中3 数学：二次方程式の解き方の選択の練習問題
因数分解・平方の形・解の公式を式の形と結び付け、自分の解法と検算を残します。準備14問と、選ぶ理由・変形・全ての解を書く主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(3)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、内容の取扱い(2)(3)、冊子139–142/PDF143–146を踏まえた独自課題です。平方の形に直す例はxの係数が偶数の場合を中心とし、数字の式で平方の形と公式の対応も見ます。「中心」は奇数の一律禁止ではありません。実数の解を持つ式だけを扱い、例題の数値や問題の並びは写しません。場面からの立式089、場面で解を吟味する090は別教材です。
解説を読む
二次方程式には、因数分解して積が0になる条件を使う方法、平方の形へ直して平方根の考えを使う方法、解の公式を使う方法があります。式が既に平方か、共通因数や整数の因数が見付かるか、平方の形へ直しやすいかを見ます。使える方法は一つとは限りません。方法名だけでなく、選んだ理由と実際の式、全ての解、元の等式での検算を残します。
必要な予備知識
087の因数分解による二次方程式、等式の変形、展開、平方根と根号の計算。正負の二つの平方根と根号の一つの値を分けます。自分の過程を紙や既存の授業用ボードへ書き、講師が手動確認します。
- まず元の等式と求めるものを確かめます。積が0になる条件や解の公式を使うときは、全ての項を一方へ移して反対側を0にします。
- 一次式の積に直せるときはAB=0からA=0またはB=0へ分けます。共通因数がxなら0の解を残し、0でないと決まっていない未知数では割りません。
- 既に(x+p)²=kの形なら、kが正のときx+p=±√kとします。k=0では二つの符号から同じ値を得るので、異なる値は一つです。
- x²+2px=qでは、両辺へ同じp²を加えて(x+p)²=q+p²へ直せます。左辺だけへ加えず、移項した定数と加えた数を区別します。
- 0でない定数で両辺を割り、x²の係数を1にしてから因数分解や平方の形を使うこともできます。x²の係数が1でないというだけで、公式しか使えないとは限りません。
- ax²+bx+c=0、a≠0で、この教材の実数解を持つ式の解の公式はx=(−b±√(b²−4ac))/(2a)です。符号を含むa,b,c、−b、根号の中の全体、分母2aを対応させます。
- 数字の式を平方の形で解く過程と、同じ式の係数を公式へ入れた過程を照らします。方法が違っても、同値な変形なら全ての解は一致します。理由を伴う正しい別法も認めます。
- 求めた全ての値を、問われた元の等式の両辺へ代入して確かめます。根号がある場合も正確な式で計算し、小数の近似で等しいと決めません。検算に加え、全ての場合を得た同値変形も残します。
解き方の例
x²−9x+14=0では、積14・和−9の−2と−7から(x−2)(x−7)=0を選べます。x=2,7。元の左辺は4−18+14=0、49−63+14=0です。公式を正しく用いる別法でも同じ二値になります。
x²−6x+1=0ではx²−6x=−1の両辺へ9を加えて(x−3)²=8、x=3±2√2です。公式でも(6±√32)/2=3±2√2。元の左辺は各符号で(17±12√2)−(18±12√2)+1=0となります。平方の形を作る数9と、公式の係数a=1,b=−6,c=1の対応を見ます。
よくある間違い
- 方法名や「係数が大きい」だけを理由にし、実際には解かない。
- 平方の形を作る数を左辺だけに加える。
- x²の係数が1でなければ因数分解や平方の形を使えないと決める。
- 公式でbの負号、根号の範囲、分母2aのどれかを落とす。
- 未知数で割って0の解を失う。
- 平方が0のときも異なる二つの値を無理に書く。
- 一方の根だけを確かめたり、近似の一致を正確な等式にしたりする。
考え方を説明する
準備14問の値・選択は足場です。主課題は生徒の式の形と選ぶ理由、条件を保つ変形、全ての実数解と元の式への全ての代入を手動確認します。T1は整数の因数、T2は既に平方の式、T3は偶数係数の平方の形、T4は0でない定数での整理、T5は公式の係数と根号・分母、T6は二方法の対応、T7は0を失う操作の修正、T8は一致する二値、T9は両辺へ加える数、T10は生徒の具体的な式の作成です。指定した比較や修正を示す正しい別法、解の順序、同値な表し方も認めます。方法名や値だけ、一般的な手順だけでは生徒の過程の完了にしません。
生徒の理由・変形・検算は紙や既存の授業用ボードへ書き、講師が手動確認します。新しい式や根号の解集合を自動採点する機能ではありません。一般的な判別式の分類や複素数を要件にせず、実際の生徒の成果や試験の出題頻度も主張しません。
練習する
準備は式の形・係数・解の値を確かめる足場です。主課題では選んだ理由、実際の変形、全ての実数解、元の式での検算を書きます。紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。選択や値の入力だけで解法の説明を完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(x−7)²=20で、平方根の考えから得られる式はどれですか。
- x−7=√20だけ
- x−7=±√20
- x=±√20
- x−7=±20
答えと解説
x−7=±√20
平方して20になる数は√20と−√20です。まずx−7の二つの場合を示します。
x²−16x+64=13を(x−h)²=13と表すとき、hはいくつですか。
答えと解説
8
(x−8)²=x²−16x+64なのでh=8です。
x²+10x−8=0を平方の形に直すと(x+5)²=kです。kを答えてください。
答えと解説
33
x²+10x=8の両辺へ25を加えるので、k=8+25=33です。
x²−14x+9=0を平方の形に直すと(x−7)²=kです。kを答えてください。
答えと解説
40
x²−14x=−9の両辺へ49を加えるので、k=−9+49=40です。
3x²−18x+12=0を両辺3で割り、平方の形に直すと(x−3)²=kです。kを答えてください。
答えと解説
5
x²−6x+4=0よりx²−6x=−4、両辺へ9を加えてk=5です。
x²−11x+24=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = 3 / 大きい方の解 = 8
(x−3)(x−8)=0よりx=3,8です。
2x²+5x−3=0でa=2,b=5,c=−3です。公式の根号の中b²−4acの値を答えてください。
答えと解説
49
5²−4×2×(−3)=25+24=49です。
2x²+5x−3=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −3 / 大きい方の解 = 0.5
x=(−5±√49)/4=(−5±7)/4より−3と1/2です。
x²+8x+16=0の解を答えてください。
答えと解説
−4
(x+4)²=0からx=−4一つです。異なる二値にはなりません。
x²−7x=0で、0の解を失わずに全ての解へ進む式はどれですか。
- xで割ってx=7だけ
- x(x−7)=0からx=0またはx=7
- x²=7なのでx=±√7
- x−7=0かつx=0なので解なし
答えと解説
x(x−7)=0からx=0またはx=7
xが0でないとは決まっていません。積の0となる二つの場合を残します。
x²+2x−14=0を平方の形で解いた全ての解はどれですか。
- x=1±√15
- x=−1+√15だけ
- x=−1±√15
- x=−1±√14
答えと解説
x=−1±√15
(x+1)²=15よりx+1=±√15、x=−1±√15です。
「x²の係数が1でなければ公式しか使えない」という主張を、6x²−30x+36=0で確かめた正しい説明はどれですか。
- 両辺6で割ってx²−5x+6=0、(x−2)(x−3)=0にも直せる
- 両辺xで割れば必ず全ての解が残る
- x²の係数6を理由に因数分解は使えない
- 6を消すため定数36だけを6で割る
答えと解説
両辺6で割ってx²−5x+6=0、(x−2)(x−3)=0にも直せる
0でない6で両辺を割れます。x²の係数が1でなくても、ここでは因数分解を使えます。
4x²−4x−3=0に解の公式を使うとき、分母2aの値はいくつですか。
答えと解説
8
a=4なので2a=8です。b=−4やc=−3を分母へ使いません。
元の式x²+2x−14=0の左辺へx=−1+√15を代入し、正確に整理した値を答えてください。
答えと解説
0
(−1+√15)²+2(−1+√15)−14=16−2√15−2+2√15−14=0です。
考え方を説明する
x²−13x+40=0の形を見て、因数分解を使う理由を書き、実際に解いてください。和と積、各場合、全ての解を示し、元の式へ全ての値を代入します。他の解がない根拠も書きます。
答えと解説
積40・和−13の−5と−8を見付けられるので(x−5)(x−8)=0。x−5=0またはx−8=0よりx=5,8。元の左辺は25−65+40=0、64−104+40=0。全ての0となる場合を同値に分けたので他の解はない。
生徒の形と理由、和と積、二因数・全ての場合、両検算を見る。理由と因数との対応を示す正しい別法も認める。
(x−4)²=18の形を見て、平方根の考えを使う理由を書き、実際に解いてください。正負の各場合と全ての解を示し、元の左右両辺へ各値を代入して確かめます。
答えと解説
既に一つの式の平方が18という形なのでx−4=±√18=±3√2。x=4+3√2,4−3√2。元の左辺はそれぞれ(3√2)²=18と(−3√2)²=18で、右辺18と一致。正負の全ての場合を得た。
生徒の既に平方であるという理由、両方の符号、根号の整理、元の両検算と全ての場合を見ます。
x²+12x−5=0を平方の形へ直す方法で解いてください。この形で使う理由、両辺へ加える数、変形の全ての式、全ての解を書きます。元の式へ二つの解を正確に代入して確かめてください。
答えと解説
xの係数12の半分6を使って平方を作れる。x²+12x=5の両辺へ36を加えて(x+6)²=41、x+6=±√41からx=−6±√41。+の場合は(77−12√41)+(−72+12√41)−5=0、−の場合は(77+12√41)+(−72−12√41)−5=0。
生徒の12と6と36の対応、両辺への加算、全ての±の場合、元の式での二つの正確な検算を見ます。
5x²−30x+20=0について、ある人は「x²の係数が1でないので公式以外は使えない」と言いました。0でない定数で整理して平方の形を使い、この主張を修正してください。全ての解と、元の式への全ての代入を書きます。
答えと解説
0でない5で両辺を割るとx²−6x+4=0。x²−6x=−4の両辺へ9を加えて(x−3)²=5、x=3±√5。+で5(14+6√5)−30(3+√5)+20=70+30√5−90−30√5+20=0。−で70−30√5−90+30√5+20=0。係数が1でなくても整理して平方の形を使える。固定の5で割ることと未知数で割ることは違う。
生徒の0でない定数、正しい平方の形、全ての根と元の係数5を残す両検算、主張の修正を見ます。
3x²−4x−2=0を解の公式で解いてください。この方法を選ぶ理由と、符号を含むa,b,c、−b、根号の中、分母2aを示します。根号と分数を整理し、元の式へ全ての解を実際に代入してください。
答えと解説
整数の因数を探し続けず、三係数から式を作れる公式を選ぶ。a=3,b=−4,c=−2、−b=4、b²−4ac=16+24=40、2a=6。x=(4±√40)/6=(2±√10)/3。+で3x²−4x−2=(14+4√10)/3−(8+4√10)/3−2=0。−でも(14−4√10)/3−(8−4√10)/3−2=0。両方の符号を用いた。
生徒の選ぶ理由、符号付き係数・根号・分母と整理、元の式の両代入を見る。公式しか使えないという説明にはしない。
x²−8x+7=0を、因数分解と平方の形の二方法で実際に解いて比較してください。それぞれ何に着目したか、全ての解がどう対応するかを書きます。元の式へ全ての値を代入し、自分ならどちらを選ぶか理由も述べます。
答えと解説
積7・和−8から(x−1)(x−7)=0でx=1,7。平方の形ではx²−8x=−7の両辺へ16を加えて(x−4)²=9、x=4±3=1,7。元の左辺は1−8+7=0、49−56+7=0。作例では整数の因数が見付かるので因数分解を選ぶが、平方の形を選ぶ理由も認める。
生徒の二つの実際の過程、因数と半分−4の着目点、両方法の二値の対応、両検算と自分の理由を見ます。
ある人はx²=6xで両辺をxで割り「x=6だけ」としました。方法を選ぶときの条件を説明し、0を失わない方法で全ての解を求めて主張を直します。元の左右両辺へ各値を代入してください。
答えと解説
xで割るにはx≠0が必要だが、元の式では0で左0・右0と成り立つ。右辺を0にしてx(x−6)=0とする方法ならx=0または6が残る。検算は0で0=0、6で36=6×6=36。「6だけ」を0と6へ修正する。
生徒の割る条件と元の0の成立、形と選ぶ理由、全ての分岐、左右両辺の両検算と修正を見ます。
2x²+20x+50=0を、自分が形に合うと考える方法で実際に解いてください。理由と変形を書き、異なる解の値がいくつあるか説明します。解の公式の±を使っても同じ値になることと、元の式への代入も確かめます。
答えと解説
0でない2で割るとx²+10x+25=(x+5)²=0となるため平方の形を選ぶ。x=−5一つ。公式でもa=2,b=20,c=50から根号の中400−400=0、x=(−20±0)/4=−5で二つの符号の値が一致。元の左辺は2×25+20×(−5)+50=50−100+50=0。
生徒の理由と実際の選択方法、同じ値一つ、公式の根号0と分母4、元の検算を見る。二次だから二つの異なる値が必要とはしない。
x²+4x=12について、ある人は「左辺を平方にして(x+2)²=12、x=−2±√12」としました。誤りと条件を説明して直し、形に合う方法で全ての解を求めます。元の左右両辺へ各値を実際に代入してください。
答えと解説
左辺を平方にするには4を加えているので右辺にも4を加える。(x+2)²=16からx+2=±4、x=2,−6。元の左辺は2で4+8=12、−6で36−24=12となり右辺12と一致。別法x²+4x−12=(x+6)(x−2)=0でも同じ二値。
生徒の片辺だけの加算の修正、両辺+4、全ての解と元の左右の両検算を見ます。別法でも誤りの修正自体は必要。
2以上6以下の整数pと、2,3,5,6,7から一つの数kを選びます。x²+2px+(p²−k)=0を自分の数で具体的に作り、式の形から方法を選ぶ理由を書いて実際に解いてください。全ての解を元の具体式へ代入します。一般式だけではなく、自分の数と計算を残します。
答えと解説
作例p=4,k=6ならx²+8x+10=0。係数8の半分4を使い平方を作れるのでx²+8x=−10の両辺へ16を加え、(x+4)²=6、x=−4±√6。+で(22−8√6)+(−32+8√6)+10=0、−で(22+8√6)+(−32−8√6)+10=0。条件内の別のp,kと正しい方法・全ての解・両検算も認める。
生徒の範囲内のp,k、数を入れた具体式、形と理由、実際の変形と全ての値、元の具体式の両検算を見る。一般の手順だけを写して完了にはしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(3)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、内容の取扱い(2)(3)、冊子139–142/PDF143–146を踏まえた独自課題です。平方の形に直す例はxの係数が偶数の場合を中心とし、数字の式で平方の形と公式の対応も見ます。「中心」は奇数の一律禁止ではありません。実数の解を持つ式だけを扱い、例題の数値や問題の並びは写しません。場面からの立式089、場面で解を吟味する090は別教材です。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 二次方程式の形から解法を選び、全ての解を確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/choose-quadratic-methods-from-form-and-verify-all-roots/
準備14問の値・選択は足場です。主課題は生徒の式の形と選ぶ理由、条件を保つ変形、全ての実数解と元の式への全ての代入を手動確認します。T1は整数の因数、T2は既に平方の式、T3は偶数係数の平方の形、T4は0でない定数での整理、T5は公式の係数と根号・分母、T6は二方法の対応、T7は0を失う操作の修正、T8は一致する二値、T9は両辺へ加える数、T10は生徒の具体的な式の作成です。指定した比較や修正を示す正しい別法、解の順序、同値な表し方も認めます。方法名や値だけ、一般的な手順だけでは生徒の過程の完了にしません。
(x−7)²=20で、平方根の考えから得られる式はどれですか。
- x−7=√20だけ
- x−7=±√20
- x=±√20
- x−7=±20
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−16x+64=13を(x−h)²=13と表すとき、hはいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+10x−8=0を平方の形に直すと(x+5)²=kです。kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−14x+9=0を平方の形に直すと(x−7)²=kです。kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3x²−18x+12=0を両辺3で割り、平方の形に直すと(x−3)²=kです。kを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−11x+24=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x²+5x−3=0でa=2,b=5,c=−3です。公式の根号の中b²−4acの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x²+5x−3=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+8x+16=0の解を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−7x=0で、0の解を失わずに全ての解へ進む式はどれですか。
- xで割ってx=7だけ
- x(x−7)=0からx=0またはx=7
- x²=7なのでx=±√7
- x−7=0かつx=0なので解なし
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+2x−14=0を平方の形で解いた全ての解はどれですか。
- x=1±√15
- x=−1+√15だけ
- x=−1±√15
- x=−1±√14
途中の計算・単位・理由・確認答え:
「x²の係数が1でなければ公式しか使えない」という主張を、6x²−30x+36=0で確かめた正しい説明はどれですか。
- 両辺6で割ってx²−5x+6=0、(x−2)(x−3)=0にも直せる
- 両辺xで割れば必ず全ての解が残る
- x²の係数6を理由に因数分解は使えない
- 6を消すため定数36だけを6で割る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4x²−4x−3=0に解の公式を使うとき、分母2aの値はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
元の式x²+2x−14=0の左辺へx=−1+√15を代入し、正確に整理した値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
x²−13x+40=0の形を見て、因数分解を使う理由を書き、実際に解いてください。和と積、各場合、全ての解を示し、元の式へ全ての値を代入します。他の解がない根拠も書きます。
(x−4)²=18の形を見て、平方根の考えを使う理由を書き、実際に解いてください。正負の各場合と全ての解を示し、元の左右両辺へ各値を代入して確かめます。
x²+12x−5=0を平方の形へ直す方法で解いてください。この形で使う理由、両辺へ加える数、変形の全ての式、全ての解を書きます。元の式へ二つの解を正確に代入して確かめてください。
5x²−30x+20=0について、ある人は「x²の係数が1でないので公式以外は使えない」と言いました。0でない定数で整理して平方の形を使い、この主張を修正してください。全ての解と、元の式への全ての代入を書きます。
3x²−4x−2=0を解の公式で解いてください。この方法を選ぶ理由と、符号を含むa,b,c、−b、根号の中、分母2aを示します。根号と分数を整理し、元の式へ全ての解を実際に代入してください。
x²−8x+7=0を、因数分解と平方の形の二方法で実際に解いて比較してください。それぞれ何に着目したか、全ての解がどう対応するかを書きます。元の式へ全ての値を代入し、自分ならどちらを選ぶか理由も述べます。
ある人はx²=6xで両辺をxで割り「x=6だけ」としました。方法を選ぶときの条件を説明し、0を失わない方法で全ての解を求めて主張を直します。元の左右両辺へ各値を代入してください。
2x²+20x+50=0を、自分が形に合うと考える方法で実際に解いてください。理由と変形を書き、異なる解の値がいくつあるか説明します。解の公式の±を使っても同じ値になることと、元の式への代入も確かめます。
x²+4x=12について、ある人は「左辺を平方にして(x+2)²=12、x=−2±√12」としました。誤りと条件を説明して直し、形に合う方法で全ての解を求めます。元の左右両辺へ各値を実際に代入してください。
2以上6以下の整数pと、2,3,5,6,7から一つの数kを選びます。x²+2px+(p²−k)=0を自分の数で具体的に作り、式の形から方法を選ぶ理由を書いて実際に解いてください。全ての解を元の具体式へ代入します。一般式だけではなく、自分の数と計算を残します。
解答: 二次方程式の形から解法を選び、全ての解を確かめる
x−7=±√20
平方して20になる数は√20と−√20です。まずx−7の二つの場合を示します。
8
(x−8)²=x²−16x+64なのでh=8です。
33
x²+10x=8の両辺へ25を加えるので、k=8+25=33です。
40
x²−14x=−9の両辺へ49を加えるので、k=−9+49=40です。
5
x²−6x+4=0よりx²−6x=−4、両辺へ9を加えてk=5です。
小さい方の解 = 3 / 大きい方の解 = 8
(x−3)(x−8)=0よりx=3,8です。
49
5²−4×2×(−3)=25+24=49です。
小さい方の解 = −3 / 大きい方の解 = 0.5
x=(−5±√49)/4=(−5±7)/4より−3と1/2です。
−4
(x+4)²=0からx=−4一つです。異なる二値にはなりません。
x(x−7)=0からx=0またはx=7
xが0でないとは決まっていません。積の0となる二つの場合を残します。
x=−1±√15
(x+1)²=15よりx+1=±√15、x=−1±√15です。
両辺6で割ってx²−5x+6=0、(x−2)(x−3)=0にも直せる
0でない6で両辺を割れます。x²の係数が1でなくても、ここでは因数分解を使えます。
8
a=4なので2a=8です。b=−4やc=−3を分母へ使いません。
0
(−1+√15)²+2(−1+√15)−14=16−2√15−2+2√15−14=0です。
記述問題の解答・確認の観点
x²−13x+40=0の形を見て、因数分解を使う理由を書き、実際に解いてください。和と積、各場合、全ての解を示し、元の式へ全ての値を代入します。他の解がない根拠も書きます。
積40・和−13の−5と−8を見付けられるので(x−5)(x−8)=0。x−5=0またはx−8=0よりx=5,8。元の左辺は25−65+40=0、64−104+40=0。全ての0となる場合を同値に分けたので他の解はない。
生徒の形と理由、和と積、二因数・全ての場合、両検算を見る。理由と因数との対応を示す正しい別法も認める。
(x−4)²=18の形を見て、平方根の考えを使う理由を書き、実際に解いてください。正負の各場合と全ての解を示し、元の左右両辺へ各値を代入して確かめます。
既に一つの式の平方が18という形なのでx−4=±√18=±3√2。x=4+3√2,4−3√2。元の左辺はそれぞれ(3√2)²=18と(−3√2)²=18で、右辺18と一致。正負の全ての場合を得た。
生徒の既に平方であるという理由、両方の符号、根号の整理、元の両検算と全ての場合を見ます。
x²+12x−5=0を平方の形へ直す方法で解いてください。この形で使う理由、両辺へ加える数、変形の全ての式、全ての解を書きます。元の式へ二つの解を正確に代入して確かめてください。
xの係数12の半分6を使って平方を作れる。x²+12x=5の両辺へ36を加えて(x+6)²=41、x+6=±√41からx=−6±√41。+の場合は(77−12√41)+(−72+12√41)−5=0、−の場合は(77+12√41)+(−72−12√41)−5=0。
生徒の12と6と36の対応、両辺への加算、全ての±の場合、元の式での二つの正確な検算を見ます。
5x²−30x+20=0について、ある人は「x²の係数が1でないので公式以外は使えない」と言いました。0でない定数で整理して平方の形を使い、この主張を修正してください。全ての解と、元の式への全ての代入を書きます。
0でない5で両辺を割るとx²−6x+4=0。x²−6x=−4の両辺へ9を加えて(x−3)²=5、x=3±√5。+で5(14+6√5)−30(3+√5)+20=70+30√5−90−30√5+20=0。−で70−30√5−90+30√5+20=0。係数が1でなくても整理して平方の形を使える。固定の5で割ることと未知数で割ることは違う。
生徒の0でない定数、正しい平方の形、全ての根と元の係数5を残す両検算、主張の修正を見ます。
3x²−4x−2=0を解の公式で解いてください。この方法を選ぶ理由と、符号を含むa,b,c、−b、根号の中、分母2aを示します。根号と分数を整理し、元の式へ全ての解を実際に代入してください。
整数の因数を探し続けず、三係数から式を作れる公式を選ぶ。a=3,b=−4,c=−2、−b=4、b²−4ac=16+24=40、2a=6。x=(4±√40)/6=(2±√10)/3。+で3x²−4x−2=(14+4√10)/3−(8+4√10)/3−2=0。−でも(14−4√10)/3−(8−4√10)/3−2=0。両方の符号を用いた。
生徒の選ぶ理由、符号付き係数・根号・分母と整理、元の式の両代入を見る。公式しか使えないという説明にはしない。
x²−8x+7=0を、因数分解と平方の形の二方法で実際に解いて比較してください。それぞれ何に着目したか、全ての解がどう対応するかを書きます。元の式へ全ての値を代入し、自分ならどちらを選ぶか理由も述べます。
積7・和−8から(x−1)(x−7)=0でx=1,7。平方の形ではx²−8x=−7の両辺へ16を加えて(x−4)²=9、x=4±3=1,7。元の左辺は1−8+7=0、49−56+7=0。作例では整数の因数が見付かるので因数分解を選ぶが、平方の形を選ぶ理由も認める。
生徒の二つの実際の過程、因数と半分−4の着目点、両方法の二値の対応、両検算と自分の理由を見ます。
ある人はx²=6xで両辺をxで割り「x=6だけ」としました。方法を選ぶときの条件を説明し、0を失わない方法で全ての解を求めて主張を直します。元の左右両辺へ各値を代入してください。
xで割るにはx≠0が必要だが、元の式では0で左0・右0と成り立つ。右辺を0にしてx(x−6)=0とする方法ならx=0または6が残る。検算は0で0=0、6で36=6×6=36。「6だけ」を0と6へ修正する。
生徒の割る条件と元の0の成立、形と選ぶ理由、全ての分岐、左右両辺の両検算と修正を見ます。
2x²+20x+50=0を、自分が形に合うと考える方法で実際に解いてください。理由と変形を書き、異なる解の値がいくつあるか説明します。解の公式の±を使っても同じ値になることと、元の式への代入も確かめます。
0でない2で割るとx²+10x+25=(x+5)²=0となるため平方の形を選ぶ。x=−5一つ。公式でもa=2,b=20,c=50から根号の中400−400=0、x=(−20±0)/4=−5で二つの符号の値が一致。元の左辺は2×25+20×(−5)+50=50−100+50=0。
生徒の理由と実際の選択方法、同じ値一つ、公式の根号0と分母4、元の検算を見る。二次だから二つの異なる値が必要とはしない。
x²+4x=12について、ある人は「左辺を平方にして(x+2)²=12、x=−2±√12」としました。誤りと条件を説明して直し、形に合う方法で全ての解を求めます。元の左右両辺へ各値を実際に代入してください。
左辺を平方にするには4を加えているので右辺にも4を加える。(x+2)²=16からx+2=±4、x=2,−6。元の左辺は2で4+8=12、−6で36−24=12となり右辺12と一致。別法x²+4x−12=(x+6)(x−2)=0でも同じ二値。
生徒の片辺だけの加算の修正、両辺+4、全ての解と元の左右の両検算を見ます。別法でも誤りの修正自体は必要。
2以上6以下の整数pと、2,3,5,6,7から一つの数kを選びます。x²+2px+(p²−k)=0を自分の数で具体的に作り、式の形から方法を選ぶ理由を書いて実際に解いてください。全ての解を元の具体式へ代入します。一般式だけではなく、自分の数と計算を残します。
作例p=4,k=6ならx²+8x+10=0。係数8の半分4を使い平方を作れるのでx²+8x=−10の両辺へ16を加え、(x+4)²=6、x=−4±√6。+で(22−8√6)+(−32+8√6)+10=0、−で(22+8√6)+(−32−8√6)+10=0。条件内の別のp,kと正しい方法・全ての解・両検算も認める。
生徒の範囲内のp,k、数を入れた具体式、形と理由、実際の変形と全ての値、元の具体式の両検算を見る。一般の手順だけを写して完了にはしない。