指数の性質と正の底を確かめ、指数方程式を解く
指数の拡張、底の条件と正の値を、同じ底への変形や置き換えに結びます。準備14問と、生徒がすべての実数解・途中式と理由を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(3)ア(ア)(イ)と関連するイ(イ)、冊子59–61/PDF71–73の指数の有理数への拡張と指数関数の性質を踏まえた独自課題です。実数への拡張は一次資料の範囲どおり直観的に扱い、厳密な実数指数の構成・証明は主張しません。正の固定した底、簡単な同底変形と正の置き換えで解ける指数方程式へ限定し、対数全体・微分・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。
解説を読む
指数の式は、指数だけを足したり、二次式の根をそのまま答えたりしては解けません。正の底と値、同じ底で指数を比べてよい条件、置き換えた数の範囲を残し、元の式へ戻って全ての解を確かめます。
必要な予備知識
正の整数の累乗、分数と平方根・累乗根、一次・二次方程式と因数分解。底は正の数とし、0・負整数・有理数の指数を本文で導入します。実数への拡張は直観的に扱い、対数や微分を前提にしません。自分で書いた式と計算過程と理由は手動確認します。
- 本題の指数の底aは正の実数です。指数は実数を考えます。a=1は特別で、1のどの実数乗も1です。a≠1のときに使う性質を、1にも無条件には適用しません。底0や負の数へ、ここでの実数指数の定義をそのまま広げません。
- a>0でa⁰=1、正の整数nについてa^(−n)=1/aⁿです。同じ底の積と商で指数法則が保たれるように定めます。a⁰を0、負の指数の値を単に負の数とはしません。
- 正のaと正の整数qについて、aのq乗根のうち正の数をa^(1/q)と表します。整数p、正の整数qについてa^(p/q)=(a^(1/q))^pとし、負のpでは逆数を使います。例えば16^(3/4)=2³=8です。方程式z²=aの二つの解±√aと、正の累乗根を区別します。
- 指数を有理数へ広げても、a^(u+v)=a^u·a^v、a^(u−v)=a^u/a^v、(a^u)^v=a^(uv)が成り立ちます。a>0なので商の分母a^vは0になりません。実数への拡張は、近い有理数の値や連続したグラフから直観的に捉え、ここで厳密な構成を証明したとはしません。
- a>0の指数関数y=a^xは全ての実数xで正です。a>1なら単調に増加し、0<a<1なら単調に減少します。どちらも同じ値を二度取らないので、a≠1ならa^u=a^vとu=vは同値です。底が異なるまま指数だけを等しくしません。
- 例えば4と8を2の累乗へ直すときは、かっこの外の指数を中の指数全体へ掛けます。4^(x−1)=2^(2x−2)であり、2^(2x−1)ではありません。指数の積と和、式のかっこの範囲を分けます。
- t=a^xと置くなら必ずt>0です。指数法則からa^(2x)=t²、a^(−x)=1/tとなります。tの方程式を全て解き、0以下の候補を除き、許された各tからxへ戻します。tの値をxの値と取り違えません。
- a^(u+v)はa^u+a^vではなくa^u·a^vです。指数を含む和は共通因数でくくれる場合がありますが、底や指数を勝手に加えません。正の指数関数が負や0に等しい式には解がありません。
- 変形した式が全ての実数xで成り立つ場合と、限られた解を持つ方程式、解がない場合を区別します。全ての実数解だと言うには、指数法則や正の分母から全ての実数xでの理由を示し、数例だけで済ませません。
- 最後に元の指数の式と計算過程へ各解を代入し、置き換えの正の条件や、場面の範囲を確認します。自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な指数式・グラフ・全実数解と理由は紙や既存ボードで手動確認します。
解き方の例
2^(x+1)=16なら16=2⁴とし、底2は正で1でないためx+1=4、x=3です。元に戻すと2⁴=16です。
4^x−3·2^x+2=0ではt=2^x>0と置き、t²−3t+2=(t−1)(t−2)=0。両方が正なので2^x=1または2よりx=0,1。t=1,2をそのままxの解にはしません。
よくある間違い
- a⁰を0、a^(−n)を−aⁿとする。
- 正の累乗根を、方程式の根±と取り違える。
- a=1や異なる底でも指数だけを等しくする。
- (a²)^(x−1)の指数を2x−1にする。
- 指数の和を累乗の値の和へ変える。
- t=a^xのt>0を落とし、0以下の根も戻す。
- 置き換えたtの値をxの答えにする。
- 元の式・全ての解と場面の範囲を確認しない。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数と選択です。主課題では生徒の底の正・非1の条件、0・負整数・有理数指数の意味、同底への全変形、指数関数の一対一性、置き換えt>0と候補の選別、全実数解への戻しと元への代入を手動確認します。T1は指数の拡張、T2/T3は異なる底と逆数、T4/T5は二次式への置き換えと全解・正の制限、T6は逆数を含む式、T7は全実数での恒等式、T8は意図的な友達の誤り、T9は架空の量のモデルと範囲、T10は生徒の底と指数の選択を見ます。同値な正しい式変形・根号の別表記・初等的別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択です。自由な指数式・置き換えと全実数解・理由、生徒のグラフは紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい指数式パーサーや自動証明器を追加しません。実数指数の厳密な構成や、実測の物理モデル・生徒の達成は主張しません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な指数式・全実数解と理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
16^(3/4)の値を求めてください。
答えと解説
8
16の正の4乗根は2なので、16^(3/4)=2³=8です。
27^(−2/3)の値を求めてください。
答えと解説
27の正の3乗根は3。負の指数で逆数を取り、1/3²=1/9です。
3^(2x−1)=27を満たす実数xを求めてください。
答えと解説
2
27=3³。底3は正で1でないから2x−1=3よりx=2です。
(1/4)^(x+1)=8を満たす実数xを求めてください。
答えと解説
−
底2へそろえると2^(−2x−2)=2³。−2x−2=3からx=−5/2です。
4^x−5·2^x+4=0の二つの実数解のうち、小さい方を求めてください。
答えと解説
0
t=2^x>0で(t−1)(t−4)=0。xは0,2なので小さい方は0です。
2^x+2^(x+1)=24を満たす実数xを求めてください。
答えと解説
3
2^xでくくると3·2^x=24。2^x=8=2³よりx=3です。
9^x=3^(x+2)を満たす実数xを求めてください。
答えと解説
2
9^x=3^(2x)とし、2x=x+2からx=2です。
a>0のとき、a⁰について正しい説明はどれですか。
- 0である
- −1である
- 1である
- aが整数のときだけ定義される
答えと解説
1である
正のaについてa⁰=1と定めると、aⁿ/aⁿ=a⁰という指数法則と一致します。
a>0で、実数u,vに対して正しい指数法則はどれですか。
- a^(u+v)=a^u·a^v
- a^(u+v)=a^u+a^v
- (a^u)^v=a^(u+v)
- a^(u−v)=a^u−a^v
答えと解説
a^(u+v)=a^u·a^v
同じ底の積では指数を加えます。和や差へそのまま変えることはできません。
方程式1^x=1の実数解はどれですか。
- x=0だけ
- x=1だけ
- 解はない
- 全ての実数
答えと解説
全ての実数
底1の実数乗は全て1です。底が正で1でない場合の一対一性を、底1に適用しません。
実数p,qについて(1/3)^p>(1/3)^qが成り立つとき、正しい関係はどれですか。
- p>q
- p<q
- p=q
- 必ずp=−q
答えと解説
p<q
0<1/3<1なので指数関数は単調に減少します。大きい値に対応する指数の方が小さくなります。
方程式2^x=−4の実数解について正しい説明はどれですか。
- x=−2
- x=2
- 実数解はない
- 全ての実数
答えと解説
実数解はない
2^xは全実数xで正なので、負の−4にはなりません。
t=3^x>0と置いてt²−t−6=0となったとき、元の実数xの解はどれですか。
- x=1だけ
- x=−2だけ
- x=3とx=−2
- 実数解はない
答えと解説
x=1だけ
(t−3)(t+2)=0ですがt=−2は正でないため除外。3^x=3からx=1です。
9^(1/2)について正しい値はどれですか。
- −3だけ
- 0
- 3と−3の二つ
- 3だけ
答えと解説
3だけ
正の底の1/2乗は正の平方根3です。方程式z²=9の解±3とは区別します。
考え方を説明する
正の底aについて、a⁰とa^(−n)（nは正の整数）を指数法則と商から説明してください。有理数指数の意味も示し、32^(2/5)、16^(−3/4)、81^(1/4)の厳密値を求めます。正の累乗根と、二乗の方程式の±の根を区別してください。
答えと解説
aⁿ/aⁿ=1なのでa⁰=1、aⁿ·a^(−n)=a⁰=1なのでa^(−n)=1/aⁿ。正のq乗根を用いa^(p/q)=(a^(1/q))^pとする。32^(2/5)=2²=4、16^(−3/4)=1/2³=1/8、81^(1/4)=3。正の累乗根は一つの正の値で、例えばz²=81の二解±9とは別。
生徒の正の底・0でない商と拡張の意味、三つの値と根の区別を見る。厳密な実数指数の構成を要求しない。
4^(x−1)=8^(2x+1)の全ての実数解を求めてください。底2への全変形と、指数を等しくできる理由を示し、得た各解を元の両辺へ代入して一致を確かめます。
答えと解説
2^(2x−2)=2^(6x+3)。底2は正で1でなく一対一なので2x−2=6x+3、x=−5/4だけ。元では両辺とも2^(−9/2)となり一致する。指数のかっこの全体へ倍率を掛ける。
生徒の両辺の底・指数の全分配と一対一性、唯一の解と両辺の代入を見ます。
(1/9)^(x+1)=27^(x−1)の全ての実数解を求めてください。逆数の底と負の指数を、底3に対応させて式と計算過程へ直し、元の両辺への代入で確認します。
答えと解説
1/9=3^(−2)、27=3³なので3^(−2x−2)=3^(3x−3)。一対一性から−2x−2=3x−3、x=1/5だけ。代入すると両辺とも3^(−12/5)。負の指数があっても値は正。
生徒の逆数・負の指数・全分配、一対一性と元の両辺の一致を見ます。
9^x−10·3^x+9=0の全ての実数解を求めてください。何をtと置くかとtの範囲を示し、二次式の全ての根からxへ戻し、元の式で各解を確かめます。
答えと解説
t=3^x>0と置くとt²−10t+9=(t−1)(t−9)=0。両方が正で、3^x=1,9よりx=0,2。元ではx=0で1−10+9=0、x=2で81−90+9=0。一対一性により他の実数解はない。
生徒の置き換えと正の条件、二根・二つのx・元の二代入と全解の理由を見ます。
4^x+3·2^x−4=0の全ての実数解を求めてください。二次式の根に0以下の数が出た場合に、それを元のxへ戻せるかを、指数関数の値の範囲から説明します。
答えと解説
t=2^x>0と置き、t²+3t−4=(t−1)(t+4)=0。t=−4は値が正という条件に合わず除く。t=1からx=0だけ。元で1+3−4=0。正でないtに対応する実数xはない。
生徒のt>0と負の候補の除外、一つの全実数解と元への代入を見ます。
2^x+2^(−x)=5/2の全ての実数解を求めてください。t=2^xと置いたときの逆数の式と範囲、分母を払ってよい条件を示し、各xを元の式へ戻します。
答えと解説
t>0、2^(−x)=1/t。t+1/t=5/2へ正で0でない2tを掛け、2t²−5t+2=(2t−1)(t−2)=0。t=1/2,2は両方正なのでx=−1,1。元ではどちらも1/2+2=5/2。一対一性から他にない。
生徒の逆数・tの0でない・二次式と全二根、xに戻す二解と元への代入を見ます。
方程式(3^(x+1)−3^x)/3^(x−1)=6の全ての実数解を求めてください。分母が0でない理由と、指数法則・共通因数による式と計算過程を示し、一つの数例の一致だけとは区別してください。
答えと解説
全ての実数xで3^(x−1)>0。分子は3^x(3−1)=2·3^x、分母は3^x/3なので商は6。元の式が全実数xで成り立ち、全ての実数が解。数例だけでなく正の分母と式と計算過程の恒等変形で示す。
生徒の元の分母の正・共通因数と式と計算過程、全実数解と一つの値だけの確認の区別を見ます。
友達は「2^(x+2)=2^x+2²だから、指数に足した2は値に4を足すこと」としました。x=2で元と友達の式の値を別々に計算し、指数法則へ戻して直してください。正しい式を使い、2^(x+2)=32の全ての実数解と元への代入も示します。
答えと解説
x=2で元は2⁴=16、友達の式は2²+4=8なので異なる。正しくは2^(x+2)=2^x·2²=4·2^x。32=2⁵よりx+2=5、x=3だけ。元で2⁵=32と確かめる。
生徒の反例の両値・積にする修正、全解と元への代入を見る。意図的な友達の誤りを生徒の公式として受け入れない。
架空の数学モデルで、時刻t（時間）での量をM(t)=80·(1/2)^(t/3)グラム、t≧0と定めます。量20グラムとなる全てのtを求め、正の底・単調性と範囲、元のモデルへの代入を示してください。これは与えられた式での計算で、実測や実際の物質の性質を確かめたものではないことも区別します。
答えと解説
80·(1/2)^(t/3)=20より(1/2)^(t/3)=1/4=(1/2)²。底は正で1未満で一対一なのでt/3=2、t=6時間だけ。t≧0に合い、元でも80·1/4=20グラム。単調に減少するので他の時刻はない。架空の与式の結果で、実験・実測の証拠ではない。
生徒の量と時間の単位、式と底の条件・一対一性・範囲と代入、架空モデルと実測の違いを見ます。
aを2,3,5から、pを1,2から、qを−2,1から一つずつ選びます。a^(2x)−(a^p+a^q)a^x+a^(p+q)=0という自分の具体式を作り、t=a^xの範囲と因数分解から全ての実数解を求め、元への代入で確かめてください。p=qなら解の個数も確認します。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=3,p=2,q=−2なら3^(2x)−(82/9)3^x+1=0。t=3^x>0と置き(t−9)(t−1/9)=0、両方正でx=2,−2。元でx=2は81−82+1=0、x=−2は1/81−82/81+1=0。一般に(t−a^p)(t−a^q)=0なのでx=pまたはq。p=qなら重なる一つの解。生徒の別の条件内の具体式・全解と代入も認め、全12例は必須にしない。
生徒の三数・係数の具体値と式と計算過程、t>0・因数分解・全てのxと代入、同じ根の場合の一解を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(3)ア(ア)(イ)と関連するイ(イ)、冊子59–61/PDF71–73の指数の有理数への拡張と指数関数の性質を踏まえた独自課題です。実数への拡張は一次資料の範囲どおり直観的に扱い、厳密な実数指数の構成・証明は主張しません。正の固定した底、簡単な同底変形と正の置き換えで解ける指数方程式へ限定し、対数全体・微分・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。 · 2026-11-04
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 指数の性質と正の底を確かめ、指数方程式を解く
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/solve-exponential-equations-with-positive-base-and-domain/
準備14問は指定された有理数と選択です。主課題では生徒の底の正・非1の条件、0・負整数・有理数指数の意味、同底への全変形、指数関数の一対一性、置き換えt>0と候補の選別、全実数解への戻しと元への代入を手動確認します。T1は指数の拡張、T2/T3は異なる底と逆数、T4/T5は二次式への置き換えと全解・正の制限、T6は逆数を含む式、T7は全実数での恒等式、T8は意図的な友達の誤り、T9は架空の量のモデルと範囲、T10は生徒の底と指数の選択を見ます。同値な正しい式変形・根号の別表記・初等的別解を認めます。
16^(3/4)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
27^(−2/3)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3^(2x−1)=27を満たす実数xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(1/4)^(x+1)=8を満たす実数xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4^x−5·2^x+4=0の二つの実数解のうち、小さい方を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2^x+2^(x+1)=24を満たす実数xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
9^x=3^(x+2)を満たす実数xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a>0のとき、a⁰について正しい説明はどれですか。
- 0である
- −1である
- 1である
- aが整数のときだけ定義される
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a>0で、実数u,vに対して正しい指数法則はどれですか。
- a^(u+v)=a^u·a^v
- a^(u+v)=a^u+a^v
- (a^u)^v=a^(u+v)
- a^(u−v)=a^u−a^v
途中の計算・単位・理由・確認答え:
方程式1^x=1の実数解はどれですか。
- x=0だけ
- x=1だけ
- 解はない
- 全ての実数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数p,qについて(1/3)^p>(1/3)^qが成り立つとき、正しい関係はどれですか。
- p>q
- p<q
- p=q
- 必ずp=−q
途中の計算・単位・理由・確認答え:
方程式2^x=−4の実数解について正しい説明はどれですか。
- x=−2
- x=2
- 実数解はない
- 全ての実数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
t=3^x>0と置いてt²−t−6=0となったとき、元の実数xの解はどれですか。
- x=1だけ
- x=−2だけ
- x=3とx=−2
- 実数解はない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
9^(1/2)について正しい値はどれですか。
- −3だけ
- 0
- 3と−3の二つ
- 3だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
正の底aについて、a⁰とa^(−n)（nは正の整数）を指数法則と商から説明してください。有理数指数の意味も示し、32^(2/5)、16^(−3/4)、81^(1/4)の厳密値を求めます。正の累乗根と、二乗の方程式の±の根を区別してください。
4^(x−1)=8^(2x+1)の全ての実数解を求めてください。底2への全変形と、指数を等しくできる理由を示し、得た各解を元の両辺へ代入して一致を確かめます。
(1/9)^(x+1)=27^(x−1)の全ての実数解を求めてください。逆数の底と負の指数を、底3に対応させて式と計算過程へ直し、元の両辺への代入で確認します。
9^x−10·3^x+9=0の全ての実数解を求めてください。何をtと置くかとtの範囲を示し、二次式の全ての根からxへ戻し、元の式で各解を確かめます。
4^x+3·2^x−4=0の全ての実数解を求めてください。二次式の根に0以下の数が出た場合に、それを元のxへ戻せるかを、指数関数の値の範囲から説明します。
2^x+2^(−x)=5/2の全ての実数解を求めてください。t=2^xと置いたときの逆数の式と範囲、分母を払ってよい条件を示し、各xを元の式へ戻します。
方程式(3^(x+1)−3^x)/3^(x−1)=6の全ての実数解を求めてください。分母が0でない理由と、指数法則・共通因数による式と計算過程を示し、一つの数例の一致だけとは区別してください。
友達は「2^(x+2)=2^x+2²だから、指数に足した2は値に4を足すこと」としました。x=2で元と友達の式の値を別々に計算し、指数法則へ戻して直してください。正しい式を使い、2^(x+2)=32の全ての実数解と元への代入も示します。
架空の数学モデルで、時刻t（時間）での量をM(t)=80·(1/2)^(t/3)グラム、t≧0と定めます。量20グラムとなる全てのtを求め、正の底・単調性と範囲、元のモデルへの代入を示してください。これは与えられた式での計算で、実測や実際の物質の性質を確かめたものではないことも区別します。
aを2,3,5から、pを1,2から、qを−2,1から一つずつ選びます。a^(2x)−(a^p+a^q)a^x+a^(p+q)=0という自分の具体式を作り、t=a^xの範囲と因数分解から全ての実数解を求め、元への代入で確かめてください。p=qなら解の個数も確認します。全12条件を解く必要はありません。
解答: 指数の性質と正の底を確かめ、指数方程式を解く
8
16の正の4乗根は2なので、16^(3/4)=2³=8です。
27の正の3乗根は3。負の指数で逆数を取り、1/3²=1/9です。
2
27=3³。底3は正で1でないから2x−1=3よりx=2です。
−
底2へそろえると2^(−2x−2)=2³。−2x−2=3からx=−5/2です。
0
t=2^x>0で(t−1)(t−4)=0。xは0,2なので小さい方は0です。
3
2^xでくくると3·2^x=24。2^x=8=2³よりx=3です。
2
9^x=3^(2x)とし、2x=x+2からx=2です。
1である
正のaについてa⁰=1と定めると、aⁿ/aⁿ=a⁰という指数法則と一致します。
a^(u+v)=a^u·a^v
同じ底の積では指数を加えます。和や差へそのまま変えることはできません。
全ての実数
底1の実数乗は全て1です。底が正で1でない場合の一対一性を、底1に適用しません。
p<q
0<1/3<1なので指数関数は単調に減少します。大きい値に対応する指数の方が小さくなります。
実数解はない
2^xは全実数xで正なので、負の−4にはなりません。
x=1だけ
(t−3)(t+2)=0ですがt=−2は正でないため除外。3^x=3からx=1です。
3だけ
正の底の1/2乗は正の平方根3です。方程式z²=9の解±3とは区別します。
記述問題の解答・確認の観点
正の底aについて、a⁰とa^(−n)（nは正の整数）を指数法則と商から説明してください。有理数指数の意味も示し、32^(2/5)、16^(−3/4)、81^(1/4)の厳密値を求めます。正の累乗根と、二乗の方程式の±の根を区別してください。
aⁿ/aⁿ=1なのでa⁰=1、aⁿ·a^(−n)=a⁰=1なのでa^(−n)=1/aⁿ。正のq乗根を用いa^(p/q)=(a^(1/q))^pとする。32^(2/5)=2²=4、16^(−3/4)=1/2³=1/8、81^(1/4)=3。正の累乗根は一つの正の値で、例えばz²=81の二解±9とは別。
生徒の正の底・0でない商と拡張の意味、三つの値と根の区別を見る。厳密な実数指数の構成を要求しない。
4^(x−1)=8^(2x+1)の全ての実数解を求めてください。底2への全変形と、指数を等しくできる理由を示し、得た各解を元の両辺へ代入して一致を確かめます。
2^(2x−2)=2^(6x+3)。底2は正で1でなく一対一なので2x−2=6x+3、x=−5/4だけ。元では両辺とも2^(−9/2)となり一致する。指数のかっこの全体へ倍率を掛ける。
生徒の両辺の底・指数の全分配と一対一性、唯一の解と両辺の代入を見ます。
(1/9)^(x+1)=27^(x−1)の全ての実数解を求めてください。逆数の底と負の指数を、底3に対応させて式と計算過程へ直し、元の両辺への代入で確認します。
1/9=3^(−2)、27=3³なので3^(−2x−2)=3^(3x−3)。一対一性から−2x−2=3x−3、x=1/5だけ。代入すると両辺とも3^(−12/5)。負の指数があっても値は正。
生徒の逆数・負の指数・全分配、一対一性と元の両辺の一致を見ます。
9^x−10·3^x+9=0の全ての実数解を求めてください。何をtと置くかとtの範囲を示し、二次式の全ての根からxへ戻し、元の式で各解を確かめます。
t=3^x>0と置くとt²−10t+9=(t−1)(t−9)=0。両方が正で、3^x=1,9よりx=0,2。元ではx=0で1−10+9=0、x=2で81−90+9=0。一対一性により他の実数解はない。
生徒の置き換えと正の条件、二根・二つのx・元の二代入と全解の理由を見ます。
4^x+3·2^x−4=0の全ての実数解を求めてください。二次式の根に0以下の数が出た場合に、それを元のxへ戻せるかを、指数関数の値の範囲から説明します。
t=2^x>0と置き、t²+3t−4=(t−1)(t+4)=0。t=−4は値が正という条件に合わず除く。t=1からx=0だけ。元で1+3−4=0。正でないtに対応する実数xはない。
生徒のt>0と負の候補の除外、一つの全実数解と元への代入を見ます。
2^x+2^(−x)=5/2の全ての実数解を求めてください。t=2^xと置いたときの逆数の式と範囲、分母を払ってよい条件を示し、各xを元の式へ戻します。
t>0、2^(−x)=1/t。t+1/t=5/2へ正で0でない2tを掛け、2t²−5t+2=(2t−1)(t−2)=0。t=1/2,2は両方正なのでx=−1,1。元ではどちらも1/2+2=5/2。一対一性から他にない。
生徒の逆数・tの0でない・二次式と全二根、xに戻す二解と元への代入を見ます。
方程式(3^(x+1)−3^x)/3^(x−1)=6の全ての実数解を求めてください。分母が0でない理由と、指数法則・共通因数による式と計算過程を示し、一つの数例の一致だけとは区別してください。
全ての実数xで3^(x−1)>0。分子は3^x(3−1)=2·3^x、分母は3^x/3なので商は6。元の式が全実数xで成り立ち、全ての実数が解。数例だけでなく正の分母と式と計算過程の恒等変形で示す。
生徒の元の分母の正・共通因数と式と計算過程、全実数解と一つの値だけの確認の区別を見ます。
友達は「2^(x+2)=2^x+2²だから、指数に足した2は値に4を足すこと」としました。x=2で元と友達の式の値を別々に計算し、指数法則へ戻して直してください。正しい式を使い、2^(x+2)=32の全ての実数解と元への代入も示します。
x=2で元は2⁴=16、友達の式は2²+4=8なので異なる。正しくは2^(x+2)=2^x·2²=4·2^x。32=2⁵よりx+2=5、x=3だけ。元で2⁵=32と確かめる。
生徒の反例の両値・積にする修正、全解と元への代入を見る。意図的な友達の誤りを生徒の公式として受け入れない。
架空の数学モデルで、時刻t（時間）での量をM(t)=80·(1/2)^(t/3)グラム、t≧0と定めます。量20グラムとなる全てのtを求め、正の底・単調性と範囲、元のモデルへの代入を示してください。これは与えられた式での計算で、実測や実際の物質の性質を確かめたものではないことも区別します。
80·(1/2)^(t/3)=20より(1/2)^(t/3)=1/4=(1/2)²。底は正で1未満で一対一なのでt/3=2、t=6時間だけ。t≧0に合い、元でも80·1/4=20グラム。単調に減少するので他の時刻はない。架空の与式の結果で、実験・実測の証拠ではない。
生徒の量と時間の単位、式と底の条件・一対一性・範囲と代入、架空モデルと実測の違いを見ます。
aを2,3,5から、pを1,2から、qを−2,1から一つずつ選びます。a^(2x)−(a^p+a^q)a^x+a^(p+q)=0という自分の具体式を作り、t=a^xの範囲と因数分解から全ての実数解を求め、元への代入で確かめてください。p=qなら解の個数も確認します。全12条件を解く必要はありません。
作例a=3,p=2,q=−2なら3^(2x)−(82/9)3^x+1=0。t=3^x>0と置き(t−9)(t−1/9)=0、両方正でx=2,−2。元でx=2は81−82+1=0、x=−2は1/81−82/81+1=0。一般に(t−a^p)(t−a^q)=0なのでx=pまたはq。p=qなら重なる一つの解。生徒の別の条件内の具体式・全解と代入も認め、全12例は必須にしない。
生徒の三数・係数の具体値と式と計算過程、t>0・因数分解・全てのxと代入、同じ根の場合の一解を見ます。