中2 数学：多角形の内角・外角の和の練習問題
三角形への分割と一頂点の内角・外角の関係から、和を式にして説明します。14問の確認と、自分の図や分割・途中式・理由を残す10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子109/PDF113の、三角形分割による内角の和の一般化と、一頂点の内角と外角の和180°を基にした外角の和の説明に沿います。公式を代入するだけでなく、何を数え、どの角を加減したかを生徒が説明することを主課題にします。
解説を読む
この教材では、へこみや自己交差がなく、隣り合う辺が一直線に並ばない凸多角形を扱います。正多角形とは限りません。内角の和を三角形の内角の和から導き、外角の和を各頂点の180°との関係から説明します。外角は、多角形の周りを同じ向きに進むときの曲がる角を各頂点で一つずつ選びます。二つの外角を両方数えたり、頂点を飛ばしたりしません。
必要な予備知識
三角形の内角の和180°、一直線の角180°、一点の周りの角360°。対角線と頂点、文字nを使う式と一次方程式を確認します。
- 一つの頂点から引ける対角線はn−3本です。その対角線で重なりなく分けると、三角形はn−2個になります。対角線の本数と三角形の個数を区別します。
- 三角形一つの内角の和は180°なので、凸n角形の内角の和は180°×(n−2)です。分割した三角形の角が、多角形の内角を重なりなく埋めることも説明します。
- 多角形の内側の一点から全頂点へ線分を引く方法では三角形はn個です。三角形の角の和には中心の360°も含むため、それを引きます。
- 一頂点で内角と、選んだ隣り合う外角の和は180°です。全頂点で足すと180°×nで、そこから内角の和を引くと外角の和360°になります。
- 和が決まっていても、一つ一つの角が等しいとは限りません。正多角形など、等しく分けてよい条件を確認してからnで割ります。
解き方の例
凸四角形に一つの対角線を引くと、重なりなく二つの三角形に分かれます。四角形の内角は、この二つの三角形の角を合わせたものなので、内角の和は180°×2=360°です。測った四角形一枚だけの結果ではなく、分割と既知の性質を根拠にします。
正二十角形では、各頂点から一つずつ同じ向きに選んだ外角が等しいので、一つの外角は360°÷20=18°です。隣り合う内角は180°−18°=162°。和を等分して一つの角を求めてよいのは、正多角形という条件があるからです。
よくある間違い
- 一頂点から引いた対角線の本数n−3を、そのまま三角形の個数にする。
- 内部の一点から分けたn個の三角形の和から、中心の360°を引き忘れる。
- 辺上の一点で分けたとき、その点の一直線の180°を数えたままにする。
- 一頂点の二つの外角を両方数えた和を360°とする。
- 正多角形などの条件なしに、一つの内角を内角の和÷nで決める。
- いくつかの実測値が近いだけで、すべての多角形の性質を説明したことにする。
考え方を説明する
自動採点14問は数値だけを確認する足場です。主課題10題では生徒の分割・角の対応・途中式・根拠を講師が確認します。T1〜T4は生徒の図に分割や点を示すことが必須です。紙の図も認めます。T5以降も生徒の説明が必須で、公式や結果だけの記入では完了にしません。正しい別の図・分割・等しい式も認め、説明の言い回しを見本に限定しません。
自動採点14問だけでは主課題は完了しません。10題の記述を紙や授業用ボードに残し、講師に確認してもらいます。T1〜T4は自分の図も作ってください。
練習する
数値欄は数だけを入力します。主課題は自分の図・途中式・根拠を講師が確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
凸八角形を、一つの頂点から対角線で重なりなく三角形に分けます。三角形は何個ですか。
答えと解説
6
8−2=6個。対角線の本数5本とは区別します。
凸十角形の一つの頂点から、ほかの頂点へ引ける対角線は何本ですか。
答えと解説
7
自分自身と隣の二頂点を除くので10−3=7本です。
凸九角形の内角の和を求めてください（度）。
答えと解説
1260
三角形7個に分かれるので180×(9−2)=1260°です。
凸十三角形の内角の和を求めてください（度）。
答えと解説
1980
三角形11個に分かれるので180×(13−2)=1980°です。
内角の和が1620°の凸多角形は何角形ですか。
答えと解説
11
180(n−2)=1620よりn−2=9、n=11です。
凸多角形の各頂点で、同じ向きに外角を一つずつ選びます。外角の和は何度ですか。
答えと解説
360
180n−180(n−2)=360°で、頂点の数によらず一定です。
凸多角形のある内角が137°です。その内角と一直線上で隣り合う外角は何度ですか。
答えと解説
43
180−137=43°です。
正十八角形の一つの内角は何度ですか。
答えと解説
160
外角は360÷18=20°、内角は180−20=160°です。
正二十四角形の一つの外角は何度ですか。
答えと解説
15
等しい24個の外角の和が360°なので360÷24=15°です。
一つの外角が40°の正多角形は何角形ですか。
答えと解説
9
360÷40=9より正九角形です。
凸十二角形の内側の一点から、全頂点へ線分を引きます。できる三角形は何個ですか。
答えと解説
12
内部の点と各辺で一つずつ三角形ができるので12個です。
凸多角形の内側の一点から全頂点へ分けた三角形の角の和から、中心に集まる何度を引けば内角の和になりますか。
答えと解説
360
内部の一点の周りを一周する360°を引きます。
凸多角形の一つの辺の途中に点Pを取り、Pと全頂点を結んで分割しました。三角形の角の和に余分に含まれるPの角は何度ですか。
答えと解説
180
辺の途中の点Pでは、多角形の内側に集まる角が一直線の180°になるので、それを引きます。
凸十七角形の一つの頂点から重なりなく分割した三角形は何個ですか。
答えと解説
15
17−2=15個です。対角線は17−3=14本です。
考え方を説明する
自分で凸五角形ABCDEを紙や授業用ボードに描き、Aからの対角線で三角形に分けます。対角線の本数と三角形の個数を数え、五角形の内角の和を求める理由を、図と途中式で説明してください。
答えと解説
AからACとADの2本を引き、ABC・ACD・ADEの3個の三角形に分けます。三角形の角が五角形の内角を重なりなく埋めるので、内角の和は180°×3=540°。別の頂点からの同じ分割も認めます。
生徒の凸五角形、重なりや欠けのない分割、2本と3個の区別、内角の対応と180×3の根拠を見ます。
自分で凸七角形を描き、一頂点から三角形に分けて内角の和を説明します。続けて凸n角形について、対角線の本数と三角形の個数をnで表し、内角の和の式が成り立つ理由を述べてください。
答えと解説
七角形では対角線4本、三角形5個で、内角の和180×5=900°。凸n角形では自分自身と隣の二頂点に対角線を引かないのでn−3本、扇状に三角形n−2個に分かれます。それらの角が内角を重なりなく埋めるので180(n−2)°です。
生徒の七角形の分割図、具体的な4本・5個と一般のn−3・n−2、角が重なりなく対応する根拠を見ます。
自分で凸六角形と、その内側の点Oを描き、Oとすべての頂点を結んでください。三角形の個数と余分に加えた角を説明して内角の和を求め、凸n角形でも同じ方法の式を書きます。
答えと解説
六角形はOを頂点とする6個の三角形に分かれます。三角形の角の和1080°にはOの周り360°が入るので、六角形の内角の和は180×6−360=720°。一般に三角形n個から中心360°を引き、180n−360=180(n−2)°です。
生徒の内部の点と分割図、中心の角を引く理由、具体例と一般式が同じ数え方で結ばれることを見ます。
自分で凸六角形ABCDEFを描き、辺ABの途中に点Pを取ります。Pと残りの頂点を結んで三角形に分け、三角形の個数とPで余分に数えた角を説明してください。内角の和を求め、凸n角形の式へ一般化します。
答えと解説
PC・PD・PE・PFで5個の三角形に分かれます。Pには一直線の180°が集まるので、六角形の内角の和は180×5−180=720°。凸n角形では三角形n−1個からPの180°を引き、180(n−1)−180=180(n−2)°です。
生徒がPを頂点でなく辺の途中に置いた図、5個とPの180°、n−1個への一般化を根拠とともに記述することを見ます。
凸n角形の各頂点で、周りを同じ向きに進むときの外角を一つずつ選びます。各内角をa1,…,an、対応する外角をb1,…,bnとし、外角の和が頂点数によらず360°になる理由を、内角の和と一頂点の関係から説明してください。
答えと解説
各頂点でai+bi=180°なので、全頂点では内角の和+外角の和=180n°。内角の和180(n−2)°を引くと、外角の和=180n−180(n−2)=360°。各頂点で一つずつ、合計n個の外角を数えていることが前提です。
生徒が一頂点の関係、全頂点での個数、内角の和の代入と整理を順に説明することを見ます。360°だけの回答では不可。
ある人は、凸五角形の各頂点にある二つの外角を両方とも数え、全頂点の外角の和を720°としました。「外角の和360°」という性質と矛盾するかを、何をいくつ数えたかを明らかにして説明してください。
答えと解説
一頂点の二つの外角は、それぞれ内角の補角で等しいため、両方を数えると、一つずつ選んだ和を二重に数えます。五頂点で10個を数えた和なら2×360=720°となります。性質の360°は同じ向きに一つずつ選んだ5個の和なので、数えた対象が異なり矛盾しません。
生徒が5個と10個を区別し、二重計数と外角の和の前提を説明することを見ます。値の否定だけでは不可。
ある凸六角形の五つの内角は95°、120°、135°、110°、125°です。残りの内角と、それに隣り合う外角を求め、六つの外角を一つずつ書いて和を確認してください。さらに、この一例の確認だけで全凸多角形の外角の和を説明できたと言えるか述べます。
答えと解説
内角の和720°から五つの角の和585°を引き、残り135°。その外角は45°。六つの外角は85°、60°、45°、70°、55°、45°で、和360°です。ただし一例の確認だけではすべてについての根拠にはならず、nを使った内角の和と180nとの差などで一般に説明する必要があります。
生徒の途中式、各内角に対応する外角6個と和、具体的確認と一般的説明の区別を見ます。
内角の和が2340°の凸多角形について、頂点の数を求めてください。単に割り算の答えを書くのでなく、三角形分割に基づく式と、求めた頂点数・三角形数・内角の和の確認まで説明します。
答えと解説
180(n−2)=2340よりn−2=13、n=15。凸十五角形を一頂点から分割すると三角形13個になり、180×13=2340°。13は三角形数であり頂点数ではありません。
生徒がnの意味、方程式、13個と15頂点の区別、分割に基づく再確認を記述することを見ます。
ある凸多角形では、同じ向きに一つずつ選んだ外角がすべて24°です。頂点数と各内角を求めて理由を説明し、この情報だけで辺の長さもすべて等しい正多角形だと断定できるか検討してください。
答えと解説
外角の和360°なので24n=360よりn=15。各内角は180−24=156°。すべての角が等しいことは分かるが、辺の長さがすべて等しいという情報はないため、正多角形とまでは断定できません。
生徒が等しい外角をn個足す式、内角との補角、等角と等辺を区別した説明をすることを見る。特定の反例図や長さの構成は必須にしない。
凸n角形から凸(n+1)角形へ頂点数が一つ増えたとき、内角の和がいくら増え、外角の和がどう変わるかを説明してください。自分でnを一つ選んだ具体例と一般の式の両方を用い、三角形の個数や180°の組の数にも触れます。
答えと解説
例としてn=5では内角の和540°から六角形720°へ180°増え、外角の和はどちらも360°。一般には180((n+1)−2)−180(n−2)=180°で、扇状に分ける三角形も一つ増えます。一頂点ずつの内角+外角の180°も一組増えるため、内角の和を引いた外角の和は変わりません。
生徒の別の有効なnの例、一般の差、三角形一個と一組の180°、外角の和が一定となる理由を見る。単に公式二つを並べるだけでなく変化の対応を説明する。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子109/PDF113の、三角形分割による内角の和の一般化と、一頂点の内角と外角の和180°を基にした外角の和の説明に沿います。公式を代入するだけでなく、何を数え、どの角を加減したかを生徒が説明することを主課題にします。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-polygon-interior-and-exterior-angle-sums/
自動採点14問は数値だけを確認する足場です。主課題10題では生徒の分割・角の対応・途中式・根拠を講師が確認します。T1〜T4は生徒の図に分割や点を示すことが必須です。紙の図も認めます。T5以降も生徒の説明が必須で、公式や結果だけの記入では完了にしません。正しい別の図・分割・等しい式も認め、説明の言い回しを見本に限定しません。
凸八角形を、一つの頂点から対角線で重なりなく三角形に分けます。三角形は何個ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸十角形の一つの頂点から、ほかの頂点へ引ける対角線は何本ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸九角形の内角の和を求めてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸十三角形の内角の和を求めてください（度）。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
内角の和が1620°の凸多角形は何角形ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸多角形の各頂点で、同じ向きに外角を一つずつ選びます。外角の和は何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸多角形のある内角が137°です。その内角と一直線上で隣り合う外角は何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正十八角形の一つの内角は何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正二十四角形の一つの外角は何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一つの外角が40°の正多角形は何角形ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸十二角形の内側の一点から、全頂点へ線分を引きます。できる三角形は何個ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸多角形の内側の一点から全頂点へ分けた三角形の角の和から、中心に集まる何度を引けば内角の和になりますか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸多角形の一つの辺の途中に点Pを取り、Pと全頂点を結んで分割しました。三角形の角の和に余分に含まれるPの角は何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
凸十七角形の一つの頂点から重なりなく分割した三角形は何個ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
自分で凸五角形ABCDEを紙や授業用ボードに描き、Aからの対角線で三角形に分けます。対角線の本数と三角形の個数を数え、五角形の内角の和を求める理由を、図と途中式で説明してください。
自分で凸七角形を描き、一頂点から三角形に分けて内角の和を説明します。続けて凸n角形について、対角線の本数と三角形の個数をnで表し、内角の和の式が成り立つ理由を述べてください。
自分で凸六角形と、その内側の点Oを描き、Oとすべての頂点を結んでください。三角形の個数と余分に加えた角を説明して内角の和を求め、凸n角形でも同じ方法の式を書きます。
自分で凸六角形ABCDEFを描き、辺ABの途中に点Pを取ります。Pと残りの頂点を結んで三角形に分け、三角形の個数とPで余分に数えた角を説明してください。内角の和を求め、凸n角形の式へ一般化します。
凸n角形の各頂点で、周りを同じ向きに進むときの外角を一つずつ選びます。各内角をa1,…,an、対応する外角をb1,…,bnとし、外角の和が頂点数によらず360°になる理由を、内角の和と一頂点の関係から説明してください。
ある人は、凸五角形の各頂点にある二つの外角を両方とも数え、全頂点の外角の和を720°としました。「外角の和360°」という性質と矛盾するかを、何をいくつ数えたかを明らかにして説明してください。
ある凸六角形の五つの内角は95°、120°、135°、110°、125°です。残りの内角と、それに隣り合う外角を求め、六つの外角を一つずつ書いて和を確認してください。さらに、この一例の確認だけで全凸多角形の外角の和を説明できたと言えるか述べます。
内角の和が2340°の凸多角形について、頂点の数を求めてください。単に割り算の答えを書くのでなく、三角形分割に基づく式と、求めた頂点数・三角形数・内角の和の確認まで説明します。
ある凸多角形では、同じ向きに一つずつ選んだ外角がすべて24°です。頂点数と各内角を求めて理由を説明し、この情報だけで辺の長さもすべて等しい正多角形だと断定できるか検討してください。
凸n角形から凸(n+1)角形へ頂点数が一つ増えたとき、内角の和がいくら増え、外角の和がどう変わるかを説明してください。自分でnを一つ選んだ具体例と一般の式の両方を用い、三角形の個数や180°の組の数にも触れます。
解答: 多角形の内角と外角の関係を説明する
6
8−2=6個。対角線の本数5本とは区別します。
7
自分自身と隣の二頂点を除くので10−3=7本です。
1260
三角形7個に分かれるので180×(9−2)=1260°です。
1980
三角形11個に分かれるので180×(13−2)=1980°です。
11
180(n−2)=1620よりn−2=9、n=11です。
360
180n−180(n−2)=360°で、頂点の数によらず一定です。
43
180−137=43°です。
160
外角は360÷18=20°、内角は180−20=160°です。
15
等しい24個の外角の和が360°なので360÷24=15°です。
9
360÷40=9より正九角形です。
12
内部の点と各辺で一つずつ三角形ができるので12個です。
360
内部の一点の周りを一周する360°を引きます。
180
辺の途中の点Pでは、多角形の内側に集まる角が一直線の180°になるので、それを引きます。
15
17−2=15個です。対角線は17−3=14本です。
記述問題の解答・確認の観点
自分で凸五角形ABCDEを紙や授業用ボードに描き、Aからの対角線で三角形に分けます。対角線の本数と三角形の個数を数え、五角形の内角の和を求める理由を、図と途中式で説明してください。
AからACとADの2本を引き、ABC・ACD・ADEの3個の三角形に分けます。三角形の角が五角形の内角を重なりなく埋めるので、内角の和は180°×3=540°。別の頂点からの同じ分割も認めます。
生徒の凸五角形、重なりや欠けのない分割、2本と3個の区別、内角の対応と180×3の根拠を見ます。
自分で凸七角形を描き、一頂点から三角形に分けて内角の和を説明します。続けて凸n角形について、対角線の本数と三角形の個数をnで表し、内角の和の式が成り立つ理由を述べてください。
七角形では対角線4本、三角形5個で、内角の和180×5=900°。凸n角形では自分自身と隣の二頂点に対角線を引かないのでn−3本、扇状に三角形n−2個に分かれます。それらの角が内角を重なりなく埋めるので180(n−2)°です。
生徒の七角形の分割図、具体的な4本・5個と一般のn−3・n−2、角が重なりなく対応する根拠を見ます。
自分で凸六角形と、その内側の点Oを描き、Oとすべての頂点を結んでください。三角形の個数と余分に加えた角を説明して内角の和を求め、凸n角形でも同じ方法の式を書きます。
六角形はOを頂点とする6個の三角形に分かれます。三角形の角の和1080°にはOの周り360°が入るので、六角形の内角の和は180×6−360=720°。一般に三角形n個から中心360°を引き、180n−360=180(n−2)°です。
生徒の内部の点と分割図、中心の角を引く理由、具体例と一般式が同じ数え方で結ばれることを見ます。
自分で凸六角形ABCDEFを描き、辺ABの途中に点Pを取ります。Pと残りの頂点を結んで三角形に分け、三角形の個数とPで余分に数えた角を説明してください。内角の和を求め、凸n角形の式へ一般化します。
PC・PD・PE・PFで5個の三角形に分かれます。Pには一直線の180°が集まるので、六角形の内角の和は180×5−180=720°。凸n角形では三角形n−1個からPの180°を引き、180(n−1)−180=180(n−2)°です。
生徒がPを頂点でなく辺の途中に置いた図、5個とPの180°、n−1個への一般化を根拠とともに記述することを見ます。
凸n角形の各頂点で、周りを同じ向きに進むときの外角を一つずつ選びます。各内角をa1,…,an、対応する外角をb1,…,bnとし、外角の和が頂点数によらず360°になる理由を、内角の和と一頂点の関係から説明してください。
各頂点でai+bi=180°なので、全頂点では内角の和+外角の和=180n°。内角の和180(n−2)°を引くと、外角の和=180n−180(n−2)=360°。各頂点で一つずつ、合計n個の外角を数えていることが前提です。
生徒が一頂点の関係、全頂点での個数、内角の和の代入と整理を順に説明することを見ます。360°だけの回答では不可。
ある人は、凸五角形の各頂点にある二つの外角を両方とも数え、全頂点の外角の和を720°としました。「外角の和360°」という性質と矛盾するかを、何をいくつ数えたかを明らかにして説明してください。
一頂点の二つの外角は、それぞれ内角の補角で等しいため、両方を数えると、一つずつ選んだ和を二重に数えます。五頂点で10個を数えた和なら2×360=720°となります。性質の360°は同じ向きに一つずつ選んだ5個の和なので、数えた対象が異なり矛盾しません。
生徒が5個と10個を区別し、二重計数と外角の和の前提を説明することを見ます。値の否定だけでは不可。
ある凸六角形の五つの内角は95°、120°、135°、110°、125°です。残りの内角と、それに隣り合う外角を求め、六つの外角を一つずつ書いて和を確認してください。さらに、この一例の確認だけで全凸多角形の外角の和を説明できたと言えるか述べます。
内角の和720°から五つの角の和585°を引き、残り135°。その外角は45°。六つの外角は85°、60°、45°、70°、55°、45°で、和360°です。ただし一例の確認だけではすべてについての根拠にはならず、nを使った内角の和と180nとの差などで一般に説明する必要があります。
生徒の途中式、各内角に対応する外角6個と和、具体的確認と一般的説明の区別を見ます。
内角の和が2340°の凸多角形について、頂点の数を求めてください。単に割り算の答えを書くのでなく、三角形分割に基づく式と、求めた頂点数・三角形数・内角の和の確認まで説明します。
180(n−2)=2340よりn−2=13、n=15。凸十五角形を一頂点から分割すると三角形13個になり、180×13=2340°。13は三角形数であり頂点数ではありません。
生徒がnの意味、方程式、13個と15頂点の区別、分割に基づく再確認を記述することを見ます。
ある凸多角形では、同じ向きに一つずつ選んだ外角がすべて24°です。頂点数と各内角を求めて理由を説明し、この情報だけで辺の長さもすべて等しい正多角形だと断定できるか検討してください。
外角の和360°なので24n=360よりn=15。各内角は180−24=156°。すべての角が等しいことは分かるが、辺の長さがすべて等しいという情報はないため、正多角形とまでは断定できません。
生徒が等しい外角をn個足す式、内角との補角、等角と等辺を区別した説明をすることを見る。特定の反例図や長さの構成は必須にしない。
凸n角形から凸(n+1)角形へ頂点数が一つ増えたとき、内角の和がいくら増え、外角の和がどう変わるかを説明してください。自分でnを一つ選んだ具体例と一般の式の両方を用い、三角形の個数や180°の組の数にも触れます。
例としてn=5では内角の和540°から六角形720°へ180°増え、外角の和はどちらも360°。一般には180((n+1)−2)−180(n−2)=180°で、扇状に分ける三角形も一つ増えます。一頂点ずつの内角+外角の180°も一組増えるため、内角の和を引いた外角の和は変わりません。
生徒の別の有効なnの例、一般の差、三角形一個と一組の180°、外角の和が一定となる理由を見る。単に公式二つを並べるだけでなく変化の対応を説明する。