放物線とx軸の位置から二次不等式の全ての解を表す
左辺を0とする方程式の解だけでなく、区間ごとの正負と境界を含むかどうかを確かめて、不等式の全ての解を表します。準備14問と、自分の符号表・グラフ・数直線・検算を残す主課題10題です。重解、左辺を0とする方程式に実数解がない場合、指定範囲との共通部分も扱います。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(3)ア(ウ)、冊子41〜42/PDF53〜54の二次不等式と二次関数のグラフの関係を踏まえた独自課題です。現行の出版社の2026年度年間指導計画にも二次不等式が記載されています。対応する二次方程式の解の計算から進み、連続した各区間の符号・境界を含む場合と含まない場合・全解の数直線表示を中心にします。分数式不等式や任意パラメータのすべての場合分類は必須にしません。出版社の問題・図・数値は写していません。
解説を読む
二次方程式の解はグラフのy=0となるxです。二次不等式では、グラフがx軸の上か下かという区間全体を調べます。正の値と0以上、負の値と0以下を区別し、境界の点を含むかも答えの一部として示します。特に重解では、x軸との共有点（接点）の両側で符号は変わりません。
必要な予備知識
二次方程式とすべての解の検算、平方完成・放物線、不等式と数直線、共通部分。根号の厳密値と近似値を区別します。生徒の自由な区間表記・符号表・グラフ・数直線は紙や既存の授業用ボードに残し、講師が手動確認します。
- まず不等式の左辺をf(x)とし、方程式f(x)=0の実数解とグラフを調べます。これらの値で数直線を区切り、各区間の符号を確かめます。方程式の解を求めるだけで不等式の解が終わったとはしません。
- 異なる実数解r<sでf(x)=a(x−r)(x−s)なら、三つの区間x<r、r<x<s、s<xで二因数の符号を調べます。a>0なら外側が正・内側が負、a<0なら逆です。
- f(x)>0はx軸より上、f(x)<0は下の部分に対応します。f(x)≧0やf(x)≦0では、f(x)=0となるxも含みます。数直線では含む境界を●、含まない境界を○として区別します。
- 重解rがあるa(x−r)²では、平方はrだけで0、それ以外で正です。係数aの符号と合わせて、全実数・一点だけ・一点を除く全実数・解なしを判断します。
- 方程式f(x)=0に実数解がなくても、不等式が解なしとは限りません。平方完成によって常に正か常に負かを理由付きで示し、不等号の向きと照合します。
- 方程式の解に根号が含まれる場合は、その厳密値を境界に使います。図の位置を決めるために近似する場合も、近似小数を元の解の厳密値と等号で結びません。
- xの範囲が別に指定されたら、不等式だけの解と指定範囲の共通部分を取ります。f(x)=0となるxと、追加された範囲の端で、解に含むかをそれぞれ確かめます。
- 代表値の代入は符号表の検算です。有限個の点に合うだけを区間全体の証明にせず、因数の符号や平方の性質、係数の符号で全区間を説明します。
解き方の例
x²−4x+3<0では(x−1)(x−3)<0。x<1は二因数とも負、1<x<3は異符号、x>3はともに正です。負になる1<x<3が解で、方程式の解1,3は含みません。
−(x−2)²≧0では平方が0以上なので左辺は0以下。0以上にもなるのは平方が0のx=2だけです。x=2の一点を●で示します。
よくある間違い
- 二次方程式の二つの解だけを不等式の答えにする。
- 負の二次係数でも、いつでも外側が正だと決める。
- 不等号に等号がないのに、左辺が0になるxを含める。
- 重解でも両側で符号が変わるとする。
- 対応する方程式に実数解がないことを、どの不等式でも解なしという意味にする。
- 追加の定義域を忘れる、または近似小数を厳密な境界に置き換える。
考え方を説明する
準備14問は数値境界・一点の値・全解の選択を確認します。主課題では生徒の因数分解または平方完成、左辺が0になる全てのx、区間ごとの符号表、グラフとx軸、境界を区別した数直線、全解、代入検算と全区間の理由を手動確認します。T1は最高次の係数が正で、境界を含まない外側の解、T2は閉じた内側、T3は負係数、T4は根号境界、T5は重解の四関係、T6・T7は方程式に実数解がなく、左辺が常に正の場合と常に負の場合、T8は指定範囲との共通部分、T9は誤り二点の修正、T10は生徒の数と正負を含む二つの不等式を見ます。解なしは点を塗らず、全実数は左右へ続く数直線と分かるよう示します。正しい別表記や別解を認め、境界の数だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
準備の数値と選択肢だけを自動採点します。自由な区間・集合表記、生徒のグラフ・数直線・符号表と証明は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい区間入力・根号式・自由作図の自動採点、生徒試用や学習効果は主張しません。
練習する
準備は境界や全解の短い確認です。主課題の区間全体の符号・境界を含むかどうか・グラフと数直線は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
x²−5x+6>0について、対応する方程式x²−5x+6=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
答えと解説
2
x²−5x+6=(x−2)(x−3)なので方程式の解は2,3。小さい境界は2で、全解はx<2またはx>3です。
2x²+6x−8≦0について、対応する方程式2x²+6x−8=0の二つの解のうち、大きい方を答えてください。
答えと解説
1
2(x+4)(x−1)≦0。方程式の解は−4,1で大きい方は1。全解は−4≦x≦1です。
−x²+6x−8≧0について、対応する方程式−x²+6x−8=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
答えと解説
2
−(x−2)(x−4)≧0。方程式の解は2,4、全解は2≦x≦4です。
(x+4)²≦0を満たす唯一のxを答えてください。
答えと解説
−4
平方は0以上なので0以下になるのは0のときだけ。x+4=0からx=−4です。
x²−4x−5≦0の解は二つの境界の間です。大きい方の境界を答えてください。
答えと解説
5
(x+1)(x−5)≦0より−1≦x≦5。大きい境界は5です。
f(x)=−3(x−2)²+7の符号を検算します。x=0のときのf(x)の値を答えてください。
答えと解説
−5
f(0)=−3×4+7=−5で負です。これはx=0での検算で、全区間の説明は別に必要です。
x²+2x−3<0について、対応する方程式x²+2x−3=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
答えと解説
−3
(x+3)(x−1)<0。方程式の解は−3,1、全解は−3<x<1です。
x²−x−6<0の全ての解はどれですか。
- x<−2またはx>3
- −2≦x≦3
- −2<x<3
- x=−2またはx=3
答えと解説
−2<x<3
(x+2)(x−3)は方程式の二つの解の間で負。等号を含まない不等号なので、境界は含みません。
−2(x+1)(x−4)≦0の全ての解はどれですか。
- x≦−1またはx≧4
- −1≦x≦4
- x<−1またはx>4
- x=−1またはx=4
答えと解説
x≦−1またはx≧4
負の係数で外側が負、方程式の二つの解で0。0以下なので外側に方程式の解も含めます。
(x−3)²>0の全ての解はどれですか。
- 全ての実数
- x=3だけ
- 解なし
- x<3またはx>3
答えと解説
x<3またはx>3
平方はx=3だけで0、それ以外では正です。
−(x+2)²≧0の全ての解はどれですか。
- 全ての実数
- x=−2だけ
- x<−2またはx>−2
- 解なし
答えと解説
x=−2だけ
左辺は常に0以下で、0以上にもなるのはx=−2のときだけです。
(x−2)²+1<0の全ての解はどれですか。
- 解なし
- 全ての実数
- x=2だけ
- x<2またはx>2
答えと解説
解なし
平方に1を足すので常に1以上。負になる実数はありません。
−2(x−1)²−3≦0の全ての解はどれですか。
- 解なし
- x=1だけ
- 全ての実数
- x<1またはx>1
答えと解説
全ての実数
平方は0以上なので左辺は常に−3以下。全ての実数で0以下です。
x(x−5)<0を満たし、さらに2≦x≦7であるxの全ての範囲はどれですか。
- 0<x<5
- 2≦x<5
- 2<x≦5
- 2≦x≦5
答えと解説
2≦x<5
不等式だけなら0<x<5。指定範囲と重なる部分は2を含み5を含まない2≦x<5です。
考え方を説明する
x²−2x−8>0の全ての解を求めます。左辺をf(x)とし、因数分解と方程式f(x)=0のすべての解、各区間の二因数の符号表を示し、放物線とx軸、解の数直線を描いてください。x=−3,0,5の値で検算し、境界を含むかと区間全体の符号の理由を書きます。
答えと解説
(x+2)(x−4)>0、方程式の解は−2,4。三区間で二因数の符号は(−,−),(+,−),(+,+)なので積は+,−,+。解はx<−2またはx>4。方程式の解では0なので○。検算値は7,−8,7。y=(x−1)²−9の頂点(1,−9)、上向きの放物線はx軸との二つの交点をもち、外側でx軸より上。因数の符号で各区間全体を説明する。
生徒の方程式の二つの解・三つの符号・開いた外側の全解・三値と二つの図を確認する。
2x²+2x−12≦0の全ての解を求めます。因数分解し、各区間の符号表と放物線・x軸、解の数直線を示してください。x=−4,0,3の値を検算し、方程式の解を含む理由と区間全体で符号を判断する理由も書きます。
答えと解説
2(x+3)(x−2)≦0、方程式の解は−3,2。係数2>0なので外+,内−,外+。解は−3≦x≦2で両端●。検算値は12,−12,12。y=2(x+1/2)²−25/2の頂点(−1/2,−25/2)と方程式の二つの解を使い、x軸以下の部分に対応させる。二因数が異符号となる内側と、0となる方程式の解を含む。
生徒の係数・方程式のすべての解・閉じた内側・三値・境界と全区間の理由・グラフと数直線を確認する。
−x²+4x+5≧0の全ての解を求めます。因数形と係数の符号、各区間の符号表を示し、放物線と数直線を描いてください。x=−2,0,6で検算し、正係数の場合と内外の符号がどう違うか、境界を含むかどうかも説明します。
答えと解説
−(x+1)(x−5)≧0、方程式の解は−1,5。二因数の積は外で正・内で負だが前の−で反転し、左辺は−,+,−。解は−1≦x≦5、両端●。検算は−7,5,−7。y=−(x−2)²+9の頂点(2,9)で上に凸、方程式の二つの解の間がx軸より上。0も含むので方程式の解を残す。
生徒の負係数による反転・三符号・全解・三値と二つの図を確認する。
x²−6x+7≦0の全ての解を厳密値で求めます。平方完成して根号を含む二つの境界を出し、符号表・放物線・数直線を作ってください。x=1,3,5で検算します。図の配置に近似を使ってもよいですが、答えの厳密な境界と近似は区別し、境界を含むかどうかも説明します。
答えと解説
(x−3)²−2≦0、方程式の解は3−√2,3+√2。上向きで外+,内−,外+、解は3−√2≦x≦3+√2、両端●。検算値は2,−2,2。頂点(3,−2)。√2の正値を使うので平方が2以下となる区間全体に一致する。図で方程式の解を約1.59,4.41付近に置いても、厳密値をその小数と等号で結ばない。
生徒の平方完成・方程式の二つの解の厳密値・閉じた全解・三値・近似との区別・グラフと数直線を確認する。
同じf(x)=(x+2)²について①f(x)>0、②f(x)≧0、③f(x)<0、④f(x)≦0をそれぞれ解いてください。重解とその左右の符号を示す表、放物線を一つ、四つの解の数直線を作ります。x=−3,−2,−1の値で検算し、全実数・一点・一点を除く全実数・解なしを理由付きで区別します。
答えと解説
重解x=−2、左右とも正で点上だけ0。検算は1,0,1。①x<−2またはx>−2、境界○。②全ての実数。③解なし。④x=−2だけ、●一つ。頂点(−2,0)で下に凸の放物線がx軸に接し、符号が反転して交わる図ではない。平方が0以上で0は一か所だけという性質が四つ全ての理由になる。
生徒の+,0,+・四関係それぞれの全解と数直線・三値・接するグラフと平方の理由を確認する。
f(x)=2x²−4x+5について、f(x)>0とf(x)≦0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=0,1,2の表、放物線と二つの解の数直線を作り、少数の検算点だけを理由にしない説明を書きます。
答えと解説
f(x)=2(x−1)²+3≧3>0で方程式f(x)=0に実数解はない。f(x)>0の解は全ての実数、f(x)≦0は解なし。表は5,3,5。頂点(1,3)、放物線全体がx軸より上。0以上の平方項に3を足すので全実数で正となり、有限個の表の値だけを根拠にしない。
生徒の平方完成・方程式に実数解がないことと常に正の理由・二つの全解と数直線・三値とグラフを確認する。
f(x)=−3x²−6x−5について、f(x)<0とf(x)≧0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=−2,−1,0の表、放物線と二つの解の数直線を作り、係数が負の場合の理由を具体的な式で示します。
答えと解説
f(x)=−3(x+1)²−2≦−2<0で方程式f(x)=0に実数解はない。f(x)<0の解は全ての実数、f(x)≧0は解なし。表は−5,−2,−5。頂点(−1,−2)、上に凸の放物線全体がx軸より下。平方が0以上なので−3倍すると0以下、さらに2引くため常に負。
生徒の負係数・平方完成・常に負の全実数の理由・二つの全解と数直線・三値とグラフを確認する。
(x−1)(x−6)≧0を満たし、さらに0≦x≦4であるxの全ての範囲を求めます。不等式だけの符号表と全解を先に示し、指定範囲との共通部分を数直線で作ってください。放物線とx軸も描き、x=0,1,2,4の値で検算します。最終的な二つの端を含むか、それぞれ理由を書きます。
答えと解説
方程式の解は1,6で符号は+,−,+。不等式だけの解はx≦1またはx≧6。指定範囲[0,4]との共通部分は0≦x≦1。0は指定範囲に入り左辺6>0、x=1では左辺が0となり、≧は等しい場合も含むため両端●。6以上は指定範囲外。検算値は6,0,−4,−6。放物線の頂点(7/2,−25/4)と方程式の二つの解を示し、最終解が元の符号区間の一部であると説明する。
生徒の元の全解と共通部分の区別・両端を含むかどうか・四値・グラフと数直線を確認する。
−2(x−2)(x+3)<0について「方程式の二つの解の間だから−3≦x≦2」とした説明を直してください。各区間の符号表、放物線と数直線を作り、x=−4,0,3で検算します。内外の選び方と境界を含めたことの二点を別々に直し、正しい全解と理由を書きます。
答えと解説
方程式の解は−3,2。二因数の積が外で正・内で負となるところを−2倍し、左辺の符号は−,+,−。負になる全解はx<−3またはx>2。方程式の二つの解では0なので等号を含まない不等号<を満たさず、両境界○。検算値は−12,12,−12。y=−2(x+1/2)²+25/2の頂点(−1/2,25/2)で上に凸。内側を選んだ誤りと左辺が0となるxを含めた誤りをともに修正する。
生徒の二つの誤りの修正・三符号・開いた外側の全解・三値・二つの図と理由を確認する。
aを−2,1,3から一つ、rを−3,−1から一つ、sを2,4から一つ選んで、f(x)=a(x−r)(x−s)を作ります。一般形へ展開し、f(x)>0とf(x)≦0の全ての解をそれぞれ求めてください。自分で作った方程式f(x)=0の二つの解・三つの区間の符号表・放物線・二つの数直線を作り、x=r−1,(r+s)/2,s+1で実際の値を検算します。aの符号と二因数の符号で区間全体を説明します。
答えと解説
作例a=−2,r=−1,s=4ならf=−2(x+1)(x−4)=−2x²+6x+8。方程式の解は−1,4、符号は−,+,−。f>0は−1<x<4で両端○、f≦0はx≦−1またはx≧4で両端●。検算点−2,3/2,5の値は−12,25/2,−12。頂点(3/2,25/2)で上に凸の放物線を描く。正のaを選べば符号は+,−,+となり、>0は開いた外側、≦0は閉じた内側。生徒の許された別の数も認め、具体値・図と区間全体の符号の理由まで残す。
生徒の三数・具体式と展開・方程式の異なる二つの解・aに応じた三符号・二つの全解と境界・三つの具体値・グラフと二つの数直線を確認する。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(3)ア(ウ)、冊子41〜42/PDF53〜54の二次不等式と二次関数のグラフの関係を踏まえた独自課題です。現行の出版社の2026年度年間指導計画にも二次不等式が記載されています。対応する二次方程式の解の計算から進み、連続した各区間の符号・境界を含む場合と含まない場合・全解の数直線表示を中心にします。分数式不等式や任意パラメータのすべての場合分類は必須にしません。出版社の問題・図・数値は写していません。 · 2026-11-03
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準備14問は数値境界・一点の値・全解の選択を確認します。主課題では生徒の因数分解または平方完成、左辺が0になる全てのx、区間ごとの符号表、グラフとx軸、境界を区別した数直線、全解、代入検算と全区間の理由を手動確認します。T1は最高次の係数が正で、境界を含まない外側の解、T2は閉じた内側、T3は負係数、T4は根号境界、T5は重解の四関係、T6・T7は方程式に実数解がなく、左辺が常に正の場合と常に負の場合、T8は指定範囲との共通部分、T9は誤り二点の修正、T10は生徒の数と正負を含む二つの不等式を見ます。解なしは点を塗らず、全実数は左右へ続く数直線と分かるよう示します。正しい別表記や別解を認め、境界の数だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
x²−5x+6>0について、対応する方程式x²−5x+6=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x²+6x−8≦0について、対応する方程式2x²+6x−8=0の二つの解のうち、大きい方を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−x²+6x−8≧0について、対応する方程式−x²+6x−8=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+4)²≦0を満たす唯一のxを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−4x−5≦0の解は二つの境界の間です。大きい方の境界を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=−3(x−2)²+7の符号を検算します。x=0のときのf(x)の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+2x−3<0について、対応する方程式x²+2x−3=0の二つの解のうち、小さい方を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−x−6<0の全ての解はどれですか。
- x<−2またはx>3
- −2≦x≦3
- −2<x<3
- x=−2またはx=3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−2(x+1)(x−4)≦0の全ての解はどれですか。
- x≦−1またはx≧4
- −1≦x≦4
- x<−1またはx>4
- x=−1またはx=4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−3)²>0の全ての解はどれですか。
- 全ての実数
- x=3だけ
- 解なし
- x<3またはx>3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−(x+2)²≧0の全ての解はどれですか。
- 全ての実数
- x=−2だけ
- x<−2またはx>−2
- 解なし
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−2)²+1<0の全ての解はどれですか。
- 解なし
- 全ての実数
- x=2だけ
- x<2またはx>2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−2(x−1)²−3≦0の全ての解はどれですか。
- 解なし
- x=1だけ
- 全ての実数
- x<1またはx>1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x(x−5)<0を満たし、さらに2≦x≦7であるxの全ての範囲はどれですか。
- 0<x<5
- 2≦x<5
- 2<x≦5
- 2≦x≦5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
x²−2x−8>0の全ての解を求めます。左辺をf(x)とし、因数分解と方程式f(x)=0のすべての解、各区間の二因数の符号表を示し、放物線とx軸、解の数直線を描いてください。x=−3,0,5の値で検算し、境界を含むかと区間全体の符号の理由を書きます。
2x²+2x−12≦0の全ての解を求めます。因数分解し、各区間の符号表と放物線・x軸、解の数直線を示してください。x=−4,0,3の値を検算し、方程式の解を含む理由と区間全体で符号を判断する理由も書きます。
−x²+4x+5≧0の全ての解を求めます。因数形と係数の符号、各区間の符号表を示し、放物線と数直線を描いてください。x=−2,0,6で検算し、正係数の場合と内外の符号がどう違うか、境界を含むかどうかも説明します。
x²−6x+7≦0の全ての解を厳密値で求めます。平方完成して根号を含む二つの境界を出し、符号表・放物線・数直線を作ってください。x=1,3,5で検算します。図の配置に近似を使ってもよいですが、答えの厳密な境界と近似は区別し、境界を含むかどうかも説明します。
同じf(x)=(x+2)²について①f(x)>0、②f(x)≧0、③f(x)<0、④f(x)≦0をそれぞれ解いてください。重解とその左右の符号を示す表、放物線を一つ、四つの解の数直線を作ります。x=−3,−2,−1の値で検算し、全実数・一点・一点を除く全実数・解なしを理由付きで区別します。
f(x)=2x²−4x+5について、f(x)>0とf(x)≦0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=0,1,2の表、放物線と二つの解の数直線を作り、少数の検算点だけを理由にしない説明を書きます。
f(x)=−3x²−6x−5について、f(x)<0とf(x)≧0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=−2,−1,0の表、放物線と二つの解の数直線を作り、係数が負の場合の理由を具体的な式で示します。
(x−1)(x−6)≧0を満たし、さらに0≦x≦4であるxの全ての範囲を求めます。不等式だけの符号表と全解を先に示し、指定範囲との共通部分を数直線で作ってください。放物線とx軸も描き、x=0,1,2,4の値で検算します。最終的な二つの端を含むか、それぞれ理由を書きます。
−2(x−2)(x+3)<0について「方程式の二つの解の間だから−3≦x≦2」とした説明を直してください。各区間の符号表、放物線と数直線を作り、x=−4,0,3で検算します。内外の選び方と境界を含めたことの二点を別々に直し、正しい全解と理由を書きます。
aを−2,1,3から一つ、rを−3,−1から一つ、sを2,4から一つ選んで、f(x)=a(x−r)(x−s)を作ります。一般形へ展開し、f(x)>0とf(x)≦0の全ての解をそれぞれ求めてください。自分で作った方程式f(x)=0の二つの解・三つの区間の符号表・放物線・二つの数直線を作り、x=r−1,(r+s)/2,s+1で実際の値を検算します。aの符号と二因数の符号で区間全体を説明します。
解答: 放物線とx軸の位置から二次不等式の全ての解を表す
2
x²−5x+6=(x−2)(x−3)なので方程式の解は2,3。小さい境界は2で、全解はx<2またはx>3です。
1
2(x+4)(x−1)≦0。方程式の解は−4,1で大きい方は1。全解は−4≦x≦1です。
2
−(x−2)(x−4)≧0。方程式の解は2,4、全解は2≦x≦4です。
−4
平方は0以上なので0以下になるのは0のときだけ。x+4=0からx=−4です。
5
(x+1)(x−5)≦0より−1≦x≦5。大きい境界は5です。
−5
f(0)=−3×4+7=−5で負です。これはx=0での検算で、全区間の説明は別に必要です。
−3
(x+3)(x−1)<0。方程式の解は−3,1、全解は−3<x<1です。
−2<x<3
(x+2)(x−3)は方程式の二つの解の間で負。等号を含まない不等号なので、境界は含みません。
x≦−1またはx≧4
負の係数で外側が負、方程式の二つの解で0。0以下なので外側に方程式の解も含めます。
x<3またはx>3
平方はx=3だけで0、それ以外では正です。
x=−2だけ
左辺は常に0以下で、0以上にもなるのはx=−2のときだけです。
解なし
平方に1を足すので常に1以上。負になる実数はありません。
全ての実数
平方は0以上なので左辺は常に−3以下。全ての実数で0以下です。
2≦x<5
不等式だけなら0<x<5。指定範囲と重なる部分は2を含み5を含まない2≦x<5です。
記述問題の解答・確認の観点
x²−2x−8>0の全ての解を求めます。左辺をf(x)とし、因数分解と方程式f(x)=0のすべての解、各区間の二因数の符号表を示し、放物線とx軸、解の数直線を描いてください。x=−3,0,5の値で検算し、境界を含むかと区間全体の符号の理由を書きます。
(x+2)(x−4)>0、方程式の解は−2,4。三区間で二因数の符号は(−,−),(+,−),(+,+)なので積は+,−,+。解はx<−2またはx>4。方程式の解では0なので○。検算値は7,−8,7。y=(x−1)²−9の頂点(1,−9)、上向きの放物線はx軸との二つの交点をもち、外側でx軸より上。因数の符号で各区間全体を説明する。
生徒の方程式の二つの解・三つの符号・開いた外側の全解・三値と二つの図を確認する。
2x²+2x−12≦0の全ての解を求めます。因数分解し、各区間の符号表と放物線・x軸、解の数直線を示してください。x=−4,0,3の値を検算し、方程式の解を含む理由と区間全体で符号を判断する理由も書きます。
2(x+3)(x−2)≦0、方程式の解は−3,2。係数2>0なので外+,内−,外+。解は−3≦x≦2で両端●。検算値は12,−12,12。y=2(x+1/2)²−25/2の頂点(−1/2,−25/2)と方程式の二つの解を使い、x軸以下の部分に対応させる。二因数が異符号となる内側と、0となる方程式の解を含む。
生徒の係数・方程式のすべての解・閉じた内側・三値・境界と全区間の理由・グラフと数直線を確認する。
−x²+4x+5≧0の全ての解を求めます。因数形と係数の符号、各区間の符号表を示し、放物線と数直線を描いてください。x=−2,0,6で検算し、正係数の場合と内外の符号がどう違うか、境界を含むかどうかも説明します。
−(x+1)(x−5)≧0、方程式の解は−1,5。二因数の積は外で正・内で負だが前の−で反転し、左辺は−,+,−。解は−1≦x≦5、両端●。検算は−7,5,−7。y=−(x−2)²+9の頂点(2,9)で上に凸、方程式の二つの解の間がx軸より上。0も含むので方程式の解を残す。
生徒の負係数による反転・三符号・全解・三値と二つの図を確認する。
x²−6x+7≦0の全ての解を厳密値で求めます。平方完成して根号を含む二つの境界を出し、符号表・放物線・数直線を作ってください。x=1,3,5で検算します。図の配置に近似を使ってもよいですが、答えの厳密な境界と近似は区別し、境界を含むかどうかも説明します。
(x−3)²−2≦0、方程式の解は3−√2,3+√2。上向きで外+,内−,外+、解は3−√2≦x≦3+√2、両端●。検算値は2,−2,2。頂点(3,−2)。√2の正値を使うので平方が2以下となる区間全体に一致する。図で方程式の解を約1.59,4.41付近に置いても、厳密値をその小数と等号で結ばない。
生徒の平方完成・方程式の二つの解の厳密値・閉じた全解・三値・近似との区別・グラフと数直線を確認する。
同じf(x)=(x+2)²について①f(x)>0、②f(x)≧0、③f(x)<0、④f(x)≦0をそれぞれ解いてください。重解とその左右の符号を示す表、放物線を一つ、四つの解の数直線を作ります。x=−3,−2,−1の値で検算し、全実数・一点・一点を除く全実数・解なしを理由付きで区別します。
重解x=−2、左右とも正で点上だけ0。検算は1,0,1。①x<−2またはx>−2、境界○。②全ての実数。③解なし。④x=−2だけ、●一つ。頂点(−2,0)で下に凸の放物線がx軸に接し、符号が反転して交わる図ではない。平方が0以上で0は一か所だけという性質が四つ全ての理由になる。
生徒の+,0,+・四関係それぞれの全解と数直線・三値・接するグラフと平方の理由を確認する。
f(x)=2x²−4x+5について、f(x)>0とf(x)≦0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=0,1,2の表、放物線と二つの解の数直線を作り、少数の検算点だけを理由にしない説明を書きます。
f(x)=2(x−1)²+3≧3>0で方程式f(x)=0に実数解はない。f(x)>0の解は全ての実数、f(x)≦0は解なし。表は5,3,5。頂点(1,3)、放物線全体がx軸より上。0以上の平方項に3を足すので全実数で正となり、有限個の表の値だけを根拠にしない。
生徒の平方完成・方程式に実数解がないことと常に正の理由・二つの全解と数直線・三値とグラフを確認する。
f(x)=−3x²−6x−5について、f(x)<0とf(x)≧0をそれぞれ解きます。平方完成し、方程式f(x)=0に実数解があるかどうかと全実数での符号を説明してください。x=−2,−1,0の表、放物線と二つの解の数直線を作り、係数が負の場合の理由を具体的な式で示します。
f(x)=−3(x+1)²−2≦−2<0で方程式f(x)=0に実数解はない。f(x)<0の解は全ての実数、f(x)≧0は解なし。表は−5,−2,−5。頂点(−1,−2)、上に凸の放物線全体がx軸より下。平方が0以上なので−3倍すると0以下、さらに2引くため常に負。
生徒の負係数・平方完成・常に負の全実数の理由・二つの全解と数直線・三値とグラフを確認する。
(x−1)(x−6)≧0を満たし、さらに0≦x≦4であるxの全ての範囲を求めます。不等式だけの符号表と全解を先に示し、指定範囲との共通部分を数直線で作ってください。放物線とx軸も描き、x=0,1,2,4の値で検算します。最終的な二つの端を含むか、それぞれ理由を書きます。
方程式の解は1,6で符号は+,−,+。不等式だけの解はx≦1またはx≧6。指定範囲[0,4]との共通部分は0≦x≦1。0は指定範囲に入り左辺6>0、x=1では左辺が0となり、≧は等しい場合も含むため両端●。6以上は指定範囲外。検算値は6,0,−4,−6。放物線の頂点(7/2,−25/4)と方程式の二つの解を示し、最終解が元の符号区間の一部であると説明する。
生徒の元の全解と共通部分の区別・両端を含むかどうか・四値・グラフと数直線を確認する。
−2(x−2)(x+3)<0について「方程式の二つの解の間だから−3≦x≦2」とした説明を直してください。各区間の符号表、放物線と数直線を作り、x=−4,0,3で検算します。内外の選び方と境界を含めたことの二点を別々に直し、正しい全解と理由を書きます。
方程式の解は−3,2。二因数の積が外で正・内で負となるところを−2倍し、左辺の符号は−,+,−。負になる全解はx<−3またはx>2。方程式の二つの解では0なので等号を含まない不等号<を満たさず、両境界○。検算値は−12,12,−12。y=−2(x+1/2)²+25/2の頂点(−1/2,25/2)で上に凸。内側を選んだ誤りと左辺が0となるxを含めた誤りをともに修正する。
生徒の二つの誤りの修正・三符号・開いた外側の全解・三値・二つの図と理由を確認する。
aを−2,1,3から一つ、rを−3,−1から一つ、sを2,4から一つ選んで、f(x)=a(x−r)(x−s)を作ります。一般形へ展開し、f(x)>0とf(x)≦0の全ての解をそれぞれ求めてください。自分で作った方程式f(x)=0の二つの解・三つの区間の符号表・放物線・二つの数直線を作り、x=r−1,(r+s)/2,s+1で実際の値を検算します。aの符号と二因数の符号で区間全体を説明します。
作例a=−2,r=−1,s=4ならf=−2(x+1)(x−4)=−2x²+6x+8。方程式の解は−1,4、符号は−,+,−。f>0は−1<x<4で両端○、f≦0はx≦−1またはx≧4で両端●。検算点−2,3/2,5の値は−12,25/2,−12。頂点(3/2,25/2)で上に凸の放物線を描く。正のaを選べば符号は+,−,+となり、>0は開いた外側、≦0は閉じた内側。生徒の許された別の数も認め、具体値・図と区間全体の符号の理由まで残す。
生徒の三数・具体式と展開・方程式の異なる二つの解・aに応じた三符号・二つの全解と境界・三つの具体値・グラフと二つの数直線を確認する。