中1 数学：角の二等分線と距離の練習問題
角を二等分する条件と、角の内部の点から二辺を含む直線への距離の関係を確かめます。垂線の長さと頂点からの長さを区別します。
学年・内容の目安 中1。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中1 B(1) 平面図形。冊子74〜78ページ（PDF78〜82ページ）。
解説を読む
角を二等分する条件と、角の内部の点から二辺を含む直線への距離の関係を確かめます。垂線の長さと頂点からの長さを区別します。
必要な予備知識
小学校で学んだ角、垂直・平行、円、面積・体積と、中1の正負の数・文字式を確認します。
- 角の二等分線は、頂点から出て角を等しい二つの角に分ける半直線です。
- 角の内部で二等分線上にある点から、二辺を含む直線への垂線の長さは等しくなります。
- 角の内部にあり、二辺を含む直線から等距離にある点は、角の二等分線上にあります。
解き方の例
∠AOB = 74°、OPがその二等分線なら∠AOP = ∠POB = 37°です。Pから二辺を含む直線への垂線の長さも等しくなります。
よくある間違い
- 頂点からの距離を二辺への距離と思う。
- 二等分線を線分の中点を通る線と取り違える。
- 角の外部の点にも内部の二等分線だと無条件に言う。
考え方を説明する
角の内部という条件、二つの角の等しさ、垂線の足と直角を確認します。
自動採点は指定した数値や選択肢です。図、作図の跡、説明、単位は講師が記述課題で確認します。
練習する
求められた数値だけを、文字や単位を付けずに入力します。正確に等しい整数・小数・分数・帯分数を受け付けます。小数点と桁区切りの両方に読める入力では意味を選んでください。途中式は紙や記述欄で確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
∠AOB = 46°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
23
二つの角が等しいので、46÷2 = 23°です。
∠AOB = 58°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
29
二つの角が等しいので、58÷2 = 29°です。
∠AOB = 76°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
38
二つの角が等しいので、76÷2 = 38°です。
∠AOB = 94°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
47
二つの角が等しいので、94÷2 = 47°です。
∠AOB = 118°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
59
二つの角が等しいので、118÷2 = 59°です。
∠AOB = 136°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
68
二つの角が等しいので、136÷2 = 68°です。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
2
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 5/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 4 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
4
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 11/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 7 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
7
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 15/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
角の内部の点Pについて、二辺を含む直線への垂線PH、PKの長さが等しいとき、必ず言えることはどれですか。
- Pは角の二等分線上にある
- OP = PH
- Pは線分ABの中点である
- ∠AOBは直角である
答えと解説
Pは角の二等分線上にある
内部という条件と二辺からの等距離から、Pは角の二等分線上にあります。
OPが∠AOBを二等分することを表す条件はどれですか。
- OA = OB
- OP ⊥ AB
- ∠AOP = ∠POB
- AP = PB
答えと解説
∠AOP = ∠POB
角の二等分は二つの角の大きさの等しさで表します。
二辺への距離を確かめるために測るのはどれですか。
- 頂点OからPまで
- Pから辺を含む直線への垂線の長さ
- 辺上の任意の点からPまで
- 二辺の長さ
答えと解説
Pから辺を含む直線への垂線の長さ
距離は、点から直線への垂線の長さです。
∠AOP = 31°、∠POB = 35°でPは角の内部にあります。OPについて正しい説明はどれですか。
- どちらも鋭角なので二等分線
- 合計が66°なので二等分線
- OPが長ければ二等分線
- 二つの角が等しくないので二等分線ではない
答えと解説
二つの角が等しくないので二等分線ではない
31°と35°は等しくないため二等分していません。
考え方を説明する
角を一つ描き、定規とコンパスで二等分線を作図してください。頂点を中心とした円弧と、二つの交点を中心とする同じ半径の円弧を残してください。
答えと解説
頂点Oから等距離の点H、Kを両辺にとり、H、Kを中心とする同じ半径の円弧の交点Pを角の内部にとる。半直線OPをひく。
円弧の跡、OH = OK、HP = KP、Pが角の内部にあること、OPを半直線としてひくことを見ます。図の向きが異なっても条件を満たせば認めます。
二等分線上の点Pから二辺を含む直線へ垂線をひき、足をH、Kとしてください。測る二本を示し、なぜOPではないか説明してください。
答えと解説
測るのはPHとPK。OPは頂点OからPへの長さであり、二辺を含む直線への垂直な距離ではない。
二つの直角印と、距離の対象を言葉で確認します。
角の外部の点まで含めて「二辺を含む直線から等距離なら、いつでも角の内部の二等分線上」と言えるでしょうか。直角を例に説明してください。
答えと解説
言えない。直角を作る二直線では外部にも両直線から等距離の点がある。角の内部にあるという条件が必要。
内部という条件の必要性を、外部の点の図と二本の垂線で示せるかを見ます。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 角の二等分線と距離の性質
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/angle-bisector-distance/
角の内部という条件、二つの角の等しさ、垂線の足と直角を確認します。
∠AOB = 46°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOB = 58°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOB = 76°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOB = 94°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOB = 118°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOB = 136°です。角の内部の半直線OPが∠AOBを二等分するとき、∠AOPを度で答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 5/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 4 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 11/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 7 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは∠AOBの内部の二等分線上にあります。Pから辺OA、OBを含む直線に下ろした垂線の足をH、Kとします。PH = 15/2 cmのとき、PKをcmで答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
角の内部の点Pについて、二辺を含む直線への垂線PH、PKの長さが等しいとき、必ず言えることはどれですか。
- Pは角の二等分線上にある
- OP = PH
- Pは線分ABの中点である
- ∠AOBは直角である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
OPが∠AOBを二等分することを表す条件はどれですか。
- OA = OB
- OP ⊥ AB
- ∠AOP = ∠POB
- AP = PB
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二辺への距離を確かめるために測るのはどれですか。
- 頂点OからPまで
- Pから辺を含む直線への垂線の長さ
- 辺上の任意の点からPまで
- 二辺の長さ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠AOP = 31°、∠POB = 35°でPは角の内部にあります。OPについて正しい説明はどれですか。
- どちらも鋭角なので二等分線
- 合計が66°なので二等分線
- OPが長ければ二等分線
- 二つの角が等しくないので二等分線ではない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
角を一つ描き、定規とコンパスで二等分線を作図してください。頂点を中心とした円弧と、二つの交点を中心とする同じ半径の円弧を残してください。
二等分線上の点Pから二辺を含む直線へ垂線をひき、足をH、Kとしてください。測る二本を示し、なぜOPではないか説明してください。
角の外部の点まで含めて「二辺を含む直線から等距離なら、いつでも角の内部の二等分線上」と言えるでしょうか。直角を例に説明してください。
解答: 角の二等分線と距離の性質
23
二つの角が等しいので、46÷2 = 23°です。
29
二つの角が等しいので、58÷2 = 29°です。
38
二つの角が等しいので、76÷2 = 38°です。
47
二つの角が等しいので、94÷2 = 47°です。
59
二つの角が等しいので、118÷2 = 59°です。
68
二つの角が等しいので、136÷2 = 68°です。
2
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
4
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
7
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
二等分線上の点から二辺を含む直線への距離は等しいので、PK = PHです。
Pは角の二等分線上にある
内部という条件と二辺からの等距離から、Pは角の二等分線上にあります。
∠AOP = ∠POB
角の二等分は二つの角の大きさの等しさで表します。
Pから辺を含む直線への垂線の長さ
距離は、点から直線への垂線の長さです。
二つの角が等しくないので二等分線ではない
31°と35°は等しくないため二等分していません。
記述問題の解答・確認の観点
角を一つ描き、定規とコンパスで二等分線を作図してください。頂点を中心とした円弧と、二つの交点を中心とする同じ半径の円弧を残してください。
頂点Oから等距離の点H、Kを両辺にとり、H、Kを中心とする同じ半径の円弧の交点Pを角の内部にとる。半直線OPをひく。
円弧の跡、OH = OK、HP = KP、Pが角の内部にあること、OPを半直線としてひくことを見ます。図の向きが異なっても条件を満たせば認めます。
二等分線上の点Pから二辺を含む直線へ垂線をひき、足をH、Kとしてください。測る二本を示し、なぜOPではないか説明してください。
測るのはPHとPK。OPは頂点OからPへの長さであり、二辺を含む直線への垂直な距離ではない。
二つの直角印と、距離の対象を言葉で確認します。
角の外部の点まで含めて「二辺を含む直線から等距離なら、いつでも角の内部の二等分線上」と言えるでしょうか。直角を例に説明してください。
言えない。直角を作る二直線では外部にも両直線から等距離の点がある。角の内部にあるという条件が必要。
内部という条件の必要性を、外部の点の図と二本の垂線で示せるかを見ます。