Équations équivalentes et vérification d’une solution
Résolvez des équations linéaires par la même opération réversible sur les deux membres. Vérifiez dans l’équation initiale, y compris les solutions négatives ou fractionnaires.
Pour les élèves de 14 ans et plus · gratuit · sans compte
Comment utiliser les exercices d’algèbre
Vérificateur d’équations linéaires
La langue, le programme et la référence pédagogique se choisissent séparément. À partir de 14 ans : compétences choisies sur les équations du premier degré ou révisions. Les notes du programme sélectionné précisent le niveau, la version et les approfondissements. Cette série originale limitée n’est ni un cours complet ni un sujet d’examen officiel.
Les parenthèses et équations linéaires relèvent de l’algèbre de KS3 ; les équations et identités, de KS4. Les trois cas de solutions sont explicites dans le Common Core, mais ne constituent pas une exigence littérale de KS3.
Madrid, 3.º ESO : révision des équations du premier degré des deux premières années d’ESO (D.4). Vérifiez manuellement les opérations équivalentes et la substitution, en plus du résultat. Le rapprochement repose sur le Decreto 65/2022 ; la partie mathématiques a aussi été vérifiée dans le Decreto 59/2024.
France, 3e, 2026–27 : compétences choisies de résolution d’équations du premier degré et vérification d’une valeur proposée. L’ancien programme du cycle 4 et les attendus annuels restent applicables ; le nouveau programme arrive en 3e en 2028–29. Vérifiez le raisonnement manuellement.
NRW Gymnasium G9 : révisions de compétences choisies des classes 7 et 8. Travaillez les transformations réversibles et vérifiez la solution par substitution ; les étapes sont évaluées manuellement. Le domaine réel étend le cadre rationnel de la première étape ; l’exemple de progression consulté introduit les réels en classe 9 (UV9.2).
Japon : révisions de compétences choisies de première année de collège, selon le programme de 2017 pleinement appliqué en 2021. Travaillez les transformations réversibles et vérifiez la solution par substitution ; les étapes sont évaluées manuellement. Le domaine réel étend le cadre rationnel de première année pour cette série destinée aux élèves de 14 ans et plus.
Corée : révisions de compétences choisies de première année de collège, selon le programme de 2022 appliqué à ce niveau depuis mars 2025. Il ne s’applique à la troisième année qu’à partir de mars 2027. Travaillez les transformations réversibles et vérifiez la solution par substitution ; les étapes sont évaluées manuellement. Le domaine réel étend le cadre rationnel de première année pour cette série destinée aux élèves de 14 ans et plus.
Russie : correspondance avec l’édition choisie du FRP de 2025, pour réviser l’algèbre de la classe 7. Travaillez les transformations réversibles et vérifiez la solution par substitution ; les étapes sont évaluées manuellement. Le domaine réel étend le contenu de la classe 7 avec une notion introduite en classe 8.
CeDeC / INTEF : édition d’août 2014, consultée comme référence pédagogique historique. Il ne s’agit pas d’un complément du programme LOMLOE de 2022.
Sésamath 3e, Magnard, juin 2021 : sections choisies du cahier élève (ISBN 9782210115811). Ce rapprochement ne couvre pas l’ensemble du cahier.
QUA-LiS.NRW, 31 janvier 2020 : exemple indicatif de progression scolaire, notamment UV7.6, p.34. Il s’agit d’une référence pédagogique, ni d’un manuel ni d’une progression imposée à chaque établissement.
MEXT, juillet 2017 : commentaires officiels du programme de mathématiques, sections choisies de première année aux pp.70–74. Il s’agit d’une référence pédagogique, pas d’un compagnon de manuel d’éditeur.
Bureau de l’éducation de Gyeonggi, 10 mars 2025 : guide d’évaluation, chapitre de mathématiques Ⅱ-1, pp.58–69. Les critères servent de référence ; ce correcteur n’attribue pas leurs niveaux de maîtrise.
FIPI, Moscou 2026 : conseils choisis sur les calculs, la vérification, les modèles écrits et les unités. Il s’agit d’une référence pour la classe 9, ni d’un manuel ni d’une préparation complète à l’OGE.
Tokyo Shoseki, 2025, 数学002-72 : les extraits et articles de l’éditeur liés aux pages 94, 96–97, 78, 101 et 104–108 ont été consultés. Ils relient les opérations conservant l’égalité, les signes et les coefficients à la modélisation et à la vérification dans la situation initiale. Les cas 0/1/une infinité de solutions et les nombres réels sont des prolongements de MomentDesk ; cette correspondance limitée ne couvre pas tout le manuel.
Visang, Mathématiques 1, première édition du 1er mars 2025, deuxième tirage du 1er mars 2026, ISBN 979-11-7316-034-9 : les pages 86–87, 89–91 et 92–93 ont été lues dans le manuel numérique public de l’éditeur. Elles présentent les transformations justifiées, la substitution, les coefficients et la vérification du modèle dans la situation avec ses unités. Les cas 0/1/une infinité de solutions et les nombres réels sont des prolongements de MomentDesk. Le raisonnement reste évalué manuellement.
Cornelsen, Fundamente der Mathematik 7, NRW G9, première édition de 2020, cinquième tirage de 2026, ISBN 978-3-06-040177-2 : les extraits publics de l’éditeur, sections 6.2–6.6, pages 160–175, ont été lus. Ils expliquent les transformations justifiées, les cas particuliers et la modélisation avec unités et interprétation. Les solutions sont ici cherchées dans l’ensemble des nombres rationnels ; les réels de MomentDesk constituent un prolongement. La correspondance est limitée ; les exercices restent originaux et le raisonnement est évalué manuellement.
Lire l’explication
Une équation demande quand deux expressions ont la même valeur. Deux équations équivalentes ont les mêmes solutions. Il faut isoler l’inconnue en conservant cet ensemble.
Avant de commencer
Calcul avec les nombres relatifs, fractions, décimaux et sens d’une inconnue.
- Ajoutez ou retranchez la même expression aux deux membres. Regroupez les termes semblables en conservant leurs signes.
- Multipliez ou divisez les deux membres par un même nombre connu non nul. Multiplier par zéro perd de l’information ; diviser par zéro n’est pas défini.
- Indiquez l’opération sur les deux membres. Transposer un terme abrège une addition ou une soustraction, pas une règle séparée de changement de signe.
- Remplacez l’inconnue par le résultat dans l’équation initiale et calculez les deux membres. Des valeurs égales confirment que le candidat est une solution.
- Dans les deux premiers thèmes, l’inconnue prend des valeurs réelles. Aucune variable ne figure au dénominateur.
Exemples résolus
Retranchez 4 aux deux membres, puis divisez par 3. Vérifiez l’équation initiale.
3x + 4 = 28
3x = 24
x = 8
3(8) + 4 = 28
Divisez les deux membres par −5. Le signe moins fait partie du coefficient −5.
−5x = 15
x = −3
−5(−3) = 15
Erreurs fréquentes
- Modifier un seul membre peut changer les solutions.
- Un coefficient négatif n’impose pas une réponse positive. Vérifiez la valeur avec son signe.
Expliquez votre raisonnement
Nommez l’opération sur les deux membres, conservez les signes et vérifiez dans l’équation initiale.
La vérification porte sur un nombre ou un choix. Le raisonnement, l’équation rédigée et les unités ne sont pas évalués automatiquement. Utilisez les critères avec votre professeur ou pour vous corriger. Dix exercices ne prouvent pas la maîtrise du thème.
S’entraîner
Saisissez un nombre sans x = ni unité. Les valeurs exactement égales sont acceptées : entiers, décimaux, fractions et nombres mixtes. Le point ou la virgule sont admis ; une saisie ambiguë comme 1,234 demande de préciser son sens. Gardez les unités et le raisonnement dans votre travail écrit.
Les réponses restent en mémoire sur cette page jusqu’à son rechargement ou votre départ. Aucun brouillon enregistré, résultat dans un compte ou devoir remis automatiquement n’est créé.
Vos réponses et votre travail écrit
Exercices et corrections
Résolvez : 4x + 7 = 31. Saisissez x.
Réponse et explication
6
Retranchez 7 aux deux membres, puis divisez par 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
Trouvez x : 18 − 3x = 33.
Réponse et explication
−5
Retranchez 18, puis divisez par −3. Vérifiez la valeur négative.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
Résolvez : 5x − 8 = 2x + 13.
Réponse et explication
7
Retranchez 2x aux deux membres et ajoutez 8 aux deux membres.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
Trouvez x : + 2 = 0.
Réponse et explication
−8
Retranchez 2, puis multipliez les deux membres par 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
Résolvez : 0.6x + 1.4 = 4.1.
Réponse et explication
4.5
Retranchez la constante, puis divisez par le coefficient non nul. Utilisez la valeur décimale exacte.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
Trouvez x : 3x + 2 = x − 7.
Réponse et explication
−4.5
Retranchez x et 2 aux deux membres, puis divisez par 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
Résolvez : − = 5. Une fraction exacte ou un décimal égal est accepté.
Réponse et explication
−
Multipliez par 3, puis divisez par −2. Conservez le signe.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
Vérifiez la valeur proposée dans 2x + 5 = −1; x = −2. Quelle égalité obtenez-vous ?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Réponse et explication
1 = −1
Remplacez x par −2 dans le membre gauche initial. Il vaut 1, tandis que le membre droit vaut −1 : le candidat n’est pas une solution.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
Pour 7x − 9 = 12, quelle ligne obtient-on en ajoutant 9 aux deux membres ?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Réponse et explication
7x = 21
Ajoutez 9 à chaque membre ; la constante à gauche s’annule.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
Pour 2x + 3 = 11, quelle ligne n’est PAS équivalente ?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Réponse et explication
4x − 1 = 13
La solution de l’équation initiale est 4. Remplacez x dans chaque proposition : 4x − 1 = 13 est fausse pour cette valeur et possède une autre solution.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13
Expliquez votre raisonnement
Un élève transforme 6x + 5 = 17 en 6x = 22. Expliquez l’erreur, résolvez l’équation initiale et vérifiez la solution.
Réponse et explication
Il faut retrancher 5, pas l’ajouter : 6x = 12, donc x = 2. Vérification : 6(2) + 5 = 17.
La réponse doit identifier des opérations différentes sur les deux membres, retrancher aux deux membres, diviser par un coefficient non nul et vérifier dans l’équation initiale.
Fiche d’exercices
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Source du programme
Allemagne · NRW Gymnasium G9 · révisions 7/8 + ℝ
§2.4.1 · Ari-7 / 9 · 28–29 · 2026-10-12
Source du programmeJapon · révisions de première année de collège · 2017
中1 · A(3) · 71–73 · 2026-10-12
Source du programmeCorée · révisions de première année de collège · 2022
[9수02-03] / [9수02-04] · 2026-10-12
Source du programmeRussie · FRP 2025 · révisions de 7e + approfondissement de 8e
7 · 42 / 45 / 51 · 2026-10-12
Source du programmeManuel / référence pédagogique: OpenStax · Elementary Algebra 2e
Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis · Édition: 2020-04-22
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Manuel / référence pédagogique: CeDeC / INTEF · Matemáticas 3° E.S.O.
CeDeC / INTEF · Édition: 2014-08
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Manuel / référence pédagogique: Sésamath 3e · Cahier élève
Association Sésamath · Magnard · Édition: 2021-06
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Manuel / référence pédagogique: QUA-LiS.NRW · Beispiel für einen schulinternen Lehrplan
QUA-LiS.NRW · Édition: 2020-01-31
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Manuel / référence pédagogique: 文部科学省 · 中学校学習指導要領解説 数学編
文部科学省 · Édition: 2017-07
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Manuel / référence pédagogique: 경기도교육청 · 성취평가, 이렇게 실천해요! [중학교편]
경기도교육청 · Édition: 2025-03-10
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Manuel / référence pédagogique: ФИПИ · Методические рекомендации · Математика
И. В. Ященко · И. Р. Высоцкий · П. И. Самсонов · Édition: 2026
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Manuel / référence pédagogique: 東京書籍 · 新編 新しい数学 1
清水美憲・真島秀行ほか108名 · Édition: 2025 · 令和7年度
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Manuel / référence pédagogique: Cornelsen · Fundamente der Mathematik 7 · NRW G9
Andreas Pallack (Hrsg.) · Autorenteam · Édition: 2020
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Manuel / référence pédagogique: 비상교육 · 중학교 수학 1
이진호・김선희・이소민・황윤희・이윤경 · Édition: 2025-03-01
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Thème suivant: Parenthèses et nombre de solutions
Fiche d’exercices: Équations équivalentes et vérification d’une solution
Nommez l’opération sur les deux membres, conservez les signes et vérifiez dans l’équation initiale.
Résolvez : 4x + 7 = 31. Saisissez x.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Trouvez x : 18 − 3x = 33.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Résolvez : 5x − 8 = 2x + 13.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Trouvez x : + 2 = 0.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Résolvez : 0.6x + 1.4 = 4.1.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Trouvez x : 3x + 2 = x − 7.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Résolvez : − = 5. Une fraction exacte ou un décimal égal est accepté.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Vérifiez la valeur proposée dans 2x + 5 = −1; x = −2. Quelle égalité obtenez-vous ?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Pour 7x − 9 = 12, quelle ligne obtient-on en ajoutant 9 aux deux membres ?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Pour 2x + 3 = 11, quelle ligne n’est PAS équivalente ?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Correction: Équations équivalentes et vérification d’une solution
6
Retranchez 7 aux deux membres, puis divisez par 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
−5
Retranchez 18, puis divisez par −3. Vérifiez la valeur négative.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
7
Retranchez 2x aux deux membres et ajoutez 8 aux deux membres.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
−8
Retranchez 2, puis multipliez les deux membres par 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
4.5
Retranchez la constante, puis divisez par le coefficient non nul. Utilisez la valeur décimale exacte.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
−4.5
Retranchez x et 2 aux deux membres, puis divisez par 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
−
Multipliez par 3, puis divisez par −2. Conservez le signe.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
1 = −1
Remplacez x par −2 dans le membre gauche initial. Il vaut 1, tandis que le membre droit vaut −1 : le candidat n’est pas une solution.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
7x = 21
Ajoutez 9 à chaque membre ; la constante à gauche s’annule.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
4x − 1 = 13
La solution de l’équation initiale est 4. Remplacez x dans chaque proposition : 4x − 1 = 13 est fausse pour cette valeur et possède une autre solution.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13