辺と角の条件から正弦定理・余弦定理を選び、全条件で確かめる
半円上の座標で鈍角までの三角比を確かめ、辺と角の対応から定理を選んで計算します。準備14問と、自分の図・定理を選ぶ理由・具体計算と検算を残す主課題10題です。二つの三角形が可能な例も調べます。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(2)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、冊子38〜40/PDF50〜52と現行出版社の2026年年間指導計画を踏まえた独自課題です。鈍角への三角比の意味の拡張、三角形の決定条件・三平方との関連、正弦定理と余弦定理を扱います。半径5の半円での対称移動や各作例は本教材独自の構成で、元の問題・図は写していません。SSAの任意パラメータ全分類、逆三角関数の入力、ラジアン・周期・ベクトルは必須にしません。
解説を読む
上半円上の点P(x,y)と原点Oで、正のx軸からOPまでの角θを0〜180度で考えます。半径r>0ならsinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/x（x≠0）。座標の正負で鈍角にも意味を広げます。三角形ABCではa=BC、b=CA、c=ABをそれぞれ角A,B,Cの対辺とし、与えられた辺と角を先に対応させます。
必要な予備知識
鋭角の三角比、三平方、二次方程式、根号、三角形の内角和と三角不等式。鈍角の意味や0・90・180度は前提として丸投げせず、主課題T1の半円・対称移動・端点で実際に確かめます。自由な根号式・図と定理を選ぶ理由は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
- 半径rの上半円上でP(x,y)を使うと、sinθ=y/r、cosθ=x/rです。鋭角の比から座標の正負を保って鈍角へ広げます。tanθ=sinθ/cosθはcosθ≠0のときに限ります。
- y軸に関する対称移動では(x,y)が(−x,y)へ移るので、sin(180度−θ)=sinθ、cos(180度−θ)=−cosθ。tanは定義される範囲で符号が逆です。
- 0・90・180度の点は(r,0),(0,r),(−r,0)。sinは0,1,0、cosは1,0,−1、tanは0,定義されない,0です。これらの端点の意味を、角0や180度の三角形へ定理を適用することと混同しません。
- 三角形ではa,b,cは角A,B,Cの対辺です。正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rで、Rは外接円の半径です。既知の対辺・対角の組がある場合などに使います。
- 余弦定理はc²=a²+b²−2ab cosCです。二辺とその間の角なら第三辺を求め、三辺ならcosC=(a²+b²−c²)/(2ab)を求められます。挟角と対辺を取り違えません。
- 鈍角ではcosが負なので、余弦定理の−2ab cosCが正になります。C=90度ではcosC=0で三平方の関係へ戻ります。根号から辺を求めるときは正の長さを取ります。
- 計算後は内角の和180度、正の長さ、三角不等式、元の定理への代入を必要な条件に合わせて確認します。sinが同じ候補角でも、残りの角が正かを調べます。
- 二辺とその一方の対角だけでは、条件に合う三角形が二つできる場合があります。候補を一つに決めつけず、実際の各候補で辺・角の対応と内角和など全ての条件を確かめます。
解き方の例
CA=3cm、CB=5cm、挟角C=60度、cos60度=1/2なら、二辺とその間の角なので余弦定理を選びます。AB²=9+25−15=19、AB=√19cm。戻すとcosC=(9+25−19)/(2×3×5)=1/2です。
角Aの対辺a=BC=9cm、sinA=3/4のとき、外接円の半径を求めるなら正弦定理のa/sinA=2Rを選びます。9÷(3/4)=12=2RなのでR=6cm。12cmを半径としません。
よくある間違い
- 辺aを角Aに隣り合う辺だと思い、対辺・対角の組を取り違える。
- 二辺の間ではない角を、余弦定理で使う二辺の間の角にそのまま使う。
- 鈍角のcosを正の値として引き算する。
- a/sinAの値を外接円の半径Rとする。
- 正の長さを求める場面で負の根も辺に採用する。
- 同じsinを持つ二つの候補の片方だけを、内角和を確認せず採用する。
考え方を説明する
準備14問は座標と符号・定理の対応・厳密値の短い確認です。主課題では生徒の条件図、定理を選ぶ理由、対辺対角と挟角の対応、具体式と正の長さ・単位、全ての条件への検算を手動確認します。T1は座標から対称移動・一般の補角関係と三端点、T2・T3は正弦定理、T4・T5は鋭角・鈍角のSAS、T6は三辺からcosと角の種類、T7は三平方との一致、T8は外接円の半径、T9は二候補の検証、T10は生徒の具体的な二辺とその間の角を見ます。同値な式や正しい別解、別の模式図を認め、数だけや定理名だけで完了にしません。
準備の数値・選択肢だけを自動採点します。生徒の自由な根号式・図・定理を選ぶ理由、全ての条件の検算や二候補の説明は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい三角関数・逆三角関数・自由作図の自動採点、実測や生徒の試用・学習効果は主張しません。
練習する
準備は比・半径・平方や定理の短い確認です。主課題の自分の図・自由式・選択理由・候補の全検算は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
原点中心、半径13の上半円上にP(−5,12)があります。正のx軸からOPへの角θのcosθを答えてください。
答えと解説
−
cosθ=x/r=−5/13。xが負なので鈍角のcosは負です。
三角形ABCでA,Bは鋭角、対辺a=BC=9cm、sinA=3/5、sinB=4/5です。正弦定理からb=CAをcmで答えてください。
答えと解説
12
a/sinA=9÷(3/5)=15なので、b=15×4/5=12cm。
三角形ABCで、角Aの対辺BCの長さはa=12cmで、sinA=3/4です。外接円の半径Rをcmで答えてください。
答えと解説
8
a/sinA=12÷(3/4)=16=2RなのでR=8cm。
三角形ACBでCA=6cm、CB=8cm、挟角C=60度、cos60度=1/2です。ABの長さの平方を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
52
AB²=6²+8²−2×6×8×1/2=36+64−48=52。
三角形ACBでCA=6cm、CB=8cm、挟角C=120度、cos120度=−1/2です。ABの長さの平方を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
148
AB²=36+64−96×(−1/2)=100+48=148。
三角形ABCの三辺をBC=a=6cm、CA=b=8cm、AB=c=10cmとします。余弦定理からcosCを答えてください。
答えと解説
0
cosC=(6²+8²−10²)/(2×6×8)=0。Cは直角です。
三角形ABCの三辺をBC=a=5cm、CA=b=6cm、AB=c=7cmとします。余弦定理からcosCを答えてください。
答えと解説
cosC=(25+36−49)/(2×5×6)=12/60=1/5。
三角形ABCでA=30度、B=45度、a=BC=10cmです。b=CAを求める正しい式はどれですか。
- b=10 sin30度/sin45度
- b=10 sin45度/sin30度
- b=10 cos45度/cos30度
- b=10 sin75度
答えと解説
b=10 sin45度/sin30度
既知の対辺対角a,Aと求めるb,Bを正弦定理で結び、b=a sinB/sinAとします。
CA=6cm、CB=8cm、挟角C=120度の三角形です。cos120度=−1/2から求めたABの正確な長さはどれですか。
- 2√13cm
- 14cm
- 2cm
- 2√37cm
答えと解説
2√37cm
AB²=148なので正の根√148=2√37cm。6²+8²=100に対し、負のcos120度を引く項が48を加えるので、AB²は100より大きくなります。
辺a=7cm、b=8cm、c=13cmの三角形で、角Cの種類はどれですか。
- 鈍角
- 直角
- 鋭角
- 三角形は存在しない
答えと解説
鈍角
7+8>13で三角形は存在し、cosC=(49+64−169)/112=−1/2<0なので鈍角です。
上半円で90度を表す点は(0,r)です。tan90度について正しいものはどれですか。
- 0
- 1
- 定義されない
- −1
答えと解説
定義されない
tanθ=y/xで分母xが0になり、tan90度は定義されません。
90度<θ<180度でsinθ=12/13、cosθ=−5/13です。tanθはどれですか。
- 12/5
- −12/5
- −5/12
- 5/12
答えと解説
−12/5
cosθ≠0なのでtanθ=sinθ/cosθ=(12/13)/(−5/13)=−12/5。
A=45度、a=6cm、b=3√6cmの三角形で、正弦定理から角Bの候補は60度と120度になりました。どちらもsinB=√3/2です。元の条件に合う候補はどれですか。
- 60度だけ
- 120度だけ
- 両方（残りの角Cはそれぞれ75度と15度）
- 両方とも不可
答えと解説
両方（残りの角Cはそれぞれ75度と15度）
どちらもA+B<180度で残りの角が正。a/sin45度=6√2、b/sinBも6√2なので両方が条件に合います。
三角形ABCで∠C=90度のとき、余弦定理はどの式になりますか。
- c²=a²+b²
- c²=a²+b²−2ab
- c²=a²−b²
- c=a+b
答えと解説
c²=a²+b²
cos90度=0なのでc²=a²+b²−2ab×0=a²+b²。直角Cの対辺cが斜辺です。
考え方を説明する
原点Oを中心とする半径5の上半円を描き、P(3,4)をy軸について対称に移した点Qの座標を求めます。正のx軸からOPへの角をθ、OQへの角を180度−θとして、両角のsin・cos・tanを座標で求めてください。なぜsinが同じでcosとtanの符号が変わるかを一般の(x,y)でも説明します。さらに0・90・180度の三点の座標と三つの比を表で示し、tan90度が定義されない理由も書きます。
答えと解説
3²+4²=25でPは半径5上、対称点Q=(−3,4)。θではsin=4/5,cos=3/5,tan=4/3。180度−θではsin=4/5,cos=−3/5,tan=−4/3。一般に(x,y)→(−x,y)でy/rは同じ、x/rとy/xは符号が反転（tanはx≠0）。0度の(5,0)はsin0,cos1,tan0、90度の(0,5)はsin1,cos0,tan定義なし、180度の(−5,0)はsin0,cos−1,tan0。端点は半円による拡張であり、角0や180度の三角形に定理を使う話ではない。
生徒の半円と対称移動・実際の二座標と六比・一般の符号の理由・三端点とtanの定義域を確認する。
三角形ABCでA=30度、B=45度、a=BC=8cmです。sin30度=1/2、sin45度=√2/2を使えます。条件図と対辺対角を対応させ、定理を選ぶ理由を書いて、b=CAと角Cを求めてください。厳密値のまま元の比と内角和へ戻し、正の長さと角を確かめます。
答えと解説
既知の対辺対角a,Aとb,Bを結ぶので正弦定理。a/sinA=8÷(1/2)=16、b=16×√2/2=8√2cm。C=180−30−45=105度>0。b/sinB=(8√2)/(√2/2)=16で元の比と一致し、三つの内角の和は180度、辺b>0。生徒の図でaがA、bがBの向かいと示す。
生徒の対応図・選択理由・bの厳密値とC・単位・比と内角和の検算を確認する。
三角形ABCでA=45度、B=60度、a=BC=6√2cmです。sin45度=√2/2、sin60度=√3/2を使い、第三角Cを求めてから、定理を選ぶ理由と具体式でb=CAを求めます。元の二つの辺と角の比・内角和、正の長さを確かめ、条件図へ戻してください。
答えと解説
C=75度。既知の対辺対角a,Aがあり、b,Bも対応させられるので正弦定理。a/sinA=(6√2)/(√2/2)=12、b=12×√3/2=6√3cm。b/sin60度も12。45+60+75=180度で全て正、b>0。cやsin75度の新しい公式を求めることは本問の条件にしない。
生徒の第三角・対応と選択理由・厳密なb・単位・二つの比とすべての内角の検算を確認する。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=60度、cos60度=1/2です。二辺とその間の角を図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でABを求めます。正の長さを取り、三角不等式と余弦定理へ戻した検算を示してください。
答えと解説
二辺とその間の角（SAS）なので余弦定理。AB²=25+49−2×5×7×1/2=39、AB=√39cm。差2と和12に対し4<39<144なので2<√39<12、三角不等式を満たす。戻すとcosC=(25+49−39)/70=1/2。生徒の図で求めるABが角Cの対辺と確認する。
生徒の挟角・選択理由・平方と正の根・単位・長さの範囲と元のcosへの検算を確認する。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=120度です。T1の補角関係とcos60度=1/2からcos120度を確かめ、定理を選んでABを求めます。符号の理由、正の長さと三角不等式、元のcosへの検算を残してください。同じ二辺で挟角60度のときよりABが長い理由も式で示します。
答えと解説
cos120度=−cos60度=−1/2。二辺とその間の角なので余弦定理でAB²=25+49−70×(−1/2)=109、AB=√109cm。4<109<144より2<√109<12で三角不等式を満たす。cosC=(25+49−109)/70=−1/2。60度ならAB²=39なので109>39、正の根の大小から鈍角の場合のABが長い。
生徒の補角と負のcos・SAS選択理由・平方と正の根・単位・三角条件と二角の比較を確認する。
三辺a=4cm、b=7cm、c=9cmの三角形ABCです。対辺と角を図に対応させ、定理を選ぶ理由と具体式からcosCを求めます。三角不等式とcosの符号を確認し、角Cが鋭角・直角・鈍角のどれかを説明してください。角度の近似値を逆三角関数で入力する必要はありません。
答えと解説
三辺（SSS）が与えられているので余弦定理。cosC=(4²+7²−9²)/(2×4×7)=(16+49−81)/56=−2/7。最大辺9も4+7=11より小さく、他の二つの不等式も成り立つ。−1<−2/7<0なのでCは鈍角。戻すと16+49−56×(−2/7)=81=9²。cが角Cの対辺である図を残す。
生徒のSSS選択理由・対辺対応・正確なcos・三角条件・鈍角の理由と元の式への検算を確認する。
三角形ABCでC=90度、a=9cm、b=12cmです。定理を選ぶ理由を示し、余弦定理からcを求めてください。別に三平方で同じ計算を行い、なぜ二つの関係が一致するかをcos90度と式で説明します。直角と斜辺の図・単位・検算も残します。
答えと解説
Cの対辺cが斜辺。二辺とその間の角なので余弦定理でc²=81+144−2×9×12×0=225、c=15cm。三平方でも9²+12²=15²。T1からcos90度=0なので余弦定理の積の項が消え、同じ関係へ戻る。辺は正で9+12>15。生徒の直角Cと対辺cの図を確かめる。
生徒の選択理由・cos90の位置付け・二方法の具体式と一致の理由・正のcと単位・図を確認する。
三角形ABCで角Aの対辺a=BC=14cm、sinA=7/10です。外接円とその中心・半径R、対辺aと角Aを模式図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でRを求めてください。半径と直径を区別し、元の比に戻す検算と、辺aが直径を超えていないことも確かめます。
答えと解説
対辺対角と外接円を結ぶ正弦定理a/sinA=2Rを選ぶ。14÷(7/10)=20=2RからR=10cm、直径20cm。検算は2×10×7/10=14cmで元のaに戻る。辺14<直径20で整合する。この条件だけで三角形全体が一意と主張せず、求めたのはR。模式図を測って半径を決めない。
生徒の外接円・対辺対角・定理の選択理由・半径10と直径20の区別・単位と元の比の検算を確認する。
三角形ABCでA=30度、a=6cm、b=6√2cmです。sin30度=1/2、sin45度=sin135度=√2/2を使えます。角Bの候補45度と135度のうち、元の条件に合うものを全て調べてください。定理を選ぶ理由と比例式を示し、各候補で第三角C、辺と角の比、すべての内角が正で、和が180度であることを検算します。二つの模式図を描き、一つだけと断定できるか説明します。
答えと解説
既知の対辺対角a,Aがありb,Bを結ぶので正弦定理。sinB=b sinA/a=(6√2)×(1/2)/6=√2/2。B=45度ならC=105度、B=135度ならC=15度で、どちらもすべての内角が正で、和は180度。a/sinA=12、両候補ともb/sinB=12なので全ての与条件に合う。角の組が異なる二つの三角形で、一方を捨てる条件はない。一般のSSAを全パラメータで分類する課題ではなく、この具体的な二候補を確かめる。
生徒の対辺対応と正弦定理の理由・二つのB,C・両候補の比とすべての内角の検算・二図と一意でない説明を確認する。
aを4,6cmから一つ、bを5,7cmから一つ、挟角Cを60,90,120度から一つ選んで三角形ABCの条件を作ります。a=BC、b=CA、c=ABとして図示し、cos60度=1/2、cos90度=0、cos120度=−1/2を使って定理を選び、cを厳密値で求めてください。具体式・正の根と単位・三角不等式・元のcosへの検算を残します。
答えと解説
作例a=6cm,b=7cm,C=120度なら二辺とその間の角なので余弦定理。c²=36+49−84×(−1/2)=127、c=√127cm。差1と和13について1<127<169なので1<√127<13、三角不等式を満たす。戻すとcosC=(36+49−127)/84=−1/2。生徒の許された別の二辺と角も認め、具体的な計算・対辺と二辺の間の角の図・全検算を必要とする。
生徒の二辺と角・対応図・定理を選ぶ理由・平方と正のc・単位・三角条件と元の式への検算を確認する。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(2)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、冊子38〜40/PDF50〜52と現行出版社の2026年年間指導計画を踏まえた独自課題です。鈍角への三角比の意味の拡張、三角形の決定条件・三平方との関連、正弦定理と余弦定理を扱います。半径5の半円での対称移動や各作例は本教材独自の構成で、元の問題・図は写していません。SSAの任意パラメータ全分類、逆三角関数の入力、ラジアン・周期・ベクトルは必須にしません。 · 2026-11-03
教育課程の出典www.shinko-keirin.co.jp · 現行数学Ⅰ・年間指導計画table0rows19〜20、0〜180度への拡張と正弦・余弦定理
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準備14問は座標と符号・定理の対応・厳密値の短い確認です。主課題では生徒の条件図、定理を選ぶ理由、対辺対角と挟角の対応、具体式と正の長さ・単位、全ての条件への検算を手動確認します。T1は座標から対称移動・一般の補角関係と三端点、T2・T3は正弦定理、T4・T5は鋭角・鈍角のSAS、T6は三辺からcosと角の種類、T7は三平方との一致、T8は外接円の半径、T9は二候補の検証、T10は生徒の具体的な二辺とその間の角を見ます。同値な式や正しい別解、別の模式図を認め、数だけや定理名だけで完了にしません。
原点中心、半径13の上半円上にP(−5,12)があります。正のx軸からOPへの角θのcosθを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCでA,Bは鋭角、対辺a=BC=9cm、sinA=3/5、sinB=4/5です。正弦定理からb=CAをcmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで、角Aの対辺BCの長さはa=12cmで、sinA=3/4です。外接円の半径Rをcmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ACBでCA=6cm、CB=8cm、挟角C=60度、cos60度=1/2です。ABの長さの平方を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ACBでCA=6cm、CB=8cm、挟角C=120度、cos120度=−1/2です。ABの長さの平方を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCの三辺をBC=a=6cm、CA=b=8cm、AB=c=10cmとします。余弦定理からcosCを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCの三辺をBC=a=5cm、CA=b=6cm、AB=c=7cmとします。余弦定理からcosCを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCでA=30度、B=45度、a=BC=10cmです。b=CAを求める正しい式はどれですか。
- b=10 sin30度/sin45度
- b=10 sin45度/sin30度
- b=10 cos45度/cos30度
- b=10 sin75度
途中の計算・単位・理由・確認答え:
CA=6cm、CB=8cm、挟角C=120度の三角形です。cos120度=−1/2から求めたABの正確な長さはどれですか。
- 2√13cm
- 14cm
- 2cm
- 2√37cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
辺a=7cm、b=8cm、c=13cmの三角形で、角Cの種類はどれですか。
- 鈍角
- 直角
- 鋭角
- 三角形は存在しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
上半円で90度を表す点は(0,r)です。tan90度について正しいものはどれですか。
- 0
- 1
- 定義されない
- −1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
90度<θ<180度でsinθ=12/13、cosθ=−5/13です。tanθはどれですか。
- 12/5
- −12/5
- −5/12
- 5/12
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A=45度、a=6cm、b=3√6cmの三角形で、正弦定理から角Bの候補は60度と120度になりました。どちらもsinB=√3/2です。元の条件に合う候補はどれですか。
- 60度だけ
- 120度だけ
- 両方（残りの角Cはそれぞれ75度と15度）
- 両方とも不可
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで∠C=90度のとき、余弦定理はどの式になりますか。
- c²=a²+b²
- c²=a²+b²−2ab
- c²=a²−b²
- c=a+b
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
原点Oを中心とする半径5の上半円を描き、P(3,4)をy軸について対称に移した点Qの座標を求めます。正のx軸からOPへの角をθ、OQへの角を180度−θとして、両角のsin・cos・tanを座標で求めてください。なぜsinが同じでcosとtanの符号が変わるかを一般の(x,y)でも説明します。さらに0・90・180度の三点の座標と三つの比を表で示し、tan90度が定義されない理由も書きます。
三角形ABCでA=30度、B=45度、a=BC=8cmです。sin30度=1/2、sin45度=√2/2を使えます。条件図と対辺対角を対応させ、定理を選ぶ理由を書いて、b=CAと角Cを求めてください。厳密値のまま元の比と内角和へ戻し、正の長さと角を確かめます。
三角形ABCでA=45度、B=60度、a=BC=6√2cmです。sin45度=√2/2、sin60度=√3/2を使い、第三角Cを求めてから、定理を選ぶ理由と具体式でb=CAを求めます。元の二つの辺と角の比・内角和、正の長さを確かめ、条件図へ戻してください。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=60度、cos60度=1/2です。二辺とその間の角を図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でABを求めます。正の長さを取り、三角不等式と余弦定理へ戻した検算を示してください。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=120度です。T1の補角関係とcos60度=1/2からcos120度を確かめ、定理を選んでABを求めます。符号の理由、正の長さと三角不等式、元のcosへの検算を残してください。同じ二辺で挟角60度のときよりABが長い理由も式で示します。
三辺a=4cm、b=7cm、c=9cmの三角形ABCです。対辺と角を図に対応させ、定理を選ぶ理由と具体式からcosCを求めます。三角不等式とcosの符号を確認し、角Cが鋭角・直角・鈍角のどれかを説明してください。角度の近似値を逆三角関数で入力する必要はありません。
三角形ABCでC=90度、a=9cm、b=12cmです。定理を選ぶ理由を示し、余弦定理からcを求めてください。別に三平方で同じ計算を行い、なぜ二つの関係が一致するかをcos90度と式で説明します。直角と斜辺の図・単位・検算も残します。
三角形ABCで角Aの対辺a=BC=14cm、sinA=7/10です。外接円とその中心・半径R、対辺aと角Aを模式図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でRを求めてください。半径と直径を区別し、元の比に戻す検算と、辺aが直径を超えていないことも確かめます。
三角形ABCでA=30度、a=6cm、b=6√2cmです。sin30度=1/2、sin45度=sin135度=√2/2を使えます。角Bの候補45度と135度のうち、元の条件に合うものを全て調べてください。定理を選ぶ理由と比例式を示し、各候補で第三角C、辺と角の比、すべての内角が正で、和が180度であることを検算します。二つの模式図を描き、一つだけと断定できるか説明します。
aを4,6cmから一つ、bを5,7cmから一つ、挟角Cを60,90,120度から一つ選んで三角形ABCの条件を作ります。a=BC、b=CA、c=ABとして図示し、cos60度=1/2、cos90度=0、cos120度=−1/2を使って定理を選び、cを厳密値で求めてください。具体式・正の根と単位・三角不等式・元のcosへの検算を残します。
解答: 辺と角の条件から正弦定理・余弦定理を選び、全条件で確かめる
−
cosθ=x/r=−5/13。xが負なので鈍角のcosは負です。
12
a/sinA=9÷(3/5)=15なので、b=15×4/5=12cm。
8
a/sinA=12÷(3/4)=16=2RなのでR=8cm。
52
AB²=6²+8²−2×6×8×1/2=36+64−48=52。
148
AB²=36+64−96×(−1/2)=100+48=148。
0
cosC=(6²+8²−10²)/(2×6×8)=0。Cは直角です。
cosC=(25+36−49)/(2×5×6)=12/60=1/5。
b=10 sin45度/sin30度
既知の対辺対角a,Aと求めるb,Bを正弦定理で結び、b=a sinB/sinAとします。
2√37cm
AB²=148なので正の根√148=2√37cm。6²+8²=100に対し、負のcos120度を引く項が48を加えるので、AB²は100より大きくなります。
鈍角
7+8>13で三角形は存在し、cosC=(49+64−169)/112=−1/2<0なので鈍角です。
定義されない
tanθ=y/xで分母xが0になり、tan90度は定義されません。
−12/5
cosθ≠0なのでtanθ=sinθ/cosθ=(12/13)/(−5/13)=−12/5。
両方（残りの角Cはそれぞれ75度と15度）
どちらもA+B<180度で残りの角が正。a/sin45度=6√2、b/sinBも6√2なので両方が条件に合います。
c²=a²+b²
cos90度=0なのでc²=a²+b²−2ab×0=a²+b²。直角Cの対辺cが斜辺です。
記述問題の解答・確認の観点
原点Oを中心とする半径5の上半円を描き、P(3,4)をy軸について対称に移した点Qの座標を求めます。正のx軸からOPへの角をθ、OQへの角を180度−θとして、両角のsin・cos・tanを座標で求めてください。なぜsinが同じでcosとtanの符号が変わるかを一般の(x,y)でも説明します。さらに0・90・180度の三点の座標と三つの比を表で示し、tan90度が定義されない理由も書きます。
3²+4²=25でPは半径5上、対称点Q=(−3,4)。θではsin=4/5,cos=3/5,tan=4/3。180度−θではsin=4/5,cos=−3/5,tan=−4/3。一般に(x,y)→(−x,y)でy/rは同じ、x/rとy/xは符号が反転（tanはx≠0）。0度の(5,0)はsin0,cos1,tan0、90度の(0,5)はsin1,cos0,tan定義なし、180度の(−5,0)はsin0,cos−1,tan0。端点は半円による拡張であり、角0や180度の三角形に定理を使う話ではない。
生徒の半円と対称移動・実際の二座標と六比・一般の符号の理由・三端点とtanの定義域を確認する。
三角形ABCでA=30度、B=45度、a=BC=8cmです。sin30度=1/2、sin45度=√2/2を使えます。条件図と対辺対角を対応させ、定理を選ぶ理由を書いて、b=CAと角Cを求めてください。厳密値のまま元の比と内角和へ戻し、正の長さと角を確かめます。
既知の対辺対角a,Aとb,Bを結ぶので正弦定理。a/sinA=8÷(1/2)=16、b=16×√2/2=8√2cm。C=180−30−45=105度>0。b/sinB=(8√2)/(√2/2)=16で元の比と一致し、三つの内角の和は180度、辺b>0。生徒の図でaがA、bがBの向かいと示す。
生徒の対応図・選択理由・bの厳密値とC・単位・比と内角和の検算を確認する。
三角形ABCでA=45度、B=60度、a=BC=6√2cmです。sin45度=√2/2、sin60度=√3/2を使い、第三角Cを求めてから、定理を選ぶ理由と具体式でb=CAを求めます。元の二つの辺と角の比・内角和、正の長さを確かめ、条件図へ戻してください。
C=75度。既知の対辺対角a,Aがあり、b,Bも対応させられるので正弦定理。a/sinA=(6√2)/(√2/2)=12、b=12×√3/2=6√3cm。b/sin60度も12。45+60+75=180度で全て正、b>0。cやsin75度の新しい公式を求めることは本問の条件にしない。
生徒の第三角・対応と選択理由・厳密なb・単位・二つの比とすべての内角の検算を確認する。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=60度、cos60度=1/2です。二辺とその間の角を図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でABを求めます。正の長さを取り、三角不等式と余弦定理へ戻した検算を示してください。
二辺とその間の角（SAS）なので余弦定理。AB²=25+49−2×5×7×1/2=39、AB=√39cm。差2と和12に対し4<39<144なので2<√39<12、三角不等式を満たす。戻すとcosC=(25+49−39)/70=1/2。生徒の図で求めるABが角Cの対辺と確認する。
生徒の挟角・選択理由・平方と正の根・単位・長さの範囲と元のcosへの検算を確認する。
三角形ACBでCA=5cm、CB=7cm、挟角C=120度です。T1の補角関係とcos60度=1/2からcos120度を確かめ、定理を選んでABを求めます。符号の理由、正の長さと三角不等式、元のcosへの検算を残してください。同じ二辺で挟角60度のときよりABが長い理由も式で示します。
cos120度=−cos60度=−1/2。二辺とその間の角なので余弦定理でAB²=25+49−70×(−1/2)=109、AB=√109cm。4<109<144より2<√109<12で三角不等式を満たす。cosC=(25+49−109)/70=−1/2。60度ならAB²=39なので109>39、正の根の大小から鈍角の場合のABが長い。
生徒の補角と負のcos・SAS選択理由・平方と正の根・単位・三角条件と二角の比較を確認する。
三辺a=4cm、b=7cm、c=9cmの三角形ABCです。対辺と角を図に対応させ、定理を選ぶ理由と具体式からcosCを求めます。三角不等式とcosの符号を確認し、角Cが鋭角・直角・鈍角のどれかを説明してください。角度の近似値を逆三角関数で入力する必要はありません。
三辺（SSS）が与えられているので余弦定理。cosC=(4²+7²−9²)/(2×4×7)=(16+49−81)/56=−2/7。最大辺9も4+7=11より小さく、他の二つの不等式も成り立つ。−1<−2/7<0なのでCは鈍角。戻すと16+49−56×(−2/7)=81=9²。cが角Cの対辺である図を残す。
生徒のSSS選択理由・対辺対応・正確なcos・三角条件・鈍角の理由と元の式への検算を確認する。
三角形ABCでC=90度、a=9cm、b=12cmです。定理を選ぶ理由を示し、余弦定理からcを求めてください。別に三平方で同じ計算を行い、なぜ二つの関係が一致するかをcos90度と式で説明します。直角と斜辺の図・単位・検算も残します。
Cの対辺cが斜辺。二辺とその間の角なので余弦定理でc²=81+144−2×9×12×0=225、c=15cm。三平方でも9²+12²=15²。T1からcos90度=0なので余弦定理の積の項が消え、同じ関係へ戻る。辺は正で9+12>15。生徒の直角Cと対辺cの図を確かめる。
生徒の選択理由・cos90の位置付け・二方法の具体式と一致の理由・正のcと単位・図を確認する。
三角形ABCで角Aの対辺a=BC=14cm、sinA=7/10です。外接円とその中心・半径R、対辺aと角Aを模式図に示し、定理を選ぶ理由と具体式でRを求めてください。半径と直径を区別し、元の比に戻す検算と、辺aが直径を超えていないことも確かめます。
対辺対角と外接円を結ぶ正弦定理a/sinA=2Rを選ぶ。14÷(7/10)=20=2RからR=10cm、直径20cm。検算は2×10×7/10=14cmで元のaに戻る。辺14<直径20で整合する。この条件だけで三角形全体が一意と主張せず、求めたのはR。模式図を測って半径を決めない。
生徒の外接円・対辺対角・定理の選択理由・半径10と直径20の区別・単位と元の比の検算を確認する。
三角形ABCでA=30度、a=6cm、b=6√2cmです。sin30度=1/2、sin45度=sin135度=√2/2を使えます。角Bの候補45度と135度のうち、元の条件に合うものを全て調べてください。定理を選ぶ理由と比例式を示し、各候補で第三角C、辺と角の比、すべての内角が正で、和が180度であることを検算します。二つの模式図を描き、一つだけと断定できるか説明します。
既知の対辺対角a,Aがありb,Bを結ぶので正弦定理。sinB=b sinA/a=(6√2)×(1/2)/6=√2/2。B=45度ならC=105度、B=135度ならC=15度で、どちらもすべての内角が正で、和は180度。a/sinA=12、両候補ともb/sinB=12なので全ての与条件に合う。角の組が異なる二つの三角形で、一方を捨てる条件はない。一般のSSAを全パラメータで分類する課題ではなく、この具体的な二候補を確かめる。
生徒の対辺対応と正弦定理の理由・二つのB,C・両候補の比とすべての内角の検算・二図と一意でない説明を確認する。
aを4,6cmから一つ、bを5,7cmから一つ、挟角Cを60,90,120度から一つ選んで三角形ABCの条件を作ります。a=BC、b=CA、c=ABとして図示し、cos60度=1/2、cos90度=0、cos120度=−1/2を使って定理を選び、cを厳密値で求めてください。具体式・正の根と単位・三角不等式・元のcosへの検算を残します。
作例a=6cm,b=7cm,C=120度なら二辺とその間の角なので余弦定理。c²=36+49−84×(−1/2)=127、c=√127cm。差1と和13について1<127<169なので1<√127<13、三角不等式を満たす。戻すとcosC=(36+49−127)/84=−1/2。生徒の許された別の二辺と角も認め、具体的な計算・対辺と二辺の間の角の図・全検算を必要とする。
生徒の二辺と角・対応図・定理を選ぶ理由・平方と正のc・単位・三角条件と元の式への検算を確認する。