加法定理で三角関数の値と式を求める
角の和と差、象限の符号と加法定理を結びます。準備14問と、生徒が途中式・条件と理由を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(4)ア(エ)と関連するイ(ア)、冊子62–63/PDF74–75の加法定理と、その導出・活用に関わる範囲を踏まえた独自課題です。一般角・弧度法・単位円の符号は前提を明示し、加法定理、倍角と簡単な合成へ限定します。三角関数全体・数学Ⅱ全体・固定学年の履修や授業効果は主張しません。
解説を読む
角を足しても、三角関数の値をそのまま足すことはできません。角の単位と象限、必要な値の符号を確かめ、和・差の公式へ代入して式と計算過程と検算を残します。倍角と合成も加法定理から説明します。
必要な予備知識
一般角の単位円による定義、象限と符号、sin²θ+cos²θ=1、tanθ=sinθ/cosθ（cosθ≠0）、平方根と分数の計算。πラジアン=180°で、本題は特記しなければラジアンです。数学Ⅰの鋭角の三角比だけとは範囲が異なります。微分・ベクトルは前提にしません。
- 単位円上で角θに対応する点を(cosθ,sinθ)とし、反時計回りを正とします。πラジアン=180°です。本題のπを含む角はラジアンで、度数法なら°を明記します。実数の一般角も扱い、鋭角だけに限りません。
- sin²θ+cos²θ=1から一方の二乗が分かっても、他方の符号は自動には決まりません。角の象限や条件を先に確認します。第Ⅰ象限はsin,cosが正、第Ⅱはsinが正でcosが負、第Ⅲは両方負、第Ⅳはsinが負でcosが正です。
- 実数α,βについて、sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ、sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβです。sin(α+β)をsinα+sinβとはしません。−βへ置き換えるときはsin(−β)=−sinβ、cos(−β)=cosβを使います。
- cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ、cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβです。sinの和差とcosの和差では符号の並びが異なるので、公式の全体を書いて確認します。
- tanα,tanβが定義され、さらにcos(α+β)≠0なら、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)です。差ではtan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)です。分母が0のとき、この分数で値を求めず、元のsin,cosで定義を確かめます。
- α=β=θを加法定理へ入れると、sin2θ=2sinθcosθ、cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1です。sin2θはsinの値の二乗ではなく、角2θのsinです。
- 例えば75°=45°+30°のように既知の角の和や差へ分け、全公式へ代入します。平方根や分数を保った厳密値と小数の近似値を区別し、符号や絶対値が1以下かも確認します。
- A,Bが同時に0でないときR=√(A²+B²)>0とし、cosφ=A/R、sinφ=B/Rとなる角φを選ぶと、Asinθ+Bcosθ=Rsin(θ+φ)です。φの象限は二つの係数の符号と対応させ、展開して全係数を確かめます。
- 一つの角を代入して合うだけでは、全ての角で成り立つ恒等式の証明になりません。加法定理による展開や同値な変形を式と計算過程で示します。誤りを示す反例には、実際の値と誤った式の値を両方残します。
- 自動採点は準備の指定された有理数と選択だけです。生徒の公式の導出、平方根の式と計算過程、象限・定義条件、反例や合成の説明は紙や既存ボードへ書き、講師が手動確認します。正しい同値な式や別解を認めます。
解き方の例
sin(π/3+π/6)=sin(π/3)cos(π/6)+cos(π/3)sin(π/6)=3/4+1/4=1です。π/2のsinの値とも一致します。二つのsinの単純な和ではありません。
第Ⅱ象限のθでsinθ=3/5ならcosθ=−4/5です。したがってsin2θ=2·(3/5)·(−4/5)=−24/25、cos2θ=16/25−9/25=7/25です。cosθの符号を正にすると別の角を扱うことになります。
よくある間違い
- 角の単位を混ぜ、π/6と30ラジアンを同じにする。
- sin(α+β)をsinα+sinβにする。
- cosの加法定理と差の公式の符号を入れ替える。
- 平方根を常に正に取り、象限の条件を落とす。
- tanの分母0を普通の数として割ったり、定義条件を見ない。
- sin2θとsin²θを取り違える。
- 合成でsinφとcosφの係数を逆にする。
- 一例の一致を全ての角の恒等式の証明にする。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数と選択だけです。主課題では生徒の全公式、角の単位・象限と符号、厳密値の代入と整理、tanの定義条件、倍角の導出、和差の展開、合成の全係数と反例を手動確認します。T1は和差で四つの厳密値、T2は象限からの符号と四つの値、T3はtanの分母と角の範囲、T4は倍角の導出、T5は任意の角についての恒等式の証明、T6は合成と展開、T7/T8は意図的な友達の誤りの修正、T9は度数法・弧度法と象限、T10は生徒が選ぶ一組の角の条件を見ます。正しい同値な式・平方根の別表記・初等的な別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択です。自由な三角式・平方根・証明、生徒の図と式と計算過程や説明は講師が紙や既存ボードで手動確認します。新しい三角式パーサー・自動証明器を追加せず、準備の正答だけで生徒の導出や活用ができたとはしません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自分の三角式・平方根・条件と証明は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
加法定理を使い、sin(π/6+π/3)の値を求めてください。
答えと解説
1
sin(π/6)cos(π/3)+cos(π/6)sin(π/3)=1/4+3/4=1です。角の和はπ/2です。
加法定理を使い、cos(π/4+π/4)の値を求めてください。
答えと解説
0
cos²(π/4)−sin²(π/4)=1/2−1/2=0です。
sin(5π/6−π/6)の値の二乗を求めてください。sin自体の値ではありません。
答えと解説
差の公式では(1/2)(√3/2)−(−√3/2)(1/2)=√3/2。その二乗は3/4です。
αは第Ⅱ象限、sinα=3/5。βは第Ⅰ象限、sinβ=5/13です。sin(α+β)を求めてください。
答えと解説
cosα=−4/5、cosβ=12/13。sin(α+β)=36/65−20/65=16/65です。
αは第Ⅱ象限、sinα=3/5。βは第Ⅰ象限、sinβ=5/13です。cos(α−β)を求めてください。
答えと解説
−
cosα=−4/5、cosβ=12/13。cos(α−β)=−48/65+15/65=−33/65です。
θは第Ⅲ象限、sinθ=−5/13です。sin2θを求めてください。
答えと解説
第Ⅲ象限なのでcosθ=−12/13。sin2θ=2·(−5/13)·(−12/13)=120/169です。
θは第Ⅲ象限、sinθ=−5/13です。cos2θを求めてください。
答えと解説
cos²θ=144/169、sin²θ=25/169よりcos2θ=119/169です。
全ての実数α,βについて正しい式はどれですか。
- sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
- sin(α−β)=sinα−sinβ
- sin(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβ
- sin(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
答えと解説
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sinの差の公式はsinαcosβ−cosαsinβです。各角をまとめず二項とも残します。
α=β=π/4のとき、tan(α+β)について正しい説明はどれですか。
- 0になる
- 1になる
- 2になる
- 定義されない
答えと解説
定義されない
和はπ/2でcos(π/2)=0です。tanの加法公式の分母も1−1·1=0となり、数として割れません。
全ての実数θについてcos2θに等しい式はどれですか。
- 2sin²θ−1
- 1−2sin²θ
- 1−sin²θ
- 2cosθ−1
答えと解説
1−2sin²θ
cos²θ−sin²θ=(1−sin²θ)−sin²θ=1−2sin²θです。
sin(θ+π/3)を展開した正しい式はどれですか。
- (√3/2)sinθ+(1/2)cosθ
- (1/2)sinθ−(√3/2)cosθ
- (1/2)sinθ+(√3/2)cosθ
- sinθ+√3/2
答えと解説
(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ
sinθcos(π/3)+cosθsin(π/3)より、sinθの係数は1/2、cosθの係数は√3/2です。
sinθ+√3cosθに全てのθで等しい式はどれですか。
- 2sin(θ+π/3)
- 2sin(θ−π/3)
- 2sin(θ+π/6)
- sin(θ+π/3)
答えと解説
2sin(θ+π/3)
2sin(θ+π/3)=2·(sinθ/2+√3cosθ/2)=sinθ+√3cosθです。
友達の式sin(α+β)=sinα+sinβを、α=β=π/6で調べます。左辺と右辺の実際の値の組はどれですか。
- 左辺1、右辺1
- 左辺1/2、右辺√3/2
- 左辺√3/2、右辺1/2
- 左辺√3/2、右辺1
答えと解説
左辺√3/2、右辺1
左辺sin(π/3)=√3/2、右辺1/2+1/2=1なので異なり、反例です。
αは第Ⅱ象限でsinα=3/5、βは第Ⅲ象限でsinβ=−12/13です。cos(α+β)の符号はどれですか。
- 負
- 正
- 0
- 条件から決まらない
答えと解説
正
cosα=−4/5、cosβ=−5/13。cos(α+β)=20/65−(−36/65)=56/65>0です。
考え方を説明する
75°=45°+30°、15°=45°−30°を使い、sin75°、cos75°、sin15°、cos15°の厳密値を求めてください。各加法定理の式と計算過程と平方根の整理を示し、角が全て第Ⅰ象限であることと符号を確かめます。
答えと解説
sin75°=(√6+√2)/4、cos75°=(√6−√2)/4、sin15°=(√6−√2)/4、cos15°=(√6+√2)/4。例えばsin75°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)。他の三つも対応する和差の公式へ代入し、全て正となる。
生徒の四つの全公式と代入・厳密値、度数法と象限を確認する。同値な平方根の表記も認める。
0<α<π、sinα=5/13、かつαは第Ⅱ象限です。−π/2<β<0、cosβ=4/5です。cosα、sinβの符号を決め、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程から求めてください。得た和と差それぞれでsin²+cos²=1も確かめます。
答えと解説
cosα=−12/13、sinβ=−3/5。和はsin=56/65、cos=−33/65。差はsin=−16/65、cos=−63/65。和では(3136+1089)/4225=1、差では(256+3969)/4225=1。象限と平方恒等式から符号を決めて四つの公式へ代入する。
生徒の条件と符号・全四式、和と差の二つの検算を見る。検算だけで元の式の代わりにしない。
α,βは第Ⅰ象限でtanα=1/2、tanβ=1/3です。tan(α+β)、tan(α−β)を定義条件と式と計算過程から求めてください。和の角がどの範囲にあるかをsinとcosの符号から確かめ、α+βを0<α+β<πの中で特定します。
答えと解説
tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1−1/6)=1、tan(α−β)=(1/2−1/3)/(1+1/6)=1/7。cosαcosβ>0で和のcosの符号は1−1/6>0、和のsinも正。したがって和は第Ⅰ象限で、0<α+β<πにおけるtan=1からα+β=π/4。どちらの分母も0ではない。
生徒の二つの分母と結果、和のsinとcosの符号・範囲による角の一意な特定を見る。tan=1だけで無条件に角を一つに決めない。
加法定理で二つの角を両方θとして、sin2θ=2sinθcosθとcos2θ=cos²θ−sin²θを導いてください。さらにcos2θの別の二形を導きます。θが第Ⅲ象限、cosθ=−7/25のとき、sinθ、sin2θ、cos2θを求めて検算してください。
答えと解説
sin(θ+θ)とcos(θ+θ)を展開して二式を導く。sin²θ+cos²θ=1からcos2θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1。第Ⅲ象限でsinθ=−24/25、sin2θ=336/625、cos2θ=−527/625。(336²+527²)/625²=1。
生徒の任意の角について成り立つ式の導出・別の二形、象限の負符号・三つの値と検算を見ます。
全ての実数u,vでsin(u+v)+sin(u−v)=2sinucosvとなることを、加法定理の式と計算過程で示してください。次にu=π/4、v=π/6へ代入し、sin(5π/12)+sin(π/12)の厳密値を求めます。一組の数値の一致だけでは恒等式の証明にならない理由も説明します。
答えと解説
二項を展開するとsinucosv+cosusinv+sinucosv−cosusinv=2sinucosv。指定した和は2·(√2/2)·(√3/2)=√6/2。一例の代入はその組でしか確かめず、全実数の主張には式と計算過程の変形が必要。
生徒の相殺を含む全展開・厳密値・恒等式と一例の違いを見る。正しい別の恒等変形も認める。
3sinθ+4cosθをRsin(θ+φ)と表します。R>0、0<φ<π/2としてR、sinφ、cosφを求め、全ての実数θで成り立つことを展開して示してください。θ=0とθ=π/2の二つも代入して、係数を取り違えていないか確認します。φを小数へ直す必要はありません。
答えと解説
R=5、cosφ=3/5、sinφ=4/5。5sin(θ+φ)=5sinθ(3/5)+5cosθ(4/5)=3sinθ+4cosθ。両係数が正なのでφは第Ⅰ象限。θ=0では4、θ=π/2では3。二例の確認とは別に全展開で恒等式を示す。
生徒のR・位相角の条件とsin/cosの対応、任意の角についての展開と二つの代入を見る。φの正しい同値な表し方を認める。
友達は「cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβだから、α=β=π/3ではcos(α+β)=1」としました。実際の角の値と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の公式へ直してください。友達の右辺が正しく表す差の角の式も書きます。
答えと解説
実際の左辺はcos(2π/3)=−1/2。友達の右辺は1/4+3/4=1で一致しない。和では正しくcosαcosβ−sinαsinβなので1/4−3/4=−1/2。友達の右辺はcos(α−β)で、指定した角ならcos0=1。
生徒の反例の両値・正しい符号と修正後の値、差の式との区別を見る。友達の意図的誤りを生徒の式として受け入れない。
α,βは第Ⅰ象限、tanα=2、tanβ=1/2です。友達は「tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1−tanαtanβ)なので分母0で定義されない」としました。sinα、cosα、sinβ、cosβを求め、差のsinとcosからtan(α−β)を求めて修正してください。和のtanが定義されるかも別に調べます。
答えと解説
sinα=2/√5、cosα=1/√5、sinβ=1/√5、cosβ=2/√5。差ではsin=3/5、cos=4/5なのでtan=3/4。差の分母は1+tanαtanβ=2であり、友達は和の分母を誤用した。和ではcos=2/5−2/5=0、sin=1だからtanは定義されない。
生徒の四つの値・差のsin/cosと定義条件・正しい分母、和と差の区別を見る。平方根の同値な表記も認める。
11π/12、7π/12、13π/12をそれぞれ度数法へ直し、既知の角の和や差を用いてsin(11π/12)、cos(7π/12)、tan(13π/12)の厳密値を求めてください。各角の象限と符号、tanが定義されることも確かめます。
答えと解説
順に165°、105°、195°。sin165°=sin(180°−15°)=(√6−√2)/4>0、cos105°=cos(60°+45°)=(√2−√6)/4<0、tan195°=tan(180°+15°)=tan15°=2−√3>0。15°=45°−30°の和差公式を式と計算過程で使う。195°は第Ⅲ象限でcos≠0。
生徒の三つの単位変換・全公式・厳密値と象限、tanの定義を見る。正しい別の角の分け方を認める。
αの条件をA「第Ⅱ象限、sinα=3/5」かB「第Ⅲ象限、sinα=−8/17」から、βの条件をC「第Ⅰ象限、sinβ=5/13」かD「第Ⅳ象限、sinβ=−3/5」から一つずつ選びます。選んだ条件を明記し、二つのcosの符号と値、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程で求めます。和と差のsin²+cos²を検算し、和のtanの定義と値も示してください。全四組を解く必要はありません。
答えと解説
作例A,Cならcosα=−4/5、cosβ=12/13。和はsin=16/65、cos=−63/65、差はsin=56/65、cos=−33/65。それぞれ(256+3969)/4225=1、(3136+1089)/4225=1。和のcosが0でないのでtan(α+β)=−16/63。生徒の別の許された一組についても、式と計算過程・符号と検算が正しければ認める。
生徒が実際に選んだ一組・二つのcos・全四式・二つの検算とtanの定義を見る。全四例は必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(4)ア(エ)と関連するイ(ア)、冊子62–63/PDF74–75の加法定理と、その導出・活用に関わる範囲を踏まえた独自課題です。一般角・弧度法・単位円の符号は前提を明示し、加法定理、倍角と簡単な合成へ限定します。三角関数全体・数学Ⅱ全体・固定学年の履修や授業効果は主張しません。 · 2026-11-04
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準備14問は指定された有理数と選択だけです。主課題では生徒の全公式、角の単位・象限と符号、厳密値の代入と整理、tanの定義条件、倍角の導出、和差の展開、合成の全係数と反例を手動確認します。T1は和差で四つの厳密値、T2は象限からの符号と四つの値、T3はtanの分母と角の範囲、T4は倍角の導出、T5は任意の角についての恒等式の証明、T6は合成と展開、T7/T8は意図的な友達の誤りの修正、T9は度数法・弧度法と象限、T10は生徒が選ぶ一組の角の条件を見ます。正しい同値な式・平方根の別表記・初等的な別解を認めます。
加法定理を使い、sin(π/6+π/3)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
加法定理を使い、cos(π/4+π/4)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
sin(5π/6−π/6)の値の二乗を求めてください。sin自体の値ではありません。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
αは第Ⅱ象限、sinα=3/5。βは第Ⅰ象限、sinβ=5/13です。sin(α+β)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
αは第Ⅱ象限、sinα=3/5。βは第Ⅰ象限、sinβ=5/13です。cos(α−β)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
θは第Ⅲ象限、sinθ=−5/13です。sin2θを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
θは第Ⅲ象限、sinθ=−5/13です。cos2θを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全ての実数α,βについて正しい式はどれですか。
- sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
- sin(α−β)=sinα−sinβ
- sin(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβ
- sin(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
α=β=π/4のとき、tan(α+β)について正しい説明はどれですか。
- 0になる
- 1になる
- 2になる
- 定義されない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全ての実数θについてcos2θに等しい式はどれですか。
- 2sin²θ−1
- 1−2sin²θ
- 1−sin²θ
- 2cosθ−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
sin(θ+π/3)を展開した正しい式はどれですか。
- (√3/2)sinθ+(1/2)cosθ
- (1/2)sinθ−(√3/2)cosθ
- (1/2)sinθ+(√3/2)cosθ
- sinθ+√3/2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
sinθ+√3cosθに全てのθで等しい式はどれですか。
- 2sin(θ+π/3)
- 2sin(θ−π/3)
- 2sin(θ+π/6)
- sin(θ+π/3)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
友達の式sin(α+β)=sinα+sinβを、α=β=π/6で調べます。左辺と右辺の実際の値の組はどれですか。
- 左辺1、右辺1
- 左辺1/2、右辺√3/2
- 左辺√3/2、右辺1/2
- 左辺√3/2、右辺1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
αは第Ⅱ象限でsinα=3/5、βは第Ⅲ象限でsinβ=−12/13です。cos(α+β)の符号はどれですか。
- 負
- 正
- 0
- 条件から決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
75°=45°+30°、15°=45°−30°を使い、sin75°、cos75°、sin15°、cos15°の厳密値を求めてください。各加法定理の式と計算過程と平方根の整理を示し、角が全て第Ⅰ象限であることと符号を確かめます。
0<α<π、sinα=5/13、かつαは第Ⅱ象限です。−π/2<β<0、cosβ=4/5です。cosα、sinβの符号を決め、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程から求めてください。得た和と差それぞれでsin²+cos²=1も確かめます。
α,βは第Ⅰ象限でtanα=1/2、tanβ=1/3です。tan(α+β)、tan(α−β)を定義条件と式と計算過程から求めてください。和の角がどの範囲にあるかをsinとcosの符号から確かめ、α+βを0<α+β<πの中で特定します。
加法定理で二つの角を両方θとして、sin2θ=2sinθcosθとcos2θ=cos²θ−sin²θを導いてください。さらにcos2θの別の二形を導きます。θが第Ⅲ象限、cosθ=−7/25のとき、sinθ、sin2θ、cos2θを求めて検算してください。
全ての実数u,vでsin(u+v)+sin(u−v)=2sinucosvとなることを、加法定理の式と計算過程で示してください。次にu=π/4、v=π/6へ代入し、sin(5π/12)+sin(π/12)の厳密値を求めます。一組の数値の一致だけでは恒等式の証明にならない理由も説明します。
3sinθ+4cosθをRsin(θ+φ)と表します。R>0、0<φ<π/2としてR、sinφ、cosφを求め、全ての実数θで成り立つことを展開して示してください。θ=0とθ=π/2の二つも代入して、係数を取り違えていないか確認します。φを小数へ直す必要はありません。
友達は「cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβだから、α=β=π/3ではcos(α+β)=1」としました。実際の角の値と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の公式へ直してください。友達の右辺が正しく表す差の角の式も書きます。
α,βは第Ⅰ象限、tanα=2、tanβ=1/2です。友達は「tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1−tanαtanβ)なので分母0で定義されない」としました。sinα、cosα、sinβ、cosβを求め、差のsinとcosからtan(α−β)を求めて修正してください。和のtanが定義されるかも別に調べます。
11π/12、7π/12、13π/12をそれぞれ度数法へ直し、既知の角の和や差を用いてsin(11π/12)、cos(7π/12)、tan(13π/12)の厳密値を求めてください。各角の象限と符号、tanが定義されることも確かめます。
αの条件をA「第Ⅱ象限、sinα=3/5」かB「第Ⅲ象限、sinα=−8/17」から、βの条件をC「第Ⅰ象限、sinβ=5/13」かD「第Ⅳ象限、sinβ=−3/5」から一つずつ選びます。選んだ条件を明記し、二つのcosの符号と値、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程で求めます。和と差のsin²+cos²を検算し、和のtanの定義と値も示してください。全四組を解く必要はありません。
解答: 加法定理で三角関数の値と式を求める
1
sin(π/6)cos(π/3)+cos(π/6)sin(π/3)=1/4+3/4=1です。角の和はπ/2です。
0
cos²(π/4)−sin²(π/4)=1/2−1/2=0です。
差の公式では(1/2)(√3/2)−(−√3/2)(1/2)=√3/2。その二乗は3/4です。
cosα=−4/5、cosβ=12/13。sin(α+β)=36/65−20/65=16/65です。
−
cosα=−4/5、cosβ=12/13。cos(α−β)=−48/65+15/65=−33/65です。
第Ⅲ象限なのでcosθ=−12/13。sin2θ=2·(−5/13)·(−12/13)=120/169です。
cos²θ=144/169、sin²θ=25/169よりcos2θ=119/169です。
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sinの差の公式はsinαcosβ−cosαsinβです。各角をまとめず二項とも残します。
定義されない
和はπ/2でcos(π/2)=0です。tanの加法公式の分母も1−1·1=0となり、数として割れません。
1−2sin²θ
cos²θ−sin²θ=(1−sin²θ)−sin²θ=1−2sin²θです。
(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ
sinθcos(π/3)+cosθsin(π/3)より、sinθの係数は1/2、cosθの係数は√3/2です。
2sin(θ+π/3)
2sin(θ+π/3)=2·(sinθ/2+√3cosθ/2)=sinθ+√3cosθです。
左辺√3/2、右辺1
左辺sin(π/3)=√3/2、右辺1/2+1/2=1なので異なり、反例です。
正
cosα=−4/5、cosβ=−5/13。cos(α+β)=20/65−(−36/65)=56/65>0です。
記述問題の解答・確認の観点
75°=45°+30°、15°=45°−30°を使い、sin75°、cos75°、sin15°、cos15°の厳密値を求めてください。各加法定理の式と計算過程と平方根の整理を示し、角が全て第Ⅰ象限であることと符号を確かめます。
sin75°=(√6+√2)/4、cos75°=(√6−√2)/4、sin15°=(√6−√2)/4、cos15°=(√6+√2)/4。例えばsin75°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)。他の三つも対応する和差の公式へ代入し、全て正となる。
生徒の四つの全公式と代入・厳密値、度数法と象限を確認する。同値な平方根の表記も認める。
0<α<π、sinα=5/13、かつαは第Ⅱ象限です。−π/2<β<0、cosβ=4/5です。cosα、sinβの符号を決め、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程から求めてください。得た和と差それぞれでsin²+cos²=1も確かめます。
cosα=−12/13、sinβ=−3/5。和はsin=56/65、cos=−33/65。差はsin=−16/65、cos=−63/65。和では(3136+1089)/4225=1、差では(256+3969)/4225=1。象限と平方恒等式から符号を決めて四つの公式へ代入する。
生徒の条件と符号・全四式、和と差の二つの検算を見る。検算だけで元の式の代わりにしない。
α,βは第Ⅰ象限でtanα=1/2、tanβ=1/3です。tan(α+β)、tan(α−β)を定義条件と式と計算過程から求めてください。和の角がどの範囲にあるかをsinとcosの符号から確かめ、α+βを0<α+β<πの中で特定します。
tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1−1/6)=1、tan(α−β)=(1/2−1/3)/(1+1/6)=1/7。cosαcosβ>0で和のcosの符号は1−1/6>0、和のsinも正。したがって和は第Ⅰ象限で、0<α+β<πにおけるtan=1からα+β=π/4。どちらの分母も0ではない。
生徒の二つの分母と結果、和のsinとcosの符号・範囲による角の一意な特定を見る。tan=1だけで無条件に角を一つに決めない。
加法定理で二つの角を両方θとして、sin2θ=2sinθcosθとcos2θ=cos²θ−sin²θを導いてください。さらにcos2θの別の二形を導きます。θが第Ⅲ象限、cosθ=−7/25のとき、sinθ、sin2θ、cos2θを求めて検算してください。
sin(θ+θ)とcos(θ+θ)を展開して二式を導く。sin²θ+cos²θ=1からcos2θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1。第Ⅲ象限でsinθ=−24/25、sin2θ=336/625、cos2θ=−527/625。(336²+527²)/625²=1。
生徒の任意の角について成り立つ式の導出・別の二形、象限の負符号・三つの値と検算を見ます。
全ての実数u,vでsin(u+v)+sin(u−v)=2sinucosvとなることを、加法定理の式と計算過程で示してください。次にu=π/4、v=π/6へ代入し、sin(5π/12)+sin(π/12)の厳密値を求めます。一組の数値の一致だけでは恒等式の証明にならない理由も説明します。
二項を展開するとsinucosv+cosusinv+sinucosv−cosusinv=2sinucosv。指定した和は2·(√2/2)·(√3/2)=√6/2。一例の代入はその組でしか確かめず、全実数の主張には式と計算過程の変形が必要。
生徒の相殺を含む全展開・厳密値・恒等式と一例の違いを見る。正しい別の恒等変形も認める。
3sinθ+4cosθをRsin(θ+φ)と表します。R>0、0<φ<π/2としてR、sinφ、cosφを求め、全ての実数θで成り立つことを展開して示してください。θ=0とθ=π/2の二つも代入して、係数を取り違えていないか確認します。φを小数へ直す必要はありません。
R=5、cosφ=3/5、sinφ=4/5。5sin(θ+φ)=5sinθ(3/5)+5cosθ(4/5)=3sinθ+4cosθ。両係数が正なのでφは第Ⅰ象限。θ=0では4、θ=π/2では3。二例の確認とは別に全展開で恒等式を示す。
生徒のR・位相角の条件とsin/cosの対応、任意の角についての展開と二つの代入を見る。φの正しい同値な表し方を認める。
友達は「cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβだから、α=β=π/3ではcos(α+β)=1」としました。実際の角の値と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の公式へ直してください。友達の右辺が正しく表す差の角の式も書きます。
実際の左辺はcos(2π/3)=−1/2。友達の右辺は1/4+3/4=1で一致しない。和では正しくcosαcosβ−sinαsinβなので1/4−3/4=−1/2。友達の右辺はcos(α−β)で、指定した角ならcos0=1。
生徒の反例の両値・正しい符号と修正後の値、差の式との区別を見る。友達の意図的誤りを生徒の式として受け入れない。
α,βは第Ⅰ象限、tanα=2、tanβ=1/2です。友達は「tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1−tanαtanβ)なので分母0で定義されない」としました。sinα、cosα、sinβ、cosβを求め、差のsinとcosからtan(α−β)を求めて修正してください。和のtanが定義されるかも別に調べます。
sinα=2/√5、cosα=1/√5、sinβ=1/√5、cosβ=2/√5。差ではsin=3/5、cos=4/5なのでtan=3/4。差の分母は1+tanαtanβ=2であり、友達は和の分母を誤用した。和ではcos=2/5−2/5=0、sin=1だからtanは定義されない。
生徒の四つの値・差のsin/cosと定義条件・正しい分母、和と差の区別を見る。平方根の同値な表記も認める。
11π/12、7π/12、13π/12をそれぞれ度数法へ直し、既知の角の和や差を用いてsin(11π/12)、cos(7π/12)、tan(13π/12)の厳密値を求めてください。各角の象限と符号、tanが定義されることも確かめます。
順に165°、105°、195°。sin165°=sin(180°−15°)=(√6−√2)/4>0、cos105°=cos(60°+45°)=(√2−√6)/4<0、tan195°=tan(180°+15°)=tan15°=2−√3>0。15°=45°−30°の和差公式を式と計算過程で使う。195°は第Ⅲ象限でcos≠0。
生徒の三つの単位変換・全公式・厳密値と象限、tanの定義を見る。正しい別の角の分け方を認める。
αの条件をA「第Ⅱ象限、sinα=3/5」かB「第Ⅲ象限、sinα=−8/17」から、βの条件をC「第Ⅰ象限、sinβ=5/13」かD「第Ⅳ象限、sinβ=−3/5」から一つずつ選びます。選んだ条件を明記し、二つのcosの符号と値、sin(α+β)、cos(α+β)、sin(α−β)、cos(α−β)を式と計算過程で求めます。和と差のsin²+cos²を検算し、和のtanの定義と値も示してください。全四組を解く必要はありません。
作例A,Cならcosα=−4/5、cosβ=12/13。和はsin=16/65、cos=−63/65、差はsin=56/65、cos=−33/65。それぞれ(256+3969)/4225=1、(3136+1089)/4225=1。和のcosが0でないのでtan(α+β)=−16/63。生徒の別の許された一組についても、式と計算過程・符号と検算が正しければ認める。
生徒が実際に選んだ一組・二つのcos・全四式・二つの検算とtanの定義を見る。全四例は必須にしない。