Равносильные уравнения и проверка решения
Решайте линейные уравнения, выполняя одинаковые обратимые действия с обеими частями. Проверяйте подстановкой в исходное уравнение, в том числе отрицательные и дробные корни.
Для учеников от 14 лет · бесплатно · без регистрации
Как пользоваться тренажёром по алгебре
Язык, программа и методический источник выбираются независимо. Для учеников от 14 лет: отдельные умения по линейным уравнениям или их повторение. Уровень, версия и дополнения указаны в примечаниях выбранной программы. Это ограниченная авторская серия, а не полный курс или официальный экзаменационный вариант.
Скобки и линейные уравнения связаны с алгеброй KS3, уравнения и тождества — с KS4. Три случая числа решений прямо названы в Common Core, но не являются дословным требованием KS3.
Мадрид, 3.º ESO: повторение линейных уравнений первого и второго годов ESO (D.4). Помимо ответа, вручную проверьте равносильность операций и подстановку. Привязка опирается на Decreto 65/2022; математический раздел также сверен с Decreto 59/2024.
Франция, 3e, 2026–27: отдельные умения решения линейных уравнений и проверки предложенного корня. Пока действуют прежняя программа cycle 4 и годовые требования; новая программа применяется к 3e с 2028–29. Рассуждение проверяется вручную.
NRW Gymnasium G9: повторение отдельных умений 7/8 классов. Отработайте обратимые преобразования и проверьте корень подстановкой; шаги оцениваются вручную. Область действительных чисел расширяет рациональную область первой ступени; прочитанный пример школьного плана вводит действительные числа в 9 классе (UV9.2).
Япония: повторение отдельных умений первого года средней школы по программе 2017 года, полностью введённой в 2021 году. Отработайте обратимые преобразования и проверьте корень подстановкой; шаги оцениваются вручную. Область действительных чисел — дополнение к рациональной области первого года для этой серии 14+.
Корея: повторение отдельных умений первого года средней школы по программе 2022 года, введённой для этого года в марте 2025. На третий год она распространяется только с марта 2027. Отработайте обратимые преобразования и проверьте корень подстановкой; шаги оцениваются вручную. Область действительных чисел — дополнение к рациональной области первого года для этой серии 14+.
Россия: сопоставление с выбранным изданием ФРП 2025, повторение алгебры 7 класса. Отработайте обратимые преобразования и проверьте корень подстановкой; шаги оцениваются вручную. Область действительных чисел расширяет содержание 7 класса понятием, вводимым в 8 классе.
CeDeC / INTEF — редакция августа 2014 года, использованная как прежний методический ориентир. Это не комплект к программе LOMLOE 2022 года.
Sésamath 3e, Magnard, июнь 2021 года: выбранные разделы рабочей тетради ученика (ISBN 9782210115811). Сопоставление не охватывает всю тетрадь.
QUA-LiS.NRW, 31 января 2020: рекомендательный пример школьного плана, особенно UV7.6, с.34. Это методический источник, а не учебник или обязательный порядок для каждой школы.
MEXT, июль 2017: официальные пояснения к программе математики, выбранные разделы первого года на с.70–74. Это методический источник, а не комплект к учебнику издательства.
Управление образования Кёнгидо, 10 марта 2025: руководство по оцениванию, математический раздел Ⅱ-1, с.58–69. Критерии служат методическим ориентиром; этот тренажёр не выставляет их уровни освоения.
ФИПИ, Москва 2026: выбранные рекомендации по вычислениям, проверке ответа, письменной модели и единицам. Это методический ориентир для 9 класса, а не учебник или полный курс подготовки к ОГЭ.
Tokyo Shoseki, 2025, 数学002-72: прочитаны фрагменты и статьи издателя к с. 94, 96–97, 78, 101 и 104–108. Они связывают сохранение равенства, знаки и преобразование коэффициентов с моделью и проверкой исходной ситуации. Классификация 0/1/бесконечно много решений и область действительных чисел — дополнения MomentDesk; это ограниченное сопоставление, а не весь учебник.
Visang, «수학 1», первое издание 1 марта 2025, второй тираж 1 марта 2026, ISBN 979-11-7316-034-9: с. 86–87, 89–91 и 92–93 прочитаны в открытом электронном учебнике издателя. Они охватывают обоснованные преобразования, подстановку, коэффициенты и проверку модели по ситуации и единицам. Классификация 0/1/бесконечно много решений и действительные числа — дополнения MomentDesk. Рассуждение оценивают вручную.
Cornelsen, Fundamente der Mathematik 7, NRW G9, первое издание 2020, пятый тираж 2026, ISBN 978-3-06-040177-2: прочитаны открытые фрагменты издателя, §§6.2–6.6, с. 160–175. Они объясняют обоснованные преобразования, особые случаи и модель с единицами и интерпретацией. Множества решений здесь задаются в рациональных числах; действительные числа MomentDesk — расширение. Сопоставление ограничено, задачи остаются авторскими, рассуждение оценивают вручную.
Прочитать объяснение
Уравнение задаёт вопрос: когда значения двух выражений равны? Равносильные уравнения имеют одинаковые решения. Нужно выразить неизвестное, сохраняя множество решений.
Что нужно знать
Действия с числами разных знаков, обыкновенные и десятичные дроби, смысл неизвестного.
- Прибавляйте одно и то же выражение к обеим частям или вычитайте его из обеих частей. Приводите подобные слагаемые, сохраняя их знаки.
- Умножайте или делите обе части на одно и то же известное ненулевое число. Умножение на ноль теряет информацию; деление на ноль не определено.
- Указывайте действие над обеими частями. Перенос слагаемого — сокращённая запись прибавления или вычитания, а не отдельное правило изменения знака.
- Подставьте результат в исходное уравнение и вычислите обе части. Равные значения подтверждают, что найденное число — решение.
- В первых двух темах неизвестное принимает действительные значения. В знаменателях неизвестного нет.
Разобранные примеры
Вычтите 4 из обеих частей, затем разделите их на 3. Проверьте исходное уравнение.
3x + 4 = 28
3x = 24
x = 8
3(8) + 4 = 28
Разделите обе части на −5. Минус относится ко всему коэффициенту.
−5x = 15
x = −3
−5(−3) = 15
Частые ошибки
- Действие только с одной частью может изменить решения уравнения.
- Отрицательный коэффициент не означает положительный ответ. Проверьте подстановкой число с его знаком.
Объясните своё решение
Назовите действие с обеими частями, сохраните знаки и покажите проверку в исходном уравнении.
Автоматически проверяется число или выбранный вариант. Ход решения, составленное уравнение и единицы не оцениваются автоматически. Используйте критерии с преподавателем или для самопроверки. Десять заданий — небольшой набор, а не доказательство освоения темы.
Потренироваться
Введите число без x = и единицы измерения. Принимаются точно равные значения: целые, десятичные числа, обыкновенные и смешанные дроби. Можно использовать точку или запятую; для неоднозначного ввода вроде 1,234 нужно выбрать значение. Единицы и рассуждение сохраните в письменном решении.
Ответы хранятся в памяти этой страницы до перезагрузки или ухода. Сохранённый черновик, результат в аккаунте и автоматическая сдача ДЗ не создаются.
Ваши ответы и письменная работа
Задания и разборы
Решите: 4x + 7 = 31. Введите x.
Ответ и объяснение
6
Вычтите 7 из обеих частей, затем разделите их на 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
Найдите x: 18 − 3x = 33.
Ответ и объяснение
−5
Вычтите 18, затем разделите на −3. Проверьте отрицательное число.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
Решите: 5x − 8 = 2x + 13.
Ответ и объяснение
7
Вычтите 2x из обеих частей и прибавьте к обеим частям 8.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
Найдите x: + 2 = 0.
Ответ и объяснение
−8
Вычтите 2, затем умножьте обе части на 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
Решите: 0.6x + 1.4 = 4.1.
Ответ и объяснение
4.5
Вычтите постоянное слагаемое, затем разделите на ненулевой коэффициент. Используйте точное десятичное значение.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
Найдите x: 3x + 2 = x − 7.
Ответ и объяснение
−4.5
Вычтите x и 2 из обеих частей, затем разделите на 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
Решите: − = 5. Принимается точная дробь или равное ей десятичное число.
Ответ и объяснение
−
Умножьте на 3, затем разделите на −2. Сохраните знак.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
Проверьте предложенное значение в записи 2x + 5 = −1; x = −2. Какое равенство получается?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Ответ и объяснение
1 = −1
Подставьте −2 в исходную левую часть. Она равна 1, а правая часть равна −1, поэтому предложенное число не является решением.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
Какая строка получается из 7x − 9 = 12 после прибавления 9 к обеим частям?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Ответ и объяснение
7x = 21
Прибавьте 9 к каждой части: постоянные слагаемые слева сокращаются.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
Какая строка НЕ равносильна уравнению 2x + 3 = 11?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Ответ и объяснение
4x − 1 = 13
Решение исходного уравнения — 4. Подставьте его в каждый вариант: 4x − 1 = 13 при этом значении неверно и имеет другое решение.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13
Объясните своё решение
Ученик преобразовал 6x + 5 = 17 в 6x = 22. Объясните ошибку, решите исходное уравнение и проверьте решение.
Ответ и объяснение
Нужно вычесть 5, а не прибавить: 6x = 12, поэтому x = 2. Проверка: 6(2) + 5 = 17.
В решении нужно назвать неодинаковое действие, вычесть 5 из обеих частей, разделить на ненулевой коэффициент и подставить ответ в исходное уравнение.
Рабочий лист
Загрузить печатный PDF в материалы · Прикрепить к домашнему заданию
Источник программы
Германия · NRW Gymnasium G9 · повторение 7/8 + ℝ
§2.4.1 · Ari-7 / 9 · 28–29 · 2026-10-12
Источник программыЯпония · повторение первого года средней школы · 2017
中1 · A(3) · 71–73 · 2026-10-12
Источник программыКорея · повторение первого года средней школы · 2022
[9수02-03] / [9수02-04] · 2026-10-12
Источник программыУчебник / методический источник: OpenStax · Elementary Algebra 2e
Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis · Издание: 2020-04-22
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: CeDeC / INTEF · Matemáticas 3° E.S.O.
CeDeC / INTEF · Издание: 2014-08
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: Sésamath 3e · Cahier élève
Association Sésamath · Magnard · Издание: 2021-06
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: QUA-LiS.NRW · Beispiel für einen schulinternen Lehrplan
QUA-LiS.NRW · Издание: 2020-01-31
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: 文部科学省 · 中学校学習指導要領解説 数学編
文部科学省 · Издание: 2017-07
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: 경기도교육청 · 성취평가, 이렇게 실천해요! [중학교편]
경기도교육청 · Издание: 2025-03-10
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: ФИПИ · Методические рекомендации · Математика
И. В. Ященко · И. Р. Высоцкий · П. И. Самсонов · Издание: 2026
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: 東京書籍 · 新編 新しい数学 1
清水美憲・真島秀行ほか108名 · Издание: 2025 · 令和7年度
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: Cornelsen · Fundamente der Mathematik 7 · NRW G9
Andreas Pallack (Hrsg.) · Autorenteam · Издание: 2020
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Учебник / методический источник: 비상교육 · 중학교 수학 1
이진호・김선희・이소민・황윤희・이윤경 · Издание: 2025-03-01
Разделы по ссылкам прочитаны как методический ориентир. Объяснения и задания MomentDesk — авторские. Это сопоставление темы с разделами, а не полный комплект к учебнику.
Следующая тема: Скобки и число решений
Рабочий лист: Равносильные уравнения и проверка решения
Назовите действие с обеими частями, сохраните знаки и покажите проверку в исходном уравнении.
Решите: 4x + 7 = 31. Введите x.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Найдите x: 18 − 3x = 33.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Решите: 5x − 8 = 2x + 13.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Найдите x: + 2 = 0.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Решите: 0.6x + 1.4 = 4.1.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Найдите x: 3x + 2 = x − 7.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Решите: − = 5. Принимается точная дробь или равное ей десятичное число.
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Проверьте предложенное значение в записи 2x + 5 = −1; x = −2. Какое равенство получается?
- −4 = −1
- −1 = −1
- 1 = −1
- 9 = −1
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Какая строка получается из 7x − 9 = 12 после прибавления 9 к обеим частям?
- 7x = 3
- 7x = 21
- 7x − 18 = 3
- 7x − 18 = 21
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Какая строка НЕ равносильна уравнению 2x + 3 = 11?
- 3x + 1 = 13
- 3x − 1 = 11
- 4x + 1 = 17
- 4x − 1 = 13
Уравнение, решение, единицы и проверкаОтвет:
Ответы: Равносильные уравнения и проверка решения
6
Вычтите 7 из обеих частей, затем разделите их на 4.
4x = 24
x = 6
4(6) + 7 = 31
−5
Вычтите 18, затем разделите на −3. Проверьте отрицательное число.
−3x = 15
x = −5
18 − 3(−5) = 33
7
Вычтите 2x из обеих частей и прибавьте к обеим частям 8.
3x = 21
x = 7
35 − 8 = 14 + 13
−8
Вычтите 2, затем умножьте обе части на 4.
= −2
x = −8
+ 2 = 0
4.5
Вычтите постоянное слагаемое, затем разделите на ненулевой коэффициент. Используйте точное десятичное значение.
0.6x = 2.7
x = 4.5
0.6(4.5) + 1.4 = 4.1
−4.5
Вычтите x и 2 из обеих частей, затем разделите на 2.
2x = −9
x = −4.5
−11.5 = −11.5
−
Умножьте на 3, затем разделите на −2. Сохраните знак.
−2x = 15
x = −
−(−) = 5
1 = −1
Подставьте −2 в исходную левую часть. Она равна 1, а правая часть равна −1, поэтому предложенное число не является решением.
2(−2) + 5 = 1
1 ≠ −1
7x = 21
Прибавьте 9 к каждой части: постоянные слагаемые слева сокращаются.
7x − 9 + 9 = 12 + 9
7x = 21
4x − 1 = 13
Решение исходного уравнения — 4. Подставьте его в каждый вариант: 4x − 1 = 13 при этом значении неверно и имеет другое решение.
2x = 8
x = 4
4(4) − 1 = 15
15 ≠ 13