中3 数学：二次方程式の文章題と解の吟味の練習問題
与えられた全ての解を元の数量関係と範囲に照らし、条件に合う答えを全て示します。準備14問と、自分の検算・条件表・判断の理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(3)イ(イ)、冊子142/PDF146の、二次方程式を具体的な場面で活用し、解を問題に即して解釈する本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の利用の手順と、適する解についても説明する指導資料を参照しました。元の問題の数値・図版は写しません。0を含む時間のモデルや区間の端点は各設問で明示した条件であり、全ての場面に共通する条件とはしません。
解説を読む
方程式を満たす数でも、その場面で求める数量として使えるとは限りません。xの意味と単位、正の長さ、取れる範囲、整数という条件などを確認し、与えられた全ての解を元の関係と条件へ戻します。条件に合う解が二つあれば両方を残し、0を含む範囲なら0を一律に捨てません。最後に、xの値と実際に求める量を区別して答えます。
必要な予備知識
二次方程式の解と代入、平方根、長方形や正方形の面積、距離・速さ・時間、単位と不等式の範囲、整数の意味。088は解法、089は立式が主で、この教材では完成した候補から場面に合う答えを吟味します。
- xが表す数量と単位を確かめます。辺の長さか、位置か、経過時間かによって、0や端点を含められるかが違います。
- 与えられた全ての解を候補として並べます。正の解だけを一つ拾って終わらず、二つとも場面に合う可能性も調べます。
- 各候補を元の関係式へ代入し、実際の数量や積・和・時間差を計算します。整理した方程式だけでなく、元の量へ戻します。
- 方程式を満たすことと、場面の条件を満たすことを分けます。負の値が方程式の正しい解でも、正の辺の長さとしては使えないことがあります。
- 幅や位置には上限もあります。正だから採用するのではなく、残る辺も正か、指定された区間内か、端点を含むかを確かめます。
- 個数や1cm角のタイルを切らずに並べる条件では、必要な整数の条件も調べます。小数だから常に不適とはせず、その数量の条件に照らします。
- 時間が0以上と明示されたモデルなら0秒も範囲内です。適用する時間の範囲が限られた式では、式の値が合っても範囲外の時刻を答えにはしません。
- 条件に合う答えを全て、求められた量と単位で示します。根号の正確な値と近似値も分けます。途中のxだけで終えず、長い辺や速い方を問われたら対応する量へ直します。
解き方の例
短い辺xcm、長い辺(x+5)cmの長方形の面積が66cm²で、xの解が6と−11なら、6では辺6,11、積66。−11では辺−11,−6で積は66でも正の長さの条件に合いません。短い辺6cm、長い辺11cmと答えます。負の候補が方程式の解であることまで否定しません。
長さ12cmの線分ABの内側に点Pがあり、AP=xcmとPBを一辺とする二つの正方形の面積の和が80cm²です。x²+(12−x)²=80の解は4,8。どちらも0<x<12に入り、辺4,8の平方の和は80です。APは4cmまたは8cmで、正の解を一つだけ残す理由はありません。
よくある間違い
- 方程式の解をそのまま答えにして、数量・単位・範囲を確かめない。
- 負の解を使えない理由を、元の場面ではなく必ず計算ミスだと説明する。
- 正の解なら上限や残る辺を調べず採用する。
- 二つとも条件に合うのに一つだけ選ぶ。
- 経過時間は必ず正だとして、0以上という指定を読み落とす。
- 小数を一律に捨てたり、整数で並べる条件を落としたりする。
- 近似値を正確な根号の値と等号で結ぶ。
- 短い辺をxとしたのに、長い辺を求める問いにもxだけで答える。
考え方を説明する
準備14問の数値・選択は足場です。主課題は生徒の全候補の表、元の関係での実際の計算、数量・単位・範囲に照らした候補ごとの判断と理由、求められた量の全ての答えを手動確認します。T1は負の辺と求める長辺、T2は正でも上限を越す幅、T3・T4は二つとも適する場合、T5は元の時間差と正の速さ、T6は0を含む時間、T7はモデルの適用区間、T8はタイルの整数条件、T9は正確な根号と近似値、T10は生徒の具体的な別例です。既に全ての解を示しているので解き直しは必須にしません。正しい別の表現・検算も認めますが、最終の値や一般的な注意だけでは生徒の吟味を確認しません。
各主課題の全候補は示してあり、立式や解法の再現だけを到達点にしません。生徒の実際の検算・条件表・判断の理由を紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい式・図や自由記述の自動採点機能、生徒の成果、試験の出題頻度は主張しません。
練習する
準備は条件に合う値を確かめる足場です。主課題では全ての候補を元の関係と場面の条件へ戻した実際の表・計算・理由・単位付きの答えを紙や既存の授業用ボードへ書き、講師が手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
短い辺xcm、長い辺(x+3)cmの長方形の面積は40cm²で、xの解は−8と5です。短い辺の長さは何cmですか。
答えと解説
5
−8では辺−8,−5となり正の長さではありません。5では辺5,8、積40なので短い辺5cmです。
縦14cm・横10cmの長方形の四辺の内側に幅xcmの道を作り、中央の面積を96cm²にします。(14−2x)(10−2x)=96の解は1と11、条件は0<x<5です。道の幅は何cmですか。
答えと解説
1
1は0<x<5に入り、中央の辺12,8で面積96。11は上限を越すので採用しません。
経過時間t秒に対するモデルA=4t²cm²は0≦t≦6で使うものとします。A=0の方程式の解はt=0一つです。この条件での答えはどれですか。
- 0秒
- 時間は必ず正なので解なし
- 6秒
- 0秒と6秒
答えと解説
0秒
このモデルの範囲は0を含み、t=0でA=0です。0秒を捨てません。
長さ10cmの線分ABの内側にPがあり、AP=xcm、PB=(10−x)cmです。x²+(10−x)²=58の解は3と7です。条件に合うAPの長さを全て、小さい順に何cmか答えてください。
答えと解説
小さい方の値 = 3 / 大きい方の値 = 7
両方とも0<x<10で、3²+7²=58です。APは3cmまたは7cmです。
長さ12cmの線分ABの内側にPがあり、Aから3cmの点QとPの距離は3cmです。AP=xcmとして(x−3)²=9の解は0と6です。Pは両端を除くので0<x<12です。APは何cmですか。
答えと解説
6
0は端点Aを表すので条件外。6は内側にあり、Qとの距離は|6−3|=3cmです。
長さ12cmの線分AB上を、両端を含めて点Pが動きます。AP=xcm、PB=(12−x)cmでAP×PB=0です。解x=0,12のうち条件0≦x≦12に合う値を全て、小さい順に何cmか答えてください。
答えと解説
小さい方の値 = 0 / 大きい方の値 = 12
両端を含むのでP=Aの0cmとP=Bの12cmの両方が適します。どちらも積0です。
1cm角のタイルを切らず、縦横の辺をそろえて長方形へ並べます。幅xcm、高さ(9−2x)cm、面積7cm²で、x(9−2x)=7の解は1と3.5です。両辺は正の整数cmである必要があります。幅は何cmですか。
答えと解説
1
x=1では辺1,7で正の整数。x=3.5では辺3.5,2で面積は7でも幅が整数cmではありません。
正の辺の長さをxとする場面で、負の候補を元の方程式へ代入すると等式が成り立ちました。正しい説明はどれですか。
- 負の数は方程式の解にはなれない
- 代入で成り立つなら正の辺として使える
- 方程式の解だが、正の辺という場面の条件には合わない
- 負の候補は必ず計算ミスである
答えと解説
方程式の解だが、正の辺という場面の条件には合わない
方程式を満たすことと、正の長さの条件に合うことは別に確かめます。
幅20cmの厚紙の左右をxcmずつ直角に折り、断面積48cm²にします。x(20−2x)=48の解は4と6、条件は0<x<10です。適する幅の全てはどれですか。
- 4cmだけ
- 6cmだけ
- 解なし
- 4cmと6cm
答えと解説
4cmと6cm
4では底12、高さ4で48。6では底8、高さ6で48。両方とも条件内なので両方を残します。
モデルA=t(10−t)cm²を使える範囲は0≦t≦5秒です。A=16の方程式の解はt=2,8です。このモデルの範囲内では何秒ですか。
答えと解説
2
2も8も式の値は16ですが、適用範囲0≦t≦5に入るのは2秒だけです。
面積72cm²の正方形の一辺の長さを、正確な値で示すものはどれですか。解はx=±6√2です。
- −6√2cm
- 8.49cmと正確に等しい
- 6√2cm
- 6cmと√2cmの二つ
答えと解説
6√2cm
辺は正なので6√2cm。小数の8.49は近似値で、正確な値と等号では結びません。
方程式x²+3x−40=0の左辺にx=−8を代入した値を答えてください。
答えと解説
0
(−8)²+3×(−8)−40=64−24−40=0です。場面で使えなくても方程式の解である場合があります。
短い辺xcm、長い辺(x+3)cmの長方形の面積は54cm²です。x(x+3)=54の解は6と−9で、正の辺の条件に合うのは6です。長い辺は何cmですか。
答えと解説
9
問われた長い辺はx+3なので6+3=9cmです。
同じ24kmを速さxkm/hと(x+4)km/hで進み、遅い場合の所要時間が1時間長くなります。24/x−24/(x+4)=1の解は8と−12で、正の速さの条件に合うxは8です。速い方は何km/hですか。
答えと解説
12
速い方はx+4なので12km/hです。元の時間は24/8=3時間、24/12=2時間で差1時間です。
考え方を説明する
短い辺xcm、長い辺(x+4)cmの長方形の面積が77cm²です。x(x+4)=77の全ての解は7,−11です。二候補について、二辺・元の積・正の条件・採用するかと理由を自分の表へ実際に書きます。最後に長い辺の長さを答え、−11が方程式の解であることと場面で使えることを分けて説明してください。
答えと解説
生徒の表でx=7は辺7,11cm、7×11=77cm²、二辺とも正なので採用。x=−11は辺−11,−7、積は77でも辺が負なので不採用。−11も元の等式を満たす方程式の解であり、計算ミスだと決め付けない。問われた長い辺は7+4=11cm。
生徒の両候補の実際の表、二つの積、負の辺を除く理由、方程式と場面の区別、長い辺11cmへの対応を見ます。
縦18cm・横12cmの長方形の四辺すべての内側に同じ正の幅xcmの道を作り、中央に正の二辺を持つ長方形を残します。中央の面積は160cm²で、(18−2x)(12−2x)=160の全ての解は1,14です。二候補で中央の二辺と積を計算し、自分の条件表へ採否と理由を書きます。「どちらも正の解だからよい」という説明を直してください。
答えと解説
道の幅と中央の両辺が正なので0<x<6。x=1では中央16cm,10cm、積160で条件内。x=14では中央−10,−16、積は160だが、両辺が負で、幅の条件0<x<6も満たさない。道の幅は1cmだけ。正のxという条件だけでなく残る二辺と上限を確認する。
生徒の両候補の辺・積・0<x<6と判断表、正の候補でも場面に合わない具体的な理由、幅1cmを見ます。
幅26cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。高さと底の幅はともに正で、断面積は80cm²です。x(26−2x)=80の全ての解は5,8です。各候補の高さ・底・面積・範囲・採否を自分の表へ計算し、適する幅を全て答えてください。一方を捨てる必要があるかも説明します。
答えと解説
高さx>0、底26−2x>0より0<x<13。x=5では高さ5cm、底16cm、面積80cm²。x=8では高さ8cm、底10cm、面積80cm²。両方とも範囲内で正の断面を作るので幅5cmまたは8cm。解を一つにする条件はなく両方を残す。
生徒の二行の実際の表、二つの断面の辺・積と0<x<13、両方を採る理由と全ての幅を見る。体積と混同しない。
長さ14cmの線分ABの両端を除く部分にPがあり、AP=xcmです。APとPBを一辺とする二つの正方形の面積の和が100cm²で、x²+(14−x)²=100の全ての解は6,8です。各候補のAP・PB・面積の和・位置の範囲を自分の表へ実際に書き、APの長さを全て答えます。「一つの図だから解も一つ」という説明を検討してください。
答えと解説
条件は0<x<14。x=6ではAP6cm,PB8cm、36+64=100cm²。x=8ではAP8cm,PB6cm、64+36=100cm²。どちらもPは内側にあり、位置が異なる二通りなのでAP6cmまたは8cm。図を一つ描いたことだけでは他方を除けない。
生徒の両位置のAP・PB・平方の和の表、範囲、異なる二位置を残す理由、APの二つの答えと単位を見ます。
同じ40kmを速さxkm/hで進む場合と、それより2km/h速く進む場合を比べます。遅い場合の所要時間が1時間長いので40/x−40/(x+2)=1です。この関係から得た全ての候補は8,−10です。速さ・各時間・元の時間差・正の条件を両候補で計算し、自分の表へ採否を書きます。遅い方と速い方の速さを答えてください。
答えと解説
x=8では速さ8,10km/h、時間40/8=5時間と40/10=4時間で差1時間、両速さとも正。x=−10では速さ−10,−8、式の各商は−4,−5で差1を満たすが、正の速さと所要時間の場面に合わない。分母はどちらも0でなく、−10は元の式を満たしても使えない候補。遅い方8km/h、速い方10km/h。
生徒の二候補の実際の速さ・時間・差の表、分母と正の場面条件、負の候補を除く理由、両速度と単位を見ます。
経過時間t秒に対する面積のモデルA=3t²cm²を、0≦t≦4の範囲で使うものとします。A=0の方程式の全ての解はt=0一つです。モデルへの代入・範囲・採否を実際に書き、「時間なので0は必ず除く」という説明を直して答えます。この設問の条件と、全ての時間の問題に共通する条件を混同しないでください。
答えと解説
t=0ならA=3×0²=0cm²で、0≦0≦4を満たす。このモデルでは始点を含めているので0秒が答え。時間を0以上と指定したこの設問で0を除く理由はない。別の場面で開始後だけを扱うなら条件を別に読む必要があり、時間は必ず正とも必ず0を含むとも決め付けない。
生徒の実際の代入と閉区間の確認、0秒を残す理由、設問固有の条件と一般化の区別を見る。別の解を作らない。
モデルA=t(8−t)cm²は、経過時間0≦t≦3秒の範囲で使うものとします。A=12の方程式の全ての解はt=2,6です。二候補の式の値と適用範囲を自分の表で確かめ、条件に合う時刻を全て答えます。「6を式に入れて12になるから、このモデルで6秒の実際の面積も確認できた」という説明を直してください。
答えと解説
t=2で2(8−2)=12cm²、0≦2≦3なので採用。t=6でも計算上6(8−6)=12だが6>3でモデルの適用範囲外。答えは2秒だけ。範囲外へ式を代入した値だけでは6秒の実際の面積をこのモデルで確かめたことにはならない。
生徒の両代入・区間・採否の表、6の式の成立と適用範囲外を分ける理由、2秒への答えを見ます。
1cm角のタイルを切らず、縦横の辺をそろえ、すき間なく長方形へ並べます。幅xcm、高さ(11−2x)cm、面積12cm²で、x(11−2x)=12の全ての解は3/2,4です。二候補の二辺・面積・正の条件・整数条件を自分の表へ実際に書き、可能な幅と高さを全て答えます。正で面積が合うだけでよいかも説明してください。
答えと解説
x=3/2では幅1.5cm、高さ8cm、面積12cm²で正だが、1cm角のタイルを切らずに辺をそろえて並べる幅は整数cmなので使えない。x=4では幅4cm、高さ3cm、面積12cm²、両辺とも正の整数で使える。幅4cm、高さ3cmだけ。小数を一般に禁止するのでなく、このタイルの条件による。
生徒の両候補の辺・積・正と整数の判断表、タイルを切らない条件による不採用の理由、幅と高さの単位付きの答えを見ます。
正方形の面積が50cm²で、一辺xcmの方程式x²=50の全ての解は±5√2です。両候補の平方と正の辺の条件を自分の表へ書き、正確な辺の長さを答えます。さらに「辺は7.07cmと正確に等しい」という説明を、7.07²の実際の計算を使って直してください。
答えと解説
(5√2)²=50、(−5√2)²=50で両方とも方程式の解。正の辺なので5√2cmを採用し、負の方は使わない。7.07²=49.9849で50ではないため7.07cmと正確には等しくない。正確な長さは5√2cm、7.07cmは小数第2位までの近似値と分ける。
生徒の二つの平方・正の条件の表、正確な5√2cm、実際の7.07²と等号を使えない理由を見る。近似だけで終えない。
3以上7以下の整数rと1以上4以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を作ります。面積A=r(r+d)cm²を実際に計算し、短い辺xからの式x(x+d)=Aと二候補r,−(r+d)を自分の数で示します。自分で作った候補表へ二辺・元の積・正の条件・採否を書き、短い辺と長い辺を答えてください。一般式だけではなく具体的な数と検算を残します。
答えと解説
作例r=5,d=4では辺5,9cm、A=45cm²、x(x+4)=45、候補5,−9。生徒の表に5では辺5,9、積45で正だから採用、−9では辺−9,−5、積45でも負の辺だから不採用と書く。短い辺5cm、長い辺9cm。条件内の別のr,dも、具体的な両候補の辺・積・条件と答えが対応すれば認める。
生徒の条件内のr,d、実際の面積と式、具体的な両候補の二辺・積・採否の表、負の候補の説明、両辺と単位を見る。一般の雛形だけでは完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(3)イ(イ)、冊子142/PDF146の、二次方程式を具体的な場面で活用し、解を問題に即して解釈する本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の利用の手順と、適する解についても説明する指導資料を参照しました。元の問題の数値・図版は写しません。0を含む時間のモデルや区間の端点は各設問で明示した条件であり、全ての場面に共通する条件とはしません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 全ての解を場面の条件と単位へ戻して確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/check-every-quadratic-root-against-context-and-units/
準備14問の数値・選択は足場です。主課題は生徒の全候補の表、元の関係での実際の計算、数量・単位・範囲に照らした候補ごとの判断と理由、求められた量の全ての答えを手動確認します。T1は負の辺と求める長辺、T2は正でも上限を越す幅、T3・T4は二つとも適する場合、T5は元の時間差と正の速さ、T6は0を含む時間、T7はモデルの適用区間、T8はタイルの整数条件、T9は正確な根号と近似値、T10は生徒の具体的な別例です。既に全ての解を示しているので解き直しは必須にしません。正しい別の表現・検算も認めますが、最終の値や一般的な注意だけでは生徒の吟味を確認しません。
短い辺xcm、長い辺(x+3)cmの長方形の面積は40cm²で、xの解は−8と5です。短い辺の長さは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
縦14cm・横10cmの長方形の四辺の内側に幅xcmの道を作り、中央の面積を96cm²にします。(14−2x)(10−2x)=96の解は1と11、条件は0<x<5です。道の幅は何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
経過時間t秒に対するモデルA=4t²cm²は0≦t≦6で使うものとします。A=0の方程式の解はt=0一つです。この条件での答えはどれですか。
- 0秒
- 時間は必ず正なので解なし
- 6秒
- 0秒と6秒
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長さ10cmの線分ABの内側にPがあり、AP=xcm、PB=(10−x)cmです。x²+(10−x)²=58の解は3と7です。条件に合うAPの長さを全て、小さい順に何cmか答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長さ12cmの線分ABの内側にPがあり、Aから3cmの点QとPの距離は3cmです。AP=xcmとして(x−3)²=9の解は0と6です。Pは両端を除くので0<x<12です。APは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長さ12cmの線分AB上を、両端を含めて点Pが動きます。AP=xcm、PB=(12−x)cmでAP×PB=0です。解x=0,12のうち条件0≦x≦12に合う値を全て、小さい順に何cmか答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1cm角のタイルを切らず、縦横の辺をそろえて長方形へ並べます。幅xcm、高さ(9−2x)cm、面積7cm²で、x(9−2x)=7の解は1と3.5です。両辺は正の整数cmである必要があります。幅は何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正の辺の長さをxとする場面で、負の候補を元の方程式へ代入すると等式が成り立ちました。正しい説明はどれですか。
- 負の数は方程式の解にはなれない
- 代入で成り立つなら正の辺として使える
- 方程式の解だが、正の辺という場面の条件には合わない
- 負の候補は必ず計算ミスである
途中の計算・単位・理由・確認答え:
幅20cmの厚紙の左右をxcmずつ直角に折り、断面積48cm²にします。x(20−2x)=48の解は4と6、条件は0<x<10です。適する幅の全てはどれですか。
- 4cmだけ
- 6cmだけ
- 解なし
- 4cmと6cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
モデルA=t(10−t)cm²を使える範囲は0≦t≦5秒です。A=16の方程式の解はt=2,8です。このモデルの範囲内では何秒ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
面積72cm²の正方形の一辺の長さを、正確な値で示すものはどれですか。解はx=±6√2です。
- −6√2cm
- 8.49cmと正確に等しい
- 6√2cm
- 6cmと√2cmの二つ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
方程式x²+3x−40=0の左辺にx=−8を代入した値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
短い辺xcm、長い辺(x+3)cmの長方形の面積は54cm²です。x(x+3)=54の解は6と−9で、正の辺の条件に合うのは6です。長い辺は何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ24kmを速さxkm/hと(x+4)km/hで進み、遅い場合の所要時間が1時間長くなります。24/x−24/(x+4)=1の解は8と−12で、正の速さの条件に合うxは8です。速い方は何km/hですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
短い辺xcm、長い辺(x+4)cmの長方形の面積が77cm²です。x(x+4)=77の全ての解は7,−11です。二候補について、二辺・元の積・正の条件・採用するかと理由を自分の表へ実際に書きます。最後に長い辺の長さを答え、−11が方程式の解であることと場面で使えることを分けて説明してください。
縦18cm・横12cmの長方形の四辺すべての内側に同じ正の幅xcmの道を作り、中央に正の二辺を持つ長方形を残します。中央の面積は160cm²で、(18−2x)(12−2x)=160の全ての解は1,14です。二候補で中央の二辺と積を計算し、自分の条件表へ採否と理由を書きます。「どちらも正の解だからよい」という説明を直してください。
幅26cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。高さと底の幅はともに正で、断面積は80cm²です。x(26−2x)=80の全ての解は5,8です。各候補の高さ・底・面積・範囲・採否を自分の表へ計算し、適する幅を全て答えてください。一方を捨てる必要があるかも説明します。
長さ14cmの線分ABの両端を除く部分にPがあり、AP=xcmです。APとPBを一辺とする二つの正方形の面積の和が100cm²で、x²+(14−x)²=100の全ての解は6,8です。各候補のAP・PB・面積の和・位置の範囲を自分の表へ実際に書き、APの長さを全て答えます。「一つの図だから解も一つ」という説明を検討してください。
同じ40kmを速さxkm/hで進む場合と、それより2km/h速く進む場合を比べます。遅い場合の所要時間が1時間長いので40/x−40/(x+2)=1です。この関係から得た全ての候補は8,−10です。速さ・各時間・元の時間差・正の条件を両候補で計算し、自分の表へ採否を書きます。遅い方と速い方の速さを答えてください。
経過時間t秒に対する面積のモデルA=3t²cm²を、0≦t≦4の範囲で使うものとします。A=0の方程式の全ての解はt=0一つです。モデルへの代入・範囲・採否を実際に書き、「時間なので0は必ず除く」という説明を直して答えます。この設問の条件と、全ての時間の問題に共通する条件を混同しないでください。
モデルA=t(8−t)cm²は、経過時間0≦t≦3秒の範囲で使うものとします。A=12の方程式の全ての解はt=2,6です。二候補の式の値と適用範囲を自分の表で確かめ、条件に合う時刻を全て答えます。「6を式に入れて12になるから、このモデルで6秒の実際の面積も確認できた」という説明を直してください。
1cm角のタイルを切らず、縦横の辺をそろえ、すき間なく長方形へ並べます。幅xcm、高さ(11−2x)cm、面積12cm²で、x(11−2x)=12の全ての解は3/2,4です。二候補の二辺・面積・正の条件・整数条件を自分の表へ実際に書き、可能な幅と高さを全て答えます。正で面積が合うだけでよいかも説明してください。
正方形の面積が50cm²で、一辺xcmの方程式x²=50の全ての解は±5√2です。両候補の平方と正の辺の条件を自分の表へ書き、正確な辺の長さを答えます。さらに「辺は7.07cmと正確に等しい」という説明を、7.07²の実際の計算を使って直してください。
3以上7以下の整数rと1以上4以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を作ります。面積A=r(r+d)cm²を実際に計算し、短い辺xからの式x(x+d)=Aと二候補r,−(r+d)を自分の数で示します。自分で作った候補表へ二辺・元の積・正の条件・採否を書き、短い辺と長い辺を答えてください。一般式だけではなく具体的な数と検算を残します。
解答: 全ての解を場面の条件と単位へ戻して確かめる
5
−8では辺−8,−5となり正の長さではありません。5では辺5,8、積40なので短い辺5cmです。
1
1は0<x<5に入り、中央の辺12,8で面積96。11は上限を越すので採用しません。
0秒
このモデルの範囲は0を含み、t=0でA=0です。0秒を捨てません。
小さい方の値 = 3 / 大きい方の値 = 7
両方とも0<x<10で、3²+7²=58です。APは3cmまたは7cmです。
6
0は端点Aを表すので条件外。6は内側にあり、Qとの距離は|6−3|=3cmです。
小さい方の値 = 0 / 大きい方の値 = 12
両端を含むのでP=Aの0cmとP=Bの12cmの両方が適します。どちらも積0です。
1
x=1では辺1,7で正の整数。x=3.5では辺3.5,2で面積は7でも幅が整数cmではありません。
方程式の解だが、正の辺という場面の条件には合わない
方程式を満たすことと、正の長さの条件に合うことは別に確かめます。
4cmと6cm
4では底12、高さ4で48。6では底8、高さ6で48。両方とも条件内なので両方を残します。
2
2も8も式の値は16ですが、適用範囲0≦t≦5に入るのは2秒だけです。
6√2cm
辺は正なので6√2cm。小数の8.49は近似値で、正確な値と等号では結びません。
0
(−8)²+3×(−8)−40=64−24−40=0です。場面で使えなくても方程式の解である場合があります。
9
問われた長い辺はx+3なので6+3=9cmです。
12
速い方はx+4なので12km/hです。元の時間は24/8=3時間、24/12=2時間で差1時間です。
記述問題の解答・確認の観点
短い辺xcm、長い辺(x+4)cmの長方形の面積が77cm²です。x(x+4)=77の全ての解は7,−11です。二候補について、二辺・元の積・正の条件・採用するかと理由を自分の表へ実際に書きます。最後に長い辺の長さを答え、−11が方程式の解であることと場面で使えることを分けて説明してください。
生徒の表でx=7は辺7,11cm、7×11=77cm²、二辺とも正なので採用。x=−11は辺−11,−7、積は77でも辺が負なので不採用。−11も元の等式を満たす方程式の解であり、計算ミスだと決め付けない。問われた長い辺は7+4=11cm。
生徒の両候補の実際の表、二つの積、負の辺を除く理由、方程式と場面の区別、長い辺11cmへの対応を見ます。
縦18cm・横12cmの長方形の四辺すべての内側に同じ正の幅xcmの道を作り、中央に正の二辺を持つ長方形を残します。中央の面積は160cm²で、(18−2x)(12−2x)=160の全ての解は1,14です。二候補で中央の二辺と積を計算し、自分の条件表へ採否と理由を書きます。「どちらも正の解だからよい」という説明を直してください。
道の幅と中央の両辺が正なので0<x<6。x=1では中央16cm,10cm、積160で条件内。x=14では中央−10,−16、積は160だが、両辺が負で、幅の条件0<x<6も満たさない。道の幅は1cmだけ。正のxという条件だけでなく残る二辺と上限を確認する。
生徒の両候補の辺・積・0<x<6と判断表、正の候補でも場面に合わない具体的な理由、幅1cmを見ます。
幅26cmの厚紙の左右をそれぞれxcmずつ直角に折り、上が開いた長方形の断面を作ります。高さと底の幅はともに正で、断面積は80cm²です。x(26−2x)=80の全ての解は5,8です。各候補の高さ・底・面積・範囲・採否を自分の表へ計算し、適する幅を全て答えてください。一方を捨てる必要があるかも説明します。
高さx>0、底26−2x>0より0<x<13。x=5では高さ5cm、底16cm、面積80cm²。x=8では高さ8cm、底10cm、面積80cm²。両方とも範囲内で正の断面を作るので幅5cmまたは8cm。解を一つにする条件はなく両方を残す。
生徒の二行の実際の表、二つの断面の辺・積と0<x<13、両方を採る理由と全ての幅を見る。体積と混同しない。
長さ14cmの線分ABの両端を除く部分にPがあり、AP=xcmです。APとPBを一辺とする二つの正方形の面積の和が100cm²で、x²+(14−x)²=100の全ての解は6,8です。各候補のAP・PB・面積の和・位置の範囲を自分の表へ実際に書き、APの長さを全て答えます。「一つの図だから解も一つ」という説明を検討してください。
条件は0<x<14。x=6ではAP6cm,PB8cm、36+64=100cm²。x=8ではAP8cm,PB6cm、64+36=100cm²。どちらもPは内側にあり、位置が異なる二通りなのでAP6cmまたは8cm。図を一つ描いたことだけでは他方を除けない。
生徒の両位置のAP・PB・平方の和の表、範囲、異なる二位置を残す理由、APの二つの答えと単位を見ます。
同じ40kmを速さxkm/hで進む場合と、それより2km/h速く進む場合を比べます。遅い場合の所要時間が1時間長いので40/x−40/(x+2)=1です。この関係から得た全ての候補は8,−10です。速さ・各時間・元の時間差・正の条件を両候補で計算し、自分の表へ採否を書きます。遅い方と速い方の速さを答えてください。
x=8では速さ8,10km/h、時間40/8=5時間と40/10=4時間で差1時間、両速さとも正。x=−10では速さ−10,−8、式の各商は−4,−5で差1を満たすが、正の速さと所要時間の場面に合わない。分母はどちらも0でなく、−10は元の式を満たしても使えない候補。遅い方8km/h、速い方10km/h。
生徒の二候補の実際の速さ・時間・差の表、分母と正の場面条件、負の候補を除く理由、両速度と単位を見ます。
経過時間t秒に対する面積のモデルA=3t²cm²を、0≦t≦4の範囲で使うものとします。A=0の方程式の全ての解はt=0一つです。モデルへの代入・範囲・採否を実際に書き、「時間なので0は必ず除く」という説明を直して答えます。この設問の条件と、全ての時間の問題に共通する条件を混同しないでください。
t=0ならA=3×0²=0cm²で、0≦0≦4を満たす。このモデルでは始点を含めているので0秒が答え。時間を0以上と指定したこの設問で0を除く理由はない。別の場面で開始後だけを扱うなら条件を別に読む必要があり、時間は必ず正とも必ず0を含むとも決め付けない。
生徒の実際の代入と閉区間の確認、0秒を残す理由、設問固有の条件と一般化の区別を見る。別の解を作らない。
モデルA=t(8−t)cm²は、経過時間0≦t≦3秒の範囲で使うものとします。A=12の方程式の全ての解はt=2,6です。二候補の式の値と適用範囲を自分の表で確かめ、条件に合う時刻を全て答えます。「6を式に入れて12になるから、このモデルで6秒の実際の面積も確認できた」という説明を直してください。
t=2で2(8−2)=12cm²、0≦2≦3なので採用。t=6でも計算上6(8−6)=12だが6>3でモデルの適用範囲外。答えは2秒だけ。範囲外へ式を代入した値だけでは6秒の実際の面積をこのモデルで確かめたことにはならない。
生徒の両代入・区間・採否の表、6の式の成立と適用範囲外を分ける理由、2秒への答えを見ます。
1cm角のタイルを切らず、縦横の辺をそろえ、すき間なく長方形へ並べます。幅xcm、高さ(11−2x)cm、面積12cm²で、x(11−2x)=12の全ての解は3/2,4です。二候補の二辺・面積・正の条件・整数条件を自分の表へ実際に書き、可能な幅と高さを全て答えます。正で面積が合うだけでよいかも説明してください。
x=3/2では幅1.5cm、高さ8cm、面積12cm²で正だが、1cm角のタイルを切らずに辺をそろえて並べる幅は整数cmなので使えない。x=4では幅4cm、高さ3cm、面積12cm²、両辺とも正の整数で使える。幅4cm、高さ3cmだけ。小数を一般に禁止するのでなく、このタイルの条件による。
生徒の両候補の辺・積・正と整数の判断表、タイルを切らない条件による不採用の理由、幅と高さの単位付きの答えを見ます。
正方形の面積が50cm²で、一辺xcmの方程式x²=50の全ての解は±5√2です。両候補の平方と正の辺の条件を自分の表へ書き、正確な辺の長さを答えます。さらに「辺は7.07cmと正確に等しい」という説明を、7.07²の実際の計算を使って直してください。
(5√2)²=50、(−5√2)²=50で両方とも方程式の解。正の辺なので5√2cmを採用し、負の方は使わない。7.07²=49.9849で50ではないため7.07cmと正確には等しくない。正確な長さは5√2cm、7.07cmは小数第2位までの近似値と分ける。
生徒の二つの平方・正の条件の表、正確な5√2cm、実際の7.07²と等号を使えない理由を見る。近似だけで終えない。
3以上7以下の整数rと1以上4以下の整数dを一つずつ選び、短い辺rcm、長い辺(r+d)cmの長方形を作ります。面積A=r(r+d)cm²を実際に計算し、短い辺xからの式x(x+d)=Aと二候補r,−(r+d)を自分の数で示します。自分で作った候補表へ二辺・元の積・正の条件・採否を書き、短い辺と長い辺を答えてください。一般式だけではなく具体的な数と検算を残します。
作例r=5,d=4では辺5,9cm、A=45cm²、x(x+4)=45、候補5,−9。生徒の表に5では辺5,9、積45で正だから採用、−9では辺−9,−5、積45でも負の辺だから不採用と書く。短い辺5cm、長い辺9cm。条件内の別のr,dも、具体的な両候補の辺・積・条件と答えが対応すれば認める。
生徒の条件内のr,d、実際の面積と式、具体的な両候補の二辺・積・採否の表、負の候補の説明、両辺と単位を見る。一般の雛形だけでは完了にしない。