の元の等式と二次方程式を見る。体積の式と混同しない。
同じカードを、すき間のない長方形に縦x枚、横は縦より3枚多く並べると、全部で70枚になりました。行と列を示す自分の図か表を作り、xの範囲、二方向の枚数と総枚数のことばの式を示します。二次方程式を作り、二方向の枚数を足す式ではない理由を説明してください。
縦x枚、横x+3枚で、xは正の整数。生徒の図か表へ二方向の個数と一行の枚数を書く。全体は縦の枚数×横の枚数なのでx(x+3)=70、x²+3x−70=0。和2x+3は二方向の個数を足した数で、全てのカードの枚数ではない。
生徒の実際の行列図か表、正の整数という範囲、二方向と総数の積の対応、元の等式と二次方程式を見ます。
縦20cm・横14cmの長方形の四辺すべての内側に、同じ正の幅xcmの道を作ります。中央には縦横とも正の長方形が残り、その面積は216cm²です。道と中央部分の自分の図を描き、中央の各辺と単位、xの範囲を示します。二次方程式を作り、四辺の幅が各長さへどう入るか説明してください。
生徒の図へ四辺の道と中央の縦20−2x、横14−2x cmを書く。x>0、20−2x>0、14−2x>0より0<x<7。中央の面積から(20−2x)(14−2x)=216、4x²−68x+64=0、x²−17x+16=0。縦も横も両端からxを除くので両方の長さから2xを引く。
生徒の四辺の道を区別した図、中央の二辺・単位と範囲、中央面積の等式と整理、二方向とも2xを引く理由を見ます。
3以上8以下の整数rと2以上5以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を考えます。「辺の差と面積から短い辺を求める」という問題文を自分の数で作ってください。自分の図、実際の面積の計算、未知数xの意味・範囲、数量関係からの二次方程式を示します。一般式だけではなく、具体的な場面と数を残します。
作例r=4,d=5なら辺4cmと9cm、面積4×9=36cm²。問題文は「長い辺は短い辺より5cm長く、面積36cm²の長方形の短い辺を求める」。生徒の図へ短い辺xcm、長い辺(x+5)cm、x>0と書き、x(x+5)=36、x²+5x−36=0。生徒が別の条件内のr,dを選び、面積と差に対応する具体的な問題・式も認める。
生徒の条件内のr,d、実際の図・面積計算と問題文、未知数・単位・範囲、元の関係と具体的な二次方程式を見る。一般の雛形だけを作例の完了にしない。