中3 数学：三角形の相似の証明の練習問題
生徒が対応する辺・角と理由を図へ書き、相似条件から証明と比を示します。準備14問と、実際の図・根拠・順序を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子143〜145/PDF147〜149の、相似の意味・三つの相似条件・条件に基づく論証を踏まえた独自課題です。現行出版社の学習指導計画でも、相似の意味、条件による判断、性質の証明を区別しています。図版や問題の配列・数値を写しません。線分比の計算が主の092、面積比の093、体積比の094とは主な活動を分けます。
解説を読む
見た目が似ていることだけでは証明にはなりません。どの頂点がどこに対応するかを考え、仮定や既に分かっている性質から辺の比や角の等しさを示します。三角形の相似条件を根拠に、頂点を対応する順に並べて相似を述べ、その後に対応する辺の比や角の関係を導きます。
必要な予備知識
三角形の角、平行線の同位角・錯角、対頂角、合同の証明、比と分数の計算。根号を含む辺の比は同じ因数で約分します。三平方の定理や三角比は前提にしません。
- 三角形はつぶれていないものを扱います。辺の数値で作るときは、どの二辺の和も残る一辺より大きいことを確認します。
- 相似な三角形を記号で書くときは、対応する頂点を同じ位置に並べます。向きが変わった図や裏返った図でも、見た目の左右だけで対応を決めません。
- 対応する三組の辺について、同じ向きの長さの比が全て等しければ相似です。一組や二組の比だけを三組の条件に置き換えません。
- 対応する二組の辺の比と、その二辺の間の角がそれぞれ等しければ相似です。等しい角がどの二辺の間にあるかを頂点で確かめます。
- 対応する二組の角がそれぞれ等しければ相似です。角が等しい理由も、仮定・共通の角・対頂角・平行線の性質などに分けて書きます。
- 仮定から分かる関係、使う相似条件、頂点を対応させた相似の結論、そこから得られる比の順に書きます。証明する前から相似だと仮定して理由を作りません。
- △ABC∽△DEFならAB/DE=BC/EF=CA/FDです。一つの等式だけ分子と分母の向きを逆にしたり、対応しない辺を混ぜたりしません。
- 合同は相似比が1:1の相似でもあります。辺の長さが全て等しくなくても比が等しければ相似になり得ます。条件名だけでなく、生徒の図と実際の根拠を確認します。
解き方の例
AB=7,BC=8,CA=10cm、DE=10.5,EF=12,FD=15cmなら、AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3です。三組の辺の比が全て等しいので△ABC∽△DEF。対応はAとD、BとE、CとFで、∠B=∠E、CA/FD=2/3も導けます。三角形の名前の順と各比を対応させます。
AB=6,AC=10cm、DE=15,DF=25cm、∠A=∠D=63°なら、AB/DE=AC/DF=2/5です。等しい角はそれぞれABとAC、DEとDFの間です。二組の辺の比とその間の角が等しいので△ABC∽△DEF、BC/EF=2/5。間ではない角が一つ等しいだけの条件と区別します。
よくある間違い
- 図を測った値や見た目だけを証明の根拠にする。
- 頂点の対応を調べず、書かれている順に三角形の名前を並べる。
- 比の向きや対応する辺を途中で取り違える。
- 二辺の比と一角があれば、角の位置を見ずに相似とする。
- 二組の角の等しさを書いても、それぞれの理由を書かない。
- 証明したい相似や平行を先に根拠として使い、理由が循環する。
- 対応する辺の比と面積比・体積比を同じものにする。
- 生徒の図・式や理由がなく、条件名や完成した結論だけを写す。
考え方を説明する
準備14問は対応と比の足場です。主課題は生徒の実際の図と対応、仮定や性質からの辺の比・角の等しさと個別の理由、使う相似条件、対応順の相似、求められた比や角の結論を手動確認します。T1は三辺比、T2は間の角、T3は角の補いと並べ替え、T4は平行線、T5は交差する二直線、T6は直角三角形の二つの小三角形、T7は対応順の修正、T8は間でない角の反例、T9は循環を避ける論証、T10は生徒の具体的な三辺の作例です。正しい別の角の組・頂点の並べ方・証明順も対応と理由がそろえば認めます。
図・証明・比の説明は紙や既存の授業用ボードへ生徒が実際に書き、講師が手動確認します。自由な証明や作図の自動採点は行いません。各主課題で条件を文章に明示し、図を正確に測ることを証明にはしません。生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備は対応や比を確かめる足場です。主課題では図・辺や角の根拠・相似条件・対応順・結論を紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。条件名だけの選択で証明の達成にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
△ABC∽△QRPと対応する順に書かれています。頂点Cに対応する頂点はどれですか。
- Q
- R
- P
- A
答えと解説
P
同じ三番目にあるCとPが対応します。
△ABC∽△QRPで、AB=6cm、QR=9cmです。AB/QRの値を答えてください。
答えと解説
6/9=2/3です。順序を逆にして3/2にはしません。
△ABC∽△DEFで∠A=35°、∠B=80°です。∠Fは何度ですか。
答えと解説
65
∠C=180−35−80=65°で、CとFが対応します。
AB=5,BC=7,CA=9、DE=10,EF=14,FD=18です。△ABCと△DEFに使う相似条件はどれですか。
- 一組の辺の長さが等しい
- 三組の辺の比が全て等しい
- 二組の辺の長さがそれぞれ等しい
- 一つの角が等しいだけでよい
答えと解説
三組の辺の比が全て等しい
5/10=7/14=9/18=1/2なので三組の辺の比の条件です。
AB=4,AC=6、DE=10,DF=15で、∠A=∠D=55°です。直接使える相似条件はどれですか。
- 二組の角が等しい
- 一組の辺の比が等しい
- 二組の辺の比とその間の角が等しい
- 二組の辺の長さが等しい
答えと解説
二組の辺の比とその間の角が等しい
4/10=6/15=2/5で、AとDはそれぞれ二辺の間の角です。
∠A=48°、∠C=67°、∠D=48°、∠E=65°です。対応順が正しい相似の書き方はどれですか。
- △ABC∽△DFE
- △ABC∽△EFD
- △ABC∽△FED
- △ABC∽△DEF
答えと解説
△ABC∽△DEF
Bは65°、Fは67°なのでA-D,B-E,C-Fが対応します。二組の角の条件を使えます。
次のうち、三角形が必ず相似だと判断する一般の条件にはならないものはどれですか。
- 三組の辺の比が全て等しい
- 二組の角がそれぞれ等しい
- 二組の辺の比とその間の角が等しい
- 二組の辺の比と、その間ではない一つの角が等しい
答えと解説
二組の辺の比と、その間ではない一つの角が等しい
二辺の比を使う条件では、その二辺の間の角が必要です。間ではない角では一般には一つの形に定まりません。
△ABC∽△DEFの相似比が1:3で、BC=5cmです。EFは何cmですか。
答えと解説
15
BCとEFが対応し、EF=5×3=15cmです。
△ABC∽△DEFの相似比が3:2で、AC=12cmです。DFは何cmですか。
答えと解説
8
ACとDFが対応し、DF=12×2/3=8cmです。
∠A=31°、∠B=84°、∠D=84°、∠E=31°です。図の向きによらず、正しい対応順はどれですか。
- △ABC∽△EDF
- △ABC∽△DEF
- △ABC∽△DFE
- △ABC∽△EFD
答えと解説
△ABC∽△EDF
CとFはともに65°。A-E,B-D,C-Fの順です。
△ABCの辺AB,ACの内側にそれぞれD,Eがあり、DE∥BCです。∠ADE=∠ABCを直接説明する理由はどれですか。
- 対頂角だから
- 平行線の同位角だから
- 二つの角がどちらも直角だから
- 辺の長さが等しいから
答えと解説
平行線の同位角だから
直線ABが平行なDEとBCを横切り、対応する位置の同位角です。
AB=8,BC=10,CA=14、DE=12,EF=15,FD=21です。AB/DE=BC/EF=CA/FDの共通の値を答えてください。
答えと解説
8/12=10/15=14/21=2/3です。三辺の対応を同じ向きにそろえます。
AB/DE=AC/DF=2/5、∠A=∠Dで△ABC∽△DEFと分かりました。AC=10cmのときDFは何cmですか。
答えと解説
25
10/DF=2/5なのでDF=10×5/2=25cmです。
対応がA-E,B-D,C-Fと分かりました。辺BCに対応する辺はどれですか。
- EF
- DE
- DF
- BC
答えと解説
DF
両端B,Cの対応先D,Fを結ぶ辺DFです。
考え方を説明する
三角形ABCの辺はAB=4,BC=6,CA=8cm、三角形DEFの辺はDE=6,EF=9,FD=12cmです。二つの三角形の自分の図へ辺と対応を書き、三組の比を実際に計算して相似を証明します。その証明から∠Bと対応する角、CA/FDも示してください。
答えと解説
生徒の図にA-D,B-E,C-Fの対応と六辺を書く。AB/DE=4/6=2/3、BC/EF=6/9=2/3、CA/FD=8/12=2/3。三組の辺の比が全て等しいので△ABC∽△DEF。対応する角より∠B=∠E、CA/FD=2/3。
生徒の二図と辺の対応、実際の三比、三辺比の条件、対応順の相似と角・比の結論を見る。三角形は4+6>8などを満たす。
AB=5,AC=7cm、DE=7.5,DF=10.5cm、∠BAC=∠EDF=48°です。自分の二つの三角形の図へ条件を書き、二比と角の位置から△ABCと△DEFの相似を証明します。BC/EFと∠Cに対応する角も示してください。
答えと解説
生徒の図でAとDは各二辺の間の頂点。AB/DE=5/7.5=2/3、AC/DF=7/10.5=2/3、∠BAC=∠EDFは仮定。二組の辺の比とその間の角が等しいので△ABC∽△DEF。BC/EF=2/3、∠C=∠F。
生徒の図・二比の計算・間の角の明示と仮定、条件・対応順、残る辺の比と角を見ます。
三角形PQRで∠P=34°,∠Q=71°、三角形STUで∠S=75°,∠T=34°です。残る角を計算し、自分の二図へ角と頂点の対応を書きます。等しい角の二組と理由から相似を証明し、PQ,QR,RPに対応する辺で同じ向きの比の等式を示してください。
答えと解説
∠R=180−34−71=75°、∠U=180−75−34=71°。生徒の図にP-T,Q-U,R-Sの対応を書く。∠P=∠T=34°は仮定、∠Q=∠U=71°は仮定と内角の和による。二組の角が等しいので△PQR∽△TUS。PQ/TU=QR/US=RP/ST。
生徒の二図、残角の計算と理由、二組の等角、条件とTUSの対応順、三比を同じ向きにすることを見ます。
つぶれていない三角形PQRで、Sは辺PQ、Tは辺PRの両端を除く部分にあり、ST∥QRです。点の順を入れた自分の図を描き、角の等しさをそれぞれの理由付きで示して△PSTと△PQRの相似を証明します。PS/PQ,PT/PR,ST/QRの関係も導いてください。
答えと解説
生徒の図でP,S,QとP,T,Rの順、ST∥QRを書く。∠SPT=∠QPRは同じ二つの半直線の角、∠PST=∠PQRは平行線の同位角。二組の角が等しいので△PST∽△PQR。対応する辺からPS/PQ=PT/PR=ST/QR。
生徒の点順・平行の図、等角ごとの理由、二角の条件、対応順の相似から三比へ進む証明を見ます。
異なる二直線ACとBDがOで交わり、点はA,O,Cの順、B,O,Dの順に並びます。AB∥CDで、A,O,Bは一直線上にありません。交差と平行を示す自分の図を描き、等角と理由から△AOBと△CODの相似を証明します。AO/CO,OB/OD,AB/CDの関係も示してください。
答えと解説
生徒の図へ二つの点順、交点O、AB∥CDを書く。∠AOB=∠CODは対頂角、∠BAO=∠DCOは平行線AB,CDと直線ACの錯角。二組の角が等しいので△AOB∽△COD。AO/CO=OB/OD=AB/CD。
生徒の交差する図と点順、対頂角・錯角の具体的な二角と理由、相似条件と順序、三比を見ます。
三角形PQRの∠PQRは90°です。Qから辺PRへ引いた垂線の足をHとし、Hは辺PRの両端を除く部分にあります。自分の図に直角と点順を書き、△PHQと△QHRがそれぞれ△PQRと相似であることを別々に証明します。各相似の対応順と、対応する三組の辺の比も書いてください。
答えと解説
生徒の図にP,H,Rの順、QH⊥PR、∠PQR=90°を書く。第一に∠PHQ=∠PQR=90°、∠HPQ=∠QPRは共通の半直線から等しいので二角の条件で△PHQ∽△PQR。PH/PQ=HQ/QR=QP/PR。第二に∠QHR=∠PQR=90°、∠QRH=∠PRQは共通の半直線から等しいので△QHR∽△PQR。QH/PQ=HR/QR=QR/PR。
生徒の直角と点順の図、二つの証明それぞれの二角と理由、相似条件、対応順と二通りの三比を見る。長さを三平方の定理で求める必要はない。
∠A=40°,∠B=65°,∠C=75°、∠R=40°,∠P=65°,∠Q=75°です。ある人は「二組の角が等しいので△ABC∽△PQR、AB/PQ=BC/QR」と書きました。自分の図へ対応を示し、合っていない頂点と辺を具体的に説明して、条件から結論と三比まで証明を書き直してください。
答えと解説
生徒の図でA-R,B-P,C-Q。仮定から∠A=∠R、∠B=∠Pなので二組の角が等しく△ABC∽△RPQ。三比はAB/RP=BC/PQ=CA/QR。元のPQRの順では40°のAを65°のPに対応させ、ABの対応先もPQと誤っている。
生徒の図と具体的な角の不一致、仮定からの二角の証明、正しいRPQの順と三比、誤った辺の修正を見ます。
次の二つの三角形の数値は条件として使えます。△ABCは∠A=90°,∠B=30°,∠C=60°、AB=3√3,AC=3,BC=6cm。△DEFは∠D=30°,∠E=30°,∠F=120°、DE=2√3,DF=2,EF=2cmです。自分の図と二比の計算を示し、「AB/DE=AC/DFかつ∠B=∠Eだから△ABC∽△DEF」という説明を検討します。角の位置と全体の角の組から、一般の相似条件として使えない理由を具体的に書いてください。根号の辺から角を計算し直す必要はありません。
答えと解説
生徒の二図へ条件を書く。AB/DE=(3√3)/(2√3)=3/2、AC/DF=3/2、∠B=∠E=30°は成り立つ。しかし二辺AB,ACの間は∠A、DE,DFの間は∠Dで、90°と30°で等しくない。二辺の比と間ではない角だけを一般の相似条件にはできない。角の組も90°,30°,60°と30°,30°,120°で異なり、どの対応順でも二つの三角形は相似でない。
生徒の二図・二比、等しい角と間の角の区別、具体的な角の不一致と反例としての結論を見る。与えた角を辺から再計算することは要件にしない。
△ABCでDは辺AB、Eは辺ACの両端を除く部分にあり、AD/AB=AE/AC=3/5です。ある人は「相似だからDE∥BC、DE∥BCだから相似」と説明しました。自分の図を描き、何を先に根拠にできるかを整理して循環しない証明へ直します。△ADEと△ABCの相似、DE/BC、DE∥BCまで示してください。
答えと解説
生徒の図へ点A,D,BとA,E,Cの順、与えた二比を書く。AD/AB=AE/ACは仮定、∠DAE=∠BACは同じ二つの半直線の角で、その二辺の間。二組の辺の比と間の角から△ADE∽△ABC。よってDE/BC=3/5、∠ADE=∠ABC。直線ABが横切る二直線で同位角が等しいのでDE∥BC。相似を先に仮定せず、与えた二比と角から導く。
生徒の図・仮定と共通の間の角、条件からの相似、比と同位角の逆による平行、循環を解消した理由を見ます。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数mを一つずつ選びます。AB=r+2,BC=r+3,CA=r+4cmとし、DE=m(r+2),EF=m(r+3),FD=m(r+4)cmの二つの三角形を自分の図へ具体的な数で書いてください。三角形を作れる辺かを確かめ、三組の比を計算して対応順の相似を証明し、対応する角を一組示します。一般式だけで終えず自分で選んだ数と証明を残します。
答えと解説
作例r=3,m=2ならAB5,BC6,CA7cm、DE10,EF12,FD14cm。5+6>7など三角形の条件を満たし、拡大後も満たす。生徒の二図へ対応を書く。5/10=6/12=7/14=1/2なので三組の辺の比が等しく△ABC∽△DEF、例えば∠A=∠D。条件内の別のr,mも実際の辺・三角形の条件・三比・対応順・角がそろえば認める。
生徒の条件内のr,m、具体的な二図と六辺、三角形を作れる確認、実際の三比と条件、対応順の相似と等角を見る。一般の雛形だけを作例の完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子143〜145/PDF147〜149の、相似の意味・三つの相似条件・条件に基づく論証を踏まえた独自課題です。現行出版社の学習指導計画でも、相似の意味、条件による判断、性質の証明を区別しています。図版や問題の配列・数値を写しません。線分比の計算が主の092、面積比の093、体積比の094とは主な活動を分けます。 · 2026-11-03
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/prove-triangle-similarity-with-correspondence-and-ratios/
準備14問は対応と比の足場です。主課題は生徒の実際の図と対応、仮定や性質からの辺の比・角の等しさと個別の理由、使う相似条件、対応順の相似、求められた比や角の結論を手動確認します。T1は三辺比、T2は間の角、T3は角の補いと並べ替え、T4は平行線、T5は交差する二直線、T6は直角三角形の二つの小三角形、T7は対応順の修正、T8は間でない角の反例、T9は循環を避ける論証、T10は生徒の具体的な三辺の作例です。正しい別の角の組・頂点の並べ方・証明順も対応と理由がそろえば認めます。
△ABC∽△QRPと対応する順に書かれています。頂点Cに対応する頂点はどれですか。
- Q
- R
- P
- A
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC∽△QRPで、AB=6cm、QR=9cmです。AB/QRの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC∽△DEFで∠A=35°、∠B=80°です。∠Fは何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=5,BC=7,CA=9、DE=10,EF=14,FD=18です。△ABCと△DEFに使う相似条件はどれですか。
- 一組の辺の長さが等しい
- 三組の辺の比が全て等しい
- 二組の辺の長さがそれぞれ等しい
- 一つの角が等しいだけでよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=4,AC=6、DE=10,DF=15で、∠A=∠D=55°です。直接使える相似条件はどれですか。
- 二組の角が等しい
- 一組の辺の比が等しい
- 二組の辺の比とその間の角が等しい
- 二組の辺の長さが等しい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠A=48°、∠C=67°、∠D=48°、∠E=65°です。対応順が正しい相似の書き方はどれですか。
- △ABC∽△DFE
- △ABC∽△EFD
- △ABC∽△FED
- △ABC∽△DEF
途中の計算・単位・理由・確認答え:
次のうち、三角形が必ず相似だと判断する一般の条件にはならないものはどれですか。
- 三組の辺の比が全て等しい
- 二組の角がそれぞれ等しい
- 二組の辺の比とその間の角が等しい
- 二組の辺の比と、その間ではない一つの角が等しい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC∽△DEFの相似比が1:3で、BC=5cmです。EFは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC∽△DEFの相似比が3:2で、AC=12cmです。DFは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠A=31°、∠B=84°、∠D=84°、∠E=31°です。図の向きによらず、正しい対応順はどれですか。
- △ABC∽△EDF
- △ABC∽△DEF
- △ABC∽△DFE
- △ABC∽△EFD
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCの辺AB,ACの内側にそれぞれD,Eがあり、DE∥BCです。∠ADE=∠ABCを直接説明する理由はどれですか。
- 対頂角だから
- 平行線の同位角だから
- 二つの角がどちらも直角だから
- 辺の長さが等しいから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=8,BC=10,CA=14、DE=12,EF=15,FD=21です。AB/DE=BC/EF=CA/FDの共通の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB/DE=AC/DF=2/5、∠A=∠Dで△ABC∽△DEFと分かりました。AC=10cmのときDFは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
対応がA-E,B-D,C-Fと分かりました。辺BCに対応する辺はどれですか。
- EF
- DE
- DF
- BC
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
三角形ABCの辺はAB=4,BC=6,CA=8cm、三角形DEFの辺はDE=6,EF=9,FD=12cmです。二つの三角形の自分の図へ辺と対応を書き、三組の比を実際に計算して相似を証明します。その証明から∠Bと対応する角、CA/FDも示してください。
AB=5,AC=7cm、DE=7.5,DF=10.5cm、∠BAC=∠EDF=48°です。自分の二つの三角形の図へ条件を書き、二比と角の位置から△ABCと△DEFの相似を証明します。BC/EFと∠Cに対応する角も示してください。
三角形PQRで∠P=34°,∠Q=71°、三角形STUで∠S=75°,∠T=34°です。残る角を計算し、自分の二図へ角と頂点の対応を書きます。等しい角の二組と理由から相似を証明し、PQ,QR,RPに対応する辺で同じ向きの比の等式を示してください。
つぶれていない三角形PQRで、Sは辺PQ、Tは辺PRの両端を除く部分にあり、ST∥QRです。点の順を入れた自分の図を描き、角の等しさをそれぞれの理由付きで示して△PSTと△PQRの相似を証明します。PS/PQ,PT/PR,ST/QRの関係も導いてください。
異なる二直線ACとBDがOで交わり、点はA,O,Cの順、B,O,Dの順に並びます。AB∥CDで、A,O,Bは一直線上にありません。交差と平行を示す自分の図を描き、等角と理由から△AOBと△CODの相似を証明します。AO/CO,OB/OD,AB/CDの関係も示してください。
三角形PQRの∠PQRは90°です。Qから辺PRへ引いた垂線の足をHとし、Hは辺PRの両端を除く部分にあります。自分の図に直角と点順を書き、△PHQと△QHRがそれぞれ△PQRと相似であることを別々に証明します。各相似の対応順と、対応する三組の辺の比も書いてください。
∠A=40°,∠B=65°,∠C=75°、∠R=40°,∠P=65°,∠Q=75°です。ある人は「二組の角が等しいので△ABC∽△PQR、AB/PQ=BC/QR」と書きました。自分の図へ対応を示し、合っていない頂点と辺を具体的に説明して、条件から結論と三比まで証明を書き直してください。
次の二つの三角形の数値は条件として使えます。△ABCは∠A=90°,∠B=30°,∠C=60°、AB=3√3,AC=3,BC=6cm。△DEFは∠D=30°,∠E=30°,∠F=120°、DE=2√3,DF=2,EF=2cmです。自分の図と二比の計算を示し、「AB/DE=AC/DFかつ∠B=∠Eだから△ABC∽△DEF」という説明を検討します。角の位置と全体の角の組から、一般の相似条件として使えない理由を具体的に書いてください。根号の辺から角を計算し直す必要はありません。
△ABCでDは辺AB、Eは辺ACの両端を除く部分にあり、AD/AB=AE/AC=3/5です。ある人は「相似だからDE∥BC、DE∥BCだから相似」と説明しました。自分の図を描き、何を先に根拠にできるかを整理して循環しない証明へ直します。△ADEと△ABCの相似、DE/BC、DE∥BCまで示してください。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数mを一つずつ選びます。AB=r+2,BC=r+3,CA=r+4cmとし、DE=m(r+2),EF=m(r+3),FD=m(r+4)cmの二つの三角形を自分の図へ具体的な数で書いてください。三角形を作れる辺かを確かめ、三組の比を計算して対応順の相似を証明し、対応する角を一組示します。一般式だけで終えず自分で選んだ数と証明を残します。
解答: 対応する頂点と比をそろえて三角形の相似を証明する
P
同じ三番目にあるCとPが対応します。
6/9=2/3です。順序を逆にして3/2にはしません。
65
∠C=180−35−80=65°で、CとFが対応します。
三組の辺の比が全て等しい
5/10=7/14=9/18=1/2なので三組の辺の比の条件です。
二組の辺の比とその間の角が等しい
4/10=6/15=2/5で、AとDはそれぞれ二辺の間の角です。
△ABC∽△DEF
Bは65°、Fは67°なのでA-D,B-E,C-Fが対応します。二組の角の条件を使えます。
二組の辺の比と、その間ではない一つの角が等しい
二辺の比を使う条件では、その二辺の間の角が必要です。間ではない角では一般には一つの形に定まりません。
15
BCとEFが対応し、EF=5×3=15cmです。
8
ACとDFが対応し、DF=12×2/3=8cmです。
△ABC∽△EDF
CとFはともに65°。A-E,B-D,C-Fの順です。
平行線の同位角だから
直線ABが平行なDEとBCを横切り、対応する位置の同位角です。
8/12=10/15=14/21=2/3です。三辺の対応を同じ向きにそろえます。
25
10/DF=2/5なのでDF=10×5/2=25cmです。
DF
両端B,Cの対応先D,Fを結ぶ辺DFです。
記述問題の解答・確認の観点
三角形ABCの辺はAB=4,BC=6,CA=8cm、三角形DEFの辺はDE=6,EF=9,FD=12cmです。二つの三角形の自分の図へ辺と対応を書き、三組の比を実際に計算して相似を証明します。その証明から∠Bと対応する角、CA/FDも示してください。
生徒の図にA-D,B-E,C-Fの対応と六辺を書く。AB/DE=4/6=2/3、BC/EF=6/9=2/3、CA/FD=8/12=2/3。三組の辺の比が全て等しいので△ABC∽△DEF。対応する角より∠B=∠E、CA/FD=2/3。
生徒の二図と辺の対応、実際の三比、三辺比の条件、対応順の相似と角・比の結論を見る。三角形は4+6>8などを満たす。
AB=5,AC=7cm、DE=7.5,DF=10.5cm、∠BAC=∠EDF=48°です。自分の二つの三角形の図へ条件を書き、二比と角の位置から△ABCと△DEFの相似を証明します。BC/EFと∠Cに対応する角も示してください。
生徒の図でAとDは各二辺の間の頂点。AB/DE=5/7.5=2/3、AC/DF=7/10.5=2/3、∠BAC=∠EDFは仮定。二組の辺の比とその間の角が等しいので△ABC∽△DEF。BC/EF=2/3、∠C=∠F。
生徒の図・二比の計算・間の角の明示と仮定、条件・対応順、残る辺の比と角を見ます。
三角形PQRで∠P=34°,∠Q=71°、三角形STUで∠S=75°,∠T=34°です。残る角を計算し、自分の二図へ角と頂点の対応を書きます。等しい角の二組と理由から相似を証明し、PQ,QR,RPに対応する辺で同じ向きの比の等式を示してください。
∠R=180−34−71=75°、∠U=180−75−34=71°。生徒の図にP-T,Q-U,R-Sの対応を書く。∠P=∠T=34°は仮定、∠Q=∠U=71°は仮定と内角の和による。二組の角が等しいので△PQR∽△TUS。PQ/TU=QR/US=RP/ST。
生徒の二図、残角の計算と理由、二組の等角、条件とTUSの対応順、三比を同じ向きにすることを見ます。
つぶれていない三角形PQRで、Sは辺PQ、Tは辺PRの両端を除く部分にあり、ST∥QRです。点の順を入れた自分の図を描き、角の等しさをそれぞれの理由付きで示して△PSTと△PQRの相似を証明します。PS/PQ,PT/PR,ST/QRの関係も導いてください。
生徒の図でP,S,QとP,T,Rの順、ST∥QRを書く。∠SPT=∠QPRは同じ二つの半直線の角、∠PST=∠PQRは平行線の同位角。二組の角が等しいので△PST∽△PQR。対応する辺からPS/PQ=PT/PR=ST/QR。
生徒の点順・平行の図、等角ごとの理由、二角の条件、対応順の相似から三比へ進む証明を見ます。
異なる二直線ACとBDがOで交わり、点はA,O,Cの順、B,O,Dの順に並びます。AB∥CDで、A,O,Bは一直線上にありません。交差と平行を示す自分の図を描き、等角と理由から△AOBと△CODの相似を証明します。AO/CO,OB/OD,AB/CDの関係も示してください。
生徒の図へ二つの点順、交点O、AB∥CDを書く。∠AOB=∠CODは対頂角、∠BAO=∠DCOは平行線AB,CDと直線ACの錯角。二組の角が等しいので△AOB∽△COD。AO/CO=OB/OD=AB/CD。
生徒の交差する図と点順、対頂角・錯角の具体的な二角と理由、相似条件と順序、三比を見ます。
三角形PQRの∠PQRは90°です。Qから辺PRへ引いた垂線の足をHとし、Hは辺PRの両端を除く部分にあります。自分の図に直角と点順を書き、△PHQと△QHRがそれぞれ△PQRと相似であることを別々に証明します。各相似の対応順と、対応する三組の辺の比も書いてください。
生徒の図にP,H,Rの順、QH⊥PR、∠PQR=90°を書く。第一に∠PHQ=∠PQR=90°、∠HPQ=∠QPRは共通の半直線から等しいので二角の条件で△PHQ∽△PQR。PH/PQ=HQ/QR=QP/PR。第二に∠QHR=∠PQR=90°、∠QRH=∠PRQは共通の半直線から等しいので△QHR∽△PQR。QH/PQ=HR/QR=QR/PR。
生徒の直角と点順の図、二つの証明それぞれの二角と理由、相似条件、対応順と二通りの三比を見る。長さを三平方の定理で求める必要はない。
∠A=40°,∠B=65°,∠C=75°、∠R=40°,∠P=65°,∠Q=75°です。ある人は「二組の角が等しいので△ABC∽△PQR、AB/PQ=BC/QR」と書きました。自分の図へ対応を示し、合っていない頂点と辺を具体的に説明して、条件から結論と三比まで証明を書き直してください。
生徒の図でA-R,B-P,C-Q。仮定から∠A=∠R、∠B=∠Pなので二組の角が等しく△ABC∽△RPQ。三比はAB/RP=BC/PQ=CA/QR。元のPQRの順では40°のAを65°のPに対応させ、ABの対応先もPQと誤っている。
生徒の図と具体的な角の不一致、仮定からの二角の証明、正しいRPQの順と三比、誤った辺の修正を見ます。
次の二つの三角形の数値は条件として使えます。△ABCは∠A=90°,∠B=30°,∠C=60°、AB=3√3,AC=3,BC=6cm。△DEFは∠D=30°,∠E=30°,∠F=120°、DE=2√3,DF=2,EF=2cmです。自分の図と二比の計算を示し、「AB/DE=AC/DFかつ∠B=∠Eだから△ABC∽△DEF」という説明を検討します。角の位置と全体の角の組から、一般の相似条件として使えない理由を具体的に書いてください。根号の辺から角を計算し直す必要はありません。
生徒の二図へ条件を書く。AB/DE=(3√3)/(2√3)=3/2、AC/DF=3/2、∠B=∠E=30°は成り立つ。しかし二辺AB,ACの間は∠A、DE,DFの間は∠Dで、90°と30°で等しくない。二辺の比と間ではない角だけを一般の相似条件にはできない。角の組も90°,30°,60°と30°,30°,120°で異なり、どの対応順でも二つの三角形は相似でない。
生徒の二図・二比、等しい角と間の角の区別、具体的な角の不一致と反例としての結論を見る。与えた角を辺から再計算することは要件にしない。
△ABCでDは辺AB、Eは辺ACの両端を除く部分にあり、AD/AB=AE/AC=3/5です。ある人は「相似だからDE∥BC、DE∥BCだから相似」と説明しました。自分の図を描き、何を先に根拠にできるかを整理して循環しない証明へ直します。△ADEと△ABCの相似、DE/BC、DE∥BCまで示してください。
生徒の図へ点A,D,BとA,E,Cの順、与えた二比を書く。AD/AB=AE/ACは仮定、∠DAE=∠BACは同じ二つの半直線の角で、その二辺の間。二組の辺の比と間の角から△ADE∽△ABC。よってDE/BC=3/5、∠ADE=∠ABC。直線ABが横切る二直線で同位角が等しいのでDE∥BC。相似を先に仮定せず、与えた二比と角から導く。
生徒の図・仮定と共通の間の角、条件からの相似、比と同位角の逆による平行、循環を解消した理由を見ます。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数mを一つずつ選びます。AB=r+2,BC=r+3,CA=r+4cmとし、DE=m(r+2),EF=m(r+3),FD=m(r+4)cmの二つの三角形を自分の図へ具体的な数で書いてください。三角形を作れる辺かを確かめ、三組の比を計算して対応順の相似を証明し、対応する角を一組示します。一般式だけで終えず自分で選んだ数と証明を残します。
作例r=3,m=2ならAB5,BC6,CA7cm、DE10,EF12,FD14cm。5+6>7など三角形の条件を満たし、拡大後も満たす。生徒の二図へ対応を書く。5/10=6/12=7/14=1/2なので三組の辺の比が等しく△ABC∽△DEF、例えば∠A=∠D。条件内の別のr,mも実際の辺・三角形の条件・三比・対応順・角がそろえば認める。
生徒の条件内のr,m、具体的な二図と六辺、三角形を作れる確認、実際の三比と条件、対応順の相似と等角を見る。一般の雛形だけを作例の完了にしない。