直角・基準角・対応する辺を確かめ、三角比で長さを求める
直角三角形の基準角と三辺を特定し、sin・cos・tanを選んで長さを求めます。準備14問と、自分の図・比例式・具体値と検算を残す主課題10題です。与えた近似表の丸めや目の高さを含むモデルも扱います。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(2)ア(ア)・イ(イ)、冊子38〜40/PDF50〜52を踏まえた独自課題です。鋭角の比の直接例は階段・エスカレータの踏面と蹴上げで、測れない距離・建物などは三角比や正弦定理・余弦定理を含む活用例として記されます。本題はそのうち鋭角の直角三角形モデルへ限定します。現行出版社の2026年年間指導計画も鋭角の三角比を扱います。実測や建物の実際の高さを確認した教材ではなく、与条件による計算です。元の問題・図や数値は写していません。
解説を読む
角θを決めると、斜辺、θの向かいの辺、θに隣り合う斜辺以外の辺が決まります。必要な辺と既知の辺に合う比を選び、長さを未知数にした式を解きます。もう一方の鋭角を基準にすると、直角をはさむ二辺のうち、対辺と隣辺が入れ替わります。図の見た目を測って答えず、与えられた条件で計算します。
必要な予備知識
直角・相似と三平方、分数の比・比例式、根号と単位。sinθ・cosθ・tanθの定義を以下で導入します。角は度数法で0<θ<90度の鋭角です。自分の図・自由な式・根号の長さと理由は、紙や既存の授業用ボードに残して講師が手動確認します。
- 直角の向かいの辺が斜辺です。基準角θの向かいの直角をはさむ辺を対辺、θに隣り合う斜辺以外の辺を隣辺として区別します。ここでは0<θ<90度です。
- sinθ=対辺/斜辺、cosθ=隣辺/斜辺、tanθ=対辺/隣辺です。角の位置と三辺に印を付け、既知と未知のどの辺を結ぶ比かを説明します。
- 対辺=斜辺×sinθ、隣辺=斜辺×cosθ、対辺=隣辺×tanθ。逆に斜辺が未知なら対辺/sinθや隣辺/cosθのように、比例式を解いて割り算になる場合があります。
- 同じ直角三角形でも、もう一つの鋭角を基準にすれば対辺と隣辺が入れ替わります。斜辺は変わりません。辺の文字だけで比を暗記せず、角から対応を確かめます。
- 三辺の長さは正です。斜辺が最も長いことや三平方、元の比への代入で検算します。モデルの地面が水平・対象が鉛直なら直角が置ける理由になります。
- 30度・45度・60度の厳密な比や根号の長さは、示された値と条件に従って使います。厳密値を勝手に小数へ丸めず、近似値を厳密値と等号で結びません。
- 近似表を使う問題では、与えた比の近似から計算したことと、指定された単位・位への丸めを示します。比の近似やモデル条件に基づく推定を、実測の確定値とは呼びません。
- 観測者の目から水平な線を引いた場合、三角比で求める上昇分と地面からの全高は異なります。同じ水平地面・鉛直・目の高さなどの条件を図に示して、必要な分だけ足します。
解き方の例
直角がB、基準角がCの三角形ABCで斜辺AC=10cm、sinC=3/5ならAB/10=3/5、AB=6cm。BC=8cmと三平方で確かめれば、sinC=6/10=3/5にも戻れます。
同じく直角B・基準角Cで対辺AB=8cm、sinC=4/5なら8/AC=4/5、AC=8÷(4/5)=10cm。斜辺を求めるので、8×4/5として短くしません。
よくある間違い
- 直角の向かい以外の辺を斜辺と呼ぶ。
- 基準角を変えても、対辺と隣辺を入れ替えない。
- 斜辺を求める場面でも、いつでも比を掛ける。
- 水平距離の代わりに斜距離をtanの分母へ入れる。
- 近似表の結果を厳密値とする、または指定された位へ丸めない。
- 目からの上昇分を、地面からの全高と同じにする。
考え方を説明する
準備14問は比の選択・対応辺と長さの短い確認です。主課題では生徒が直角と基準角・三辺を示す図、既知と未知の辺に合う具体式、長さと単位、元の比や三平方への検算・モデル条件を手動確認します。T1はsinから対辺、T2はcosから斜辺、T3は水平距離とtan、T4はsinの割り算、T5は基準角を変えた六つの比、T6は厳密な特殊角、T7は近似と指定の丸め、T8は目の高さと全高、T9は意図的な辺と演算の誤りの修正、T10は生徒の相似な三角形と隠す辺の再計算を見ます。同値な式・正しい別解や別の模式図を認めます。長さの数だけや比の名前だけでは完了にしません。
準備の厳密な数値と選択肢だけを自動採点します。自由な図・根号式・立式と検算、近似表に基づく記述や丸めの理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい三角関数入力や許容誤差の採点、ラジアン・周期・鈍角の定理を前提にせず、生徒試用・実測や学習効果は主張しません。
練習する
準備は厳密な比と長さの短い確認です。主課題の図・自由式・検算や近似の丸めとモデル条件は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
図の三角形ABCは∠ABC=90度、θ=∠ACBです。斜辺AC=15cm、sinθ=3/5のとき、ABの長さをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
9
sinθ=AB/ACなのでAB=15×3/5=9cm。
図の三角形ABCは∠ABC=90度、θ=∠BACです。AB=12cm、cosθ=3/5のとき、斜辺ACの長さをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
20
cosθ=AB/ACより12/AC=3/5、AC=12÷(3/5)=20cm。
水平なBC=16mと鉛直なABが直角に交わり、θ=∠ACBのtanθ=3/4です。高さABをmで答えてください。
答えと解説
12
tanθ=AB/BCなのでAB=16×3/4=12mです。
直角三角形で基準角30度の対辺を求めます。斜辺は26cm、sin30度=1/2です。対辺の長さをcmで答えてください。
答えと解説
13
対辺=26×1/2=13cmです。
直角三角形で基準角60度の隣辺を求めます。斜辺18cm、cos60度=1/2です。隣辺の長さをcmで答えてください。
答えと解説
9
隣辺=18×1/2=9cmです。
直角Bの三角形ABCで、θ=∠ACB、対辺AB=9cm、sinθ=3/5です。斜辺ACの長さをcmで答えてください。
答えと解説
15
9/AC=3/5なのでAC=9÷(3/5)=15cmです。
三角形ABCは∠ABC=90度で、BCは水平な18mの辺、ABは鉛直の高さです。基準角θ=∠ACBのtanθは厳密に3/4です。高さABをmで答えてください。
答えと解説
高さ=18×3/4=27/2m。13.5mと同じ厳密値です。
直角がB、基準角がCの三角形ABCで、sinCを表す比はどれですか。
- BC/AC
- AB/BC
- AC/AB
- AB/AC
答えと解説
AB/AC
Cの向かいはAB、斜辺はACなのでsinC=AB/AC。
直角Bの三角形ABCでAB=6cm、BC=8cm、AC=10cmです。基準角AのcosAはどれですか。
- 4/5
- 3/5
- 3/4
- 5/3
答えと解説
3/5
Aの隣辺はABなのでcosA=AB/AC=6/10=3/5。
直角Bの三角形ABCでAB=9cm、BC=12cm、AC=15cmです。tanCはどれですか。
- 3/5
- 4/5
- 3/4
- 4/3
答えと解説
3/4
Cの対辺ABと隣辺BCの比なのでtanC=9/12=3/4。
直角Bの三角形ABCでAB=6cm、BC=8cm、AC=10cmです。基準角をCからAへ変えたとき、sinAはどれですか。
- 4/5
- 3/5
- 3/4
- 5/4
答えと解説
4/5
Aの向かいはBCへ変わるのでsinA=8/10=4/5。
直角をはさむ二辺がともに7cmの直角二等辺三角形です。斜辺の厳密な長さはどれですか。
- 14cm
- 7/√2cm
- 49cm
- 7√2cm
答えと解説
7√2cm
三平方で斜辺の平方=49+49=98、正の根は7√2cmです。
水平距離21m、鉛直な対象への仰角37度とします。与えた近似表tan37度≈0.754を使い、高さを0.1mの位へ四捨五入した推定はどれですか。
- 約15.834m
- 約15.8m
- 約27.9m
- 約0.8m
答えと解説
約15.8m
与えた近似で21×0.754=15.834。0.1mの位へ丸めて約15.8m。比が近似なので実測の厳密値ではありません。
同じ水平地面上で目の高さ1.5m、鉛直な対象まで水平距離10m、目から頂点への仰角45度です。tan45度=1のモデルで地面からの全高はどれですか。
- 10m
- 8.5m
- 11.5m
- 15m
答えと解説
11.5m
目からの上昇分は10×1=10m。全高は1.5+10=11.5mです。
考え方を説明する
∠ABC=90度、θ=∠ACBの三角形で、AC=25cm、sinθ=3/5です。直角・角θ・対辺・隣辺・斜辺を図に示し、sinを選ぶ理由と具体式からABを求めます。BCも三平方で求め、元のsinと三辺の大小を検算してください。
答えと解説
対辺AB、隣辺BC、斜辺AC。AB/25=3/5からAB=15cm。BCは正の根√(25²−15²)=20cm。sinθ=15/25=3/5、15²+20²=25²で斜辺25cmが最長。生徒の図・対応辺と式を示す。
生徒の基準角と三辺・比の理由・長さと単位・二つの検算を確認する。
∠ABC=90度、θ=∠BAC、AB=9cm、cosθ=3/5です。自分の図に対応辺と未知の斜辺ACを示し、cosを使う比例式からACを求めます。BCも求め、元のcosと三平方を検算してください。掛け算だけで斜辺を短くしない理由も説明します。
答えと解説
Aの隣辺AB、対辺BC、斜辺AC。9/AC=3/5からAC=9÷(3/5)=15cm。BC=√(15²−9²)=12cm。cosθ=9/15=3/5、9²+12²=15²。斜辺は9cmより長く、9×3/5では条件に合わない。
生徒のAを基準とする図・割り算の立式・二辺と単位・全ての条件の検算を確認する。
水平な地面BC上でBC=16m、鉛直な対象AB、観測位置Cは地面上とする計算モデルです。θ=∠ACBのtanθ=3/4が与えられています。水平・鉛直と直角、水平距離と高さを図に示し、ABを求めます。斜距離ACも求め、tanと三平方へ戻して検算し、実測結果ではないことを説明します。
答えと解説
Bが直角、Cの対辺ABと隣辺BCを用いてAB/16=3/4。AB=12m、AC=√(12²+16²)=20m。tanθ=12/16=3/4。分母は水平距離16mで、斜距離20mではない。水平・鉛直・地面上の位置というモデル条件に基づく値で、実際に測った高さの確認ではない。
生徒のモデルの直角・水平距離・tanの比・二辺の値と単位・検算と証拠の範囲を確認する。
∠ABC=90度、θ=∠ACB、AB=10cm、sinθ=5/13です。未知ACを図と比例式に示して求め、BCも三平方で求めます。三辺を元の比へ戻し、斜辺を求めるときの演算と、長さを正に取る理由を説明してください。
答えと解説
AB/AC=5/13からAC=10÷(5/13)=26cm。BC=√(26²−10²)=24cm。10/26=5/13、10²+24²=26²、26cmは最長。長さなので正の根24を取り、−24は辺の長さとして採用しない。
生徒の逆向きの立式・割り算・正の二辺・元の比と平方の検算・図を確認する。
直角Bの三角形ABCでAB=12cm、BC=5cm、AC=13cmです。同じ三角形に基準角Cと基準角Aを別々に示し、各角の対辺・隣辺・斜辺を対応させてsin・cos・tanを全て求めます。斜辺が変わらず二辺の役割が入れ替わる理由も、実際の六つの比と三平方で説明します。
答えと解説
Cでは対辺AB12、隣辺BC5、斜辺AC13なのでsinC=12/13、cosC=5/13、tanC=12/5。Aでは対辺BC5、隣辺AB12、斜辺AC13なのでsinA=5/13、cosA=12/13、tanA=5/12。どちらでも直角の向かいACが斜辺。12²+5²=13²。
生徒の二つの基準角・対応辺の入れ替え・六つの正確な比・図と検算を確認する。
∠ABC=90度、∠ACB=30度、AC=22cmです。sin30度=1/2、cos30度=√3/2を厳密値として使えます。対応辺の図と具体式からAB,BCを求め、根号を丸めずに元の比と三平方で検算します。長さの単位も示してください。
答えと解説
AB=22×1/2=11cm、BC=22×√3/2=11√3cm。11/22=1/2、11√3/22=√3/2。11²+(11√3)²=121+363=484=22²。図の見た目から測るのでなく、与えた厳密比で求める。
生徒の30度と三辺・二式・厳密な二辺と単位・根号を含む検算を確認する。
水平な基線が19m、鉛直な対象への仰角が37度で、観測位置は基線と同じ高さというモデルを作ります。与えた表tan37度≈0.754を使って高さを推定し、0.1mの位へ四捨五入してください。自分の図・立式、丸める前の計算値と丸めた推定値・単位、近似と実測の違いを残します。
答えと解説
水平基線19mを隣辺、求める高さhを対辺とし、h/19≈0.754。表による積は19×0.754=14.326で、h≈14.326mから0.1mの位へ丸め約14.3m。次の百分の一の位2で判断する。0.754自体が近似でモデル条件もあるため、高さの厳密値や実測結果とはしない。
生徒の基線と高さの図・近似の式・計算値と指定の丸め・単位と証拠の範囲を確認する。
観測者と鉛直な対象の足元は同じ水平地面上です。目の高さ1.4m、対象までの水平距離14m、目から頂点への仰角45度とし、tan45度=1を使います。目からの水平線と上昇分、地面からの全高を区別する図を作り、二つの高さと単位を式から求めます。全高を元の条件へ戻して検算してください。
答えと解説
目の高さで対象に届く水平線を隣辺14mとすると、上昇分h/14=1でh=14m。地面からの全高H=1.4+14=15.4m。検算は(H−1.4)/14=14/14=1。鉛直な対象と水平線の交わりが直角。全高Hをそのままtanの対辺へ置かず、同じ水平地面という条件を使う。
生徒の目の水平線・直角と上昇分/全高の区別・二式・単位・条件への検算を確認する。
∠ABC=90度、基準角A、AB=8cm、sinA=4/5、cosA=3/5です。「sinA=AB/ACだからAC=8×4/5」とした説明を自分の図と式で直してください。対応辺と演算の二つの誤りを別々に説明し、正しいAC,BCと単位、与えた二つの比・三平方への検算を残します。
答えと解説
Aの隣辺がAB、対辺がBC、斜辺がAC。sinAはBC/ACでAB/ACではない。既知ABからcosA=8/AC=3/5を使い、AC=8÷(3/5)=40/3cm。BC=(40/3)×4/5=32/3cm。8/(40/3)=3/5、(32/3)/(40/3)=4/5、8²+(32/3)²=(40/3)²。誤りは対辺の取り違えと、未知斜辺に対する掛け算の二点。
生徒のAを基準とする図・二つの誤りの修正・分数の二辺と単位・全比と三平方の検算を確認する。
kを2,3,5,7から一つ選び、直角Bの三角形ABCでAB=3k cm、BC=4k cm、AC=5k cmとします。基準角をAかCから選び、その角のsin・cos・tanを具体的な辺の比で示します。次に三辺の一つを未知にし、別の既知の辺と適切な比から元の長さを求め直します。選んだ数と自分の図・具体式・演算の理由、三平方と元の比への検算を残してください。
答えと解説
作例k=7ならAB=21cm、BC=28cm、AC=35cm。基準角AはsinA=4/5、cosA=3/5、tanA=4/3。ACを未知にしてAB=21cmとcosA=3/5を使い、21/AC=3/5よりAC=35cm。21²+28²=35²、21/35=3/5。基準角Cを選べばsinC=3/5、cosC=4/5、tanC=3/4。生徒の許された別のk・角・未知辺も認め、既知辺と比からの再計算を具体的に示す。
生徒のkと三辺・基準角の三つの比・未知にした辺と別の既知辺・実際の再計算と単位・検算を見る。一般式だけでは完了にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(2)ア(ア)・イ(イ)、冊子38〜40/PDF50〜52を踏まえた独自課題です。鋭角の比の直接例は階段・エスカレータの踏面と蹴上げで、測れない距離・建物などは三角比や正弦定理・余弦定理を含む活用例として記されます。本題はそのうち鋭角の直角三角形モデルへ限定します。現行出版社の2026年年間指導計画も鋭角の三角比を扱います。実測や建物の実際の高さを確認した教材ではなく、与条件による計算です。元の問題・図や数値は写していません。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 直角・基準角・対応する辺を確かめ、三角比で長さを求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/choose-trigonometric-ratios-to-find-modelled-lengths/
準備14問は比の選択・対応辺と長さの短い確認です。主課題では生徒が直角と基準角・三辺を示す図、既知と未知の辺に合う具体式、長さと単位、元の比や三平方への検算・モデル条件を手動確認します。T1はsinから対辺、T2はcosから斜辺、T3は水平距離とtan、T4はsinの割り算、T5は基準角を変えた六つの比、T6は厳密な特殊角、T7は近似と指定の丸め、T8は目の高さと全高、T9は意図的な辺と演算の誤りの修正、T10は生徒の相似な三角形と隠す辺の再計算を見ます。同値な式・正しい別解や別の模式図を認めます。長さの数だけや比の名前だけでは完了にしません。
図の三角形ABCは∠ABC=90度、θ=∠ACBです。斜辺AC=15cm、sinθ=3/5のとき、ABの長さをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図の三角形ABCは∠ABC=90度、θ=∠BACです。AB=12cm、cosθ=3/5のとき、斜辺ACの長さをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
水平なBC=16mと鉛直なABが直角に交わり、θ=∠ACBのtanθ=3/4です。高さABをmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角三角形で基準角30度の対辺を求めます。斜辺は26cm、sin30度=1/2です。対辺の長さをcmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角三角形で基準角60度の隣辺を求めます。斜辺18cm、cos60度=1/2です。隣辺の長さをcmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角Bの三角形ABCで、θ=∠ACB、対辺AB=9cm、sinθ=3/5です。斜辺ACの長さをcmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCは∠ABC=90度で、BCは水平な18mの辺、ABは鉛直の高さです。基準角θ=∠ACBのtanθは厳密に3/4です。高さABをmで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角がB、基準角がCの三角形ABCで、sinCを表す比はどれですか。
- BC/AC
- AB/BC
- AC/AB
- AB/AC
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角Bの三角形ABCでAB=6cm、BC=8cm、AC=10cmです。基準角AのcosAはどれですか。
- 4/5
- 3/5
- 3/4
- 5/3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角Bの三角形ABCでAB=9cm、BC=12cm、AC=15cmです。tanCはどれですか。
- 3/5
- 4/5
- 3/4
- 4/3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角Bの三角形ABCでAB=6cm、BC=8cm、AC=10cmです。基準角をCからAへ変えたとき、sinAはどれですか。
- 4/5
- 3/5
- 3/4
- 5/4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角をはさむ二辺がともに7cmの直角二等辺三角形です。斜辺の厳密な長さはどれですか。
- 14cm
- 7/√2cm
- 49cm
- 7√2cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
水平距離21m、鉛直な対象への仰角37度とします。与えた近似表tan37度≈0.754を使い、高さを0.1mの位へ四捨五入した推定はどれですか。
- 約15.834m
- 約15.8m
- 約27.9m
- 約0.8m
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ水平地面上で目の高さ1.5m、鉛直な対象まで水平距離10m、目から頂点への仰角45度です。tan45度=1のモデルで地面からの全高はどれですか。
- 10m
- 8.5m
- 11.5m
- 15m
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
∠ABC=90度、θ=∠ACBの三角形で、AC=25cm、sinθ=3/5です。直角・角θ・対辺・隣辺・斜辺を図に示し、sinを選ぶ理由と具体式からABを求めます。BCも三平方で求め、元のsinと三辺の大小を検算してください。
∠ABC=90度、θ=∠BAC、AB=9cm、cosθ=3/5です。自分の図に対応辺と未知の斜辺ACを示し、cosを使う比例式からACを求めます。BCも求め、元のcosと三平方を検算してください。掛け算だけで斜辺を短くしない理由も説明します。
水平な地面BC上でBC=16m、鉛直な対象AB、観測位置Cは地面上とする計算モデルです。θ=∠ACBのtanθ=3/4が与えられています。水平・鉛直と直角、水平距離と高さを図に示し、ABを求めます。斜距離ACも求め、tanと三平方へ戻して検算し、実測結果ではないことを説明します。
∠ABC=90度、θ=∠ACB、AB=10cm、sinθ=5/13です。未知ACを図と比例式に示して求め、BCも三平方で求めます。三辺を元の比へ戻し、斜辺を求めるときの演算と、長さを正に取る理由を説明してください。
直角Bの三角形ABCでAB=12cm、BC=5cm、AC=13cmです。同じ三角形に基準角Cと基準角Aを別々に示し、各角の対辺・隣辺・斜辺を対応させてsin・cos・tanを全て求めます。斜辺が変わらず二辺の役割が入れ替わる理由も、実際の六つの比と三平方で説明します。
∠ABC=90度、∠ACB=30度、AC=22cmです。sin30度=1/2、cos30度=√3/2を厳密値として使えます。対応辺の図と具体式からAB,BCを求め、根号を丸めずに元の比と三平方で検算します。長さの単位も示してください。
水平な基線が19m、鉛直な対象への仰角が37度で、観測位置は基線と同じ高さというモデルを作ります。与えた表tan37度≈0.754を使って高さを推定し、0.1mの位へ四捨五入してください。自分の図・立式、丸める前の計算値と丸めた推定値・単位、近似と実測の違いを残します。
観測者と鉛直な対象の足元は同じ水平地面上です。目の高さ1.4m、対象までの水平距離14m、目から頂点への仰角45度とし、tan45度=1を使います。目からの水平線と上昇分、地面からの全高を区別する図を作り、二つの高さと単位を式から求めます。全高を元の条件へ戻して検算してください。
∠ABC=90度、基準角A、AB=8cm、sinA=4/5、cosA=3/5です。「sinA=AB/ACだからAC=8×4/5」とした説明を自分の図と式で直してください。対応辺と演算の二つの誤りを別々に説明し、正しいAC,BCと単位、与えた二つの比・三平方への検算を残します。
kを2,3,5,7から一つ選び、直角Bの三角形ABCでAB=3k cm、BC=4k cm、AC=5k cmとします。基準角をAかCから選び、その角のsin・cos・tanを具体的な辺の比で示します。次に三辺の一つを未知にし、別の既知の辺と適切な比から元の長さを求め直します。選んだ数と自分の図・具体式・演算の理由、三平方と元の比への検算を残してください。
解答: 直角・基準角・対応する辺を確かめ、三角比で長さを求める
9
sinθ=AB/ACなのでAB=15×3/5=9cm。
20
cosθ=AB/ACより12/AC=3/5、AC=12÷(3/5)=20cm。
12
tanθ=AB/BCなのでAB=16×3/4=12mです。
13
対辺=26×1/2=13cmです。
9
隣辺=18×1/2=9cmです。
15
9/AC=3/5なのでAC=9÷(3/5)=15cmです。
高さ=18×3/4=27/2m。13.5mと同じ厳密値です。
AB/AC
Cの向かいはAB、斜辺はACなのでsinC=AB/AC。
3/5
Aの隣辺はABなのでcosA=AB/AC=6/10=3/5。
3/4
Cの対辺ABと隣辺BCの比なのでtanC=9/12=3/4。
4/5
Aの向かいはBCへ変わるのでsinA=8/10=4/5。
7√2cm
三平方で斜辺の平方=49+49=98、正の根は7√2cmです。
約15.8m
与えた近似で21×0.754=15.834。0.1mの位へ丸めて約15.8m。比が近似なので実測の厳密値ではありません。
11.5m
目からの上昇分は10×1=10m。全高は1.5+10=11.5mです。
記述問題の解答・確認の観点
∠ABC=90度、θ=∠ACBの三角形で、AC=25cm、sinθ=3/5です。直角・角θ・対辺・隣辺・斜辺を図に示し、sinを選ぶ理由と具体式からABを求めます。BCも三平方で求め、元のsinと三辺の大小を検算してください。
対辺AB、隣辺BC、斜辺AC。AB/25=3/5からAB=15cm。BCは正の根√(25²−15²)=20cm。sinθ=15/25=3/5、15²+20²=25²で斜辺25cmが最長。生徒の図・対応辺と式を示す。
生徒の基準角と三辺・比の理由・長さと単位・二つの検算を確認する。
∠ABC=90度、θ=∠BAC、AB=9cm、cosθ=3/5です。自分の図に対応辺と未知の斜辺ACを示し、cosを使う比例式からACを求めます。BCも求め、元のcosと三平方を検算してください。掛け算だけで斜辺を短くしない理由も説明します。
Aの隣辺AB、対辺BC、斜辺AC。9/AC=3/5からAC=9÷(3/5)=15cm。BC=√(15²−9²)=12cm。cosθ=9/15=3/5、9²+12²=15²。斜辺は9cmより長く、9×3/5では条件に合わない。
生徒のAを基準とする図・割り算の立式・二辺と単位・全ての条件の検算を確認する。
水平な地面BC上でBC=16m、鉛直な対象AB、観測位置Cは地面上とする計算モデルです。θ=∠ACBのtanθ=3/4が与えられています。水平・鉛直と直角、水平距離と高さを図に示し、ABを求めます。斜距離ACも求め、tanと三平方へ戻して検算し、実測結果ではないことを説明します。
Bが直角、Cの対辺ABと隣辺BCを用いてAB/16=3/4。AB=12m、AC=√(12²+16²)=20m。tanθ=12/16=3/4。分母は水平距離16mで、斜距離20mではない。水平・鉛直・地面上の位置というモデル条件に基づく値で、実際に測った高さの確認ではない。
生徒のモデルの直角・水平距離・tanの比・二辺の値と単位・検算と証拠の範囲を確認する。
∠ABC=90度、θ=∠ACB、AB=10cm、sinθ=5/13です。未知ACを図と比例式に示して求め、BCも三平方で求めます。三辺を元の比へ戻し、斜辺を求めるときの演算と、長さを正に取る理由を説明してください。
AB/AC=5/13からAC=10÷(5/13)=26cm。BC=√(26²−10²)=24cm。10/26=5/13、10²+24²=26²、26cmは最長。長さなので正の根24を取り、−24は辺の長さとして採用しない。
生徒の逆向きの立式・割り算・正の二辺・元の比と平方の検算・図を確認する。
直角Bの三角形ABCでAB=12cm、BC=5cm、AC=13cmです。同じ三角形に基準角Cと基準角Aを別々に示し、各角の対辺・隣辺・斜辺を対応させてsin・cos・tanを全て求めます。斜辺が変わらず二辺の役割が入れ替わる理由も、実際の六つの比と三平方で説明します。
Cでは対辺AB12、隣辺BC5、斜辺AC13なのでsinC=12/13、cosC=5/13、tanC=12/5。Aでは対辺BC5、隣辺AB12、斜辺AC13なのでsinA=5/13、cosA=12/13、tanA=5/12。どちらでも直角の向かいACが斜辺。12²+5²=13²。
生徒の二つの基準角・対応辺の入れ替え・六つの正確な比・図と検算を確認する。
∠ABC=90度、∠ACB=30度、AC=22cmです。sin30度=1/2、cos30度=√3/2を厳密値として使えます。対応辺の図と具体式からAB,BCを求め、根号を丸めずに元の比と三平方で検算します。長さの単位も示してください。
AB=22×1/2=11cm、BC=22×√3/2=11√3cm。11/22=1/2、11√3/22=√3/2。11²+(11√3)²=121+363=484=22²。図の見た目から測るのでなく、与えた厳密比で求める。
生徒の30度と三辺・二式・厳密な二辺と単位・根号を含む検算を確認する。
水平な基線が19m、鉛直な対象への仰角が37度で、観測位置は基線と同じ高さというモデルを作ります。与えた表tan37度≈0.754を使って高さを推定し、0.1mの位へ四捨五入してください。自分の図・立式、丸める前の計算値と丸めた推定値・単位、近似と実測の違いを残します。
水平基線19mを隣辺、求める高さhを対辺とし、h/19≈0.754。表による積は19×0.754=14.326で、h≈14.326mから0.1mの位へ丸め約14.3m。次の百分の一の位2で判断する。0.754自体が近似でモデル条件もあるため、高さの厳密値や実測結果とはしない。
生徒の基線と高さの図・近似の式・計算値と指定の丸め・単位と証拠の範囲を確認する。
観測者と鉛直な対象の足元は同じ水平地面上です。目の高さ1.4m、対象までの水平距離14m、目から頂点への仰角45度とし、tan45度=1を使います。目からの水平線と上昇分、地面からの全高を区別する図を作り、二つの高さと単位を式から求めます。全高を元の条件へ戻して検算してください。
目の高さで対象に届く水平線を隣辺14mとすると、上昇分h/14=1でh=14m。地面からの全高H=1.4+14=15.4m。検算は(H−1.4)/14=14/14=1。鉛直な対象と水平線の交わりが直角。全高Hをそのままtanの対辺へ置かず、同じ水平地面という条件を使う。
生徒の目の水平線・直角と上昇分/全高の区別・二式・単位・条件への検算を確認する。
∠ABC=90度、基準角A、AB=8cm、sinA=4/5、cosA=3/5です。「sinA=AB/ACだからAC=8×4/5」とした説明を自分の図と式で直してください。対応辺と演算の二つの誤りを別々に説明し、正しいAC,BCと単位、与えた二つの比・三平方への検算を残します。
Aの隣辺がAB、対辺がBC、斜辺がAC。sinAはBC/ACでAB/ACではない。既知ABからcosA=8/AC=3/5を使い、AC=8÷(3/5)=40/3cm。BC=(40/3)×4/5=32/3cm。8/(40/3)=3/5、(32/3)/(40/3)=4/5、8²+(32/3)²=(40/3)²。誤りは対辺の取り違えと、未知斜辺に対する掛け算の二点。
生徒のAを基準とする図・二つの誤りの修正・分数の二辺と単位・全比と三平方の検算を確認する。
kを2,3,5,7から一つ選び、直角Bの三角形ABCでAB=3k cm、BC=4k cm、AC=5k cmとします。基準角をAかCから選び、その角のsin・cos・tanを具体的な辺の比で示します。次に三辺の一つを未知にし、別の既知の辺と適切な比から元の長さを求め直します。選んだ数と自分の図・具体式・演算の理由、三平方と元の比への検算を残してください。
作例k=7ならAB=21cm、BC=28cm、AC=35cm。基準角AはsinA=4/5、cosA=3/5、tanA=4/3。ACを未知にしてAB=21cmとcosA=3/5を使い、21/AC=3/5よりAC=35cm。21²+28²=35²、21/35=3/5。基準角Cを選べばsinC=3/5、cosC=4/5、tanC=3/4。生徒の許された別のk・角・未知辺も認め、既知辺と比からの再計算を具体的に示す。
生徒のkと三辺・基準角の三つの比・未知にした辺と別の既知辺・実際の再計算と単位・検算を見る。一般式だけでは完了にしない。