中2 数学：三角形の合同条件の練習問題
三組の情報を数えるだけでなく、対応する辺と角の位置を確かめます。14問の確認と、自分の条件表・反例・理由や追加条件を残す10題です。
中2で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中2B(2)ア(ア)、冊子111〜112/PDF115〜116の三角形の合同条件と対応に沿います。等しさの組数だけではなく二辺の間の角・一辺の両端の角を確かめ、不足する情報や反例を生徒が説明します。長い証明を完成する次のテーマとは分けます。
解説を読む
合同を判断するときは、対応する辺や角が等しい根拠と、その位置を確かめます。△ABC≡△DEFという順ならAとD、BとE、CとFが対応します。別の順序を指定した設問では、その順序を使います。二辺と角が等しくても、その角が二辺の間とは限りません。三組の角が等しいだけでは大きさまで決まらず、同じ条件を満たす合同でない二つの三角形を反例として示せる場合があります。
必要な予備知識
三角形・辺と角の名前、三角形の内角の和180°、合同な図形の対応。T1・T2・T8では自分の二つの図を作ります。紙や授業用ボードに、定規・コンパス・分度器など必要な道具を使い、与えた条件を文字と数値で明示します。
- 三組の辺がそれぞれ等しければ合同です。同じ辺の等しさを逆順や別の行に書いても、新しい一組にはなりません。
- 二組の辺と、その間の角がそれぞれ等しければ合同です。例えばABとACの間は∠BACで、頂点BやCの角ではありません。
- 一組の辺と、その両端の角がそれぞれ等しければ合同です。例えば辺ABの両端はAとBです。
- 三角形の内角の和から、まだ書かれていない対応する角の等しさを導けることがあります。見た目で補うのではなく、式と理由を残します。
- 二辺だけ、角だけなどで不足するときは、同じ条件に合う合同でない例や、必要な追加条件を説明します。「この条件の形だけでは、いつでも合同とは言えない」と「必ず合同でない」を区別します。
- 直角三角形には斜辺などを使う特別な合同条件もあります。一般の三角形の一つの反例から、二辺と間ではない角を含むすべての数値条件を一律に不可とは断定しません。
解き方の例
AB=DE、AC=DFが分かっているとき、二辺とその間の角の条件を使うには∠BAC=∠EDFを確かめます。角はそれぞれ二辺が集まるAとDです。角の名前や図の向きを変えても、間にある位置は変わりません。
△ABCと△DEFで、AB=DE、∠A=∠D=48°、∠C=∠F=62°なら、∠B=∠E=180°−48°−62°=70°。辺ABとDEの両端の角がそろうので合同です。追加の測定でなく、内角の和から導いた等しさを使います。
よくある間違い
- 情報が三行あれば、種類や位置に関係なく合同条件がそろうと思う。
- 二辺の間ではない角を、二辺とその間の角の条件に入れる。
- 対応する頂点の順を変えたのに、辺や角の組をそのままにする。
- 残りの角の等しさを言い直し、辺の不足を埋めたと思う。
- 見た目や測った値を、示されていない仮定として付け足す。
- 条件から断定できないことを、どんな場合にも合同でないことと取り違える。
考え方を説明する
自動採点14問は条件の選択を確かめる足場です。主課題10題では生徒の対応表・等しい根拠・不足の理由・有効な反例や十分な追加条件を講師が確認します。T1・T2・T8は生徒の二つの図が必須で、別の正しい図・数値も設問の条件に沿って認めます。T3は提示図を基に生徒が反例の意味を記述し、根号や三角比で長さを計算する必要はありません。数値や条件名を選ぶだけでは主課題の完了にしません。
14問の自動採点だけでは主課題は完了しません。記述10題は自分の対応表・反例・理由・追加条件を紙や授業用ボードに残し、講師が確認します。T1・T2・T8では自分の二つの図も作ってください。
読む文章・資料
二辺と、その間ではない角の例
AB=10cm、BC1=BC2=6cm、∠BAC1=∠BAC2=30°です。C1とC2はAから同じ半直線上の異なる二点です。破線は中心B・半径6cmの円を表します。
練習する
対応する辺・角の位置を確かめて選びます。主課題は自分の条件表・図・反例・理由を講師が確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
AB=DE、AC=DFが分かっています。この対応で「三組の辺」の合同条件を使うために、さらに必要な一組を選んでください。
- ∠A=∠D
- AB=DF
- BC=EF
- AC=EF
答えと解説
BC=EF
不足する三組目はBCとEFです。
AB=DE、BC=EFが分かっています。「三組の辺」をそろえるための一組を選んでください。
- AC=DF
- ∠B=∠E
- AC=DE
- BC=DF
答えと解説
AC=DF
対応する残りの辺はACとDFです。
BC=EF、CA=FDが分かっています。「三組の辺」をそろえるための一組を選んでください。
- ∠C=∠F
- AB=EF
- CA=DE
- AB=DE
答えと解説
AB=DE
残りの辺はABとDEです。
AB=DE、AC=DFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠ABC=∠DEF
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠BAC=∠DFE
答えと解説
∠BAC=∠EDF
ABとACが集まるA、DEとDFが集まるDの角です。
AB=DE、BC=EFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠ABC=∠DFE
- ∠ABC=∠DEF
答えと解説
∠ABC=∠DEF
ABとBCの間はB、DEとEFの間はEです。
AC=DF、BC=EFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ABC=∠DEF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠ACB=∠DEF
答えと解説
∠ACB=∠DFE
ACとBCの間はC、DFとEFの間はFです。
AB=DE、∠A=∠Dが分かっています。等しいと分かっているAとDとは別の、辺ABとDEの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠B=∠E
- ∠C=∠F
- ∠B=∠F
- ∠C=∠E
答えと解説
∠B=∠E
辺ABの両端はAとB、辺DEの両端はDとEです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
BC=EF、∠B=∠Eが分かっています。等しいと分かっているBとEとは別の、辺BCとEFの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠A=∠D
- ∠C=∠F
- ∠A=∠F
- ∠C=∠D
答えと解説
∠C=∠F
辺BCのもう一方の端はC、辺EFではFです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
CA=FD、∠C=∠Fが分かっています。等しいと分かっているCとFとは別の、辺CAとFDの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠B=∠E
- ∠A=∠E
- ∠A=∠D
- ∠B=∠D
答えと解説
∠A=∠D
辺CAのもう一方の端はA、辺FDではDです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
∠A=∠D、∠C=∠Fが分かっています。三角形の内角の和から必ず新たに言える角の組を選んでください。
- ∠A=∠E
- ∠B=∠F
- ∠C=∠D
- ∠B=∠E
答えと解説
∠B=∠E
B=180°−A−C、E=180°−D−FなのでBとEが等しくなります。
対応する三組の角がそれぞれ等しいことだけが分かっています。一般に必ず言える説明を選んでください。
- 三角形は必ず合同である。
- 角の形はそろうが、辺の長さまで同じとは断定できない。
- 対応する三組の辺は必ずすべて異なる。
- そのような三角形は存在しない。
答えと解説
角の形はそろうが、辺の長さまで同じとは断定できない。
同じ三つの角でも、大きさが違う三角形があり得ます。必ず合同でないとも断定しません。
AB=DE、AC=DFの二辺だけが分かっています。「二辺とその間の角」による判定で確かめるべき位置を選んでください。
- 二辺が集まるAとDの角。
- 辺BCとEFの長さだけ。
- BとFの角だけ。
- 二つの三角形の向きだけ。
答えと解説
二辺が集まるAとDの角。
この合同条件で必要なのは、与えた二辺の間の角AとDです。BC=EFなら別の三辺の条件を使えますが、問われた条件とは異なります。
△ABC≡△FDEという順で対応を表します。辺ACに対応する辺を選んでください。
- FD
- DE
- FE
- AB
答えと解説
FE
A↔F、B↔D、C↔Eなので、AC↔FEです。
△PQRと△PSRで共通な辺についてPR=PRを三行書きました。この三行だけを「三組の辺」としてよいですか。
- 三行あるので三組の辺となる。
- 同じ一組の繰り返しなので三組にはならない。
- 辺を共有する三角形は合同を考えられない。
- 面積が等しいことが決まるのでよい。
答えと解説
同じ一組の繰り返しなので三組にはならない。
同じ辺の等しさを書き直しても、新しい辺の組は増えません。
考え方を説明する
∠A=∠D=60°、∠B=∠E=60°だけでは△ABCと△DEFが合同と決まらないことを、自分の二つの三角形の図で説明してください。同じ角の条件を満たしながら対応する辺が異なる具体例と、なぜ合同でないかを残します。
答えと解説
例えば一辺4cmの正三角形ABCと一辺7cmの正三角形DEFを描く。どちらも三つの内角が60°で条件に合うが、AB=4cmとDE=7cmが異なるため合同でない。生徒の別の有効な大きさの二例も認めます。
生徒の二つの図、同じ二角の条件、対応する辺の違いと合同でない理由を見る。相似の定理の使用は要求しない。
AB=5cm、AC=7cmだけが同じ条件の二つの三角形を、自分で図にします。一方の∠BACを40°、他方を85°として、二辺が同じでも合同と決まらない理由と、二辺とその間の角によって合同を決めるための情報を説明します。
答えと解説
辺ABとACは同じでも、その間の角Aを40°と85°にした三角形を作れる。対応する角Aが異なるので合同でない。二辺とその間の角の条件を使うには、角Aも対応して等しいことが必要。第三辺の正確な長さを計算する必要はない。
生徒の二つの図で与えた二辺と異なる角の位置を保ち、合同な図形の対応する角が等しい性質と不足する条件を述べることを見ます。
資料：二辺と、その間ではない角の例
提示図の△ABC1と△ABC2について、等しい二辺と等しい角を対応表に書いてください。その角が二辺の「間の角」か確かめ、AC1とAC2の違いから、この条件の形だけではいつでも合同とは言えない理由を説明します。根号や三角比で長さを求める必要はありません。
答えと解説
共通なAB=AB=10cm、BC1=BC2=6cm、∠BAC1=∠BAC2=30°。二辺ABとBCの間はBの角であり、与えたAの角ではない。C1,C2は同じ半直線の異なる点でAC1≠AC2なので二つは合同でない。同じ条件を満たす二例があり、この条件の形だけでは合同を常には保証しない。
生徒の対応表、間の角Bと与えた角Aの区別、異なる対応辺ACと反例の意味を見る。図の長さを測った数値や根号計算を要求しない。
△ABCと△DEFでAB=DE、BC=EF、∠A=∠Dが分かっています。「二辺と角が一つずつ等しいから、二辺とその間の角で合同だ」という説明を検討してください。二辺の間の角を正しく示し、その合同条件を使うために何をさらに確かめるか述べます。
答えと解説
与えた二辺ABとBCが集まるのはB、DEとEFではEなので、間の角は∠ABCと∠DEF。AとDの等しさはこの二辺の間の角ではない。この形の情報だけからいつでも合同とは断定せず、二辺とその間の角を使うなら∠B=∠Eを確かめる。
生徒が角の位置と不足の理由を示し、指定した合同条件を満たす十分な追加の等しさを述べることを見る。必ず合同でないとはしない。
AB=4cm、BC=5cm、CA=6cm、DE=4cm、EF=5cm、FD=6cmです。対応する三組の辺の表と使える合同条件を述べ、△ABCと△DEFの合同を判断するために、角を別に測って加える必要があるか理由を説明してください。
答えと解説
AB=DE、BC=EF、CA=FDがそろい、三組の辺がそれぞれ等しい条件を満たす。△ABC≡△DEFと判断でき、角の測定を新しい仮定として加える必要はない。三辺4,5,6は三角形を作れる長さです。
生徒の三組の対応と条件名、情報は不足していないという理由を見る。合同条件を演繹的に証明することまでは要求しない。
AB=DE、∠A=∠D=44°、∠C=∠F=71°が分かっています。「辺ABの両端の角が書かれていないから、追加で測定しないと合同とは言えない」という判断を検討してください。残りの角を式で求め、どの条件がそろうか説明します。
答えと解説
∠B=∠E=180°−44°−71°=65°と内角の和から導ける。辺ABとDEと、その両端A,BおよびD,Eの角がそろうので合同。BとEの等しさは別の測定で加えるのでなく、すでにある条件から分かる。
生徒の65°の計算、辺の両端の角の対応、導いた等しさと新たな仮定の区別を見ます。
対応する三つの角は∠A=∠D=40°、∠B=∠E=55°、∠C=∠F=85°です。「角の等しさをもう一行書けば、大きさの不足も埋まる」という判断を検討してください。十分な追加条件を一組の対応する辺で自分で選び、なぜその一辺で足りるか説明します。
答えと解説
同じ角の等しさを書き直しても辺の長さの情報は増えない。例えばAC=DFを追加すると、その両端A,CとD,Fの角が40°、85°と等しいため、一辺とその両端の角で合同。AB=DEやBC=EFなど別の対応辺でも、両端の角を正しく結べばよい。
生徒の不足の理由、一つの対応辺の追加、両端の二角との組合せを見る。三辺全部を新たに与えることは必須にしない。
二辺だけ、または角だけでは合同と決まらない自分の別の例を作ります。同じ条件を満たす合同でない二つの三角形を自分で図にし、対応と等しさの表、異なる辺または角、反例を除くために元の条件へ何を加えると合同が保証されるか、十分な追加条件を説明してください。反例の二図が、その追加条件まで満たす必要はありません。
答えと解説
例：対応する二辺を3cmと8cmとし、その間の角を一方は45°、他方は90°にする二図。同じ二辺でも対応する角が違い合同でない。二辺とその間の角を使うなら、その間の角も等しいという条件が必要。角だけの別の有効な反例、別の辺・角・追加条件も認める。
生徒の別の二図、同じ条件を満たす確認、非合同を示す違い、追加すると十分になる条件とその理由を見る。見本の数値や作り方に限定しない。
証明の途中で「二つの辺は図を見ると同じ長さなので、AB=DEと付け足してよい」とした人の判断を検討してください。仮定・すでに分かる性質から導けること・見た目の推測を分け、どのような情報なら等しさの根拠として使えるか述べます。
答えと解説
図が同じ長さに見えるだけではAB=DEを仮定に追加できない。問題で与えられた等しさや、共通な辺、すでに認めた性質から導いた等しさなど、根拠を明らかにする必要がある。図を定規で測った一例だけも、示された条件で常に等しいことの説明にはならない。
生徒が見た目を仮定にしない理由と、使える根拠の具体例を述べることを見る。実際に他人の図を測ったことは前提にしない。
△PQRと△PSRでPQ=PSが分かり、PRは共通です。ある人は「PQ=PS、PR=PR、RP=RPの三行で三辺の条件がそろった」としました。異なる辺の組がいくつあるかを表で整理し、三辺の合同条件を使うために不足する一組を説明してください。
答えと解説
PRとRPは同じ線分なので、PR=PRとRP=RPは同じ一組の言い直し。異なる組はPQ=PSとPR=PRの二組で、三辺の条件にはQR=SRが不足する。対応P↔P、Q↔S、R↔Rを保って表にする。
生徒が辺の向きの書き換えと新しい組を区別し、二組であることと不足する対応辺QR,SRを理由とともに述べることを見ます。
ワークシート
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中2B(2)ア(ア)、冊子111〜112/PDF115〜116の三角形の合同条件と対応に沿います。等しさの組数だけではなく二辺の間の角・一辺の両端の角を確かめ、不足する情報や反例を生徒が説明します。長い証明を完成する次のテーマとは分けます。 · 2026-11-02
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自動採点14問は条件の選択を確かめる足場です。主課題10題では生徒の対応表・等しい根拠・不足の理由・有効な反例や十分な追加条件を講師が確認します。T1・T2・T8は生徒の二つの図が必須で、別の正しい図・数値も設問の条件に沿って認めます。T3は提示図を基に生徒が反例の意味を記述し、根号や三角比で長さを計算する必要はありません。数値や条件名を選ぶだけでは主課題の完了にしません。
読む文章・資料
二辺と、その間ではない角の例
AB=10cm、BC1=BC2=6cm、∠BAC1=∠BAC2=30°です。C1とC2はAから同じ半直線上の異なる二点です。破線は中心B・半径6cmの円を表します。
AB=DE、AC=DFが分かっています。この対応で「三組の辺」の合同条件を使うために、さらに必要な一組を選んでください。
- ∠A=∠D
- AB=DF
- BC=EF
- AC=EF
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=DE、BC=EFが分かっています。「三組の辺」をそろえるための一組を選んでください。
- AC=DF
- ∠B=∠E
- AC=DE
- BC=DF
途中の計算・単位・理由・確認答え:
BC=EF、CA=FDが分かっています。「三組の辺」をそろえるための一組を選んでください。
- ∠C=∠F
- AB=EF
- CA=DE
- AB=DE
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=DE、AC=DFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠ABC=∠DEF
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠BAC=∠DFE
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=DE、BC=EFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠ABC=∠DFE
- ∠ABC=∠DEF
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AC=DF、BC=EFが分かっています。「二辺とその間の角」をそろえる角の組を選んでください。
- ∠BAC=∠EDF
- ∠ABC=∠DEF
- ∠ACB=∠DFE
- ∠ACB=∠DEF
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=DE、∠A=∠Dが分かっています。等しいと分かっているAとDとは別の、辺ABとDEの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠B=∠E
- ∠C=∠F
- ∠B=∠F
- ∠C=∠E
途中の計算・単位・理由・確認答え:
BC=EF、∠B=∠Eが分かっています。等しいと分かっているBとEとは別の、辺BCとEFの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠A=∠D
- ∠C=∠F
- ∠A=∠F
- ∠C=∠D
途中の計算・単位・理由・確認答え:
CA=FD、∠C=∠Fが分かっています。等しいと分かっているCとFとは別の、辺CAとFDの「もう一方の端の角」そのものを直接表す組を選んでください。
- ∠B=∠E
- ∠A=∠E
- ∠A=∠D
- ∠B=∠D
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠A=∠D、∠C=∠Fが分かっています。三角形の内角の和から必ず新たに言える角の組を選んでください。
- ∠A=∠E
- ∠B=∠F
- ∠C=∠D
- ∠B=∠E
途中の計算・単位・理由・確認答え:
対応する三組の角がそれぞれ等しいことだけが分かっています。一般に必ず言える説明を選んでください。
- 三角形は必ず合同である。
- 角の形はそろうが、辺の長さまで同じとは断定できない。
- 対応する三組の辺は必ずすべて異なる。
- そのような三角形は存在しない。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
AB=DE、AC=DFの二辺だけが分かっています。「二辺とその間の角」による判定で確かめるべき位置を選んでください。
- 二辺が集まるAとDの角。
- 辺BCとEFの長さだけ。
- BとFの角だけ。
- 二つの三角形の向きだけ。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABC≡△FDEという順で対応を表します。辺ACに対応する辺を選んでください。
- FD
- DE
- FE
- AB
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△PQRと△PSRで共通な辺についてPR=PRを三行書きました。この三行だけを「三組の辺」としてよいですか。
- 三行あるので三組の辺となる。
- 同じ一組の繰り返しなので三組にはならない。
- 辺を共有する三角形は合同を考えられない。
- 面積が等しいことが決まるのでよい。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
∠A=∠D=60°、∠B=∠E=60°だけでは△ABCと△DEFが合同と決まらないことを、自分の二つの三角形の図で説明してください。同じ角の条件を満たしながら対応する辺が異なる具体例と、なぜ合同でないかを残します。
AB=5cm、AC=7cmだけが同じ条件の二つの三角形を、自分で図にします。一方の∠BACを40°、他方を85°として、二辺が同じでも合同と決まらない理由と、二辺とその間の角によって合同を決めるための情報を説明します。
資料：二辺と、その間ではない角の例
提示図の△ABC1と△ABC2について、等しい二辺と等しい角を対応表に書いてください。その角が二辺の「間の角」か確かめ、AC1とAC2の違いから、この条件の形だけではいつでも合同とは言えない理由を説明します。根号や三角比で長さを求める必要はありません。
△ABCと△DEFでAB=DE、BC=EF、∠A=∠Dが分かっています。「二辺と角が一つずつ等しいから、二辺とその間の角で合同だ」という説明を検討してください。二辺の間の角を正しく示し、その合同条件を使うために何をさらに確かめるか述べます。
AB=4cm、BC=5cm、CA=6cm、DE=4cm、EF=5cm、FD=6cmです。対応する三組の辺の表と使える合同条件を述べ、△ABCと△DEFの合同を判断するために、角を別に測って加える必要があるか理由を説明してください。
AB=DE、∠A=∠D=44°、∠C=∠F=71°が分かっています。「辺ABの両端の角が書かれていないから、追加で測定しないと合同とは言えない」という判断を検討してください。残りの角を式で求め、どの条件がそろうか説明します。
対応する三つの角は∠A=∠D=40°、∠B=∠E=55°、∠C=∠F=85°です。「角の等しさをもう一行書けば、大きさの不足も埋まる」という判断を検討してください。十分な追加条件を一組の対応する辺で自分で選び、なぜその一辺で足りるか説明します。
二辺だけ、または角だけでは合同と決まらない自分の別の例を作ります。同じ条件を満たす合同でない二つの三角形を自分で図にし、対応と等しさの表、異なる辺または角、反例を除くために元の条件へ何を加えると合同が保証されるか、十分な追加条件を説明してください。反例の二図が、その追加条件まで満たす必要はありません。
証明の途中で「二つの辺は図を見ると同じ長さなので、AB=DEと付け足してよい」とした人の判断を検討してください。仮定・すでに分かる性質から導けること・見た目の推測を分け、どのような情報なら等しさの根拠として使えるか述べます。
△PQRと△PSRでPQ=PSが分かり、PRは共通です。ある人は「PQ=PS、PR=PR、RP=RPの三行で三辺の条件がそろった」としました。異なる辺の組がいくつあるかを表で整理し、三辺の合同条件を使うために不足する一組を説明してください。
解答: 三角形の合同条件と不足する情報を説明する
BC=EF
不足する三組目はBCとEFです。
AC=DF
対応する残りの辺はACとDFです。
AB=DE
残りの辺はABとDEです。
∠BAC=∠EDF
ABとACが集まるA、DEとDFが集まるDの角です。
∠ABC=∠DEF
ABとBCの間はB、DEとEFの間はEです。
∠ACB=∠DFE
ACとBCの間はC、DFとEFの間はFです。
∠B=∠E
辺ABの両端はAとB、辺DEの両端はDとEです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
∠C=∠F
辺BCのもう一方の端はC、辺EFではFです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
∠A=∠D
辺CAのもう一方の端はA、辺FDではDです。ここでは端の角そのものを選びます。残りの頂点の角から内角の和で導く別の手順とは分けます。
∠B=∠E
B=180°−A−C、E=180°−D−FなのでBとEが等しくなります。
角の形はそろうが、辺の長さまで同じとは断定できない。
同じ三つの角でも、大きさが違う三角形があり得ます。必ず合同でないとも断定しません。
二辺が集まるAとDの角。
この合同条件で必要なのは、与えた二辺の間の角AとDです。BC=EFなら別の三辺の条件を使えますが、問われた条件とは異なります。
FE
A↔F、B↔D、C↔Eなので、AC↔FEです。
同じ一組の繰り返しなので三組にはならない。
同じ辺の等しさを書き直しても、新しい辺の組は増えません。
記述問題の解答・確認の観点
∠A=∠D=60°、∠B=∠E=60°だけでは△ABCと△DEFが合同と決まらないことを、自分の二つの三角形の図で説明してください。同じ角の条件を満たしながら対応する辺が異なる具体例と、なぜ合同でないかを残します。
例えば一辺4cmの正三角形ABCと一辺7cmの正三角形DEFを描く。どちらも三つの内角が60°で条件に合うが、AB=4cmとDE=7cmが異なるため合同でない。生徒の別の有効な大きさの二例も認めます。
生徒の二つの図、同じ二角の条件、対応する辺の違いと合同でない理由を見る。相似の定理の使用は要求しない。
AB=5cm、AC=7cmだけが同じ条件の二つの三角形を、自分で図にします。一方の∠BACを40°、他方を85°として、二辺が同じでも合同と決まらない理由と、二辺とその間の角によって合同を決めるための情報を説明します。
辺ABとACは同じでも、その間の角Aを40°と85°にした三角形を作れる。対応する角Aが異なるので合同でない。二辺とその間の角の条件を使うには、角Aも対応して等しいことが必要。第三辺の正確な長さを計算する必要はない。
生徒の二つの図で与えた二辺と異なる角の位置を保ち、合同な図形の対応する角が等しい性質と不足する条件を述べることを見ます。
資料：二辺と、その間ではない角の例
提示図の△ABC1と△ABC2について、等しい二辺と等しい角を対応表に書いてください。その角が二辺の「間の角」か確かめ、AC1とAC2の違いから、この条件の形だけではいつでも合同とは言えない理由を説明します。根号や三角比で長さを求める必要はありません。
共通なAB=AB=10cm、BC1=BC2=6cm、∠BAC1=∠BAC2=30°。二辺ABとBCの間はBの角であり、与えたAの角ではない。C1,C2は同じ半直線の異なる点でAC1≠AC2なので二つは合同でない。同じ条件を満たす二例があり、この条件の形だけでは合同を常には保証しない。
生徒の対応表、間の角Bと与えた角Aの区別、異なる対応辺ACと反例の意味を見る。図の長さを測った数値や根号計算を要求しない。
△ABCと△DEFでAB=DE、BC=EF、∠A=∠Dが分かっています。「二辺と角が一つずつ等しいから、二辺とその間の角で合同だ」という説明を検討してください。二辺の間の角を正しく示し、その合同条件を使うために何をさらに確かめるか述べます。
与えた二辺ABとBCが集まるのはB、DEとEFではEなので、間の角は∠ABCと∠DEF。AとDの等しさはこの二辺の間の角ではない。この形の情報だけからいつでも合同とは断定せず、二辺とその間の角を使うなら∠B=∠Eを確かめる。
生徒が角の位置と不足の理由を示し、指定した合同条件を満たす十分な追加の等しさを述べることを見る。必ず合同でないとはしない。
AB=4cm、BC=5cm、CA=6cm、DE=4cm、EF=5cm、FD=6cmです。対応する三組の辺の表と使える合同条件を述べ、△ABCと△DEFの合同を判断するために、角を別に測って加える必要があるか理由を説明してください。
AB=DE、BC=EF、CA=FDがそろい、三組の辺がそれぞれ等しい条件を満たす。△ABC≡△DEFと判断でき、角の測定を新しい仮定として加える必要はない。三辺4,5,6は三角形を作れる長さです。
生徒の三組の対応と条件名、情報は不足していないという理由を見る。合同条件を演繹的に証明することまでは要求しない。
AB=DE、∠A=∠D=44°、∠C=∠F=71°が分かっています。「辺ABの両端の角が書かれていないから、追加で測定しないと合同とは言えない」という判断を検討してください。残りの角を式で求め、どの条件がそろうか説明します。
∠B=∠E=180°−44°−71°=65°と内角の和から導ける。辺ABとDEと、その両端A,BおよびD,Eの角がそろうので合同。BとEの等しさは別の測定で加えるのでなく、すでにある条件から分かる。
生徒の65°の計算、辺の両端の角の対応、導いた等しさと新たな仮定の区別を見ます。
対応する三つの角は∠A=∠D=40°、∠B=∠E=55°、∠C=∠F=85°です。「角の等しさをもう一行書けば、大きさの不足も埋まる」という判断を検討してください。十分な追加条件を一組の対応する辺で自分で選び、なぜその一辺で足りるか説明します。
同じ角の等しさを書き直しても辺の長さの情報は増えない。例えばAC=DFを追加すると、その両端A,CとD,Fの角が40°、85°と等しいため、一辺とその両端の角で合同。AB=DEやBC=EFなど別の対応辺でも、両端の角を正しく結べばよい。
生徒の不足の理由、一つの対応辺の追加、両端の二角との組合せを見る。三辺全部を新たに与えることは必須にしない。
二辺だけ、または角だけでは合同と決まらない自分の別の例を作ります。同じ条件を満たす合同でない二つの三角形を自分で図にし、対応と等しさの表、異なる辺または角、反例を除くために元の条件へ何を加えると合同が保証されるか、十分な追加条件を説明してください。反例の二図が、その追加条件まで満たす必要はありません。
例：対応する二辺を3cmと8cmとし、その間の角を一方は45°、他方は90°にする二図。同じ二辺でも対応する角が違い合同でない。二辺とその間の角を使うなら、その間の角も等しいという条件が必要。角だけの別の有効な反例、別の辺・角・追加条件も認める。
生徒の別の二図、同じ条件を満たす確認、非合同を示す違い、追加すると十分になる条件とその理由を見る。見本の数値や作り方に限定しない。
証明の途中で「二つの辺は図を見ると同じ長さなので、AB=DEと付け足してよい」とした人の判断を検討してください。仮定・すでに分かる性質から導けること・見た目の推測を分け、どのような情報なら等しさの根拠として使えるか述べます。
図が同じ長さに見えるだけではAB=DEを仮定に追加できない。問題で与えられた等しさや、共通な辺、すでに認めた性質から導いた等しさなど、根拠を明らかにする必要がある。図を定規で測った一例だけも、示された条件で常に等しいことの説明にはならない。
生徒が見た目を仮定にしない理由と、使える根拠の具体例を述べることを見る。実際に他人の図を測ったことは前提にしない。
△PQRと△PSRでPQ=PSが分かり、PRは共通です。ある人は「PQ=PS、PR=PR、RP=RPの三行で三辺の条件がそろった」としました。異なる辺の組がいくつあるかを表で整理し、三辺の合同条件を使うために不足する一組を説明してください。
PRとRPは同じ線分なので、PR=PRとRP=RPは同じ一組の言い直し。異なる組はPQ=PSとPR=PRの二組で、三辺の条件にはQR=SRが不足する。対応P↔P、Q↔S、R↔Rを保って表にする。
生徒が辺の向きの書き換えと新しい組を区別し、二組であることと不足する対応辺QR,SRを理由とともに述べることを見ます。