偏差の表から分散と標準偏差を求め、データの変換を確かめる
有限データの各データの偏差とその二乗から分散・標準偏差を捉えます。準備14問と、生徒が前後の表・単位と倍率の理由を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(4)ア(ア)(イ)・イ(ア)(イ)、冊子43〜47/PDF55〜59の分散・標準偏差の意味と少数データからの考察を踏まえた独自課題です。現行出版社の年間指導計画も確認しています。変換y=ax+bの関係は偏差の意味から導く本教材の活動で、文部科学省の独立した必修細目だとするものではありません。固定の高校学年や試験全範囲への対応を主張せず、元の問題・図版を写していません。
解説を読む
平均からどれだけ離れているかを、一つ一つのデータで確かめます。偏差をそのまま足すと0になるため、平方して平均した分散と、その非負の平方根である標準偏差を使います。全てに同じ数を足す場合、正や負の数を掛ける場合を、自分の具体的な表で比べます。
必要な予備知識
平均値、正負の数と分数、平方根、表の全ての値と単位。この教材では個数nが1以上の有限データそのものの分散を、全ての偏差の平方の合計をnで割って定めます。標本から母集団を推定するn−1の量とは区別します。自由な根号式・表・導出は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
- n個の値の平均をmとすると、各偏差は「その値−m」です。偏差の合計は0ですが、異なる値の偏差が打ち消し合うので、散らばりが0とは限りません。
- この有限データの分散s²は、全ての偏差を平方して足し、元のデータの個数nで割った値です。偏差を先に足してから平方する方法、n²やn−1で割る方法とは区別します。
- 標準偏差sは分散s²の非負の平方根です。s²もsも0以上で、全てのデータが同じときに限り0になります。nが1のときもこの定義で0です。
- 全ての値に同じbを足すと、平均もbだけ変わります。各偏差は元のままなので、分散と標準偏差は変わりません。
- 全ての値をa倍してbを足しy=ax+bとすると、平均はam+b、各偏差は元のa倍、偏差の平方は元のa²倍です。したがって分散はa²s²、標準偏差は|a|sです。
- aが負でも標準偏差を負にしません。例えばa=−2なら偏差の符号が反転し、分散は4倍、標準偏差は2倍です。a=0なら全ての値がbとなり、分散と標準偏差は0です。
- 長さの単位がmなら平均・標準偏差の単位はm、分散の単位はm²です。cmへ変えると数値は平均・標準偏差が100倍、分散が10000倍になります。ここでのm²は分散の単位で、面積を測ったという意味ではありません。
- 単位を変えた前後で、実際の長さが変化したとは言いません。また、同じ平均でも分散は異なる場合があります。比較では対象のデータ・指標と単位をそろえます。
- この教材のデータは説明用の数です。実測や実際の成績として報告しません。少数データの全項を表にし、Σや推測統計を新たな前提にしません。
解き方の例
説明用の1,3,7,9は平均5です。偏差−4,−2,2,4の合計は0ですが、平方の合計は16+4+4+16=40。分散40/4=10、標準偏差√10です。
別の説明用データ2,4,6,8は平均5、分散5、標準偏差√5です。y=−3x+2で−4,−10,−16,−22となり、平均−13、偏差9,3,−3,−9。分散(81+9+9+81)/4=45、標準偏差3√5です。
よくある間違い
- 偏差の合計0を、分散や標準偏差が0という意味にする。
- 各偏差を平方せずに合計したり、n²やn−1で割ったりする。
- データへ足した数を、分散と標準偏差にも足す。
- 負の倍率を標準偏差へそのまま掛けて負にする。
- 分散の倍率a²と標準偏差の倍率|a|を取り違える。
- mとcmの数値だけを比べて、実際の散らばりが変化したとする。
考え方を説明する
準備14問は定義と短い計算の確認です。主課題は生徒の全データ・平均・各偏差・各平方・nで割る具体式、標準偏差と単位を手動確認します。T1は偏差合計と平方の区別、T2は平行移動、T3は正の倍率、T4は負の倍率と加算、T5はa=0、T6は単位換算、T7は同じ平均の反例、T8は定義の分母、T9は誤りの全文修正、T10は生徒が選んだ条件の二表と倍率の導出を見ます。変換公式名や最終値だけで終えず、正しい別解・同値な分数や根号も認めます。
有理数と選択肢だけを自動採点します。生徒の偏差表、平方根を含む自由式、倍率の導出、単位と理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。表の自動作成や自由式の自動採点、実測・生徒の達成や学習効果は主張しません。
練習する
準備は平均・分散・標準偏差の短い確認です。自分の全ての偏差・平方の表、根号式と変換前後の理由は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
表の4個の説明用データの平均値を答えてください。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 値 1 5 7 11 答えと解説
6
(1+5+7+11)/4=24/4=6です。
表の4個の説明用データについて、このデータそのものの分散を答えてください。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 値 0 2 4 6 答えと解説
5
平均3、偏差−3,−1,1,3。分散(9+1+1+9)/4=5です。
このデータの分散は49です。標準偏差を答えてください。
答えと解説
7
分散の非負の平方根なので√49=7です。
6個のデータの偏差の平方の合計が90でした。この6個のデータそのものの分散を答えてください。
答えと解説
15
個数6で割り、90/6=15です。
平均4のデータの全ての値をy=2x−7で変換します。変換後の平均を答えてください。
答えと解説
1
変換後の平均は2×4−7=1です。
分散7のデータの全ての値をy=−3x+8で変換します。変換後の分散を答えてください。
答えと解説
63
偏差の倍率−3を平方し、分散は(−3)²×7=63です。8の加算では変わりません。
標準偏差4のデータの全ての値をy=−2x+9で変換します。変換後の標準偏差を答えてください。
答えと解説
8
標準偏差は|−2|×4=8です。負の値にはしません。
全てのデータに11を足すとき、いつも正しい説明はどれですか。
- 平均・分散・標準偏差が全て11ずつ増える
- 平均だけ11増え、分散と標準偏差は変わらない
- 平均・分散・標準偏差が全て11倍になる
- 平均は変わらず、分散だけ11増える
答えと解説
平均だけ11増え、分散と標準偏差は変わらない
平均も11増えるため、各値と平均の差は元のままです。
説明用データ−6,−6,−6,−6の分散と標準偏差の組はどれですか。
- 分散−6、標準偏差−6
- 分散36、標準偏差6
- 分散0、標準偏差−6
- 分散0、標準偏差0
答えと解説
分散0、標準偏差0
平均−6で、全ての偏差が0です。分散も標準偏差も0です。
長さをmで表したデータの分散は0.04m²、標準偏差は0.2mです。同じ全データをcmで表したとき、正しい組はどれですか。
- 分散400cm²、標準偏差20cm
- 分散4cm²、標準偏差2cm
- 分散40000cm²、標準偏差200cm
- 分散0.04cm²、標準偏差0.2cm
答えと解説
分散400cm²、標準偏差20cm
値は100倍なので分散の数値は10000×0.04=400、標準偏差の数値は100×0.2=20です。
4個のデータの偏差が−3,−1,1,3でした。分散と標準偏差の組として正しいものはどれですか。
- 分散0、標準偏差0
- 分散20、標準偏差√20
- 分散5、標準偏差√5
- 分散5、標準偏差5
答えと解説
分散5、標準偏差√5
偏差の合計は0でも、平方の合計は20です。分散20/4=5、標準偏差√5です。
分散6のデータをy=−2x−1で変換した人が、「分散は−2×6−1=−13」としました。変換後の正しい分散はどれですか。
- −13
- 24
- 12
- 23
答えと解説
24
偏差は−2倍、その平方は4倍なので分散4×6=24です。−1の加算では変わりません。
表の5個のデータの平均は3です。このデータそのものの分散はどれですか。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 5 値 1 1 4 4 5 - 14/5
- 7/2
- 14/25
- 14
答えと解説
14/5
偏差−2,−2,1,1,2の平方の合計14を、個数5で割ります。
個数1以上の有限データの標準偏差が0のとき、必ず言えることはどれですか。
- 平均値が0である
- 偏差の合計が0なので、どのような散らばりでもよい
- データが一つもない
- 全てのデータの値が同じである
答えと解説
全てのデータの値が同じである
平方はどれも0以上です。その平均が0なら全ての偏差が0で、全ての値が平均と一致します。
考え方を説明する
説明用データ3,7,9,13です。全4値・平均・各偏差・各平方の表を作り、このデータそのものの分散と標準偏差を求めてください。偏差の合計と平方の合計を別々に確かめ、前者が0でも散らばりが0とは言えない理由を説明します。
答えと解説
平均8、偏差−5,−1,1,5、平方25,1,1,25。偏差合計0、平方合計52。分散52/4=13、標準偏差√13。生徒の全行と、偏差の符号の打消しと平方の正の和を区別した説明を見る。
数値だけでなく、生徒が作った全ての偏差・平方の表と二つの合計を見ます。
説明用データ1,3,5,7の全てに9を足します。変換前後の全データ・平均・偏差・平方の二つの表を作り、各分散と標準偏差を求めてください。変わった量と変わらない量を具体式で確かめ、なぜそうなるか説明します。
答えと解説
元は平均4、偏差−3,−1,1,3、平方9,1,1,9、分散5、標準偏差√5。後は10,12,14,16で平均13、偏差と平方は同じ、分散5・標準偏差√5。各(x+9)−(4+9)=x−4である生徒の具体行と説明を見る。
元の値への9の加算と、平均との差が変わらないことを二表で対応させる。
説明用データ1,3,9,11の全てを3倍します。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から、各分散と標準偏差を求めてください。偏差・その平方・分散・標準偏差の倍率をそれぞれ具体的に確かめ、理由を説明します。
答えと解説
元は平均6、偏差−5,−3,3,5、平方25,9,9,25、分散68/4=17、標準偏差√17。後は3,9,27,33で平均18、偏差−15,−9,9,15、平方225,81,81,225、分散612/4=153、標準偏差3√17。偏差3倍、平方と分散9倍、標準偏差3倍。生徒の全行と倍率の理由を見る。
公式の最終値だけでなく、偏差から平方の倍率が変わるところを見ます。
説明用データ−2,0,2,4をy=−2x+7で変換します。順序の対応を保った前後の全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を求めてください。順序と偏差の符号の変化、標準偏差を負にしない理由を説明します。
答えと解説
元は平均1、偏差−3,−1,1,3、平方9,1,1,9、分散5・標準偏差√5。後は11,7,3,−1、平均5、偏差6,2,−2,−6、平方36,4,4,36、分散20・標準偏差2√5。平均−2×1+7=5、偏差−2倍、平方4倍。生徒の逆になった大小と、非負の平方根による標準偏差を見る。
元と後の対応行を残し、負の偏差の倍率と非負の標準偏差を分ける。
説明用データ−3,1,5,9について、y=0×x−4という変換をします。前後の全データ・平均・偏差・平方の表、分散と標準偏差を示してください。a=0の変換で何が起こるか、標準偏差0の意味と元のデータとの違いを説明します。
答えと解説
元は平均3、偏差−6,−2,2,6、平方36,4,4,36、分散20、標準偏差2√5。後は−4,−4,−4,−4、平均−4、全ての偏差・平方0、分散0・標準偏差0。元は異なる値だが、変換後は全て同じ値になる。生徒の全行と、0倍なので元の違いが失われる説明を見る。
平均が負でも標準偏差は負でないことと、a=0で全値が同じになることを見ます。
実測ではない説明用の長さデータ1.1,1.3,1.7,1.9mを、同じ長さのままcmで表します。両単位で全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を厳密値で求めてください。各単位・倍率と、実際の長さが変わったのかを説明します。
答えと解説
mでは平均1.5m、偏差−0.4,−0.2,0.2,0.4m、平方0.16,0.04,0.04,0.16m²、分散0.1m²、標準偏差√(1/10)m=√10/10m。cmでは110,130,170,190cm、平均150cm、偏差−40,−20,20,40cm、平方1600,400,400,1600cm²、分散1000cm²、標準偏差10√10cm。平均・偏差・標準偏差の数値は100倍、分散は10000倍で、実際の長さは同じ。生徒の単位付きの表全体と同値な根号を認める。
分散のm²と標準偏差のmを区別し、単位換算を実際の散らばりの変化としない。
説明用の二つのデータを、各4個の0〜20の整数で作ります。どちらも平均10で、各データには少なくとも二種類の値があり、分散が互いに異なるようにしてください。データが表す意味と二組に共通の単位、全ての値・平均・偏差・平方・分散・標準偏差を示し、「平均が同じなら散らばりも同じ」を自分の反例で直します。実測とは扱いません。
答えと解説
作例U=4,8,12,16、V=7,9,11,13はどちらも平均10。Uの偏差−6,−2,2,6、平方和80、分散20、標準偏差2√5。Vの偏差−3,−1,1,3、平方和20、分散5、標準偏差√5。許された別の二組も認め、生徒の全ての条件・全行・同じ単位と具体的な比較を見る。
生徒が作った異なる二組を確かめ、平均だけでは分散が決まらない反例を残す。
説明用データ2,2,5,7の分散について、友達は「偏差の平方の合計18を、n−1=3で割って6」、別の友達は「n²=16で割って9/8」と言いました。全値・平均・偏差・平方の表から、このデータそのものの分散と標準偏差を求め、二つの説明をこの教材の定義に戻して直してください。
答えと解説
平均4、偏差−2,−2,1,3、平方4,4,1,9で合計18。個数n=4で割り、分散18/4=9/2、標準偏差√(9/2)=3√2/2。n−1の量やn²で割る量は、ここで定めた有限データの偏差の平方の平均ではない。生徒の表全体と、何を平均したかの全文修正を見る。
異なる推定量の是非一般を論じず、この有限データに指定された定義に戻す。
説明用データ1,5,9,13は平均7、分散20、標準偏差2√5です。y=−3x+4への変換で、友達は「分散−3×20+4=−56、標準偏差−3×2√5+4=4−6√5」としました。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から確かめ、正しい分散と標準偏差、何の倍率を使うべきかを含む全文へ直してください。
答えと解説
元の偏差−6,−2,2,6、平方36,4,4,36。後は1,−11,−23,−35、平均−17、偏差18,6,−6,−18、平方324,36,36,324。分散720/4=180=9×20、標準偏差6√5=3×2√5。負の倍率は偏差へ掛かり、平方と分散は9倍、標準偏差は|−3|=3倍、加算4では変わらない。生徒の表全体、非負の値と誤りの場所を見る。
意図的に誤った友達の式を正答とせず、具体的な二表から直す。
説明用データをD1=(0,2,6,8)、D2=(2,4,10,12)、D3=(−5,−1,3,7)から一つ選びます。さらにaを−3,−2,2,3から、bを−4,1,5から選び、y=ax+bという自分の条件を作ってください。前後の全データ・平均・偏差・平方の二表、分散と標準偏差を具体的に求め、a²と|a|の倍率、加算と単位の扱いを元の各行で確かめます。
答えと解説
作例D2、a=−2,b=5なら、元は平均7、偏差−5,−3,3,5、平方25,9,9,25、分散17、標準偏差√17。後は1,−3,−15,−19、平均−9、偏差10,6,−6,−10、平方100,36,36,100、分散68、標準偏差2√17。平均−2×7+5=−9、各偏差−2倍、分散4倍、標準偏差2倍。許された36通りの別条件も認め、生徒の全値・対応行・具体式と単位を見る。
選択した実際のデータとa,bを明記し、一般公式だけを生徒の計算としない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(4)ア(ア)(イ)・イ(ア)(イ)、冊子43〜47/PDF55〜59の分散・標準偏差の意味と少数データからの考察を踏まえた独自課題です。現行出版社の年間指導計画も確認しています。変換y=ax+bの関係は偏差の意味から導く本教材の活動で、文部科学省の独立した必修細目だとするものではありません。固定の高校学年や試験全範囲への対応を主張せず、元の問題・図版を写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 偏差の表から分散と標準偏差を求め、データの変換を確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/derive-variance-and-standard-deviation-under-data-transformations/
準備14問は定義と短い計算の確認です。主課題は生徒の全データ・平均・各偏差・各平方・nで割る具体式、標準偏差と単位を手動確認します。T1は偏差合計と平方の区別、T2は平行移動、T3は正の倍率、T4は負の倍率と加算、T5はa=0、T6は単位換算、T7は同じ平均の反例、T8は定義の分母、T9は誤りの全文修正、T10は生徒が選んだ条件の二表と倍率の導出を見ます。変換公式名や最終値だけで終えず、正しい別解・同値な分数や根号も認めます。
表の4個の説明用データの平均値を答えてください。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 値 1 5 7 11 途中の計算・単位・理由・確認答え:
表の4個の説明用データについて、このデータそのものの分散を答えてください。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 値 0 2 4 6 途中の計算・単位・理由・確認答え:
このデータの分散は49です。標準偏差を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
6個のデータの偏差の平方の合計が90でした。この6個のデータそのものの分散を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平均4のデータの全ての値をy=2x−7で変換します。変換後の平均を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
分散7のデータの全ての値をy=−3x+8で変換します。変換後の分散を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
標準偏差4のデータの全ての値をy=−2x+9で変換します。変換後の標準偏差を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全てのデータに11を足すとき、いつも正しい説明はどれですか。
- 平均・分散・標準偏差が全て11ずつ増える
- 平均だけ11増え、分散と標準偏差は変わらない
- 平均・分散・標準偏差が全て11倍になる
- 平均は変わらず、分散だけ11増える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
説明用データ−6,−6,−6,−6の分散と標準偏差の組はどれですか。
- 分散−6、標準偏差−6
- 分散36、標準偏差6
- 分散0、標準偏差−6
- 分散0、標準偏差0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長さをmで表したデータの分散は0.04m²、標準偏差は0.2mです。同じ全データをcmで表したとき、正しい組はどれですか。
- 分散400cm²、標準偏差20cm
- 分散4cm²、標準偏差2cm
- 分散40000cm²、標準偏差200cm
- 分散0.04cm²、標準偏差0.2cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4個のデータの偏差が−3,−1,1,3でした。分散と標準偏差の組として正しいものはどれですか。
- 分散0、標準偏差0
- 分散20、標準偏差√20
- 分散5、標準偏差√5
- 分散5、標準偏差5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
分散6のデータをy=−2x−1で変換した人が、「分散は−2×6−1=−13」としました。変換後の正しい分散はどれですか。
- −13
- 24
- 12
- 23
途中の計算・単位・理由・確認答え:
表の5個のデータの平均は3です。このデータそのものの分散はどれですか。
説明用の全データ 番号 1 2 3 4 5 値 1 1 4 4 5 - 14/5
- 7/2
- 14/25
- 14
途中の計算・単位・理由・確認答え:
個数1以上の有限データの標準偏差が0のとき、必ず言えることはどれですか。
- 平均値が0である
- 偏差の合計が0なので、どのような散らばりでもよい
- データが一つもない
- 全てのデータの値が同じである
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
説明用データ3,7,9,13です。全4値・平均・各偏差・各平方の表を作り、このデータそのものの分散と標準偏差を求めてください。偏差の合計と平方の合計を別々に確かめ、前者が0でも散らばりが0とは言えない理由を説明します。
説明用データ1,3,5,7の全てに9を足します。変換前後の全データ・平均・偏差・平方の二つの表を作り、各分散と標準偏差を求めてください。変わった量と変わらない量を具体式で確かめ、なぜそうなるか説明します。
説明用データ1,3,9,11の全てを3倍します。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から、各分散と標準偏差を求めてください。偏差・その平方・分散・標準偏差の倍率をそれぞれ具体的に確かめ、理由を説明します。
説明用データ−2,0,2,4をy=−2x+7で変換します。順序の対応を保った前後の全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を求めてください。順序と偏差の符号の変化、標準偏差を負にしない理由を説明します。
説明用データ−3,1,5,9について、y=0×x−4という変換をします。前後の全データ・平均・偏差・平方の表、分散と標準偏差を示してください。a=0の変換で何が起こるか、標準偏差0の意味と元のデータとの違いを説明します。
実測ではない説明用の長さデータ1.1,1.3,1.7,1.9mを、同じ長さのままcmで表します。両単位で全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を厳密値で求めてください。各単位・倍率と、実際の長さが変わったのかを説明します。
説明用の二つのデータを、各4個の0〜20の整数で作ります。どちらも平均10で、各データには少なくとも二種類の値があり、分散が互いに異なるようにしてください。データが表す意味と二組に共通の単位、全ての値・平均・偏差・平方・分散・標準偏差を示し、「平均が同じなら散らばりも同じ」を自分の反例で直します。実測とは扱いません。
説明用データ2,2,5,7の分散について、友達は「偏差の平方の合計18を、n−1=3で割って6」、別の友達は「n²=16で割って9/8」と言いました。全値・平均・偏差・平方の表から、このデータそのものの分散と標準偏差を求め、二つの説明をこの教材の定義に戻して直してください。
説明用データ1,5,9,13は平均7、分散20、標準偏差2√5です。y=−3x+4への変換で、友達は「分散−3×20+4=−56、標準偏差−3×2√5+4=4−6√5」としました。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から確かめ、正しい分散と標準偏差、何の倍率を使うべきかを含む全文へ直してください。
説明用データをD1=(0,2,6,8)、D2=(2,4,10,12)、D3=(−5,−1,3,7)から一つ選びます。さらにaを−3,−2,2,3から、bを−4,1,5から選び、y=ax+bという自分の条件を作ってください。前後の全データ・平均・偏差・平方の二表、分散と標準偏差を具体的に求め、a²と|a|の倍率、加算と単位の扱いを元の各行で確かめます。
解答: 偏差の表から分散と標準偏差を求め、データの変換を確かめる
6
(1+5+7+11)/4=24/4=6です。
5
平均3、偏差−3,−1,1,3。分散(9+1+1+9)/4=5です。
7
分散の非負の平方根なので√49=7です。
15
個数6で割り、90/6=15です。
1
変換後の平均は2×4−7=1です。
63
偏差の倍率−3を平方し、分散は(−3)²×7=63です。8の加算では変わりません。
8
標準偏差は|−2|×4=8です。負の値にはしません。
平均だけ11増え、分散と標準偏差は変わらない
平均も11増えるため、各値と平均の差は元のままです。
分散0、標準偏差0
平均−6で、全ての偏差が0です。分散も標準偏差も0です。
分散400cm²、標準偏差20cm
値は100倍なので分散の数値は10000×0.04=400、標準偏差の数値は100×0.2=20です。
分散5、標準偏差√5
偏差の合計は0でも、平方の合計は20です。分散20/4=5、標準偏差√5です。
24
偏差は−2倍、その平方は4倍なので分散4×6=24です。−1の加算では変わりません。
14/5
偏差−2,−2,1,1,2の平方の合計14を、個数5で割ります。
全てのデータの値が同じである
平方はどれも0以上です。その平均が0なら全ての偏差が0で、全ての値が平均と一致します。
記述問題の解答・確認の観点
説明用データ3,7,9,13です。全4値・平均・各偏差・各平方の表を作り、このデータそのものの分散と標準偏差を求めてください。偏差の合計と平方の合計を別々に確かめ、前者が0でも散らばりが0とは言えない理由を説明します。
平均8、偏差−5,−1,1,5、平方25,1,1,25。偏差合計0、平方合計52。分散52/4=13、標準偏差√13。生徒の全行と、偏差の符号の打消しと平方の正の和を区別した説明を見る。
数値だけでなく、生徒が作った全ての偏差・平方の表と二つの合計を見ます。
説明用データ1,3,5,7の全てに9を足します。変換前後の全データ・平均・偏差・平方の二つの表を作り、各分散と標準偏差を求めてください。変わった量と変わらない量を具体式で確かめ、なぜそうなるか説明します。
元は平均4、偏差−3,−1,1,3、平方9,1,1,9、分散5、標準偏差√5。後は10,12,14,16で平均13、偏差と平方は同じ、分散5・標準偏差√5。各(x+9)−(4+9)=x−4である生徒の具体行と説明を見る。
元の値への9の加算と、平均との差が変わらないことを二表で対応させる。
説明用データ1,3,9,11の全てを3倍します。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から、各分散と標準偏差を求めてください。偏差・その平方・分散・標準偏差の倍率をそれぞれ具体的に確かめ、理由を説明します。
元は平均6、偏差−5,−3,3,5、平方25,9,9,25、分散68/4=17、標準偏差√17。後は3,9,27,33で平均18、偏差−15,−9,9,15、平方225,81,81,225、分散612/4=153、標準偏差3√17。偏差3倍、平方と分散9倍、標準偏差3倍。生徒の全行と倍率の理由を見る。
公式の最終値だけでなく、偏差から平方の倍率が変わるところを見ます。
説明用データ−2,0,2,4をy=−2x+7で変換します。順序の対応を保った前後の全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を求めてください。順序と偏差の符号の変化、標準偏差を負にしない理由を説明します。
元は平均1、偏差−3,−1,1,3、平方9,1,1,9、分散5・標準偏差√5。後は11,7,3,−1、平均5、偏差6,2,−2,−6、平方36,4,4,36、分散20・標準偏差2√5。平均−2×1+7=5、偏差−2倍、平方4倍。生徒の逆になった大小と、非負の平方根による標準偏差を見る。
元と後の対応行を残し、負の偏差の倍率と非負の標準偏差を分ける。
説明用データ−3,1,5,9について、y=0×x−4という変換をします。前後の全データ・平均・偏差・平方の表、分散と標準偏差を示してください。a=0の変換で何が起こるか、標準偏差0の意味と元のデータとの違いを説明します。
元は平均3、偏差−6,−2,2,6、平方36,4,4,36、分散20、標準偏差2√5。後は−4,−4,−4,−4、平均−4、全ての偏差・平方0、分散0・標準偏差0。元は異なる値だが、変換後は全て同じ値になる。生徒の全行と、0倍なので元の違いが失われる説明を見る。
平均が負でも標準偏差は負でないことと、a=0で全値が同じになることを見ます。
実測ではない説明用の長さデータ1.1,1.3,1.7,1.9mを、同じ長さのままcmで表します。両単位で全データ・平均・偏差・平方の表を作り、分散と標準偏差を厳密値で求めてください。各単位・倍率と、実際の長さが変わったのかを説明します。
mでは平均1.5m、偏差−0.4,−0.2,0.2,0.4m、平方0.16,0.04,0.04,0.16m²、分散0.1m²、標準偏差√(1/10)m=√10/10m。cmでは110,130,170,190cm、平均150cm、偏差−40,−20,20,40cm、平方1600,400,400,1600cm²、分散1000cm²、標準偏差10√10cm。平均・偏差・標準偏差の数値は100倍、分散は10000倍で、実際の長さは同じ。生徒の単位付きの表全体と同値な根号を認める。
分散のm²と標準偏差のmを区別し、単位換算を実際の散らばりの変化としない。
説明用の二つのデータを、各4個の0〜20の整数で作ります。どちらも平均10で、各データには少なくとも二種類の値があり、分散が互いに異なるようにしてください。データが表す意味と二組に共通の単位、全ての値・平均・偏差・平方・分散・標準偏差を示し、「平均が同じなら散らばりも同じ」を自分の反例で直します。実測とは扱いません。
作例U=4,8,12,16、V=7,9,11,13はどちらも平均10。Uの偏差−6,−2,2,6、平方和80、分散20、標準偏差2√5。Vの偏差−3,−1,1,3、平方和20、分散5、標準偏差√5。許された別の二組も認め、生徒の全ての条件・全行・同じ単位と具体的な比較を見る。
生徒が作った異なる二組を確かめ、平均だけでは分散が決まらない反例を残す。
説明用データ2,2,5,7の分散について、友達は「偏差の平方の合計18を、n−1=3で割って6」、別の友達は「n²=16で割って9/8」と言いました。全値・平均・偏差・平方の表から、このデータそのものの分散と標準偏差を求め、二つの説明をこの教材の定義に戻して直してください。
平均4、偏差−2,−2,1,3、平方4,4,1,9で合計18。個数n=4で割り、分散18/4=9/2、標準偏差√(9/2)=3√2/2。n−1の量やn²で割る量は、ここで定めた有限データの偏差の平方の平均ではない。生徒の表全体と、何を平均したかの全文修正を見る。
異なる推定量の是非一般を論じず、この有限データに指定された定義に戻す。
説明用データ1,5,9,13は平均7、分散20、標準偏差2√5です。y=−3x+4への変換で、友達は「分散−3×20+4=−56、標準偏差−3×2√5+4=4−6√5」としました。前後の全データ・平均・偏差・平方の表から確かめ、正しい分散と標準偏差、何の倍率を使うべきかを含む全文へ直してください。
元の偏差−6,−2,2,6、平方36,4,4,36。後は1,−11,−23,−35、平均−17、偏差18,6,−6,−18、平方324,36,36,324。分散720/4=180=9×20、標準偏差6√5=3×2√5。負の倍率は偏差へ掛かり、平方と分散は9倍、標準偏差は|−3|=3倍、加算4では変わらない。生徒の表全体、非負の値と誤りの場所を見る。
意図的に誤った友達の式を正答とせず、具体的な二表から直す。
説明用データをD1=(0,2,6,8)、D2=(2,4,10,12)、D3=(−5,−1,3,7)から一つ選びます。さらにaを−3,−2,2,3から、bを−4,1,5から選び、y=ax+bという自分の条件を作ってください。前後の全データ・平均・偏差・平方の二表、分散と標準偏差を具体的に求め、a²と|a|の倍率、加算と単位の扱いを元の各行で確かめます。
作例D2、a=−2,b=5なら、元は平均7、偏差−5,−3,3,5、平方25,9,9,25、分散17、標準偏差√17。後は1,−3,−15,−19、平均−9、偏差10,6,−6,−10、平方100,36,36,100、分散68、標準偏差2√17。平均−2×7+5=−9、各偏差−2倍、分散4倍、標準偏差2倍。許された36通りの別条件も認め、生徒の全値・対応行・具体式と単位を見る。
選択した実際のデータとa,bを明記し、一般公式だけを生徒の計算としない。