多項式の商と余りを、恒等式と代入で確かめる
多項式の除法を、商・余りの次数と元へ戻す恒等式で確かめます。準備14問と、生徒が筆算・全ての係数・剰余の根拠を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)ア(イ)とア(オ)の因数定理につながる部分、イ(ア)、冊子54〜56/PDF66〜68を踏まえた独自課題です。P=BQ+Rと余りの次数から剰余の定理へ進む範囲で、高次方程式の解法全体・数学Ⅱの全範囲・固定学年の履修を主張しません。元の問題・図版を写していません。
解説を読む
一つの値で式が合うことと、どのxでも元へ戻ることを分けます。商と余りの組を求め、割る式より低い次数という条件、剰余の定理と因数の関係を、実際の式へ戻して説明します。
必要な予備知識
数学Ⅰまでの多項式の乗法・因数分解、符号と分数、式への代入、恒等式と方程式の区別、簡単な連立一次方程式。係数は実数とし、数値の課題は整数・有理数を使います。自分の筆算・式全体と根拠は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- 多項式P(x)を、次数が1以上の0でない多項式B(x)で割ると、P(x)=B(x)Q(x)+R(x)となる商Q(x)と余りR(x)を考えます。余りは0であるか、0でなければその次数がB(x)の次数より低いことが必要です。
- 筆算では次数の高い項からそろえます。抜けた次数には係数0の項を置いて計算し、引く多項式の全ての項の符号を変えます。
- 最後はB(x)Q(x)+R(x)を全項へ展開し、P(x)の各次数の係数へ戻って確かめます。恒等式は全てのxで成り立つ等式で、一つの値で一致しただけでは一般の証明にしません。
- x−aで割る余りは定数rです。P(x)=(x−a)Q(x)+rへx=aを代入すると、(a−a)Q(a)=0なのでr=P(a)です。これがこの場合の剰余の定理です。
- x+aで割るときは、割る式を0にするx=−aを使います。文字の見た目の符号だけでx=aを代入せず、割る式そのものを確かめます。
- ax−bでa≠0なら、割る式を0にする値はb/aで、定数の余りはP(b/a)です。ax−bとx−b/aで割る余りは同じですが、商は一般に同じではありません。
- 異なるa,bについて(x−a)(x−b)で割ると、余りはux+vと表せます。P(a)=ua+v、P(b)=ub+vの二式からu,vを決めます。求めた余りの次数と恒等式も確認します。
- x²で割る余りもux+vです。P(0)から分かるのはvだけで、uまで決まりません。実際の除法や各次数の係数から、一次の項も調べます。微分は前提にしません。
- x−aで割った余りが0であることと、P(a)=0であること、P(x)が(x−a)Q(x)と書けることは結び付きます。これを使うときも、因数を掛けて元の式に戻す確認を残します。
- P=BQ+Rという等式が合っても、0でないRの次数がB以上なら、まだ除法の余りとしては完了していません。そのRをさらにBで割り、商へ加える分と最後の余りを分けます。
解き方の例
P(x)=2x³−x²+3x+5をx−2で割ると、商2x²+3x+9、余り23です。(x−2)(2x²+3x+9)+23=2x³−x²+3x+5へ全ての係数が戻ります。P(2)=16−4+6+5=23でも余りを確かめられます。
P(x)=x³−2x+1をx²−1で割ると、P(x)=(x²−1)x+(−x+1)。余りは一次で、割る式の二次より低い次数です。x=1,−1で余りの値もPの値と合いますが、恒等式の確認は全項の展開から行います。
よくある間違い
- 抜けた次数を詰め、筆算で別の次数の係数を引く。
- 引く多項式の一部の項だけ符号を変える。
- x+aで割るのにP(a)を余りとする。
- ax−bとx−b/aで割る商まで同じとする。
- 一つの値の一致だけで、恒等式や一次の余り全体を確定する。
- 元へ戻る等式だけを見て、余りの次数の条件を落とす。
考え方を説明する
準備14問は短い余りの値・係数と条件の確認です。主課題では生徒の筆算、抜けた次数と全ての符号、商・余り、余り0または低い次数、全係数を戻す恒等式と代入の根拠を手動確認します。T1は欠けた項を含む除法、T2は全係数の再構成、T3は剰余の定理の導出、T4は非単位の一次係数と商の倍率、T5は未知係数、T6は異なる二根からの一次の余り、T7は重なる因数x²と不足する情報、T8は余り0と因数の関係、T9は等式の正しさと除法の完了を分ける二つの修正、T10は生徒の具体的な多項式を見ます。正しい別解・項や因数の順序を認め、準備の点数や最後の数だけで達成を判定しません。
数値と選択だけを自動採点します。生徒が書く商・余りの式全体、筆算・係数比較・証明は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい数式自動採点器・自動証明・微分や複素数の解法・高次方程式全体を扱う教材とはしません。生徒の達成や学習効果を主張しません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の商・余りの式全体と根拠は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
P(x)=x³+2x²−5x+1をx−2で割った余りを求めてください。
答えと解説
7
割る式を0にするx=2を使い、P(2)=8+8−10+1=7です。
P(x)=2x³−3x²+4x−5をx+1で割った余りを求めてください。
答えと解説
−14
x=−1を代入し、−2−3−4−5=−14です。
P(x)=3x³−2x²+x+4を2x−1で割った余りを求めてください。
答えと解説
2x−1=0よりx=1/2。P(1/2)=3/8−1/2+1/2+4=35/8です。
P(x)=x³+kx+3をx−2で割った余りは5です。係数kを求めてください。
答えと解説
−3
P(2)=8+2k+3=5より2k=−6、k=−3です。
P(x)をx²−1で割った余りをux+vとします。P(1)=8、P(−1)=2のとき、係数uを求めてください。
答えと解説
3
u+v=8、−u+v=2を引くと2u=6、u=3です。v=5も確かめられます。
P(x)=x³−2x²+5x+7をx²で割った余りの、xの係数を求めてください。
答えと解説
5
P(x)=x²(x−2)+(5x+7)なので余りは5x+7、指定した係数は5です。
P(x)=x³−4x²−x+4をx−4で割った商について、定数項を求めてください。
答えと解説
−1
P(x)=(x−4)(x²−1)なので商はx²−1、定数項は−1です。
次数1以上の多項式BでPを割り、商Q、余りRとする条件として適切なのはどれですか。
- P=BQ+Rで、RはBと同じ次数とする
- P=BQ+Rで、Rは0かBより低次とする
- P=BQ+Rで、Rは必ずBより高次とする
- P=BQ+Rを一つのxだけで確かめればよい
答えと解説
P=BQ+Rで、Rは0かBより低次とする
元へ戻る恒等式と、余り0または割る式より低い次数の両方が必要です。
P(x)をx+3で割る余りを、剰余の定理から求めるときに使う代入はどれですか。
- x=3
- x=0
- x=−1/3
- x=−3
答えと解説
x=−3
x+3を0にするx=−3でPを計算します。
同じ多項式を、先に2x−6、別にx−3で割ります。商と余りの関係として正しいのはどれですか。
- 前者の商は後者の1/2、余りは同じ
- 前者の商は後者の2倍、余りは同じ
- 商は同じ、前者の余りは2倍
- 商も余りも必ず同じ
答えと解説
前者の商は後者の1/2、余りは同じ
2x−6=2(x−3)なので、割る式へ掛ける商は1/2になります。両方とも余りはP(3)です。
二次の多項式で割ったとき、次数の条件から余りとして許されるものはどれですか。
- 3x²+1
- x³
- 5x−2
- x⁴−3
答えと解説
5x−2
0でない余りの次数は2より低くなければならないので、ここでは一次の5x−2です。
実数aと多項式Pについて、P(a)=0から一般に言えることはどれですか。
- aがP(x)=0の唯一の解になる
- x−aがP(x)の因数になる
- Pは必ず0という定数多項式になる
- x+aが必ずP(x)の因数になる
答えと解説
x−aがP(x)の因数になる
x−aで割る余りがP(a)=0なので、P(x)=(x−a)Q(x)と表せます。
P=BQ+Rが恒等式であることを確認する方法として、この教材で必要なものはどれですか。
- 全項を展開して係数を照合する
- 一つのxでの一致だけを確かめる
- 最高次の項だけの係数を比べる
- 定数項だけの一致で確認を終える
答えと解説
全項を展開して係数を照合する
全てのxで元へ戻る等式を、各次数の係数まで確かめます。一つの代入は追加の確認と分けます。
P(x)をx²で割った余りをux+vとします。P(0)の値だけから、何が決まりますか。
- uだけが決まる
- uもvも決まる
- uもvも決まらない
- vだけが決まる
答えと解説
vだけが決まる
x=0ではP(0)=vです。一次の係数uを決める情報は、この一つの値だけにはありません。
考え方を説明する
P(x)=2x³−7x+5をx−2で割ってください。欠けた二次の項を係数0でそろえた筆算を実際に書き、商と余りを示します。割る式×商+余りを全項へ展開し、全ての係数と余りの次数を元へ戻して確かめてください。
答えと解説
筆算は2x³+0x²−7x+5から始める。最初に2x²、次に4x、最後に1を商へ置き、残りは順に4x²−7x+5、x+5、7。商2x²+4x+1、余り7。(x−2)(2x²+4x+1)+7=2x³+0x²−7x+5。余りは定数で一次の割る式より低い。
生徒の各段の積と全項を引く筆算、0の列、商と余りの式と全係数の確認を見ます。
割る式B(x)=x²−2x+2、商Q(x)=3x−1、余りR(x)=−x+4が与えられました。P=BQ+RとなるP(x)を求め、全項の積と各次数の係数を実際に書いて恒等式を示してください。余りの次数も確認し、x=1の代入は追加の確認として別に行います。
答えと解説
BQ=3x³−7x²+8x−2なのでP=3x³−7x²+7x+2。Rは一次でBの二次より低い。全項を展開して各係数が一致するため恒等式であり、x=1ではP=5、B=1,Q=2,R=3からBQ+R=5とも合う。代入一例だけを一般の証明にしない。
生徒の六つの積とRを加える全計算、次数、全係数と数値の追加確認を分ける理由を見ます。
P(x)=(x−a)Q(x)+rという一次の式で割る恒等式から、余りr=P(a)を導いてください。なぜ商の項が消えるかも式に書きます。続いてP(x)=3x³+2x−4をx+2で割る余りを、この根拠と符号の確認から求めてください。
答えと解説
x=aを代入するとP(a)=(a−a)Q(a)+r=r。x+2を0にするのはx=−2で、P(−2)=−24−4−4=−32。したがって余り−32。商を求めて確認するなら3x²−6x+14で、(x+2)(3x²−6x+14)−32=3x³+2x−4。
生徒の一般の代入と0になる因数、具体例の割る式を0にする値・全項の符号を見る。追加の商の計算自体を必須にしない。
P(x)=2x³−5x²+7x−7/2を、2x−3とx−3/2でそれぞれ割ってください。二つの商・余りと二つの恒等式を示し、割る式を0にする値で余りを確かめます。なぜ余りが同じでも商まで同じとは言えないか、割る式の倍率へ戻して説明してください。
答えと解説
2x−3では商x²−x+2、余り5/2。(2x−3)(x²−x+2)+5/2=P。x−3/2では商2x²−2x+4、余り5/2。後者の割る式は前者の1/2なので商は2倍、積は同じ。両方ともx=3/2で割る式が0となりP(3/2)=5/2。
生徒の二つの式と積・余り、正確な分数の計算、割る式と商の逆の倍率を見ます。
P(x)=x³+kx²−2x+6をx−2で割った余りが22になるように、実数の係数kを求めてください。剰余の定理から方程式を作り、得たkを使ったPについて商と余りの恒等式も実際に書き、係数と代入で確かめます。
答えと解説
P(2)=8+4k−4+6=10+4k=22よりk=3。P=x³+3x²−2x+6=(x−2)(x²+5x+8)+22。全項の展開で戻り、P(2)=22、余り22は定数。
生徒のkを含む代入の式・解、求めたPの式全体と恒等式、余りの条件を見ます。
P(x)=2x³+x²−4x+6を(x−1)(x+2)で割る余りを求めてください。余りをux+vと置く理由、異なる二つの値を代入した連立方程式と解を示します。最後に商も求め、恒等式の全係数と余りの次数から確かめてください。
答えと解説
割る式は二次なので余りはux+v。P(1)=5よりu+v=5、P(−2)=2より−2u+v=2。u=1,v=4で余りx+4、商2x−1。P=(x²+x−2)(2x−1)+(x+4)へ展開して戻る。余りは一次。
生徒の次数の根拠、異なる二代入と二式、全解・商と余りを戻す全係数を見ます。
P(x)=x⁴−3x³+5x+2をx²で割ります。友達はP(0)=2だけを使い、余りは2だと言いました。実際の除法と恒等式から直してください。さらにPの5xを7xに変えたP′でも、0での値と余りを比べ、一つの代入だけで一次の余り全体が決まらない理由を説明します。
答えと解説
P=x²(x²−3x)+(5x+2)なので余り5x+2。P′=x²(x²−3x)+(7x+2)なので余り7x+2。P(0)=P′(0)=2でも一次の係数は5と7で違い、代入0から決まるのは定数項だけ。どちらも余りは一次でx²より低い。微分は使わない。
生徒の二つの全恒等式と次数、同じ0での値と異なる余りの具体的な比較を見ます。
P(x)=x³+2x²−5x−6について、x−2が因数になるかを剰余の定理で判断してください。余り0と因数の関係を一般の恒等式から説明し、このPについて商と積の形、全項の展開を実際に書いて確かめます。方程式の全ての解を求める課題ではありません。
答えと解説
P(2)=8+8−10−6=0なのでx−2で割る余り0。一般にP=(x−a)Q+rでr=P(a)=0ならP=(x−a)Q。ここでは商x²+4x+3でP=(x−2)(x²+4x+3)。展開はx³+4x²+3x−2x²−8x−6=x³+2x²−5x−6。さらに因数分解する別解も可。
生徒の一般の余り0の根拠と具体例の代入・商・全展開を見る。唯一の根だとしたり、全解の追加を必須にしたりしない。
P(x)=x³−3x+2をx+1で割ります。友達Iは「余りはP(1)=0」、友達IIは「P=(x+1)(x²−x)+(−2x+2)と戻るので、商x²−x、余り−2x+2で完了」としました。二つの説明をそれぞれ直し、IIの等式自体の正しさと除法の完了を分けてください。最後の商・余りと恒等式、代入の確認を含む全文へ直します。
答えと解説
Iはx+1を0にする−1を使い、P(−1)=−1+3+2=4と直す。IIの等式自体は正しいが、−2x+2は一次で割る式より低くない。−2x+2=−2(x+1)+4なので続ける。最後は商x²−x−2、余り4でP=(x+1)(x²−x−2)+4。各係数とP(−1)=4が合う。
生徒がIIの正しい等式まで誤りにせず、符号と次数の別々の誤り・続ける除法・式と計算過程を説明したか見ます。
aを−2,1,3から一つ、sを1,2から一つ、rを1,4から一つ選びます。B(x)=x−a、Q(x)=x²+sx−1、余りrを使ってP=BQ+rを作り、自分で選んだ数値のPを全項へ展開してください。商・余りの次数条件、元へ戻る恒等式とP(a)を実際に確かめます。許された全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=−2,s=2,r=4ならB=x+2、Q=x²+2x−1、P=x³+4x²+3x+2。(x+2)(x²+2x−1)+4へ全係数が戻り、余り4は定数で一次より低い。P(−2)=−8+16−6+2=4。許された生徒の別の一例と正しい計算も認める。
生徒の選択した三数と具体的な式と計算過程、全係数、次数条件と代入の対応を手動で見る。一般式や作例の転記だけで生徒の別例作成としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)ア(イ)とア(オ)の因数定理につながる部分、イ(ア)、冊子54〜56/PDF66〜68を踏まえた独自課題です。P=BQ+Rと余りの次数から剰余の定理へ進む範囲で、高次方程式の解法全体・数学Ⅱの全範囲・固定学年の履修を主張しません。元の問題・図版を写していません。 · 2026-11-04
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/use-polynomial-division-and-the-remainder-theorem/
準備14問は短い余りの値・係数と条件の確認です。主課題では生徒の筆算、抜けた次数と全ての符号、商・余り、余り0または低い次数、全係数を戻す恒等式と代入の根拠を手動確認します。T1は欠けた項を含む除法、T2は全係数の再構成、T3は剰余の定理の導出、T4は非単位の一次係数と商の倍率、T5は未知係数、T6は異なる二根からの一次の余り、T7は重なる因数x²と不足する情報、T8は余り0と因数の関係、T9は等式の正しさと除法の完了を分ける二つの修正、T10は生徒の具体的な多項式を見ます。正しい別解・項や因数の順序を認め、準備の点数や最後の数だけで達成を判定しません。
P(x)=x³+2x²−5x+1をx−2で割った余りを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=2x³−3x²+4x−5をx+1で割った余りを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=3x³−2x²+x+4を2x−1で割った余りを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=x³+kx+3をx−2で割った余りは5です。係数kを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)をx²−1で割った余りをux+vとします。P(1)=8、P(−1)=2のとき、係数uを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=x³−2x²+5x+7をx²で割った余りの、xの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)=x³−4x²−x+4をx−4で割った商について、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
次数1以上の多項式BでPを割り、商Q、余りRとする条件として適切なのはどれですか。
- P=BQ+Rで、RはBと同じ次数とする
- P=BQ+Rで、Rは0かBより低次とする
- P=BQ+Rで、Rは必ずBより高次とする
- P=BQ+Rを一つのxだけで確かめればよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)をx+3で割る余りを、剰余の定理から求めるときに使う代入はどれですか。
- x=3
- x=0
- x=−1/3
- x=−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ多項式を、先に2x−6、別にx−3で割ります。商と余りの関係として正しいのはどれですか。
- 前者の商は後者の1/2、余りは同じ
- 前者の商は後者の2倍、余りは同じ
- 商は同じ、前者の余りは2倍
- 商も余りも必ず同じ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二次の多項式で割ったとき、次数の条件から余りとして許されるものはどれですか。
- 3x²+1
- x³
- 5x−2
- x⁴−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数aと多項式Pについて、P(a)=0から一般に言えることはどれですか。
- aがP(x)=0の唯一の解になる
- x−aがP(x)の因数になる
- Pは必ず0という定数多項式になる
- x+aが必ずP(x)の因数になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P=BQ+Rが恒等式であることを確認する方法として、この教材で必要なものはどれですか。
- 全項を展開して係数を照合する
- 一つのxでの一致だけを確かめる
- 最高次の項だけの係数を比べる
- 定数項だけの一致で確認を終える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P(x)をx²で割った余りをux+vとします。P(0)の値だけから、何が決まりますか。
- uだけが決まる
- uもvも決まる
- uもvも決まらない
- vだけが決まる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
P(x)=2x³−7x+5をx−2で割ってください。欠けた二次の項を係数0でそろえた筆算を実際に書き、商と余りを示します。割る式×商+余りを全項へ展開し、全ての係数と余りの次数を元へ戻して確かめてください。
割る式B(x)=x²−2x+2、商Q(x)=3x−1、余りR(x)=−x+4が与えられました。P=BQ+RとなるP(x)を求め、全項の積と各次数の係数を実際に書いて恒等式を示してください。余りの次数も確認し、x=1の代入は追加の確認として別に行います。
P(x)=(x−a)Q(x)+rという一次の式で割る恒等式から、余りr=P(a)を導いてください。なぜ商の項が消えるかも式に書きます。続いてP(x)=3x³+2x−4をx+2で割る余りを、この根拠と符号の確認から求めてください。
P(x)=2x³−5x²+7x−7/2を、2x−3とx−3/2でそれぞれ割ってください。二つの商・余りと二つの恒等式を示し、割る式を0にする値で余りを確かめます。なぜ余りが同じでも商まで同じとは言えないか、割る式の倍率へ戻して説明してください。
P(x)=x³+kx²−2x+6をx−2で割った余りが22になるように、実数の係数kを求めてください。剰余の定理から方程式を作り、得たkを使ったPについて商と余りの恒等式も実際に書き、係数と代入で確かめます。
P(x)=2x³+x²−4x+6を(x−1)(x+2)で割る余りを求めてください。余りをux+vと置く理由、異なる二つの値を代入した連立方程式と解を示します。最後に商も求め、恒等式の全係数と余りの次数から確かめてください。
P(x)=x⁴−3x³+5x+2をx²で割ります。友達はP(0)=2だけを使い、余りは2だと言いました。実際の除法と恒等式から直してください。さらにPの5xを7xに変えたP′でも、0での値と余りを比べ、一つの代入だけで一次の余り全体が決まらない理由を説明します。
P(x)=x³+2x²−5x−6について、x−2が因数になるかを剰余の定理で判断してください。余り0と因数の関係を一般の恒等式から説明し、このPについて商と積の形、全項の展開を実際に書いて確かめます。方程式の全ての解を求める課題ではありません。
P(x)=x³−3x+2をx+1で割ります。友達Iは「余りはP(1)=0」、友達IIは「P=(x+1)(x²−x)+(−2x+2)と戻るので、商x²−x、余り−2x+2で完了」としました。二つの説明をそれぞれ直し、IIの等式自体の正しさと除法の完了を分けてください。最後の商・余りと恒等式、代入の確認を含む全文へ直します。
aを−2,1,3から一つ、sを1,2から一つ、rを1,4から一つ選びます。B(x)=x−a、Q(x)=x²+sx−1、余りrを使ってP=BQ+rを作り、自分で選んだ数値のPを全項へ展開してください。商・余りの次数条件、元へ戻る恒等式とP(a)を実際に確かめます。許された全12条件を解く必要はありません。
解答: 多項式の商と余りを、恒等式と代入で確かめる
7
割る式を0にするx=2を使い、P(2)=8+8−10+1=7です。
−14
x=−1を代入し、−2−3−4−5=−14です。
2x−1=0よりx=1/2。P(1/2)=3/8−1/2+1/2+4=35/8です。
−3
P(2)=8+2k+3=5より2k=−6、k=−3です。
3
u+v=8、−u+v=2を引くと2u=6、u=3です。v=5も確かめられます。
5
P(x)=x²(x−2)+(5x+7)なので余りは5x+7、指定した係数は5です。
−1
P(x)=(x−4)(x²−1)なので商はx²−1、定数項は−1です。
P=BQ+Rで、Rは0かBより低次とする
元へ戻る恒等式と、余り0または割る式より低い次数の両方が必要です。
x=−3
x+3を0にするx=−3でPを計算します。
前者の商は後者の1/2、余りは同じ
2x−6=2(x−3)なので、割る式へ掛ける商は1/2になります。両方とも余りはP(3)です。
5x−2
0でない余りの次数は2より低くなければならないので、ここでは一次の5x−2です。
x−aがP(x)の因数になる
x−aで割る余りがP(a)=0なので、P(x)=(x−a)Q(x)と表せます。
全項を展開して係数を照合する
全てのxで元へ戻る等式を、各次数の係数まで確かめます。一つの代入は追加の確認と分けます。
vだけが決まる
x=0ではP(0)=vです。一次の係数uを決める情報は、この一つの値だけにはありません。
記述問題の解答・確認の観点
P(x)=2x³−7x+5をx−2で割ってください。欠けた二次の項を係数0でそろえた筆算を実際に書き、商と余りを示します。割る式×商+余りを全項へ展開し、全ての係数と余りの次数を元へ戻して確かめてください。
筆算は2x³+0x²−7x+5から始める。最初に2x²、次に4x、最後に1を商へ置き、残りは順に4x²−7x+5、x+5、7。商2x²+4x+1、余り7。(x−2)(2x²+4x+1)+7=2x³+0x²−7x+5。余りは定数で一次の割る式より低い。
生徒の各段の積と全項を引く筆算、0の列、商と余りの式と全係数の確認を見ます。
割る式B(x)=x²−2x+2、商Q(x)=3x−1、余りR(x)=−x+4が与えられました。P=BQ+RとなるP(x)を求め、全項の積と各次数の係数を実際に書いて恒等式を示してください。余りの次数も確認し、x=1の代入は追加の確認として別に行います。
BQ=3x³−7x²+8x−2なのでP=3x³−7x²+7x+2。Rは一次でBの二次より低い。全項を展開して各係数が一致するため恒等式であり、x=1ではP=5、B=1,Q=2,R=3からBQ+R=5とも合う。代入一例だけを一般の証明にしない。
生徒の六つの積とRを加える全計算、次数、全係数と数値の追加確認を分ける理由を見ます。
P(x)=(x−a)Q(x)+rという一次の式で割る恒等式から、余りr=P(a)を導いてください。なぜ商の項が消えるかも式に書きます。続いてP(x)=3x³+2x−4をx+2で割る余りを、この根拠と符号の確認から求めてください。
x=aを代入するとP(a)=(a−a)Q(a)+r=r。x+2を0にするのはx=−2で、P(−2)=−24−4−4=−32。したがって余り−32。商を求めて確認するなら3x²−6x+14で、(x+2)(3x²−6x+14)−32=3x³+2x−4。
生徒の一般の代入と0になる因数、具体例の割る式を0にする値・全項の符号を見る。追加の商の計算自体を必須にしない。
P(x)=2x³−5x²+7x−7/2を、2x−3とx−3/2でそれぞれ割ってください。二つの商・余りと二つの恒等式を示し、割る式を0にする値で余りを確かめます。なぜ余りが同じでも商まで同じとは言えないか、割る式の倍率へ戻して説明してください。
2x−3では商x²−x+2、余り5/2。(2x−3)(x²−x+2)+5/2=P。x−3/2では商2x²−2x+4、余り5/2。後者の割る式は前者の1/2なので商は2倍、積は同じ。両方ともx=3/2で割る式が0となりP(3/2)=5/2。
生徒の二つの式と積・余り、正確な分数の計算、割る式と商の逆の倍率を見ます。
P(x)=x³+kx²−2x+6をx−2で割った余りが22になるように、実数の係数kを求めてください。剰余の定理から方程式を作り、得たkを使ったPについて商と余りの恒等式も実際に書き、係数と代入で確かめます。
P(2)=8+4k−4+6=10+4k=22よりk=3。P=x³+3x²−2x+6=(x−2)(x²+5x+8)+22。全項の展開で戻り、P(2)=22、余り22は定数。
生徒のkを含む代入の式・解、求めたPの式全体と恒等式、余りの条件を見ます。
P(x)=2x³+x²−4x+6を(x−1)(x+2)で割る余りを求めてください。余りをux+vと置く理由、異なる二つの値を代入した連立方程式と解を示します。最後に商も求め、恒等式の全係数と余りの次数から確かめてください。
割る式は二次なので余りはux+v。P(1)=5よりu+v=5、P(−2)=2より−2u+v=2。u=1,v=4で余りx+4、商2x−1。P=(x²+x−2)(2x−1)+(x+4)へ展開して戻る。余りは一次。
生徒の次数の根拠、異なる二代入と二式、全解・商と余りを戻す全係数を見ます。
P(x)=x⁴−3x³+5x+2をx²で割ります。友達はP(0)=2だけを使い、余りは2だと言いました。実際の除法と恒等式から直してください。さらにPの5xを7xに変えたP′でも、0での値と余りを比べ、一つの代入だけで一次の余り全体が決まらない理由を説明します。
P=x²(x²−3x)+(5x+2)なので余り5x+2。P′=x²(x²−3x)+(7x+2)なので余り7x+2。P(0)=P′(0)=2でも一次の係数は5と7で違い、代入0から決まるのは定数項だけ。どちらも余りは一次でx²より低い。微分は使わない。
生徒の二つの全恒等式と次数、同じ0での値と異なる余りの具体的な比較を見ます。
P(x)=x³+2x²−5x−6について、x−2が因数になるかを剰余の定理で判断してください。余り0と因数の関係を一般の恒等式から説明し、このPについて商と積の形、全項の展開を実際に書いて確かめます。方程式の全ての解を求める課題ではありません。
P(2)=8+8−10−6=0なのでx−2で割る余り0。一般にP=(x−a)Q+rでr=P(a)=0ならP=(x−a)Q。ここでは商x²+4x+3でP=(x−2)(x²+4x+3)。展開はx³+4x²+3x−2x²−8x−6=x³+2x²−5x−6。さらに因数分解する別解も可。
生徒の一般の余り0の根拠と具体例の代入・商・全展開を見る。唯一の根だとしたり、全解の追加を必須にしたりしない。
P(x)=x³−3x+2をx+1で割ります。友達Iは「余りはP(1)=0」、友達IIは「P=(x+1)(x²−x)+(−2x+2)と戻るので、商x²−x、余り−2x+2で完了」としました。二つの説明をそれぞれ直し、IIの等式自体の正しさと除法の完了を分けてください。最後の商・余りと恒等式、代入の確認を含む全文へ直します。
Iはx+1を0にする−1を使い、P(−1)=−1+3+2=4と直す。IIの等式自体は正しいが、−2x+2は一次で割る式より低くない。−2x+2=−2(x+1)+4なので続ける。最後は商x²−x−2、余り4でP=(x+1)(x²−x−2)+4。各係数とP(−1)=4が合う。
生徒がIIの正しい等式まで誤りにせず、符号と次数の別々の誤り・続ける除法・式と計算過程を説明したか見ます。
aを−2,1,3から一つ、sを1,2から一つ、rを1,4から一つ選びます。B(x)=x−a、Q(x)=x²+sx−1、余りrを使ってP=BQ+rを作り、自分で選んだ数値のPを全項へ展開してください。商・余りの次数条件、元へ戻る恒等式とP(a)を実際に確かめます。許された全12条件を解く必要はありません。
作例a=−2,s=2,r=4ならB=x+2、Q=x²+2x−1、P=x³+4x²+3x+2。(x+2)(x²+2x−1)+4へ全係数が戻り、余り4は定数で一次より低い。P(−2)=−8+16−6+2=4。許された生徒の別の一例と正しい計算も認める。
生徒の選択した三数と具体的な式と計算過程、全係数、次数条件と代入の対応を手動で見る。一般式や作例の転記だけで生徒の別例作成としない。