二項定理の指定係数を、選ぶ因子と指数へ戻す
同じ二項式の積から、指定した項の係数を導きます。準備14問と、生徒が選ぶ因数の位置・定数の累乗・符号を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)ア(ア)の二項定理・指定係数の部分とイ(ア)、冊子54〜55/PDF66〜67を踏まえた独自課題です。同じ項目の三次式の展開・因数分解の公式全体を別途指導・確認したとは主張しません。微分・ローラン展開・数学Ⅱ全範囲・固定学年の履修を主張せず、元の問題や図版も写していません。
解説を読む
係数の公式だけでなく、どの因数からどちらの項を選ぶかを説明します。指定した文字の指数、定数の累乗、係数と項の区別を実際の積へ戻し、足りない次数や二つの寄与も確かめます。
必要な予備知識
非負整数の指数、多項式の乗法、符号と整数の計算。数学Ａの組合せの既習を前提にせず、異なる位置を選ぶ数と重複を除く理由から説明します。自分の式と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- nは0以上の整数です。(ax+b)ⁿはn個の同じ因数(ax+b)の積です。各因数から一つずつ項を選ぶと、xを含む項をm個、定数bをn−m個選んだ積はaᵐbⁿ⁻ᵐxᵐになります。ここで0≦m≦nとします。
- 選ぶ因数の位置は区別しますが、同じm個の位置を選ぶ順番は区別しません。例えば5個から2個なら5×4の順序付きの選び方を2で割り、10通りです。同じ2か所を逆順で数えた分を除きます。
- n個からm個の位置を選ぶ数をC(n,m)と書きます。mが1以上ならn(n−1)…(n−m+1)をm(m−1)…1で割り、m=0では1です。m=nでも1になります。組合せを先に習ったと仮定せず、位置と重複の意味へ戻します。
- (ax+b)ⁿのxᵐの係数はC(n,m)aᵐbⁿ⁻ᵐです。mがこの範囲外なら対応する項はありません。この教材の具体的な計算では、0の0乗を別に計算する必要がない例を使います。
- 定数bをk個選ぶ数え方なら、一般の項はC(n,k)(ax)ⁿ⁻ᵏbᵏです。kは定数を選ぶ個数で、xの指数はn−kです。xの指数そのものとkを取り違えません。
- 負の定数も累乗の底に含めます。例えば(−3)²=9、(−3)³=−27です。係数と項は区別し、係数がcならxᵐの項全体はcxᵐです。
- 独立な文字x,yについて(ax+by)ⁿの各項はC(n,m)aᵐbⁿ⁻ᵐxᵐyⁿ⁻ᵐです。二つの文字の指数の和はnになります。和がnでない文字の積の係数は0で、勝手にyを数値へ置き換えません。
- P(x)=c₀+c₁x+…+cₙxⁿなら、全係数の和はP(1)、定数項から交互に符号を付けた和c₀−c₁+c₂−…はP(−1)です。これは各xʲへ1または−1を代入した式から導きます。特定の一つの係数をこの代入だけで決めたとはしません。
- (ux+v)P(x)のxᵐの係数には、uxとPのxᵐ⁻¹の項、vとPのxᵐの項が寄与します。必要な二つの積を足し、片方を落としません。範囲外の次数に項がないときは、その寄与を0と考えます。
- 未知の定数を係数から決めるときは、指定係数の式と与えられた範囲を両方使います。二乗から正負二つの候補が出る場合、正という条件を勝手に付けたり落としたりしません。因数の順や二項の順を変えても同じ積となる理由も、選ぶ位置へ戻して説明します。
解き方の例
(2x−3)⁴のx²は、4個の因数から2個で2xを選ぶ6通りから生じます。各積は(2x)²(−3)²=36x²なので、係数6×36=216、項は216x²です。残りの2因数で−3を選んだことも書きます。
(3x+2)⁵のx³なら、3xを選ぶ3か所はC(5,3)=10通り。残り2か所で2を選ぶので係数は10×3³×2²=1080、項は1080x³です。C(5,3)だけや3³だけでは係数全体になりません。
よくある間違い
- 位置を選ぶ順序まで別に数え、同じ積を重複させる。
- xの指数と、定数を選ぶ個数を同じとする。
- 定数や文字の前の係数の累乗を落とす。
- 負の定数の符号を累乗の外へ出す。
- 係数と文字を含む項全体を混同する。
- 二文字の指数の和、未知数の範囲、追加の一次因数からの二つ目の寄与を落とす。
考え方を説明する
準備14問は指定係数・数え方・指数と符号の確認です。主課題では生徒の選ぶ因数の位置と重複を除く根拠、各積、定数の累乗、符号と完全な項を手動確認します。T1は位置の列挙、T2は符号と定数の累乗、T3は二文字と存在しない項、T4は未知定数と範囲、T5は端の項、T6は係数表と二つの和、T7は追加因数からの二つの寄与、T8は選び方を入れ替える対応、T9は二つの誤りの修正、T10は生徒の具体的な例を見ます。正しい全展開や別の数え方も認め、公式の転記や準備の点数だけで達成を判定しません。
数値と一つの選択だけを自動採点します。生徒の位置の列挙・重複の説明・係数表・式全体と理由は講師が手動確認します。微分による係数抽出、負や分数の指数、無限級数、三次式の公式全体の習得を要求する教材ではありません。生徒の達成や学習効果を主張しません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の因数の選び方・式全体・理由は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(x+4)⁵を展開したときの、x²の係数を求めてください。
答えと解説
640
xを選ぶ2か所はC(5,2)=10通りで、残り3か所の定数は4³。係数は10×1²×4³=640です。
(2x−1)⁶を展開したときの、x³の係数を求めてください。
答えと解説
−160
C(6,3)=20で、係数は20×2³×(−1)³=−160です。
独立な文字x,yについて、(3x+2y)⁴を展開したときのx³yの係数を求めてください。
答えと解説
216
3xを3か所、2yを1か所で選び、C(4,3)×3³×2=4×27×2=216です。
独立な文字x,yについて、(2x−3y)⁵を展開したときのx²y³の係数を求めてください。
答えと解説
−1080
係数はC(5,2)×2²×(−3)³=10×4×(−27)=−1080です。
(x−2)⁵を展開したときの、定数項を求めてください。
答えと解説
−32
全5か所で定数−2を選ぶ一通りから、定数項は(−2)⁵=−32です。
(1+2x)⁴を展開したときの、全ての係数の和を求めてください。
答えと解説
81
P(1)=(1+2)⁴=81です。各xの累乗を1へ置くため全係数の和になります。
(x+2)(x−1)⁴を展開したときの、x³の係数を求めてください。
答えと解説
−2
(x−1)⁴のx²の係数6とx³の係数−4から、x×6x²と2×(−4x³)が寄与し、6−8=−2です。
(3x−2)⁵のx²の係数を表す式はどれですか。C(n,m)はnか所からmか所を選ぶ数です。
- C(5,2)×3³×(−2)²
- C(5,2)×3²×(−2)²
- C(5,2)×3²×(−2)³
- C(5,2)×3³×(−2)³
答えと解説
C(5,2)×3²×(−2)³
3xを2か所、定数−2を残り3か所で選ぶため、C(5,2)×3²×(−2)³です。
独立な文字x,yについて、(2x+3y)⁶の展開に現れる文字の積の形はどれですか。数の係数はここでは省いています。
- x²y⁴
- x²y³
- x⁴y⁴
- x³y²
答えと解説
x²y⁴
各因数からxかyを一つずつ選ぶため指数の和は6。2+4=6のx²y⁴は現れ、他の三つの和は6ではありません。
P(x)=(2x−3)⁵=c₀+c₁x+…+c₅x⁵とします。c₀−c₁+c₂−c₃+c₄−c₅はいくつですか。
- -1024
- -7776
- -275
- -3125
答えと解説
-3125
定数項から交互に符号を付けるのでP(−1)=(−2−3)⁵=−3125です。
aは1,2,3,4のいずれかです。(ax+1)⁴のx²の係数が54のとき、aはどれですか。
- 1
- 3
- 2
- 4
答えと解説
3
C(4,2)a²=6a²=54からa²=9。与えられた範囲の候補はa=3だけです。
6個の異なる因数の位置から、順序を区別せず2か所を選ぶ数C(6,2)はいくつですか。
- 15
- 30
- 12
- 36
答えと解説
15
順序付きの6×5=30では同じ2か所を逆順で2回数えるので、30/2=15です。
nは3以上の整数、0≦k≦n、a,bは0でない実数とします。(a+b)ⁿからbをkか所で選んだ項C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏを考えます。二項の順を入れ替えても、この範囲の全てのn,k,a,bで同じ項になる表現はどれですか。
- C(n,k)bⁿ⁻ᵏaᵏ
- C(n,k)aⁿbᵏ
- C(n,n−k)bᵏaⁿ⁻ᵏ
- C(n,n−k)²bᵏaⁿ⁻ᵏ
答えと解説
C(n,n−k)bᵏaⁿ⁻ᵏ
残りのn−kか所をaの位置として選ぶ対応でC(n,n−k)=C(n,k)。bの指数kとaの指数n−kは保ちます。
(2x−1)⁴を展開したとき、x³の係数だけを答えているのはどれですか。
- −32x³
- −32
- 32
- 4
答えと解説
−32
x³の項はC(4,3)(2x)³(−1)=−32x³です。指定された係数だけなら−32で、文字は含めません。
考え方を説明する
5個の因数(x+2)に左から1〜5の番号を付けます。(x+2)⁵のx²を作る2か所を、順序を区別せず全て列挙してください。重複を除く理由、残りの因数から選ぶ定数、各積と、係数・項全体を実際に書いて導きます。
答えと解説
選ぶ位置の組は{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}の10通り。5×4では同じ2か所を逆順で2回数えるため2で割る。各積はx²×2³=8x²なので係数80、項80x²。正しい別の数え方も可。
生徒の異なる10組と重複しない理由、残り3因数、各積と全係数を見ます。
(2x−3)⁵のx³の項とx²の項を、因数の位置の選び方からそれぞれ導いてください。二つの定数の累乗と符号が違う理由、係数と項全体も分けて説明します。
答えと解説
x³はC(5,3)×2³×(−3)²=10×8×9=720より720x³。x²はC(5,2)×2²×(−3)³=10×4×(−27)=−1080より−1080x²。定数を選ぶ回数が2と3なので符号が異なる。
生徒の二つの位置の数と残りの回数、全ての底と指数、符号の根拠を見ます。
独立な文字x,yについて(2x−y)⁶を考えます。x²y⁴の係数を位置の選び方から導き、x²y³の係数も理由とともに示してください。二つの文字の指数を表に対応させ、勝手にyへ数値を代入しません。
答えと解説
x²y⁴は2xを2か所、−yを4か所で選ぶのでC(6,2)×2²×(−1)⁴=15×4=60。x²y³は指数の和5で、6個の一次の項の積に現れず係数0。
生徒の選ぶ位置・各文字の指数・全係数と、0になる構造上の理由を見ます。
aは正の実数です。(ax+2)⁴のx²の係数が216になるaを、係数の式から求めてください。候補と範囲を確認し、決まったaを元の積へ戻します。正という条件を外した場合の候補も比較してください。
答えと解説
係数C(4,2)a²2²=24a²=216よりa²=9。正の条件からa=3だけで、(3x+2)⁴の指定係数は6×9×4=216。条件を外すならa=−3も同じ係数を与える。項は216x²。
生徒の係数を作る式・二つの代数的候補・与えられた正の範囲と元への確認を見ます。
(3x−2)⁵について、定数項とx⁵の項を、どの因数から何を選ぶかに戻して導いてください。友達の「定数項は−2」という説明を直し、端の二項の係数と項全体を分けます。
答えと解説
定数項は全5因数から−2を選ぶ一通りで(−2)⁵=−32。x⁵は全て3xを選ぶので3⁵x⁵=243x⁵、係数243。−2は一つの因数の定数で、積全体の定数ではない。
生徒のすべての因数の選択と一通りの理由、指数・符号・係数と項の区別を見ます。
P(x)=(2x−3)⁵です。各因数の選び方から、定数項からx⁵までの係数表を実際に作ってください。全係数の和と、定数項から交互に符号を付けた和も求め、P(1),P(−1)から独立に確かめる理由を説明します。
答えと解説
指数0〜5の係数は順に−243,810,−1080,720,−240,32。和は−1=P(1)=(2−3)⁵。交互の和は−243−810−1080−720−240−32=−3125=P(−1)=(−2−3)⁵。各xʲの1と−1での値から二つの和を導く。
生徒の六つの係数の導出・表の指数順・二つの和と代入の説明を見る。一つの代入だけを各係数の一般的な証明にしない。
(x+3)(2x−1)⁴のx³の係数を、追加の因数からの二つの寄与に分けて求めてください。どの二つの項の積がx³になるか、必要な内側の係数と完全な項を実際に書きます。正しい全展開による別解も認めます。
答えと解説
内側のx²の係数はC(4,2)2²(−1)²=24、x³はC(4,3)2³(−1)=−32。x×24x²と3×(−32x³)を足し、係数24−96=−72、項−72x³。
生徒の二つの次数の組・内側の導出・追加因数の係数・和を見る。片方だけの計算で完了としない。
(x−2)⁵のx²の項を、二つの数え方で導いてください。最初は定数−2を選ぶ3か所、次は二項の順を入れ替えた(−2+x)⁵でxを選ぶ2か所を使い、選び方の対応と項の一致を説明します。
答えと解説
定数3か所ならC(5,3)x²(−2)³=−80x²。xの2か所を選ぶならC(5,2)x²(−2)³=−80x²。3か所と残り2か所は一対一に対応し、どちらも10通り。二項の順を変えても負号や指数は入れ替えない。
生徒の二つの選択と補集合の対応、同じ底・指数・全係数を保つ説明を見ます。
(3x−2)⁴のxの係数について、友達Iは「4×3×(−2)=−24」、友達IIは「係数は−96x」としました。二つを別々に直し、因数の位置、残りの定数の累乗、係数と項の区別を含む全文へ書き直してください。
答えと解説
Iは残り3因数の定数の累乗を落としている。正しくはC(4,1)×3×(−2)³=4×3×(−8)=−96。IIの−96xは正しい項全体だが、係数だけの名前ではない。係数−96、項−96xと区別する。
生徒がIIの項全体まで誤った数値とせず、Iの累乗とIIの用語の違いを説明したか見ます。
nを4,5,6から一つ、aを1,2から一つ、bを−1,3から一つ選び、(ax+b)ⁿという具体的な例を作ります。x²の係数と項全体を、選ぶ因数の位置と重複を除く理由から導いてください。許された全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例n=5,a=2,b=−1なら、C(5,2)×2²×(−1)³=10×4×(−1)=−40で、項−40x²。5か所から2か所を選び、残り3か所の定数を使う。許された生徒の別の一例と正しい導出も認める。
生徒が選んだ三数と具体的な積、位置の数・定数の累乗・符号・全項を手動で見る。一般式や作例の転記だけで生徒の別例作成としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)ア(ア)の二項定理・指定係数の部分とイ(ア)、冊子54〜55/PDF66〜67を踏まえた独自課題です。同じ項目の三次式の展開・因数分解の公式全体を別途指導・確認したとは主張しません。微分・ローラン展開・数学Ⅱ全範囲・固定学年の履修を主張せず、元の問題や図版も写していません。 · 2026-11-04
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/find-a-specified-coefficient-with-the-binomial-theorem/
準備14問は指定係数・数え方・指数と符号の確認です。主課題では生徒の選ぶ因数の位置と重複を除く根拠、各積、定数の累乗、符号と完全な項を手動確認します。T1は位置の列挙、T2は符号と定数の累乗、T3は二文字と存在しない項、T4は未知定数と範囲、T5は端の項、T6は係数表と二つの和、T7は追加因数からの二つの寄与、T8は選び方を入れ替える対応、T9は二つの誤りの修正、T10は生徒の具体的な例を見ます。正しい全展開や別の数え方も認め、公式の転記や準備の点数だけで達成を判定しません。
(x+4)⁵を展開したときの、x²の係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(2x−1)⁶を展開したときの、x³の係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な文字x,yについて、(3x+2y)⁴を展開したときのx³yの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な文字x,yについて、(2x−3y)⁵を展開したときのx²y³の係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−2)⁵を展開したときの、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(1+2x)⁴を展開したときの、全ての係数の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+2)(x−1)⁴を展開したときの、x³の係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(3x−2)⁵のx²の係数を表す式はどれですか。C(n,m)はnか所からmか所を選ぶ数です。
- C(5,2)×3³×(−2)²
- C(5,2)×3²×(−2)²
- C(5,2)×3²×(−2)³
- C(5,2)×3³×(−2)³
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な文字x,yについて、(2x+3y)⁶の展開に現れる文字の積の形はどれですか。数の係数はここでは省いています。
- x²y⁴
- x²y³
- x⁴y⁴
- x³y²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=(2x−3)⁵=c₀+c₁x+…+c₅x⁵とします。c₀−c₁+c₂−c₃+c₄−c₅はいくつですか。
- -1024
- -7776
- -275
- -3125
途中の計算・単位・理由・確認答え:
aは1,2,3,4のいずれかです。(ax+1)⁴のx²の係数が54のとき、aはどれですか。
- 1
- 3
- 2
- 4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
6個の異なる因数の位置から、順序を区別せず2か所を選ぶ数C(6,2)はいくつですか。
- 15
- 30
- 12
- 36
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは3以上の整数、0≦k≦n、a,bは0でない実数とします。(a+b)ⁿからbをkか所で選んだ項C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏを考えます。二項の順を入れ替えても、この範囲の全てのn,k,a,bで同じ項になる表現はどれですか。
- C(n,k)bⁿ⁻ᵏaᵏ
- C(n,k)aⁿbᵏ
- C(n,n−k)bᵏaⁿ⁻ᵏ
- C(n,n−k)²bᵏaⁿ⁻ᵏ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(2x−1)⁴を展開したとき、x³の係数だけを答えているのはどれですか。
- −32x³
- −32
- 32
- 4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
5個の因数(x+2)に左から1〜5の番号を付けます。(x+2)⁵のx²を作る2か所を、順序を区別せず全て列挙してください。重複を除く理由、残りの因数から選ぶ定数、各積と、係数・項全体を実際に書いて導きます。
(2x−3)⁵のx³の項とx²の項を、因数の位置の選び方からそれぞれ導いてください。二つの定数の累乗と符号が違う理由、係数と項全体も分けて説明します。
独立な文字x,yについて(2x−y)⁶を考えます。x²y⁴の係数を位置の選び方から導き、x²y³の係数も理由とともに示してください。二つの文字の指数を表に対応させ、勝手にyへ数値を代入しません。
aは正の実数です。(ax+2)⁴のx²の係数が216になるaを、係数の式から求めてください。候補と範囲を確認し、決まったaを元の積へ戻します。正という条件を外した場合の候補も比較してください。
(3x−2)⁵について、定数項とx⁵の項を、どの因数から何を選ぶかに戻して導いてください。友達の「定数項は−2」という説明を直し、端の二項の係数と項全体を分けます。
P(x)=(2x−3)⁵です。各因数の選び方から、定数項からx⁵までの係数表を実際に作ってください。全係数の和と、定数項から交互に符号を付けた和も求め、P(1),P(−1)から独立に確かめる理由を説明します。
(x+3)(2x−1)⁴のx³の係数を、追加の因数からの二つの寄与に分けて求めてください。どの二つの項の積がx³になるか、必要な内側の係数と完全な項を実際に書きます。正しい全展開による別解も認めます。
(x−2)⁵のx²の項を、二つの数え方で導いてください。最初は定数−2を選ぶ3か所、次は二項の順を入れ替えた(−2+x)⁵でxを選ぶ2か所を使い、選び方の対応と項の一致を説明します。
(3x−2)⁴のxの係数について、友達Iは「4×3×(−2)=−24」、友達IIは「係数は−96x」としました。二つを別々に直し、因数の位置、残りの定数の累乗、係数と項の区別を含む全文へ書き直してください。
nを4,5,6から一つ、aを1,2から一つ、bを−1,3から一つ選び、(ax+b)ⁿという具体的な例を作ります。x²の係数と項全体を、選ぶ因数の位置と重複を除く理由から導いてください。許された全12条件を解く必要はありません。
解答: 二項定理の指定係数を、選ぶ因子と指数へ戻す
640
xを選ぶ2か所はC(5,2)=10通りで、残り3か所の定数は4³。係数は10×1²×4³=640です。
−160
C(6,3)=20で、係数は20×2³×(−1)³=−160です。
216
3xを3か所、2yを1か所で選び、C(4,3)×3³×2=4×27×2=216です。
−1080
係数はC(5,2)×2²×(−3)³=10×4×(−27)=−1080です。
−32
全5か所で定数−2を選ぶ一通りから、定数項は(−2)⁵=−32です。
81
P(1)=(1+2)⁴=81です。各xの累乗を1へ置くため全係数の和になります。
−2
(x−1)⁴のx²の係数6とx³の係数−4から、x×6x²と2×(−4x³)が寄与し、6−8=−2です。
C(5,2)×3²×(−2)³
3xを2か所、定数−2を残り3か所で選ぶため、C(5,2)×3²×(−2)³です。
x²y⁴
各因数からxかyを一つずつ選ぶため指数の和は6。2+4=6のx²y⁴は現れ、他の三つの和は6ではありません。
-3125
定数項から交互に符号を付けるのでP(−1)=(−2−3)⁵=−3125です。
3
C(4,2)a²=6a²=54からa²=9。与えられた範囲の候補はa=3だけです。
15
順序付きの6×5=30では同じ2か所を逆順で2回数えるので、30/2=15です。
C(n,n−k)bᵏaⁿ⁻ᵏ
残りのn−kか所をaの位置として選ぶ対応でC(n,n−k)=C(n,k)。bの指数kとaの指数n−kは保ちます。
−32
x³の項はC(4,3)(2x)³(−1)=−32x³です。指定された係数だけなら−32で、文字は含めません。
記述問題の解答・確認の観点
5個の因数(x+2)に左から1〜5の番号を付けます。(x+2)⁵のx²を作る2か所を、順序を区別せず全て列挙してください。重複を除く理由、残りの因数から選ぶ定数、各積と、係数・項全体を実際に書いて導きます。
選ぶ位置の組は{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}の10通り。5×4では同じ2か所を逆順で2回数えるため2で割る。各積はx²×2³=8x²なので係数80、項80x²。正しい別の数え方も可。
生徒の異なる10組と重複しない理由、残り3因数、各積と全係数を見ます。
(2x−3)⁵のx³の項とx²の項を、因数の位置の選び方からそれぞれ導いてください。二つの定数の累乗と符号が違う理由、係数と項全体も分けて説明します。
x³はC(5,3)×2³×(−3)²=10×8×9=720より720x³。x²はC(5,2)×2²×(−3)³=10×4×(−27)=−1080より−1080x²。定数を選ぶ回数が2と3なので符号が異なる。
生徒の二つの位置の数と残りの回数、全ての底と指数、符号の根拠を見ます。
独立な文字x,yについて(2x−y)⁶を考えます。x²y⁴の係数を位置の選び方から導き、x²y³の係数も理由とともに示してください。二つの文字の指数を表に対応させ、勝手にyへ数値を代入しません。
x²y⁴は2xを2か所、−yを4か所で選ぶのでC(6,2)×2²×(−1)⁴=15×4=60。x²y³は指数の和5で、6個の一次の項の積に現れず係数0。
生徒の選ぶ位置・各文字の指数・全係数と、0になる構造上の理由を見ます。
aは正の実数です。(ax+2)⁴のx²の係数が216になるaを、係数の式から求めてください。候補と範囲を確認し、決まったaを元の積へ戻します。正という条件を外した場合の候補も比較してください。
係数C(4,2)a²2²=24a²=216よりa²=9。正の条件からa=3だけで、(3x+2)⁴の指定係数は6×9×4=216。条件を外すならa=−3も同じ係数を与える。項は216x²。
生徒の係数を作る式・二つの代数的候補・与えられた正の範囲と元への確認を見ます。
(3x−2)⁵について、定数項とx⁵の項を、どの因数から何を選ぶかに戻して導いてください。友達の「定数項は−2」という説明を直し、端の二項の係数と項全体を分けます。
定数項は全5因数から−2を選ぶ一通りで(−2)⁵=−32。x⁵は全て3xを選ぶので3⁵x⁵=243x⁵、係数243。−2は一つの因数の定数で、積全体の定数ではない。
生徒のすべての因数の選択と一通りの理由、指数・符号・係数と項の区別を見ます。
P(x)=(2x−3)⁵です。各因数の選び方から、定数項からx⁵までの係数表を実際に作ってください。全係数の和と、定数項から交互に符号を付けた和も求め、P(1),P(−1)から独立に確かめる理由を説明します。
指数0〜5の係数は順に−243,810,−1080,720,−240,32。和は−1=P(1)=(2−3)⁵。交互の和は−243−810−1080−720−240−32=−3125=P(−1)=(−2−3)⁵。各xʲの1と−1での値から二つの和を導く。
生徒の六つの係数の導出・表の指数順・二つの和と代入の説明を見る。一つの代入だけを各係数の一般的な証明にしない。
(x+3)(2x−1)⁴のx³の係数を、追加の因数からの二つの寄与に分けて求めてください。どの二つの項の積がx³になるか、必要な内側の係数と完全な項を実際に書きます。正しい全展開による別解も認めます。
内側のx²の係数はC(4,2)2²(−1)²=24、x³はC(4,3)2³(−1)=−32。x×24x²と3×(−32x³)を足し、係数24−96=−72、項−72x³。
生徒の二つの次数の組・内側の導出・追加因数の係数・和を見る。片方だけの計算で完了としない。
(x−2)⁵のx²の項を、二つの数え方で導いてください。最初は定数−2を選ぶ3か所、次は二項の順を入れ替えた(−2+x)⁵でxを選ぶ2か所を使い、選び方の対応と項の一致を説明します。
定数3か所ならC(5,3)x²(−2)³=−80x²。xの2か所を選ぶならC(5,2)x²(−2)³=−80x²。3か所と残り2か所は一対一に対応し、どちらも10通り。二項の順を変えても負号や指数は入れ替えない。
生徒の二つの選択と補集合の対応、同じ底・指数・全係数を保つ説明を見ます。
(3x−2)⁴のxの係数について、友達Iは「4×3×(−2)=−24」、友達IIは「係数は−96x」としました。二つを別々に直し、因数の位置、残りの定数の累乗、係数と項の区別を含む全文へ書き直してください。
Iは残り3因数の定数の累乗を落としている。正しくはC(4,1)×3×(−2)³=4×3×(−8)=−96。IIの−96xは正しい項全体だが、係数だけの名前ではない。係数−96、項−96xと区別する。
生徒がIIの項全体まで誤った数値とせず、Iの累乗とIIの用語の違いを説明したか見ます。
nを4,5,6から一つ、aを1,2から一つ、bを−1,3から一つ選び、(ax+b)ⁿという具体的な例を作ります。x²の係数と項全体を、選ぶ因数の位置と重複を除く理由から導いてください。許された全12条件を解く必要はありません。
作例n=5,a=2,b=−1なら、C(5,2)×2²×(−1)³=10×4×(−1)=−40で、項−40x²。5か所から2か所を選び、残り3か所の定数を使う。許された生徒の別の一例と正しい導出も認める。
生徒が選んだ三数と具体的な積、位置の数・定数の累乗・符号・全項を手動で見る。一般式や作例の転記だけで生徒の別例作成としない。