Äquivalente Gleichungen und die Probe
Löse lineare Gleichungen durch dieselbe umkehrbare Operation auf beiden Seiten. Prüfe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, auch negative und gebrochene Lösungen.
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So nutzt du die Algebra-Übungen
Sprache, Lehrplan und didaktische Referenz werden unabhängig gewählt. Ab 14 Jahren: ausgewählte Fähigkeiten zu linearen Gleichungen oder deren Wiederholung. Die Hinweise zum gewählten Lehrplan nennen Niveau, Fassung und Erweiterungen. Dies ist eine begrenzte eigene Reihe, kein vollständiger Kurs und keine offizielle Prüfung.
Klammern und lineare Gleichungen gehören zur KS3-Algebra; Gleichungen und Identitäten zu KS4. Die drei Lösungsfälle sind im Common Core ausdrücklich genannt, aber kein wörtliches KS3-Lernziel.
Madrid, 3.º ESO: Wiederholung linearer Gleichungen aus den ersten beiden ESO-Jahren (D.4). Prüfen Sie neben dem Ergebnis auch äquivalente Umformungen und die Probe von Hand. Die Zuordnung beruht auf Decreto 65/2022; der Mathematikteil wurde auch mit Decreto 59/2024 abgeglichen.
Frankreich, 3e, 2026–27: ausgewählte Fähigkeiten zu linearen Gleichungen und zur Prüfung einer vorgeschlagenen Lösung. Der bisherige Lehrplan für cycle 4 und die Jahresziele gelten weiterhin; der neue Lehrplan gilt für 3e ab 2028–29. Prüfen Sie die Begründung von Hand.
NRW Gymnasium G9: Wiederholung ausgewählter Fähigkeiten der Klassen 7/8. Übe umkehrbare Umformungen und prüfe die Lösung durch Einsetzen; die Schritte werden manuell beurteilt. Der reelle Zahlenbereich erweitert den rationalen Bereich der ersten Stufe; das gelesene Schulplanbeispiel führt reelle Zahlen in Klasse 9 ein (UV9.2).
Japan: Wiederholung ausgewählter Fähigkeiten des ersten Mittelschuljahres nach dem Lehrplan von 2017, der seit 2021 vollständig gilt. Übe umkehrbare Umformungen und prüfe die Lösung durch Einsetzen; die Schritte werden manuell beurteilt. Der reelle Zahlenbereich ist für diese Reihe ab 14 Jahren eine Erweiterung des rationalen Bereichs des ersten Jahres.
Korea: Wiederholung ausgewählter Fähigkeiten des ersten Mittelschuljahres nach dem Lehrplan von 2022, der dort seit März 2025 gilt. Im dritten Jahr gilt er erst ab März 2027. Übe umkehrbare Umformungen und prüfe die Lösung durch Einsetzen; die Schritte werden manuell beurteilt. Der reelle Zahlenbereich ist für diese Reihe ab 14 Jahren eine Erweiterung des rationalen Bereichs des ersten Jahres.
Russland: Zuordnung zur ausgewählten FRP-Fassung 2025, als Wiederholung der Algebra in Klasse 7. Übe umkehrbare Umformungen und prüfe die Lösung durch Einsetzen; die Schritte werden manuell beurteilt. Der reelle Zahlenbereich ergänzt Klasse 7 um einen Begriff, der in Klasse 8 eingeführt wird.
CeDeC / INTEF: Ausgabe vom August 2014, als ältere didaktische Referenz gelesen. Dies ist kein Begleitmaterial zum LOMLOE-Lehrplan von 2022.
Sésamath 3e, Magnard, Juni 2021: ausgewählte Abschnitte des Schülerarbeitshefts (ISBN 9782210115811). Diese Zuordnung deckt nicht das ganze Arbeitsheft ab.
QUA-LiS.NRW, 31. Januar 2020: ein empfohlenes Schulplanbeispiel, insbesondere UV7.6, S.34. Es ist eine didaktische Referenz, kein Schulbuch und keine verbindliche Reihenfolge für jede Schule.
MEXT, Juli 2017: offizieller Kommentar zum Mathematiklehrplan, ausgewählte Abschnitte des ersten Jahres auf S.70–74. Es ist eine didaktische Referenz, kein Begleitangebot zu einem Verlagsschulbuch.
Bildungsamt Gyeonggi, 10. März 2025: Bewertungshilfe, Mathematikkapitel Ⅱ-1, S.58–69. Die Kriterien dienen als Referenz; diese Prüfung vergibt deren Leistungsstufen nicht.
FIPI, Moskau 2026: ausgewählte Hinweise zu Rechnungen, Kontrolle, schriftlichen Modellen und Einheiten. Es ist eine Referenz für Klasse 9, kein Schulbuch und kein vollständiger OGE-Vorbereitungskurs.
Tokyo Shoseki, 2025, 数学002-72: Die Auszüge und Verlagsartikel zu S. 94, 96–97, 78, 101 und 104–108 wurden gelesen. Sie verbinden gleichheitserhaltende Umformungen, Vorzeichen und Koeffizienten mit Modellierung und der Prüfung in der Ausgangssituation. Die Fälle 0/1/unendlich viele Lösungen und der reelle Zahlenbereich sind Erweiterungen von MomentDesk; die begrenzte Zuordnung deckt nicht das gesamte Lehrbuch ab.
Visang, Mathematik 1, Erstauflage 1. März 2025, zweiter Druck 1. März 2026, ISBN 979-11-7316-034-9: S. 86–87, 89–91 und 92–93 wurden im öffentlichen E-Book des Verlags gelesen. Sie behandeln begründete Umformungen, Einsetzen, Koeffizienten und die Prüfung des Modells in der Situation mit Einheiten. Die Fälle 0/1/unendlich viele Lösungen und reelle Zahlen sind Erweiterungen von MomentDesk. Die Begründung wird weiterhin von Hand bewertet.
Cornelsen, Fundamente der Mathematik 7, NRW G9, 1. Auflage 2020, 5. Druck 2026, ISBN 978-3-06-040177-2: Die öffentlichen Verlagsauszüge zu 6.2–6.6, S. 160–175, wurden gelesen. Sie behandeln begründete Umformungen, Sonderfälle und Modellierung mit Einheiten und Interpretation. Die Lösungen werden hier im Bereich der rationalen Zahlen gesucht; der reelle Zahlenbereich von MomentDesk ist eine Erweiterung. Die Zuordnung ist begrenzt; Aufgaben bleiben eigenständig und Begründungen werden von Hand bewertet.
Erklärung lesen
Eine Gleichung fragt, wann zwei Ausdrücke denselben Wert haben. Äquivalente Gleichungen haben dieselben Lösungen. Die Unbekannte soll isoliert werden, ohne die Lösungsmenge zu verändern.
Vorwissen
Rechnen mit Vorzeichen, Brüchen und Dezimalzahlen sowie die Bedeutung einer Unbekannten.
- Addiere oder subtrahiere auf beiden Seiten denselben Ausdruck. Fasse gleichartige Terme mit ihren Vorzeichen zusammen.
- Multipliziere beide Seiten mit derselben bekannten Zahl ungleich null oder dividiere beide Seiten durch diese Zahl. Multiplikation mit null verliert Information; Division durch null ist nicht definiert.
- Notiere die Operation auf beiden Seiten. Einen Term auf die andere Seite zu bringen ist eine Kurzform von Addition oder Subtraktion, keine eigene Vorzeichenregel.
- Setze das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein und berechne beide Seiten. Gleiche Werte bestätigen, dass der Kandidat eine Lösung ist.
- In den ersten beiden Themen nimmt die Unbekannte reelle Werte an. Im Nenner steht keine Variable.
Durchgerechnete Beispiele
Subtrahiere auf beiden Seiten 4, dann dividiere durch 3. Prüfe die Ausgangsgleichung.
3x + 4 = 28
3x = 24
x = 8
3(8) + 4 = 28
Dividiere beide Seiten durch −5. Das Minus gehört zum gesamten Koeffizienten.
−5x = 15
x = −3
−5(−3) = 15
Häufige Fehler
- Eine Änderung nur auf einer Seite kann andere Lösungen erzeugen.
- Ein negativer Koeffizient erzwingt keine positive Antwort. Setze den Wert mit seinem Vorzeichen ein.
Begründe deinen Lösungsweg
Nenne die Operation auf beiden Seiten, behalte die Vorzeichen und zeige die Probe in der Ausgangsgleichung.
Geprüft wird eine Zahl oder eine gewählte Antwort. Der Lösungsweg, die aufgestellte Gleichung und Einheiten werden nicht automatisch bewertet. Nutze die Kriterien mit deiner Lehrkraft oder zur Selbstkontrolle. Zehn Aufgaben beweisen keine sichere Beherrschung des Themas.
Üben
Gib eine Zahl ohne x = und ohne Einheit ein. Exakt gleiche Werte werden akzeptiert: ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und gemischte Zahlen. Punkt und Komma sind möglich; eine mehrdeutige Eingabe wie 1,234 erfordert die Wahl der Bedeutung. Einheiten und Begründung gehören in deine schriftliche Lösung.
Die Antworten bleiben bis zum Neuladen oder Verlassen im Speicher dieser Seite. Es entsteht kein gespeicherter Entwurf, Kontoergebnis oder automatisch abgegebenes Hausaufgabenblatt.
Deine Antworten und schriftliche Arbeit
Aufgaben und Erklärungen
Löse: 4x + 7 = 31. Gib x ein.
Antwort und Erklärung
6
Subtrahiere auf beiden Seiten 7, dann dividiere durch 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
Bestimme x: 18 − 3x = 33.
Antwort und Erklärung
−5
Subtrahiere 18 und dividiere durch −3. Prüfe den negativen Wert.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
Löse: 5x − 8 = 2x + 13.
Antwort und Erklärung
7
Subtrahiere auf beiden Seiten 2x und addiere auf beiden Seiten 8.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
Bestimme x: + 2 = 0.
Antwort und Erklärung
−8
Subtrahiere 2, dann multipliziere beide Seiten mit 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
Löse: 0.6x + 1.4 = 4.1.
Antwort und Erklärung
4.5
Subtrahiere die Konstante, dann dividiere durch den Koeffizienten ungleich null. Nutze den exakten Dezimalwert.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
Bestimme x: 3x + 2 = x − 7.
Antwort und Erklärung
−4.5
Subtrahiere auf beiden Seiten x und 2, dann dividiere durch 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
Löse: − = 5. Ein exakter Bruch oder ein gleichwertiger Dezimalwert ist zulässig.
Antwort und Erklärung
−
Multipliziere mit 3 und dividiere durch −2. Behalte das Vorzeichen.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
Prüfe den vorgeschlagenen Wert in 2x + 5 = −1; x = −2. Welche Gleichheit ergibt sich?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Antwort und Erklärung
1 = −1
Setze −2 in die ursprüngliche linke Seite ein. Sie ergibt 1, die rechte Seite −1; der vorgeschlagene Wert ist keine Lösung.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
Welche Zeile folgt aus 7x − 9 = 12, wenn auf beiden Seiten 9 addiert wird?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Antwort und Erklärung
7x = 21
Addiere auf jeder Seite 9; die linke Konstante fällt weg.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
Welche Zeile ist zu 2x + 3 = 11 NICHT äquivalent?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Antwort und Erklärung
4x − 1 = 13
Die Ausgangsgleichung hat die Lösung 4. Setze sie in jede Option ein: 4x − 1 = 13 ist bei diesem Wert falsch und hat eine andere Lösung.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13
Begründe deinen Lösungsweg
Ein Schüler formt 6x + 5 = 17 zu 6x = 22 um. Erkläre den Fehler, löse die Ausgangsgleichung und mache die Probe.
Antwort und Erklärung
5 subtrahieren, nicht addieren: 6x = 12, also x = 2. Probe: 6(2) + 5 = 17.
Die Antwort soll die ungleiche Operation erkennen, auf beiden Seiten subtrahieren, durch einen Koeffizienten ungleich null teilen und in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Arbeitsblatt
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Quelle des Lehrplans
Deutschland · NRW Gymnasium G9 · Wiederholung 7/8 + ℝ
§2.4.1 · Ari-7 / 9 · 28–29 · 2026-10-12
Quelle des LehrplansJapan · Wiederholung erstes Mittelschuljahr · 2017
中1 · A(3) · 71–73 · 2026-10-12
Quelle des LehrplansKorea · Wiederholung erstes Mittelschuljahr · 2022
[9수02-03] / [9수02-04] · 2026-10-12
Quelle des LehrplansRussland · FRP 2025 · Wiederholung Klasse 7 + Erweiterung Klasse 8
7 · 42 / 45 / 51 · 2026-10-12
Quelle des LehrplansLehrbuch / didaktische Referenz: OpenStax · Elementary Algebra 2e
Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis · Ausgabe: 2020-04-22
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Lehrbuch / didaktische Referenz: CeDeC / INTEF · Matemáticas 3° E.S.O.
CeDeC / INTEF · Ausgabe: 2014-08
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Lehrbuch / didaktische Referenz: Sésamath 3e · Cahier élève
Association Sésamath · Magnard · Ausgabe: 2021-06
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Lehrbuch / didaktische Referenz: QUA-LiS.NRW · Beispiel für einen schulinternen Lehrplan
QUA-LiS.NRW · Ausgabe: 2020-01-31
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Lehrbuch / didaktische Referenz: 文部科学省 · 中学校学習指導要領解説 数学編
文部科学省 · Ausgabe: 2017-07
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Lehrbuch / didaktische Referenz: 경기도교육청 · 성취평가, 이렇게 실천해요! [중학교편]
경기도교육청 · Ausgabe: 2025-03-10
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Lehrbuch / didaktische Referenz: ФИПИ · Методические рекомендации · Математика
И. В. Ященко · И. Р. Высоцкий · П. И. Самсонов · Ausgabe: 2026
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Lehrbuch / didaktische Referenz: 東京書籍 · 新編 新しい数学 1
清水美憲・真島秀行ほか108名 · Ausgabe: 2025 · 令和7年度
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Lehrbuch / didaktische Referenz: Cornelsen · Fundamente der Mathematik 7 · NRW G9
Andreas Pallack (Hrsg.) · Autorenteam · Ausgabe: 2020
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Lehrbuch / didaktische Referenz: 비상교육 · 중학교 수학 1
이진호・김선희・이소민・황윤희・이윤경 · Ausgabe: 2025-03-01
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Nächstes Thema: Klammern und die Anzahl der Lösungen
Arbeitsblatt: Äquivalente Gleichungen und die Probe
Nenne die Operation auf beiden Seiten, behalte die Vorzeichen und zeige die Probe in der Ausgangsgleichung.
Löse: 4x + 7 = 31. Gib x ein.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Bestimme x: 18 − 3x = 33.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Löse: 5x − 8 = 2x + 13.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Bestimme x: + 2 = 0.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Löse: 0.6x + 1.4 = 4.1.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Bestimme x: 3x + 2 = x − 7.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Löse: − = 5. Ein exakter Bruch oder ein gleichwertiger Dezimalwert ist zulässig.
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Prüfe den vorgeschlagenen Wert in 2x + 5 = −1; x = −2. Welche Gleichheit ergibt sich?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Welche Zeile folgt aus 7x − 9 = 12, wenn auf beiden Seiten 9 addiert wird?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Welche Zeile ist zu 2x + 3 = 11 NICHT äquivalent?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Gleichung, Rechenweg, Einheiten und PrüfungAntwort:
Lösungen: Äquivalente Gleichungen und die Probe
6
Subtrahiere auf beiden Seiten 7, dann dividiere durch 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
−5
Subtrahiere 18 und dividiere durch −3. Prüfe den negativen Wert.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
7
Subtrahiere auf beiden Seiten 2x und addiere auf beiden Seiten 8.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
−8
Subtrahiere 2, dann multipliziere beide Seiten mit 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
4.5
Subtrahiere die Konstante, dann dividiere durch den Koeffizienten ungleich null. Nutze den exakten Dezimalwert.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
−4.5
Subtrahiere auf beiden Seiten x und 2, dann dividiere durch 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
−
Multipliziere mit 3 und dividiere durch −2. Behalte das Vorzeichen.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
1 = −1
Setze −2 in die ursprüngliche linke Seite ein. Sie ergibt 1, die rechte Seite −1; der vorgeschlagene Wert ist keine Lösung.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
7x = 21
Addiere auf jeder Seite 9; die linke Konstante fällt weg.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
4x − 1 = 13
Die Ausgangsgleichung hat die Lösung 4. Setze sie in jede Option ein: 4x − 1 = 13 ist bei diesem Wert falsch und hat eine andere Lösung.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13