中3 数学：因数分解で解く二次方程式の練習問題
右辺を0へ整理し、因数分解と「または」で全ての解を求め、元の式への代入で確かめます。準備14問と、自分で解法と検算を書く主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(3)ア(イ)・イ(ア)、冊子139–141/PDF143–145の二次方程式と解、積が0になる条件の本文を踏まえた独自課題です。文部科学省の学習指導要領解説と、現行の出版社の「解の意味」「因数分解による解き方」の説明を参照しました。例題の問題の並びや数値は写していません。実数の解をもち、既習の因数分解で解ける式を扱います。解き方を選ぶ問題、場面から式を立てる問題、場面で解を吟味する問題は、別の教材で扱います。
解説を読む
二次方程式を解くとは、その等式を成り立たせる値を全て求めることです。右辺を0にして左辺を一次式の積へ直すと、積が0になる条件から一次方程式へ分けられます。二つの因数は「または」で分け、同時に0にする必要はありません。未知数で割ると0の解を失うことがあるので、条件を決めずに割りません。全ての値を元の等式へ代入して確かめます。
必要な予備知識
一次方程式と等式の変形、展開、共通因数と乗法公式による因数分解、和と積を使う二次式の因数分解。これらの因数分解の方法を先に確認します。紙や既存の授業用ボードで実際の過程を書き、講師が手動確認します。
- 全ての項を一方へ移し、反対側を0にしてから、左辺を因数分解します。元の右辺が0でなければ、積の各因数を直ちに0とはできません。
- 実数A,Bについて、AB=0ならA=0またはB=0です。「または」は一方が0でも積が0になるという条件で、両方を同時に0とする必要はありません。
- 一次式の積が0なら、それぞれの因数を0とする一次方程式を解きます。各場合の値を全て答え、順序が指定されていない記述では解の順を問いません。
- 二つの因数が同じ場合は、二つの場合から得た値が一致することがあります。そのとき異なる値としては一つであり、不要な別の負号を付けて二数にしません。
- xを因数として持つ式では、x=0も調べます。xが0でないと決めずに両辺をxで割ると、元の式の解を失うことがあります。
- 0でない決まった数で両辺を割って整理する方法や、共通因数を取り出す方法は使えます。未知数で割る操作と、0でない定数で割る操作を分けます。
- 求めた全ての値を元の等式へ実際に代入し、左辺と右辺の値が等しいことを示します。因数分解の形へ代入するだけでなく、問われた元の式との対応を残します。
- 代入して候補が解だと確かめることと、ほかに解がないと説明することは別です。等式の性質を使って元の式と同じ解をもつ式に変形し、少なくとも一方の因数が0になる場合をすべて調べます。
解き方の例
x²−2x−35=0なら(x−7)(x+5)=0。x−7=0またはx+5=0よりx=7,−5です。元の左辺はx=7で49−14−35=0、x=−5で25+10−35=0となります。
x²+18x+81=0なら(x+9)²=0。x+9=0よりx=−9一つです。元の左辺へ代入すると81−162+81=0。二つの因数が同じなので二つの異なる値を答えません。
よくある間違い
- 右辺が0でない積の式にも、各因数が0という条件を直ちに使う。
- 積が0なら二つの因数を同時に0としなければならないと考える。
- 因数の符号と、因数を0にして求めた解の符号を混同する。
- 未知数で割って0の解を失う。
- 二つの場合から同じ値を得たとき、無理に異なる二つの解を書く。
- 一つの候補だけを確かめ、残りの解や全ての場合を省く。
考え方を説明する
準備14問の値と選択は足場です。主課題では生徒の右辺0への整理、因数分解、各一次方程式を「または」で分けた過程、全ての解、元の式への全ての代入と等式を手動確認します。T1・T2は和と積、T3は平方の差、T4は0の解、T5は一致する二つの場合、T6は0でない定数と共通因数、T7は元の両辺の整理、T8は未知数で割る誤りの修正、T9は「または」と同時条件の区別、T10は生徒が作る二次方程式と検算です。正しい別の同値変形や解の順序も認めます。値だけや一般的な手順の文で完了にはしません。
生徒の解法・検算・理由は紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。数値や選択肢の入力だけでは、説明ができているかどうかは判定しません。新しい二次式やその解の自動採点機能、実際の生徒の成果、試験での出題頻度をうたうものではありません。
練習する
準備は解の値や積が0になる条件を確かめる足場です。主課題では移項・因数分解・二つの場合・全ての解と元の式への代入を実際に書きます。紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。解の入力だけを過程の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(x−3)(x+8)=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −8 / 大きい方の解 = 3
x−3=0またはx+8=0よりx=3,−8です。小さい順は−8,3。
x²−12x+35=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = 5 / 大きい方の解 = 7
(x−5)(x−7)=0よりx=5,7です。
x²+12x+35=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −7 / 大きい方の解 = −5
(x+5)(x+7)=0よりx=−5,−7です。小さい順は−7,−5。
x²−4x−45=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −5 / 大きい方の解 = 9
(x−9)(x+5)=0よりx=9,−5です。
x²−81=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −9 / 大きい方の解 = 9
(x−9)(x+9)=0よりx=−9,9です。
x²+13x=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方の解 = −13 / 大きい方の解 = 0
x(x+13)=0よりx=0またはx=−13。小さい順は−13,0です。
(x+8)²=0の解を答えてください。
答えと解説
−8
x+8=0よりx=−8一つです。±8とはしません。
x²−18x+81=0の解を答えてください。
答えと解説
9
(x−9)²=0よりx=9一つです。
実数の式A,BでAB=0となる条件はどれですか。
- AもBも必ず同時に0である
- A=0またはB=0である
- A+B=0であれば必ずよい
- AとBが同じ数であれば必ずよい
答えと解説
A=0またはB=0である
一方が0なら積は0です。両方を同時に0とする必要はありません。
x²=12xの全ての解を示したものはどれですか。
- 12だけ
- 0だけ
- 0と12
- −12と12
答えと解説
0と12
x²−12x=x(x−12)=0より0と12。xで割るだけでは0を失います。
(x−3)(x+4)=6から、直ちにx=3またはx=−4を解にできない理由はどれですか。
- 因数に負号があるから
- 二次方程式には解がないから
- 右辺が0でなく、積が0という条件をまだ使えないから
- 解は必ず正だから
答えと解説
右辺が0でなく、積が0という条件をまだ使えないから
AB=0からの分岐は積が0のときに使います。先に右辺0へ整理する必要があります。
x²+3x−40=0の左辺の正しい因数分解はどれですか。
- (x+8)(x−5)
- (x−8)(x+5)
- (x+4)(x−10)
- (x−4)(x+10)
答えと解説
(x+8)(x−5)
8+(−5)=3、8×(−5)=−40より(x+8)(x−5)です。
(x−11)²=0の異なる解の値と個数はどれですか。
- 11と−11の二つ
- 解はない
- 全ての実数
- 11一つ
答えと解説
11一つ
同じ因数x−11が0となるので値は11一つです。
x²+5x−6=0の左辺へx=−6を代入した値はどれですか。
- 0
- 12
- −60
- 6
答えと解説
0
(−6)²+5×(−6)−6=36−30−6=0です。
考え方を説明する
x²−14x+45=0を因数分解で解いてください。二数の和と積を示し、一次式の積に直して、どちらかの因数が0になる二つの場合を調べましょう。すべての解を元の式に代入し、ほかに解がない理由も書きましょう。
答えと解説
−5と−9は和−14、積45なので(x−5)(x−9)=0。x−5=0またはx−9=0よりx=5,9。元の左辺は5で25−70+45=0、9で81−126+45=0。積が0になるのは、どちらかの因数が0のときだけなので、他の解はない。
生徒の和と積、二因数と「または」、二つの解、元の式への二つの代入、全ての場合の根拠を見ます。
x²+7x−60=0を因数分解で解いてください。正負の二数の和と積、各因数を0にする式を示し、全ての解を元の式へ代入して確かめます。因数の符号と解の符号の関係も説明してください。
答えと解説
12と−5は和7、積−60なので(x+12)(x−5)=0。x+12=0またはx−5=0よりx=−12,5。元の左辺は−12で144−84−60=0、5で25+35−60=0。因数x+12を0にする値は−12で、+12をそのまま解にはしない。
生徒の異符号の和と積、各一次方程式と解の符号、元の式への両方の検算を見ます。
x²−121=0を平方の差の因数分解で解いてください。二つの因数と「または」の各場合、全ての解、元の式への各代入を書きます。正の値だけを答えてよいかも説明します。
答えと解説
121=11²より(x−11)(x+11)=0。x−11=0またはx+11=0よりx=11,−11。元の左辺は11²−121=121−121=0、(−11)²−121=121−121=0。負の−11も解なので正の値だけでは全てにならない。
生徒の平方の差、正負の各場合と全ての値、各二乗を含む検算を見ます。
x²−15x=0を因数分解で解いてください。xで割らずに積を0に対応させ、全ての解と元の式への各代入を書きます。0も調べる必要がある理由を説明してください。
答えと解説
x(x−15)=0だからx=0またはx−15=0。従ってx=0,15。元の左辺は0²−15×0=0、15²−15×15=225−225=0。xが0ではないと決まっておらず、割ると0の解を失うので分岐で調べる。
生徒の共通因数、0の枝を残す「または」、二つの検算と未知数で割らない理由を見ます。
x²+16x+64=0を因数分解で解いてください。同じ二因数の各場合を考え、異なる解の値がいくつあるか説明します。元の式への代入と、不要な別の解を付けない理由も書きます。
答えと解説
(x+8)²=(x+8)(x+8)=0で、どちらの場合もx+8=0よりx=−8。異なる値は−8一つ。元の左辺は64−128+64=0。+8では64+128+64=256≠0であり、二次というだけで±8にしない。
生徒の同じ因数と一致する場合、解−8一つ、正しい代入と不要な+8の除外を見ます。
4x²−44x+112=0を因数分解で解いてください。0でない定数で整理する式か、共通因数を残す式を書き、各一次方程式へ分けます。全ての解を元の式へ代入し、ここでの割り算が未知数で割る操作とどう違うか説明します。
答えと解説
0でない4で両辺を割るとx²−11x+28=0、(x−4)(x−7)=0。x=4または7。元の左辺は4で64−176+112=0、7で196−308+112=0。別法4(x−4)(x−7)=0でも4は0ではない。固定の4は0でないと分かっており、値が0かもしれないxで割る操作とは違う。
生徒の0でない定数の整理、和−11と積28、全ての解、元の両検算と割る数の条件の違いを見ます。
(x−2)(x+5)=3x+15を因数分解を使って解いてください。元の積を展開し、右辺を0にする式を省略せず書きます。各場合から求めた全ての解を、元の左右両辺へ実際に代入して確かめてください。
答えと解説
展開してx²+3x−10=3x+15、移項してx²−25=0。(x−5)(x+5)=0よりx=5,−5。元の式は5で左(5−2)(5+5)=30、右3×5+15=30。−5で左(−5−2)(−5+5)=0、右3×(−5)+15=0。
生徒の展開と移項、右辺0の因数分解、各枝、元の左右両辺への二つの検算を見る。最初の二因数を直ちに0としない。
ある人はx²=9xの両辺をxで割り「x=9だけ」としました。この操作の条件と失うかもしれない解を具体的に調べ、因数分解で全ての解を求めて説明を修正します。元の式の左右へ各値を実際に代入してください。
答えと解説
xで割るにはx≠0が必要だが、元の式でx=0なら左0、右0で成り立つ。x²−9x=x(x−9)=0からx=0または9。検算は0で0=0、9で81=9×9=81。「9だけ」は0を失っており、0と9が全て。
生徒の割る条件x≠0、元の0の成立、積の全ての枝と0・9の左右の計算、説明の修正を見ます。
ある人は(x−6)(x+9)=0を「x−6=0かつx+9=0を同時に満たす値はないので、解なし」としました。使うべき条件を説明し、全ての解を示します。各解で元の二因数がそれぞれいくつになるか計算し、積が0となることを確かめてください。
答えと解説
積が0ならx−6=0またはx+9=0で、同時である必要はない。x=6,−9。6では因数0と15で積0、−9では−15と0で積0。どちらも元の式を満たし、全ての枝からこの二値を得る。
生徒の「かつ」から「または」への修正、二つの一次方程式、各解での実際の二因数の値と積を見ます。
2以上8以下の整数r,sを一つずつ選び、解がrと−sになる、x²の係数が1の二次方程式を自分で作ります。自分で選んだ二数、一次式の積と展開した方程式を示し、その方程式を因数分解で解いてください。元の展開した式へ各解を代入して確かめます。
答えと解説
作例r=4,s=7なら(x−4)(x+7)=0を展開してx²+3x−28=0。因数分解からx−4=0またはx+7=0でx=4,−7。元の左辺は4で16+12−28=0、−7で49−21−28=0。一般形はx²+(s−r)x−rs=0だが、生徒の別の条件内の二数と具体式・両検算を認める。
生徒が選んだ条件内のr,s、二因数から実際に展開した方程式、各枝と両方の検算を見る。一般式や手順だけを写しても生徒の作例の完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(3)ア(イ)・イ(ア)、冊子139–141/PDF143–145の二次方程式と解、積が0になる条件の本文を踏まえた独自課題です。文部科学省の学習指導要領解説と、現行の出版社の「解の意味」「因数分解による解き方」の説明を参照しました。例題の問題の並びや数値は写していません。実数の解をもち、既習の因数分解で解ける式を扱います。解き方を選ぶ問題、場面から式を立てる問題、場面で解を吟味する問題は、別の教材で扱います。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 因数分解で二次方程式を解き、全ての解を確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/solve-quadratic-equations-by-factoring-and-check-every-root/
準備14問の値と選択は足場です。主課題では生徒の右辺0への整理、因数分解、各一次方程式を「または」で分けた過程、全ての解、元の式への全ての代入と等式を手動確認します。T1・T2は和と積、T3は平方の差、T4は0の解、T5は一致する二つの場合、T6は0でない定数と共通因数、T7は元の両辺の整理、T8は未知数で割る誤りの修正、T9は「または」と同時条件の区別、T10は生徒が作る二次方程式と検算です。正しい別の同値変形や解の順序も認めます。値だけや一般的な手順の文で完了にはしません。
(x−3)(x+8)=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−12x+35=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+12x+35=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−4x−45=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−81=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+13x=0の二つの解を、小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+8)²=0の解を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−18x+81=0の解を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の式A,BでAB=0となる条件はどれですか。
- AもBも必ず同時に0である
- A=0またはB=0である
- A+B=0であれば必ずよい
- AとBが同じ数であれば必ずよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²=12xの全ての解を示したものはどれですか。
- 12だけ
- 0だけ
- 0と12
- −12と12
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−3)(x+4)=6から、直ちにx=3またはx=−4を解にできない理由はどれですか。
- 因数に負号があるから
- 二次方程式には解がないから
- 右辺が0でなく、積が0という条件をまだ使えないから
- 解は必ず正だから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+3x−40=0の左辺の正しい因数分解はどれですか。
- (x+8)(x−5)
- (x−8)(x+5)
- (x+4)(x−10)
- (x−4)(x+10)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−11)²=0の異なる解の値と個数はどれですか。
- 11と−11の二つ
- 解はない
- 全ての実数
- 11一つ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+5x−6=0の左辺へx=−6を代入した値はどれですか。
- 0
- 12
- −60
- 6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
x²−14x+45=0を因数分解で解いてください。二数の和と積を示し、一次式の積に直して、どちらかの因数が0になる二つの場合を調べましょう。すべての解を元の式に代入し、ほかに解がない理由も書きましょう。
x²+7x−60=0を因数分解で解いてください。正負の二数の和と積、各因数を0にする式を示し、全ての解を元の式へ代入して確かめます。因数の符号と解の符号の関係も説明してください。
x²−121=0を平方の差の因数分解で解いてください。二つの因数と「または」の各場合、全ての解、元の式への各代入を書きます。正の値だけを答えてよいかも説明します。
x²−15x=0を因数分解で解いてください。xで割らずに積を0に対応させ、全ての解と元の式への各代入を書きます。0も調べる必要がある理由を説明してください。
x²+16x+64=0を因数分解で解いてください。同じ二因数の各場合を考え、異なる解の値がいくつあるか説明します。元の式への代入と、不要な別の解を付けない理由も書きます。
4x²−44x+112=0を因数分解で解いてください。0でない定数で整理する式か、共通因数を残す式を書き、各一次方程式へ分けます。全ての解を元の式へ代入し、ここでの割り算が未知数で割る操作とどう違うか説明します。
(x−2)(x+5)=3x+15を因数分解を使って解いてください。元の積を展開し、右辺を0にする式を省略せず書きます。各場合から求めた全ての解を、元の左右両辺へ実際に代入して確かめてください。
ある人はx²=9xの両辺をxで割り「x=9だけ」としました。この操作の条件と失うかもしれない解を具体的に調べ、因数分解で全ての解を求めて説明を修正します。元の式の左右へ各値を実際に代入してください。
ある人は(x−6)(x+9)=0を「x−6=0かつx+9=0を同時に満たす値はないので、解なし」としました。使うべき条件を説明し、全ての解を示します。各解で元の二因数がそれぞれいくつになるか計算し、積が0となることを確かめてください。
2以上8以下の整数r,sを一つずつ選び、解がrと−sになる、x²の係数が1の二次方程式を自分で作ります。自分で選んだ二数、一次式の積と展開した方程式を示し、その方程式を因数分解で解いてください。元の展開した式へ各解を代入して確かめます。
解答: 因数分解で二次方程式を解き、全ての解を確かめる
小さい方の解 = −8 / 大きい方の解 = 3
x−3=0またはx+8=0よりx=3,−8です。小さい順は−8,3。
小さい方の解 = 5 / 大きい方の解 = 7
(x−5)(x−7)=0よりx=5,7です。
小さい方の解 = −7 / 大きい方の解 = −5
(x+5)(x+7)=0よりx=−5,−7です。小さい順は−7,−5。
小さい方の解 = −5 / 大きい方の解 = 9
(x−9)(x+5)=0よりx=9,−5です。
小さい方の解 = −9 / 大きい方の解 = 9
(x−9)(x+9)=0よりx=−9,9です。
小さい方の解 = −13 / 大きい方の解 = 0
x(x+13)=0よりx=0またはx=−13。小さい順は−13,0です。
−8
x+8=0よりx=−8一つです。±8とはしません。
9
(x−9)²=0よりx=9一つです。
A=0またはB=0である
一方が0なら積は0です。両方を同時に0とする必要はありません。
0と12
x²−12x=x(x−12)=0より0と12。xで割るだけでは0を失います。
右辺が0でなく、積が0という条件をまだ使えないから
AB=0からの分岐は積が0のときに使います。先に右辺0へ整理する必要があります。
(x+8)(x−5)
8+(−5)=3、8×(−5)=−40より(x+8)(x−5)です。
11一つ
同じ因数x−11が0となるので値は11一つです。
0
(−6)²+5×(−6)−6=36−30−6=0です。
記述問題の解答・確認の観点
x²−14x+45=0を因数分解で解いてください。二数の和と積を示し、一次式の積に直して、どちらかの因数が0になる二つの場合を調べましょう。すべての解を元の式に代入し、ほかに解がない理由も書きましょう。
−5と−9は和−14、積45なので(x−5)(x−9)=0。x−5=0またはx−9=0よりx=5,9。元の左辺は5で25−70+45=0、9で81−126+45=0。積が0になるのは、どちらかの因数が0のときだけなので、他の解はない。
生徒の和と積、二因数と「または」、二つの解、元の式への二つの代入、全ての場合の根拠を見ます。
x²+7x−60=0を因数分解で解いてください。正負の二数の和と積、各因数を0にする式を示し、全ての解を元の式へ代入して確かめます。因数の符号と解の符号の関係も説明してください。
12と−5は和7、積−60なので(x+12)(x−5)=0。x+12=0またはx−5=0よりx=−12,5。元の左辺は−12で144−84−60=0、5で25+35−60=0。因数x+12を0にする値は−12で、+12をそのまま解にはしない。
生徒の異符号の和と積、各一次方程式と解の符号、元の式への両方の検算を見ます。
x²−121=0を平方の差の因数分解で解いてください。二つの因数と「または」の各場合、全ての解、元の式への各代入を書きます。正の値だけを答えてよいかも説明します。
121=11²より(x−11)(x+11)=0。x−11=0またはx+11=0よりx=11,−11。元の左辺は11²−121=121−121=0、(−11)²−121=121−121=0。負の−11も解なので正の値だけでは全てにならない。
生徒の平方の差、正負の各場合と全ての値、各二乗を含む検算を見ます。
x²−15x=0を因数分解で解いてください。xで割らずに積を0に対応させ、全ての解と元の式への各代入を書きます。0も調べる必要がある理由を説明してください。
x(x−15)=0だからx=0またはx−15=0。従ってx=0,15。元の左辺は0²−15×0=0、15²−15×15=225−225=0。xが0ではないと決まっておらず、割ると0の解を失うので分岐で調べる。
生徒の共通因数、0の枝を残す「または」、二つの検算と未知数で割らない理由を見ます。
x²+16x+64=0を因数分解で解いてください。同じ二因数の各場合を考え、異なる解の値がいくつあるか説明します。元の式への代入と、不要な別の解を付けない理由も書きます。
(x+8)²=(x+8)(x+8)=0で、どちらの場合もx+8=0よりx=−8。異なる値は−8一つ。元の左辺は64−128+64=0。+8では64+128+64=256≠0であり、二次というだけで±8にしない。
生徒の同じ因数と一致する場合、解−8一つ、正しい代入と不要な+8の除外を見ます。
4x²−44x+112=0を因数分解で解いてください。0でない定数で整理する式か、共通因数を残す式を書き、各一次方程式へ分けます。全ての解を元の式へ代入し、ここでの割り算が未知数で割る操作とどう違うか説明します。
0でない4で両辺を割るとx²−11x+28=0、(x−4)(x−7)=0。x=4または7。元の左辺は4で64−176+112=0、7で196−308+112=0。別法4(x−4)(x−7)=0でも4は0ではない。固定の4は0でないと分かっており、値が0かもしれないxで割る操作とは違う。
生徒の0でない定数の整理、和−11と積28、全ての解、元の両検算と割る数の条件の違いを見ます。
(x−2)(x+5)=3x+15を因数分解を使って解いてください。元の積を展開し、右辺を0にする式を省略せず書きます。各場合から求めた全ての解を、元の左右両辺へ実際に代入して確かめてください。
展開してx²+3x−10=3x+15、移項してx²−25=0。(x−5)(x+5)=0よりx=5,−5。元の式は5で左(5−2)(5+5)=30、右3×5+15=30。−5で左(−5−2)(−5+5)=0、右3×(−5)+15=0。
生徒の展開と移項、右辺0の因数分解、各枝、元の左右両辺への二つの検算を見る。最初の二因数を直ちに0としない。
ある人はx²=9xの両辺をxで割り「x=9だけ」としました。この操作の条件と失うかもしれない解を具体的に調べ、因数分解で全ての解を求めて説明を修正します。元の式の左右へ各値を実際に代入してください。
xで割るにはx≠0が必要だが、元の式でx=0なら左0、右0で成り立つ。x²−9x=x(x−9)=0からx=0または9。検算は0で0=0、9で81=9×9=81。「9だけ」は0を失っており、0と9が全て。
生徒の割る条件x≠0、元の0の成立、積の全ての枝と0・9の左右の計算、説明の修正を見ます。
ある人は(x−6)(x+9)=0を「x−6=0かつx+9=0を同時に満たす値はないので、解なし」としました。使うべき条件を説明し、全ての解を示します。各解で元の二因数がそれぞれいくつになるか計算し、積が0となることを確かめてください。
積が0ならx−6=0またはx+9=0で、同時である必要はない。x=6,−9。6では因数0と15で積0、−9では−15と0で積0。どちらも元の式を満たし、全ての枝からこの二値を得る。
生徒の「かつ」から「または」への修正、二つの一次方程式、各解での実際の二因数の値と積を見ます。
2以上8以下の整数r,sを一つずつ選び、解がrと−sになる、x²の係数が1の二次方程式を自分で作ります。自分で選んだ二数、一次式の積と展開した方程式を示し、その方程式を因数分解で解いてください。元の展開した式へ各解を代入して確かめます。
作例r=4,s=7なら(x−4)(x+7)=0を展開してx²+3x−28=0。因数分解からx−4=0またはx+7=0でx=4,−7。元の左辺は4で16+12−28=0、−7で49−21−28=0。一般形はx²+(s−r)x−rs=0だが、生徒の別の条件内の二数と具体式・両検算を認める。
生徒が選んだ条件内のr,s、二因数から実際に展開した方程式、各枝と両方の検算を見る。一般式や手順だけを写しても生徒の作例の完了にしない。