定積分を、上下関係・全区間と図形の面積へ戻す
積分定数と端点の差、符号付きの定積分と面積を分けます。準備14問と、生徒が交点・すべての区間の上下・式と図を示す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(5)ア(ウ)、イ(ウ)と内容の取扱い(1)、冊子64–66/PDF76–78を踏まえた独自活動です。被積分関数は二次までの多項式を中心に、不定積分・定積分と直線・放物線などの間の面積を扱います。数学Ⅲの積分法、厳密な積分の一般理論、数学Ⅱ全体・固定学年・実際の測量や学習効果は主張しません。
解説を読む
定積分の値へ絶対値を付けるだけでは、途中で上下が入れ替わる図形の面積は求まりません。全ての交点と指定範囲を確かめ、各区間の上から下を引いた式を積分し、正の面積を合計します。
必要な予備知識
多項式の展開と因数分解、一次・二次方程式と不等式、座標・直線と放物線、多項式の微分。積分は二次までの多項式を中心に本文で導入します。非多項式の積分、置換・部分積分、厳密な極限の一般論は前提にしません。
- F′(x)=f(x)となるFを考え、微分の逆の計算として不定積分を扱います。例えば∫(2x+3)dx=x²+3x+Cで、Cは積分定数です。微分すればCは0となるので、条件がなければ一つのCに決めません。
- 本題では∫xⁿdx=x^(n+1)/(n+1)+C（n=0,1,2）を使い、定数倍・和・差を項ごとに計算します。指数を一つ増やすだけでなく新しい指数で割り、得た式を微分して元へ戻します。
- 多項式fについてF′=fなら、定積分∫[a,b]f(x)dxはF(b)−F(a)です。本題の角括弧[a,b]は下端a・上端bを表す文字で、被積分関数や原始関数の値を入れ違えません。同じFの積分定数は差で消えます。
- 積分の向きを逆にすると∫[b,a]f=−∫[a,b]fで、同じ上下端なら0です。また途中cで∫[a,b]f=∫[a,c]f+∫[c,b]fと分けられます。面積を扱う区間は左から右へ取り、各部分を正の面積として足します。
- a<bで全区間f≧0なら、曲線・x軸・x=a・x=bの間の面積は∫[a,b]fです。f≦0なら∫[a,b](−f)です。途中で符号が変わるときは全零点で区切ります。定積分は正負が打ち消し合うので、その値の絶対値を取るだけでは面積とは限りません。
- 二曲線y=f(x),y=g(x)では交点をf=gから全て求めます。各区間のf−gの因数の符号などから、どちらが上かを説明し、上の関数から下の関数を引いて積分します。有限な数値表や見た目だけで全区間の上下を決めません。
- 指定した閉区間がある場合はその両端と、区間内の全ての交点で分けます。曲線同士で囲まれる部分だけを求める場合は、交点と囲まれる範囲を先に確かめます。二つの異なる二次関数でも、差は二次以下の多項式として調べられます。
- 生徒が軸と一様な目盛、全交点・指定範囲と上下の入れ替わりを図に示し、各積分と対応させます。図の端を勝手に積分の端点とせず、図形の面積と符号付き積分を区別します。一般の自由な曲線や同値な積分式は手動確認します。
- 架空の窓などを放物線モデルで考えるとき、与えられた寸法・座標の単位・置いた仮定を残します。両軸がmなら面積はm²です。モデルの計算値は、実物を測った記録や実物の正確な面積ではありません。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な不定積分・積分定数、全交点・上下と区分した積分式、生徒の図・面積と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認め、新しい式パーサーは追加しません。
解き方の例
∫[0,2](x+1)dx=[x²/2+x]の0から2までの差=4。x+1はこの全区間で正なので、x軸との間の面積も4です。積分前後の式を微分で照合し、端点を逆にした積分は−4と分けます。
y=x²とy=1を0≦x≦2で比べます。交点x=1で上下が変わるので、面積は∫[0,1](1−x²)dx+∫[1,2](x²−1)dx=2/3+4/3=2。∫[0,2](x²−1)dx=2/3の絶対値ではありません。
よくある間違い
- 積分で指数を増やすだけで新しい指数による除法を落とす。
- 条件のない不定積分を一つの積分定数に決める。
- F(b)−F(a)の順や、元のfとFを混ぜる。
- 符号付きの定積分0から面積も0と決める。
- 全交点を求めず、途中で上と下が入れ替わる区間をまとめる。
- 見た目や有限な値だけで全区間の上下を決める。
- 指定区間の端と、曲線同士で囲む交点を混ぜる。
- モデルの寸法・mとm²、計算と実測を混同する。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数・選択です。主課題では生徒の積分定数と逆の微分、原始関数の全端点と順、全交点・全区間の上下、図と区分した積分、正の面積と単位を手動確認します。T1は初期条件、T2は分割と逆向き、T3はx軸より下、T4は直線と放物線、T5は指定範囲内の二度の上下反転、T6は二つの放物線、T7は寸法とモデル、T8は打ち消しの誤り、T9は面積から正の数a、T10は生徒の三数による式と計算過程と面積を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な不定積分・積分定数・定積分の式と計算過程、全交点と区分・上下の理由、生徒の図と面積・モデルの仮定は手動確認します。二次までの多項式の積分を中心とし、数学Ⅲの積分法・厳密な一般理論・新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な積分の式と計算過程、全交点・上下と図は手動確認します。
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自分の答えと記述
練習問題と解答
F′(x)=3x²−4x+1、F(0)=5です。F(2)を求めてください。
答えと解説
7
F=x³−2x²+x+C。F(0)=5からC=5で、F(2)=8−8+2+5=7です。
定積分∫[0,3](2x−1)dxの値を求めてください。
答えと解説
6
原始関数x²−xの上端と下端の差で、(9−3)−0=6です。
下端2・上端−1の定積分∫[2,−1](2x+1)dxの値を求めてください。
答えと解説
−6
原始関数x²+xより、F(−1)−F(2)=0−6=−6。下端と上端の順を保ちます。
y=x²−4とx軸で囲まれる部分の面積を求めてください。
答えと解説
交点はx=−2,2で区間内はx²−4≦0。面積は∫[−2,2](4−x²)dx=32/3です。
放物線y=x²と直線y=2x+3で囲まれる部分の面積を求めてください。
答えと解説
交点x=−1,3の間で直線が上。∫[−1,3](−x²+2x+3)dx=32/3です。
0≦x≦3で、y=x²とy=2xの間の面積を求めてください。
答えと解説
全交点はx=0,2。面積は∫[0,2](2x−x²)dx+∫[2,3](x²−2x)dx=4/3+4/3=8/3です。
定積分∫[−1,2](3x²−2x+1)dxの値を求めてください。
答えと解説
9
原始関数x³−x²+xの値は上端で6、下端で−3なので差は9です。
2x²−6x+4の不定積分として正しいものはどれですか。Cは積分定数です。
- 2x³−6x²+4x+C
- 4x−6+C
- (2/3)x³−3x²+4x+C
- (2/3)x³−3x²+4+C
答えと解説
(2/3)x³−3x²+4x+C
正しい式を微分すると2x²−6x+4へ戻ります。定数項4も4xとして積分します。
多項式fについて、上下端が同じ定積分∫[a,a]f(x)dxの値はどれですか。
- f(a)
- 0
- 1
- a
答えと解説
0
同じ原始関数の差F(a)−F(a)=0です。
多項式fの定積分の向きについて、常に正しい等式はどれですか。
- ∫[b,a]f=∫[a,b]f
- ∫[b,a]f=0
- ∫[b,a]f=|∫[a,b]f|
- ∫[b,a]f=−∫[a,b]f
答えと解説
∫[b,a]f=−∫[a,b]f
端点の順を逆にすると、原始関数の差の符号も逆になります。
I=∫[−2,2]x dx、Sを同じ範囲でy=xとx軸の間の面積とします。(I,S)はどれですか。
- (0,0)
- (0,4)
- (4,0)
- (4,4)
答えと解説
(0,4)
I=0ですが、面積は左と右の三角形2+2=4で、符号による打ち消しはしません。
f(x)=x²、g(x)=x+2で、交点のx座標は−1,2です。二曲線で囲まれる面積を表す正しい式はどれですか。
- ∫[−1,2](g−f)dx
- ∫[−1,2](f−g)dx
- ∫[0,2](g−f)dx
- ∫[−1,2](f+g)dx
答えと解説
∫[−1,2](g−f)dx
f−g=(x+1)(x−2)は交点の間で負なのでgが上。指定した全範囲で上から下を引きます。
−2≦x≦2でy=x²とy=1の間の面積を表す式はどれですか。
- ∫[−2,2](x²−1)dx
- |∫[−2,2](x²−1)dx|
- ∫[−2,−1](x²−1)dx+∫[−1,1](1−x²)dx+∫[1,2](x²−1)dx
- ∫[−2,2](1−x²)dx
答えと解説
∫[−2,−1](x²−1)dx+∫[−1,1](1−x²)dx+∫[1,2](x²−1)dx
交点−1,1で上下が変わるので三つに分けます。各部分を正の面積として合計します。
F′=fとして定積分をF(b)−F(a)で求めるとき、積分定数Cを変えても値が変わらない理由はどれですか。
- 上端と下端で別々のCを自由に選べるから
- 同じFに含まれる同じCが差で消えるから
- 積分する前のfが常に0だから
- 必ずC=0と決まるから
答えと解説
同じFに含まれる同じCが差で消えるから
一つの原始関数Fを両端で評価します。(F(b)+C)−(F(a)+C)では同じCが打ち消されます。
考え方を説明する
F′(x)=2x²+3x−4、F(1)=2です。F(x)を積分定数も含めて求め、元の微分条件と初期条件へ代入して確かめてください。さらにF(−1)を求め、FとF′の値を混ぜない説明を残します。
答えと解説
F=(2/3)x³+(3/2)x²−4x+C。F(1)=−11/6+C=2からC=23/6。微分すると2x²+3x−4に戻り、x=1でのFの値はF(1)=2。F(−1)=26/3。生徒の積分定数と元の二条件・式と計算過程を確認する。
生徒の積分定数・係数・式と計算過程、微分による逆の確認と元のF(1)への代入、F(−1)を見ます。
I=∫[−2,1](3x²+2x−1)dxを求めてください。同じ式をx=0で二つに分けた和と、積分の向きを逆にした値も求め、原始関数の端点の差から三つを照合します。
答えと解説
原始関数F=x³+x²−xでF(−2)=−2,F(0)=0,F(1)=1。I=1−(−2)=3。二つの値は2と1で和3、逆向きは−3。同じCは各差で消える。
生徒の原始関数・全端点値と順、二つの積分の和と逆向きの符号・式と計算過程を確認します。
放物線y=x²−x−6とx軸で囲まれる部分について、全交点・全区間の符号と図を示し、面積を求めてください。元の式への交点の代入と、積分した式の微分でも確かめます。
答えと解説
f=(x+2)(x−3)で交点(−2,0),(3,0)。その間はf<0で面積∫[−2,3](−x²+x+6)dx=[−x³/3+x²/2+6x]の差=125/6。外側はx軸との間を閉じる別の領域ではない。生徒の二交点・区間全体の因数の符号と図・逆の微分を見る。
生徒の全二根・元の確認、負の区間と上から下を引く式、面積125/6と範囲を示す図を見ます。
f(x)=−x²+4とg(x)=x+2で囲まれる部分を、全交点と区間ごとの上下を示す図に表し、面積を求めてください。交点の両関数への代入と、積分の上から下を引く順を説明します。
答えと解説
f−g=−(x+2)(x−1)なので交点は(−2,0),(1,3)、その間はf>g。面積∫[−2,1](−x²−x+2)dx=[−x³/3−x²/2+2x]の差=9/2。各交点は元の両式を満たす。生徒の軸・一様な目盛・二つの曲線と範囲を確認する。
生徒の全交点座標と元の両式、因数の符号・上下と図、9/2までの全積分式を見ます。
−2≦x≦4で、f(x)=x²とg(x)=2x+3の間の面積を求めてください。指定範囲内の全交点と上下の入れ替わりを図と符号で示し、各部分の面積と合計を残します。∫[−2,4](f−g)dxの値と絶対値も比べます。
答えと解説
f−g=(x+1)(x−3)、全交点x=−1,3。外側二区間ではf>g、間ではg>f。面積は∫[−2,−1](f−g)+∫[−1,3](g−f)+∫[3,4](f−g)=7/3+32/3+7/3=46/3。符号付き積分は−6で絶対値6、面積46/3とは異なる。生徒の三範囲と全端点・図に対応させる。
生徒の全交点・三つの上下と区分、各積分・面積の和、符号付き積分と絶対値の違いを見ます。
二つの放物線f(x)=3x²−x−2、g(x)=x²+x+2で囲まれる部分を調べます。全交点の座標と差の符号、囲まれる範囲を図にし、面積を求めて元の両式で確認してください。
答えと解説
f−g=2x²−2x−4=2(x+1)(x−2)。交点は(−1,2),(2,8)、間でg>f。面積∫[−1,2](−2x²+2x+4)dx=[−(2/3)x³+x²+4x]の差=9。元の両関数へx=−1,2を代入するとそれぞれ2,8。二曲線が共に放物線でも差の符号で上下を調べられる。
生徒の差・全根・両交点座標、元の両式と区間全体の上下、図と面積9を見ます。
架空の窓を、下辺y=0、上辺y=3−(3/4)x²、−2≦x≦2という放物線モデルで表します。両軸の座標単位はmです。幅・中央の高さと図、上下の関係を示してモデルの面積を求め、外接する長方形と比べます。実物の実測とこの計算を分けて説明してください。
答えと解説
端は(−2,0),(2,0)で幅4m、中央は(0,3)で高さ3m。上辺は範囲内で非負。面積∫[−2,2](3−(3/4)x²)dx=[3x−x³/4]の差=8m²。幅4m・高さ3mの長方形12m²より小さい。これは与えられた放物線モデルの値で、実測した実物の正確な面積ではない。
生徒の三点・幅と高さの単位、全範囲と積分、8m²と12m²の比較、モデル・実測の区別を見ます。
友達は「∫[−1,1]2x dx=0だから、−1≦x≦1で直線y=2xとx軸の間の面積も0」としました。原始関数の端点値と符号、分けた二つの図形・積分を使って説明を直してください。三角形の面積でも照合します。
答えと解説
原始関数x²は両端で1なので定積分0。しかし−1<x<0で2x<0、0<x<1で正。面積は∫[−1,0](−2x)dx+∫[0,1]2x dx=1+1=2。各三角形も底辺1・高さ2で面積1。正負の打ち消しと図形の面積を混ぜた誤りで、絶対値|0|でも直らない。
生徒の端点差0・すべての符号と区分、二つの正の面積と合計2、図・三角形による照合を見ます。
a>0として、放物線y=x²と水平な直線y=a²で囲まれる部分の面積が36です。aを求め、全交点・上下と図、区分を含む積分の式と計算過程を示してください。求めた値を元の面積条件にも代入して確かめます。
答えと解説
交点はx=−a,a、間でa²−x²≧0。面積∫[−a,a](a²−x²)dx=4a³/3。36よりa³=27、a>0からa=3。直線はy=9、交点(−3,9),(3,9)。∫[−3,3](9−x²)dx=36で元の条件を満たす。生徒の正の条件・全交点と上下、元の確認を見る。
生徒の正の条件と記号での積分、a=3の一意性・元の面積への代入、両交点と図を見ます。
Aを1,2から、pを−2,1から、dを2,3から一つずつ選び、f(x)=A(x−p)(x−p−d)とx軸で囲まれる部分を作ります。具体式・全交点と全区間の符号、図と積分の式と計算過程、面積を求めてください。各因数と積分後の微分で元へ戻します。全8条件は必須にしません。
答えと解説
作例A=2,p=1,d=3ならf=2x²−10x+8で全交点(1,0),(4,0)。間で負なので面積∫[1,4](−2x²+10x−8)dx=9。一般に全零点p,p+d、A>0,d>0より間で負・外で正、面積Ad³/6。生徒の別の許された三数と具体式・図・積分、微分と元の根の確認も認める。全8例は必須にしない。
生徒の三数と具体式・全根、因数のすべての符号と図、積分の式と計算過程・元の微分と面積を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(5)ア(ウ)、イ(ウ)と内容の取扱い(1)、冊子64–66/PDF76–78を踏まえた独自活動です。被積分関数は二次までの多項式を中心に、不定積分・定積分と直線・放物線などの間の面積を扱います。数学Ⅲの積分法、厳密な積分の一般理論、数学Ⅱ全体・固定学年・実際の測量や学習効果は主張しません。 · 2026-11-04
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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準備14問は指定された有理数・選択です。主課題では生徒の積分定数と逆の微分、原始関数の全端点と順、全交点・全区間の上下、図と区分した積分、正の面積と単位を手動確認します。T1は初期条件、T2は分割と逆向き、T3はx軸より下、T4は直線と放物線、T5は指定範囲内の二度の上下反転、T6は二つの放物線、T7は寸法とモデル、T8は打ち消しの誤り、T9は面積から正の数a、T10は生徒の三数による式と計算過程と面積を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
F′(x)=3x²−4x+1、F(0)=5です。F(2)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
定積分∫[0,3](2x−1)dxの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
下端2・上端−1の定積分∫[2,−1](2x+1)dxの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=x²−4とx軸で囲まれる部分の面積を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
放物線y=x²と直線y=2x+3で囲まれる部分の面積を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0≦x≦3で、y=x²とy=2xの間の面積を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
定積分∫[−1,2](3x²−2x+1)dxの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x²−6x+4の不定積分として正しいものはどれですか。Cは積分定数です。
- 2x³−6x²+4x+C
- 4x−6+C
- (2/3)x³−3x²+4x+C
- (2/3)x³−3x²+4+C
途中の計算・単位・理由・確認答え:
多項式fについて、上下端が同じ定積分∫[a,a]f(x)dxの値はどれですか。
- f(a)
- 0
- 1
- a
途中の計算・単位・理由・確認答え:
多項式fの定積分の向きについて、常に正しい等式はどれですか。
- ∫[b,a]f=∫[a,b]f
- ∫[b,a]f=0
- ∫[b,a]f=|∫[a,b]f|
- ∫[b,a]f=−∫[a,b]f
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[−2,2]x dx、Sを同じ範囲でy=xとx軸の間の面積とします。(I,S)はどれですか。
- (0,0)
- (0,4)
- (4,0)
- (4,4)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x²、g(x)=x+2で、交点のx座標は−1,2です。二曲線で囲まれる面積を表す正しい式はどれですか。
- ∫[−1,2](g−f)dx
- ∫[−1,2](f−g)dx
- ∫[0,2](g−f)dx
- ∫[−1,2](f+g)dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−2≦x≦2でy=x²とy=1の間の面積を表す式はどれですか。
- ∫[−2,2](x²−1)dx
- |∫[−2,2](x²−1)dx|
- ∫[−2,−1](x²−1)dx+∫[−1,1](1−x²)dx+∫[1,2](x²−1)dx
- ∫[−2,2](1−x²)dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F′=fとして定積分をF(b)−F(a)で求めるとき、積分定数Cを変えても値が変わらない理由はどれですか。
- 上端と下端で別々のCを自由に選べるから
- 同じFに含まれる同じCが差で消えるから
- 積分する前のfが常に0だから
- 必ずC=0と決まるから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
F′(x)=2x²+3x−4、F(1)=2です。F(x)を積分定数も含めて求め、元の微分条件と初期条件へ代入して確かめてください。さらにF(−1)を求め、FとF′の値を混ぜない説明を残します。
I=∫[−2,1](3x²+2x−1)dxを求めてください。同じ式をx=0で二つに分けた和と、積分の向きを逆にした値も求め、原始関数の端点の差から三つを照合します。
放物線y=x²−x−6とx軸で囲まれる部分について、全交点・全区間の符号と図を示し、面積を求めてください。元の式への交点の代入と、積分した式の微分でも確かめます。
f(x)=−x²+4とg(x)=x+2で囲まれる部分を、全交点と区間ごとの上下を示す図に表し、面積を求めてください。交点の両関数への代入と、積分の上から下を引く順を説明します。
−2≦x≦4で、f(x)=x²とg(x)=2x+3の間の面積を求めてください。指定範囲内の全交点と上下の入れ替わりを図と符号で示し、各部分の面積と合計を残します。∫[−2,4](f−g)dxの値と絶対値も比べます。
二つの放物線f(x)=3x²−x−2、g(x)=x²+x+2で囲まれる部分を調べます。全交点の座標と差の符号、囲まれる範囲を図にし、面積を求めて元の両式で確認してください。
架空の窓を、下辺y=0、上辺y=3−(3/4)x²、−2≦x≦2という放物線モデルで表します。両軸の座標単位はmです。幅・中央の高さと図、上下の関係を示してモデルの面積を求め、外接する長方形と比べます。実物の実測とこの計算を分けて説明してください。
友達は「∫[−1,1]2x dx=0だから、−1≦x≦1で直線y=2xとx軸の間の面積も0」としました。原始関数の端点値と符号、分けた二つの図形・積分を使って説明を直してください。三角形の面積でも照合します。
a>0として、放物線y=x²と水平な直線y=a²で囲まれる部分の面積が36です。aを求め、全交点・上下と図、区分を含む積分の式と計算過程を示してください。求めた値を元の面積条件にも代入して確かめます。
Aを1,2から、pを−2,1から、dを2,3から一つずつ選び、f(x)=A(x−p)(x−p−d)とx軸で囲まれる部分を作ります。具体式・全交点と全区間の符号、図と積分の式と計算過程、面積を求めてください。各因数と積分後の微分で元へ戻します。全8条件は必須にしません。
解答: 定積分を、上下関係・全区間と図形の面積へ戻す
7
F=x³−2x²+x+C。F(0)=5からC=5で、F(2)=8−8+2+5=7です。
6
原始関数x²−xの上端と下端の差で、(9−3)−0=6です。
−6
原始関数x²+xより、F(−1)−F(2)=0−6=−6。下端と上端の順を保ちます。
交点はx=−2,2で区間内はx²−4≦0。面積は∫[−2,2](4−x²)dx=32/3です。
交点x=−1,3の間で直線が上。∫[−1,3](−x²+2x+3)dx=32/3です。
全交点はx=0,2。面積は∫[0,2](2x−x²)dx+∫[2,3](x²−2x)dx=4/3+4/3=8/3です。
9
原始関数x³−x²+xの値は上端で6、下端で−3なので差は9です。
(2/3)x³−3x²+4x+C
正しい式を微分すると2x²−6x+4へ戻ります。定数項4も4xとして積分します。
0
同じ原始関数の差F(a)−F(a)=0です。
∫[b,a]f=−∫[a,b]f
端点の順を逆にすると、原始関数の差の符号も逆になります。
(0,4)
I=0ですが、面積は左と右の三角形2+2=4で、符号による打ち消しはしません。
∫[−1,2](g−f)dx
f−g=(x+1)(x−2)は交点の間で負なのでgが上。指定した全範囲で上から下を引きます。
∫[−2,−1](x²−1)dx+∫[−1,1](1−x²)dx+∫[1,2](x²−1)dx
交点−1,1で上下が変わるので三つに分けます。各部分を正の面積として合計します。
同じFに含まれる同じCが差で消えるから
一つの原始関数Fを両端で評価します。(F(b)+C)−(F(a)+C)では同じCが打ち消されます。
記述問題の解答・確認の観点
F′(x)=2x²+3x−4、F(1)=2です。F(x)を積分定数も含めて求め、元の微分条件と初期条件へ代入して確かめてください。さらにF(−1)を求め、FとF′の値を混ぜない説明を残します。
F=(2/3)x³+(3/2)x²−4x+C。F(1)=−11/6+C=2からC=23/6。微分すると2x²+3x−4に戻り、x=1でのFの値はF(1)=2。F(−1)=26/3。生徒の積分定数と元の二条件・式と計算過程を確認する。
生徒の積分定数・係数・式と計算過程、微分による逆の確認と元のF(1)への代入、F(−1)を見ます。
I=∫[−2,1](3x²+2x−1)dxを求めてください。同じ式をx=0で二つに分けた和と、積分の向きを逆にした値も求め、原始関数の端点の差から三つを照合します。
原始関数F=x³+x²−xでF(−2)=−2,F(0)=0,F(1)=1。I=1−(−2)=3。二つの値は2と1で和3、逆向きは−3。同じCは各差で消える。
生徒の原始関数・全端点値と順、二つの積分の和と逆向きの符号・式と計算過程を確認します。
放物線y=x²−x−6とx軸で囲まれる部分について、全交点・全区間の符号と図を示し、面積を求めてください。元の式への交点の代入と、積分した式の微分でも確かめます。
f=(x+2)(x−3)で交点(−2,0),(3,0)。その間はf<0で面積∫[−2,3](−x²+x+6)dx=[−x³/3+x²/2+6x]の差=125/6。外側はx軸との間を閉じる別の領域ではない。生徒の二交点・区間全体の因数の符号と図・逆の微分を見る。
生徒の全二根・元の確認、負の区間と上から下を引く式、面積125/6と範囲を示す図を見ます。
f(x)=−x²+4とg(x)=x+2で囲まれる部分を、全交点と区間ごとの上下を示す図に表し、面積を求めてください。交点の両関数への代入と、積分の上から下を引く順を説明します。
f−g=−(x+2)(x−1)なので交点は(−2,0),(1,3)、その間はf>g。面積∫[−2,1](−x²−x+2)dx=[−x³/3−x²/2+2x]の差=9/2。各交点は元の両式を満たす。生徒の軸・一様な目盛・二つの曲線と範囲を確認する。
生徒の全交点座標と元の両式、因数の符号・上下と図、9/2までの全積分式を見ます。
−2≦x≦4で、f(x)=x²とg(x)=2x+3の間の面積を求めてください。指定範囲内の全交点と上下の入れ替わりを図と符号で示し、各部分の面積と合計を残します。∫[−2,4](f−g)dxの値と絶対値も比べます。
f−g=(x+1)(x−3)、全交点x=−1,3。外側二区間ではf>g、間ではg>f。面積は∫[−2,−1](f−g)+∫[−1,3](g−f)+∫[3,4](f−g)=7/3+32/3+7/3=46/3。符号付き積分は−6で絶対値6、面積46/3とは異なる。生徒の三範囲と全端点・図に対応させる。
生徒の全交点・三つの上下と区分、各積分・面積の和、符号付き積分と絶対値の違いを見ます。
二つの放物線f(x)=3x²−x−2、g(x)=x²+x+2で囲まれる部分を調べます。全交点の座標と差の符号、囲まれる範囲を図にし、面積を求めて元の両式で確認してください。
f−g=2x²−2x−4=2(x+1)(x−2)。交点は(−1,2),(2,8)、間でg>f。面積∫[−1,2](−2x²+2x+4)dx=[−(2/3)x³+x²+4x]の差=9。元の両関数へx=−1,2を代入するとそれぞれ2,8。二曲線が共に放物線でも差の符号で上下を調べられる。
生徒の差・全根・両交点座標、元の両式と区間全体の上下、図と面積9を見ます。
架空の窓を、下辺y=0、上辺y=3−(3/4)x²、−2≦x≦2という放物線モデルで表します。両軸の座標単位はmです。幅・中央の高さと図、上下の関係を示してモデルの面積を求め、外接する長方形と比べます。実物の実測とこの計算を分けて説明してください。
端は(−2,0),(2,0)で幅4m、中央は(0,3)で高さ3m。上辺は範囲内で非負。面積∫[−2,2](3−(3/4)x²)dx=[3x−x³/4]の差=8m²。幅4m・高さ3mの長方形12m²より小さい。これは与えられた放物線モデルの値で、実測した実物の正確な面積ではない。
生徒の三点・幅と高さの単位、全範囲と積分、8m²と12m²の比較、モデル・実測の区別を見ます。
友達は「∫[−1,1]2x dx=0だから、−1≦x≦1で直線y=2xとx軸の間の面積も0」としました。原始関数の端点値と符号、分けた二つの図形・積分を使って説明を直してください。三角形の面積でも照合します。
原始関数x²は両端で1なので定積分0。しかし−1<x<0で2x<0、0<x<1で正。面積は∫[−1,0](−2x)dx+∫[0,1]2x dx=1+1=2。各三角形も底辺1・高さ2で面積1。正負の打ち消しと図形の面積を混ぜた誤りで、絶対値|0|でも直らない。
生徒の端点差0・すべての符号と区分、二つの正の面積と合計2、図・三角形による照合を見ます。
a>0として、放物線y=x²と水平な直線y=a²で囲まれる部分の面積が36です。aを求め、全交点・上下と図、区分を含む積分の式と計算過程を示してください。求めた値を元の面積条件にも代入して確かめます。
交点はx=−a,a、間でa²−x²≧0。面積∫[−a,a](a²−x²)dx=4a³/3。36よりa³=27、a>0からa=3。直線はy=9、交点(−3,9),(3,9)。∫[−3,3](9−x²)dx=36で元の条件を満たす。生徒の正の条件・全交点と上下、元の確認を見る。
生徒の正の条件と記号での積分、a=3の一意性・元の面積への代入、両交点と図を見ます。
Aを1,2から、pを−2,1から、dを2,3から一つずつ選び、f(x)=A(x−p)(x−p−d)とx軸で囲まれる部分を作ります。具体式・全交点と全区間の符号、図と積分の式と計算過程、面積を求めてください。各因数と積分後の微分で元へ戻します。全8条件は必須にしません。
作例A=2,p=1,d=3ならf=2x²−10x+8で全交点(1,0),(4,0)。間で負なので面積∫[1,4](−2x²+10x−8)dx=9。一般に全零点p,p+d、A>0,d>0より間で負・外で正、面積Ad³/6。生徒の別の許された三数と具体式・図・積分、微分と元の根の確認も認める。全8例は必須にしない。
生徒の三数と具体式・全根、因数のすべての符号と図、積分の式と計算過程・元の微分と面積を見ます。